上海市静安区重点中学2023-2024学年高三上学期期中考试数学试题（含答案）

上海市静安区重点中学2023-2024学年高三上学期期中考试数学试题 2023.11
(满分 150分, 时间120分钟)
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：_________
一、填空题(本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分)
1.函数 的最小正周期T= .
2.方程lg(2x+1)+lgx=1的解为 .
3.在无穷等比数列{an}中,则{an}的各项和S= .
4.函数的单调递减区间是 .
5.已知 则≈ .(精确到0.001)
6.不等式 的解集为 .
7.已知|x-3|+|x+1|≥4对所有实数x恒成立，则等号成立时x的取值范围为 .
8.如图，八卦桥（图1）是洛南县地标性建筑之一，它是一个八边形人行天桥，桥的中心处建有一座
五层高的宝塔（图2），晚上宝塔上的霓虹灯流光溢彩非常美丽.某同学为了测量宝塔的高度，在塔底部同一水平线上选取了C，D两点，测得塔的仰角分别为45°和60°，C，D间的距离是12米.则宝塔的
高度AB为 米.（结果保留根号）
9. 已知 则 .
10. 已知函数和的图像
如图所示，则不等式的解集是
11.函数g(x)对任意的x∈R,有 设函数且f(x)在区间[0,+∞)上单调递增,若则实数a的取值范围为 .
12.用C(A)表示非空集合A中元素的个数，设 若C(A)=5,
则实数a的取值范围为 .
二、选择题(本大题共有4题, 13、14每题4分, 15、16每题5分, 满分18分)
13. 下列函数中，既是偶函数，又是在区间(0，+∞)上单调递减的函数为( )
14. 已知数列{an}为等比数列,首项a >0,公比q∈(-1,0),则下列叙述不正确的是 ( )
A.数列{an}的最大项为a B.数列{an}的最小项为a
C.数列为严格递增数列 D.数列为严格递增数列
15.已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+2)+f(2-x)=0 , 且当x∈(0,1]时,
则下列结论正确个数为( )
①f(x)的一个周期为2 ②f(5)=4 ③ ④f(x)图象关于直线x=2对称
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
16. 已知非空集合A, B满足: A∪B=R, A∩B= , 函数 对于下列两个命题：
①存在唯一的非空集合对(A，B)，使得f(x)为偶函数；
②存在无穷多非空集合对(A,B),使得方程f(x)=2无解.下面判断正确的是( )
①正确,②错误 B.①错误, ②正确 C.①、②都正确 D.①、②都错误
三、解答题(本题共5道题，共计14+14+14+18+18=78分)
17. 已知递增的等差数列{an}的首项 且a 、 a 、a 成等比数列.(1)求数列{an}的通项公式an;
(2) 设数列满足为数列的前n项和,求.
18. 在△ABC中,角A, B, C的对边分别是a, b, c,且2cos2A+4cos(B+C)+3=0.
(1)求角A的大小;(2)若 求b和c的值.
19.已知函数 且a≠0).
(1)当a<0时,求函数f(x)的极值;(2)当a>0时,求函数f(x)零点的个数.
20.已知一企业生产某产品的年固定成本为10万元，每生产千件需另投入2.7万元，设该企业年内共生产此种
产品x千件，并且全部销售完，每千件的销售收入为f(x)万元，
(1)写出年利润W(万元)关于年产品x(千件)的函数解析式；
(2)年产量为多少千件时，该企业生产此产品所获年利润最大 (注：年利润=年销售收入-年总成本)
21.已知函数和的定义域分别为和，若对任意的，都恰好存在个不同的实数 ，使得（其中，则称为的“重覆盖函数”，
如，是，的“4重覆盖函数”．
(1)试判断，是否为，的“2重覆盖函数”，并说明理由；
(2)若为,的“3重覆盖函数”，求实数的取值范围；
(3)若，为，的“9重覆盖函数”，求的最大值．
上海市静安区重点中学2023-2024学年高三上学期期中考试数学试题解析 2023.11
(满分 150分, 时间120分钟)
一、填空题(本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分)
1. 2.2 3. 4. 5.-1.841 6.
7. 8. 9. - 10. 11. 12.
8．.【分析】设出未知数，根据三角函数列出方程，求出答案.
【详解】设米，则因为，所以米，因为米，所以米，由得：，解得：，故宝塔的高度AB为米，故答案为：.
10.[1,2)【详解】函数的定义域为①当 时,
不符合题意；②当1 时, 符合题意；
③当时, 不符合题意.所以不等式 的解集是[1,2).答案:[1,2).
11.【详解】由 得: ,
∴f(x)在R上是奇函数, 又f(x)在区间 上单调递增，∴f(x)在R上单调递增,
即 故答案为：
12.(-1,0)∪(-∞,-9).【详解】, C(A)=5,
则方程有5个不同实数解.必然a﹤0,方程化为：|x(x+1)(x+3)|+a|(x-1)(x+1)|=0，x=-1是此方程的一个实数根，x≠﹣1时,
化为:|x(x﹢ 3)|=﹣a|(x﹣1)|,
分别作出函数y = |x(x﹢3)|,
y= a|(x 1)|的图象；P(1,0),
由于函数y=|x(x﹢ 3)|,y = a|(x﹣ 1)|的图象
必须有四个交点,
当y=﹣a|(x﹣1)|的图象与y=-x(x+3)(-3≤x≤0);
相切时，可得: y=﹣a|(x﹣1)|化为: y=a(x﹣1).
联立化为： 由解得a=-1,或a=-9.
∴-1二、选择题(本大题共有4题, 13、14每题4分, 15、16每题5分, 满分18分)
A 14.D 15.A 16.B
B.【详解】命题①，因为所以要么 要么 ，所以不存在非空集合对(A，B)，使f(x)为偶函数，则命题①错误；假设存在某个非空集合对(A，B)满足且为偶函数，将元素O从集合A中取出，放入集合B，其它元素不变，得到一个新的非空集合对,则新的非空集合对 使函数f(x)仍然是偶函数.假设某个非空集合对(A，B)满足且f(x)为偶函数,将元素O从集合B中取出，放入集合A，其它元素不变，得到一个新的非空集合对则新的非空集合对使函数f(x)仍然是偶函数.当存在
非空集合对(A，B)，使f(x)为偶函数时，非空集合对(A，B)不唯一，综上所述，命题①错误；
命题②，解方程得 解方程得 当非空集合对(A，B)满足
时,方程 无解,而满足这个条件的非空集合对(A，B)有无穷多个，故命题②正确；故选: B.
三、解答题(本题共5道题，共计14+14+14+18+18=78分)
17.【详解】(1) 由题意可得, 且 即 解得
18.【详解】 ，
∴可得: 可得: ∴解得: ， ；
由题意可得: 可得： 又由 可得：
可得：解得 或
所以 或 .
19.【详解】(1)由题意得:
令 得. 或(舍去),当 时, 函数单调递减;
当 时, 函数单调递增;所以函数f(x)有极小值 无极大值.
(2)由(1) 得 因为
①若当时, 函数单调递增；
当 时, 函数单调递减;当 时, 函数单调递增；
所以f(x)有极大值， ,极小值
又所以函数f(x)有1个零点.
②若则 所以函数f(x)单调递增，此时 ,
所以函数f(x)有1个零点.
③若当时,函数单调递增；当时, 函数单调递减,
所以函数f(x)有1个零点.当时, 函数单调递增；所以f(x)有极大值
显然极小值. 又，所以函数f(x)有1个零点.
综上所述，当 时，函数f(x)的零点个数为1.
【详解】(1)当 时,W
当 时,
所以
(2)(i)当时, 由得 当时,
当时, 所以当 时，W取得最大值，即
(ⅱ)当时,
当且仅当即时, W取得最大值38.综合(i)、(ii)可知:当 时，W取得最大值为38.6万元，
故当年产量为9千件时，该公司在这一产品的产销过程中所获利润最大.
21．(1)不是，理由见解析；(2)；(3)61.
【分析】（1）当时，根据“重覆盖函数”的定义即可判断；（2）将问题转化为对于任意的，方程恰好有3个不同的根，然后分三种情况分别求解即可；（3）将问题转化成对于任意的，方程，在内有9个不同的根，利用数形结合的思想即可求解．
【详解】（1）当时，，而,即只有唯一解，
所以 不是，的“2重覆盖函数”；
（2）因为,为增函数，所以,的值域为，
故对于任意的，方程在内都恰好有个不同的根，
①当时，，若，由，得，
若，则，此时方程在内最多只有个不同的根，不合题意；
②当时， 方程在内最多只有一个根，在内最多有两个根，
所以在内有个不同的根，在内有两个根，因为，，
所以，解得.
③当时，在上单调递增，故方程需在内有2个不同根，在内有1个根，
当时，，且，
所以 ，解得，综上，实数的取值范围是；
（3）因为函数，为单调递减函数，所以的值域为，
对于任意的，方程，在内有9个不同的根，
即与直线在轴右侧有9个不同的交点，
由图可知，，即，由，得，解得，
故的最大值为.【点睛】根据函数的单调性结合函数图象是解题的关键．