新疆维吾尔自治区喀什市2023-2024学年高三上学期期中测试数学试题（含解析）

喀什市2023-2024学年高三上学期期中测试
数学
考生注意：
1．本试卷分选择题和非选择题两部分。满分150分，考试时间120分钟。
2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。
3．考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。
4．本卷命题范围：集合、常用逻辑用语、不等式、函数、导数及其应用、三角函数与解三角形、平面向量与复数。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
2．若复数满足，则（ ）
A． B．5 C． D．20
3．如图，在中，，则（ ）
A． B． C． D．
4．若角的终边上有一点，且，则（ ）
A．4 B． C． D．
5．设，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
6．为落实党的二十大提出的“加快建设农业强国，扎实推动乡村产业、人才、文化、生态、组织振兴”的目标，某银行拟在乡村开展小额贷款业务．根据调查的数据，建立了实际还款比例关于还款人的年收入（单位：万元）的Logistic模型：．已知当贷款人的年收入为9万元时，其实际还款比例为，若贷款人的年收入约为5万元，则实际还款比例约为（ ）
A． B． C． D．
7．镇国寺塔亦称西塔，是一座方形七层楼阁式砖塔，顶端塔刹为一青铜铸葫芦，葫芦表面刻有“风调雨顺、国泰民安”八个字，是全国重点文物保护单位、国家3A级旅游景区．小胡同学想知道镇国寺塔的高度，他在塔的正北方向找到一座建筑物，高为，在地面上点处（在同一水平面上且三点共线）测得建筑物顶部，镇国寺塔顶部的仰角分别为和，在处测得镇国寺塔顶部的仰角为，则镇国寺塔的高度约为（ ）
（参考数据：）
A． B． C． D．
8．已知函数的图象有两条与直线平行的切线，且切点坐标分别为，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．下列等式成立的是（ ）
A． B．
C． D．
10．已知实数，其中，则下列关系中一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
11．已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．的最小正周期为 B．的最大值为2
C．的图象关于直线对称 D．在上单调递减
12．已知为定义在上的偶函数且不是常函数，，若是奇函数，则（ ）
A．的图象关于对称 B．
C．是奇函数 D．与关于原点对称
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知非零向量的夹角为，则______．
14．圆心角为2的扇形的周长为4，则此扇形的面积为______．
15．已知，则的最小值为______．
16．设函数若，则不等式的解集是______；若函数恰好有两个零点，则的取值范围是______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（本小题满分10分）
已知．
（1）求的值；
（2）求的值．
18．（本小题满分12分）
已知函数．
（1）若关于的不等式的解集为，求的值；
（2）当时，解关于的不等式．
19．（本小题满分12分）
已知函数（其中）的部分图象如图所示，将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象．
（1）求与的解析式；
（2）令，求方程在区间内的所有实数解的和．
20．（本小题满分12分）
已知函数是偶函数．
（1）求的值；
（2）设，若对任意的，存在，使得，求的取值范围．
21．（本小题满分12分）
如图，在平面四边形中，．
（1）若，求的长；
（2）若，求的长．
22．（本小题满分12分）
已知函数且．
（1）讨论的单调性；
（2）若有且仅有两个零点，求的取值范围．
喀什市2023-2024学年高三上学期期中测试
数学
参考答案、提示及评分细则
1．C由可得，所以．故选C．
2．A因为，所以，所以．故选A．
3．A．故选A．
4．C由已知，得，解得．故选C．
5．B由，解得，故“”是“”的必要不充分条件．故选B．
6．B由题意得当时，，则，得，所以，得，所以．当时，．故选B．
7．C，
在中，，
在中，，
所以，
由正弦定理得，
所以．故选C．
8．D的定义域为，所以，
因为，所以点处的切线斜率为点处的切线斜率为．
又因为两条切线与直线平行，所以即
所以是关于的方程的两个根，所以，即，
又，可得．
所以，由可得，即，
所以的取值范围是．故选D．
9．AB，故A正确；
，故B正确；
，故C错误；
，故D错误．故选AB．
10．ABD对于A，，故A正确；
对于B，因为，所以，故B正确；
对于C，当时，，故C错误；
对于D，因为，故D正确．故选ABD．
11．BD因为，故A错误；
，令，所以，所以当时，函数取得最大值2，故B正确；
，故C错误；
因为在上单调递增，在上单调递减，所以在上单调递减，故D正确．故选BD．
12．ABC由题意，得，即，整理，得，所以的图象关于对称，故A正确；
又为偶函数，则，所以，所以，故B正确；
，故C正确；
因为，所以与关于轴对称，不关于原点对称，故D错误．故选ABC．
13．12因为，所以，解得．
14．1设扇形的半径为，弧长为，则，又，所以，扇形的面积．
15．8，当且仅当，即时，等号成立，又，当且仅当，即时，等号成立．
综上所述，当时，取得最小值8．
16． 当时，
令，且，解得或，
令且，解得，所以的解集为．
令，解得或，令，解得，如图所示，
当时，恰有两个零点，符合题意；
当时，恰有3个零点，不符题意；
当时，恰有2个零点，符合题意；
当时，恰有1个零点，不符题意．所以的取值范围是．
17．解：（1）因为，所以，
所以，即．
因为，则，所以，
因为，所以．
（2）由解得，
所以；
所以．
18．解：（1）由题意可知，关于的不等式的解集为，
所以关于的方程的两个根为1和2，
所以解得则．
（2）由条件可知，，即，
当时，解得或；
当时，解得；
当时，解得或．
综上可知，当时，原不等式的解集为或；当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为或．
19．解：（1）由图可知，函数的最小正周期为，所以，
因为，可得，
因为，则，所以，解得，
所以的解析式为．
由题可知．
（2）因为
，
由，可得，所以或，
解得或，
又，故，
故所求的实数解的和为．
20．解：（1）因为是偶函数，
所以，即，
即，所以．
（2）因为对任意的，存在，使得，
所以在上的最小值不小于在上的最小值．
因为在上单调递增，所以，
在上单调递减，在上单调递增，
所以，
所以，解得，即的取值范围是．
21．解：（1）在中，由余弦定理得，所以，所以，
所以．
在中，由正弦定理得，所以．
（2）设，则，
在中，由正弦定理得，所以．
在中，，所以．
所以，所以，所以，
所以．
在中，，
即，解得或（舍）．
22．解：（1），
当时，在上恒成立，在上单调递增，
当时，令，则，所以当时，单调递减；当时，单调递增．
综上所述，当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增．
（2）由（1）知，当时，在单调递增，至多一个零点，不符题意．
当时，在处取得极小值，且，
所以，
设，即，设，则，
所以当时，单调递增；当时，单调递减．
所以当时，取得极大值，，
所以，即或，
设，则，当时，，所以在上单调递增，又，所以或，
综上所述，的取值范围是．