黑龙江省哈尔滨市三中2023-2024学年高二上学期11月期中考试数学试题（含答案）

哈尔滨市三中2023-2024学年高二上学期11月期中考试
数学试卷
考试说明：（1）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分．考试时间为120分钟；
（2）第Ⅰ卷，第Ⅱ卷试题答案均答在答题卡上，交卷时只交答题卡．
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．抛物线的准线方程为（ ）
A． B． C． D．
2．双曲线的焦点坐标是（ ）
A． B． C． D．
3．若点到点的距离比它到直线的距离小1，则点的轨迹方程是（ ）
A． B． C． D．
4．若直线与直线平行，则的值为（ ）
A．3 B． C．3或 D．2
5．如图，一抛物线型拱桥的拱顶比水面高2米，水面宽度米．水面下降1米后水面宽（ ）米
A． B． C． D．
6．已知双曲线，直线，若直线与双曲线的两个交点分别在双曲线的两支上，则的取值范围是（ ）
A．或 B．
C．或 D．
7．已知抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合．斜率为的直线经过点，且与的交点为．若，则直线的斜率为（ ）
A．1 B． C． D．
8．已知圆，若曲线上存在四个点，过点作圆的两条切线，为切点，满足，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．已知圆，圆，则（ ）
A．圆与圆内切
B．直线是两圆的一条公切线
C．直线被圆截得的最短弦长为
D．过点作圆的切线有两条
10．已知同时为椭圆与双曲线的左右焦点，设椭圆与双曲线在第一象限内交于点，椭圆与双曲线的离心率分别为为坐标原点，则下列结论正确的是（ ）
A． B．若，则
C．若则 D．若则
11．已知抛物线的焦点为，过点的直线交于两个不同点，则下列结论正确的是（ ）
A．的最小值是6 B．若点，则的最小值是4
C． D．若，则直线的斜率为
12．已知为坐标原点，分别是双曲线的左，右焦点，直线与双曲线交于两点，．为双曲线上异于的点，且与坐标轴不垂直，过作平分线的垂线，垂足为，则下列结论正确的是（ ）
A．双曲线的离心率为 B．双曲线的渐近线方程是
C．直线与的斜率之积为4 D．若，则的面积为4
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在答题卡相应的位置上．
13．设点为圆上一点，则点到直线距离的最小值为______．
14．已知椭圆的离心率为，点为其长轴两端点，点为椭圆上异于的一点，则直线和的斜率之积等于______．
15．已知直线与椭圆相交于两点，且线段的中点在直线上，则此椭圆的离心率为______．
16．抛物线的焦点为，准线为是抛物线上的两个动点，且满足．设线段的中点在上的投影为，则的最大值是______．
四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分10分）已知直线．
（1）若经过两点的直线与直线垂直，求此时直线的斜率；
（2）时，若点关于直线的对称点为点，求线段的长度．
18．（本小题满分12分）已知半径为4的圆与双曲线的渐近线相切，且圆心在轴正半轴上．
（1）求圆的方程；
（2）经过点，且斜率为的直线交圆于两点，若，求直线的方程．
19．（本小题满分12分）已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，且的面积为（为坐标原点）．
（1）求抛物线的标准方程；
（2）抛物线的准线与轴交于点，过点的直线交抛物线于两点，若以为直径的圆过点，求直线的方程．
20．（本小题满分12分）已知椭圆的中心在坐标原点，两焦点在轴上，离心率为，点在上，且的周长为6．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过点的直线交椭圆于两点，求面积的取值范围．
21．（本小题满分12分）已知双曲线的焦点与椭圆的焦点相同，且双曲线经过点．
（1）求双曲线的标准方程；
（2）设为双曲线上异于点的两点，记直线的斜率为，若．求直线恒过的定点．
22．（本小题满分12分）有一个半径为的圆形纸片，设纸片上一定点到纸片圆心的距离为，将纸片折叠，使圆周上一点与点重合，以点所在的直线为轴，线段的中点为原点建立平面直角坐标系．记折痕与的交点的轨迹为曲线．
（1）求曲线的方程；
（2）为曲线上第一象限内的一点，过点作圆的两条切线，分别交轴于两点，且，求点的坐标；
（3）在（2）的条件下，直线与曲线交于两点，且直线的倾斜角互补，判断直线的斜率是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
哈尔滨市三中2023-2024学年高二上学期11月期中考试
数学答案
1．C 2．C 3．A 4．B
5．C 6．B 7．D 8．B
9．BCD 10．AB 11．ABD 12．BCD
13． 14．或 15． 16．
17．（1） （2）5
18．（1）
（2）或
解析：（1）因为圆心点在轴正半轴上，设圆心．圆的标准方程为：．双曲线的渐近线方程为：．因为双曲线的渐近线与圆相切，所以圆心到双曲线一条渐近线的距离与圆的半径相等．
，解得，所以圆心坐标为，圆的标准方程为
（2）设直线的斜率为，则直线的方程为：，即．因为直线截圆所得线段长度，设圆心到直线的距离为，则，解得．由解得或．故直线的方程为：或
19．答案：（1） （2）
解析：（1）由已知可得，所以．
又点在抛物线上，所以，又，所以，所以抛物线的标准方程为．
（2）
直线斜率为0不成立，
所以直线斜率不为0，设直线方程为，设
消元得
得，则或
以为直径的圆过点
，符合题意
直线的方程为
20．答案：（1）设椭圆的半长轴长、半短轴长、半焦距分别为，因为，则．
因为，则，即．
于是，解得，从而．
因为椭圆的焦点在轴上，所以椭圆的标准方程是．
（2）由（1）知，，故，
当的斜率不存在时，令得，，故，故，
故的面积为，
当的斜率存在时，设，
联立得，
因为直线过椭圆内的点，所以，设，
则，
则
设点到直线的距离为，则，
故的面积为，
令，则，
则，
因为，所以，故，
故，
综上：面积的取值范围是．
21．（1）． （2）
解析：（1）椭圆的焦点坐标为为双曲线的焦点，故双曲线可设双曲线的方程为：，代入点，，可得或，又因为双曲线中，故，双曲线方程为．
（2）当直线斜率为0时，易得直线方程为：
直线斜率不为0时，设直线，联立直线与双曲线方程可得：．设，则直线斜率，直线斜率．由易知：．代入可得：．又因为．原式可转化为，由韦达定理可得：，代入式子中化简可得：．故或．若，直线为，恒过点，若，直线方程为，直线恒过定点，与题目中为异于的点矛盾，故直线恒过定点为．
22．【答案】（1） （2） （3）斜率存在，定值为
【详解】（1）由题意可知，，
所以点轨迹是以为焦点，为长轴长的椭圆，
所以曲线的方程，即椭圆方程为．
（2）由（1）可知的方程为，设点，，
则直线的方程为，即，
因为圆心到直线的距离为1，即，
即，
即，同理．
由此可知，为方程的两个实根，
所以．
．
因为点在椭圆上，则，则，
则，
则，因为，则，即，
故存在点满足题设条件．
（3）由（1）可知的方程为，由题意，直线斜率存在，
设，且，
联立方程组，整理得，
则，可得，
且，
因为直线的倾斜角互补，所以，
可得，整理得，
代入可得，
即，即，
解得或，
当时，即，可得，即，
此时直线经过点，不符合题意，所以直线的斜率为．