1.4 解直角三角形 课件(共24张PPT)-2023-2024学年九年级数学下册同步精品课堂（北师大版）

北师大版 数学 九年级下册
第一章 直角三角形的边角关系
4 解直角三角形
学习目标
1.了解解直角三角形的概念，明确解直角三角形除了直角外至少需要两个条件(其中至少一个是边)，能用锐角三角函数解直角三角形．（重点）
2.经历解直角三角形的过程，掌握运用勾股定理、直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形的方法．（难点）
（1）三边之间的关系:a2+b2=_____；
（2）锐角之间的关系：∠A+∠B=_____；
（3）边角之间的关系：
sinA=_____，cosA=_____，tanA=_____.
A
C
B
c
b
a
如图，在Rt△ABC中，其中∠C=90°。它的边、角以及边角之间都有什么关系呢？
复习回顾
c2
90°
勾股定理
????????
?
????????
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????????
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直角三角形两锐角互余
锐角三角函数
生活中，我们常常遇到与直角三角形有关的问题.为了解决这些问题，往往需要确定直角三角形的边和角.
直角三角形中除了直角外，还有5个元素，分别是三条边和2个角.那么至少知道几个元素就可以求出其他的元素呢？
A
C
B
一、创设情境，引入新知
利用边、角以及边角之间的关系，至少知道其中的两个元素(至少有一个是边)后，就可求出其余的元素．
A
B
C
例1:在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，且????=????????，????=????，求这个直角三角形的其他元素.
?
典型例题
二、自主合作，探究新知
探究一：已知两边解直角三角形
做一做：在Rt△ABC中，如果已知其中两边的长，你能求出这个三角形的其他的元素吗？
分析：直角三角形中已知两边可以利用 求出第三条边；
直角三角形中，已知两边可以利用 求∠A(或∠B)的度数；
再利用 求∠B(或∠A)的度数．
勾股定理
锐角三角函数
两锐角互余
二、自主合作，探究新知
解：在Rt△ABC中，a2＋b2＝c2，a＝????????，b＝????，
∴????=????????+????????=(????????)????+(????)????=????????.
在Rt△ABC中，sin B＝????????=????????????=????????，
∴ ∠B＝30°
∴ ∠A＝90°-∠B=60°．
?
A
B
C
想一想：还有没有其他解题思路呢？
二、自主合作，探究新知
议一议：分组探究，思考下面的问题：
1.由两个已知条件????=????????，????=????，能不能求出其中的一个锐角？
2.如何再求出另外一个锐角的度数？
3.如何求出第三条边的长？
?
A
B
C
tanA=????
（或tanB=????????）
?
A=60°
(或B=30°)
sinA=????????
(或sinB=????????)
?
边c
分析：
已知????=????????，
????=????
?
二、自主合作，探究新知
解：在Rt△ABC中，a＝????????，b＝????，
∴tanA=????????=????????????=????.
∴∠A=60°，∠B=90°-∠A=30°
在Rt△ABC中，sin A＝????????=????????????=????????，
∴ ????=????????.
?
A
B
C
方法二：
知识要点
二、自主合作，探究新知
由直角三角形中已知的元素,求出所有未知元素的过程,叫做解直角三角形．
已知直角三角形两条边求其他元素的方法：
方法1：已知两条边的长度，可以先利用勾股定理求出第三条边，然后利用锐角三角函数求出其中一个锐角，再根据直角三角形两锐角互余求出另外一个锐角．
方法2：已知两条边的长度，可以先利用锐角三角函数求出其中一个锐角，然后根据直角三角形中两锐角互余求出另外一个锐角，再利用锐角三角函数求出第三条边．
二、自主合作，探究新知
探究二：已知一边和一个锐角解直角三角形
想一想：在Rt△ABC中，如果已知一边和一个锐角，你能求出这个三角形的其他元素吗？
例2：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°,∠A,∠B,∠C所对的边分别为a, b, c,且b=30,∠B＝25°,求这个直角三角形的其他元素(边长精确到1）.
A
B
C
b
30
c
a
25°
典型例题
分析：直角三角形中已知一边和一个锐角，可以利用 求∠A的度数．再利用 求出另两条边.
锐角三角函数
两锐角互余
二、自主合作，探究新知
解：
在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=25°，
∴∠A=90°-∠B=65°.
A
B
C
b
30
c
a
25°
也可以利用勾股定理求出第三条边.
二、自主合作，探究新知
已知直角三角形一条边和一个锐角求其他元素的方法：
已知一个锐角，先根据直角三角形两锐角互余求出另外一个锐角．
知道一条边的长，根据三角函数的定义可以求出另外两条边的长；
也可以先利用三角函数的定义求出其中一条边的长，再利用勾股定理求出第三条边的长．
知识要点
二、自主合作，探究新知
议一议：(1)除了已知“两边”和“一边一角”解直角三角形外，还有其他的情况解直角三角形吗？
(2)在Rt△ABC中，如果已知两个锐角，可以解直角三角形吗？先独立判断，再分组讨论．
只知道角度是无法求出直角三角形的边长的．
(3)只给出一条边长这一个条件，可以解直角三角形吗？
不能.
二、自主合作，探究新知
知识要点
解直角三角形需要满足的条件：
在直角三角形的6个元素中，直角是已知元素，如果再知道一条边和第三个元素，那么这个三角形的所有元素就都可以确定下来．
A
B
a
b
c
C
注意：解直角三角形必须满足的一个条件是已知“一条边”．
1.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，
AB=8，则BC的长是（　　）
三、即学即练，应用知识
2.在Rt△ABC中，已知∠C＝90°，∠A＝50°，BC＝3，则AC=(　　)A.3sin 50° B.3sin 40° C.3tan 50° D.3tan 40°
D
D
3.如图，已知Rt△ABC中，斜边BC上的高AD=3，cosB=????????，则AC的长为（　　）
A．3 B．3.75 C．4.8 D．5
?
5.在△ABC中，∠B＝60°，∠C＝45°，AB＝2????，则AC＝________.
?
三、即学即练，应用知识
3????
?
B
4.在△ABC中，AB=AC=3，BC=4，则cosB 的值是_________.
三、即学即练，应用知识
6.在Rt△ABC中，∠C为直角，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，已知c＝10，∠B＝30°，解这个直角三角形．
解：∵在Rt△ABC中，∠C为直角，∠B＝30°，
∴∠A＝90°－∠B＝90°－30°＝60°．
∵cos B＝????????，
∴a＝c·cos B＝10·cos 30°＝10×????????＝5????．
∵sin B＝????????，
∴b＝c·sin B＝10·sin 30°＝10×????????＝5．
?
30°
10
7.在Rt△ABC中，已知∠C＝90°，a = 30 , b = 20 ，解这个直角三角形.
A
B
C
b=20
a=30
c
三、即学即练，应用知识
解：根据勾股定理得
四、课堂小结
解直角三角形
依据
勾股定理
直角三角形两锐角互余
锐角三角函数
定义：由直角三角形中已知的元素,求出所有未知元素的过程,叫做解直角三角形．
类型
已知直角三角形的两边；
已知直角三角形一边和一个锐角.
1.在Rt△ABC中，已知∠C＝90°，∠A＝30°，AC=2????，则BC=（　　）
A．2???? B．2 C．4 D．6
?
五、当堂达标检测
B
2.如图，小明为了测量其所在位置点A到河对岸点B之间的距离，沿着与AB垂直的方向走了m米，到达点C，测得∠ACB＝α，那么AB等于(　　)米.
A.m·sin α B.m·tan α
C.m·cos α D. ????????????????????
?
B
4.在△ABC中，已知AB＝3????，AC=6，∠B＝45°，则BC= .
?
五、当堂达标检测
3.在Rt△ABC中，已知∠C＝90°，AC＝1，BC=????，则cosA= .
?
????????
?
????????+????或?????????????
?
5. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC=6， ∠BAC的平分线????????=????????，解这个直角三角形.
?
D
A
B
C
6
五、当堂达标检测
解：
∵AD平分∠BAC，
五、当堂达标检测
6.在Rt△ABC中，已知∠C＝90°,∠B＝72°,c = 14，解这个直角三角形.
A
B
C
b
a
c=14
解：
∴????=?????????????????????=????????×????????????????????°≈????.????
?
∴????=?????????????????????=????????×????????????????????°≈????????.????
?
教材习题1.5.　　　　
六、布置作业