5.1 二次函数 课件(共25张PPT)-2023-2024学年九年级数学下册同步精品课件（苏科版）

第五章 二次函数
5.1 二次函数
学习目标
1.经历探索两个变量之间函数关系的过程，会用数学式子描述某些变量之间的数量关系；
2.能通过对实际问题情境的分析，确定二次函数的表达式，体会二次函数的意义；
3.通过实例分析，进一步感受自变量取值范围的确定.
生活中,存在着许多变化的量,函数是刻画变量与变量之间关系的一个有效的数学模型.
知识回顾
一般地，在一个变化过程中有两个变量x和y，如果对于x的每一个值， y都有唯一的值与它对应，那么就说y是x的函数，x是自变量.
1. 什么叫函数?
2. 我们学习哪几种函数？你能写出它们的表达式吗？
一次函数：
y=kx+b (k、b为常数，k≠0)
反比例函数：
y=???????? (k为常数，k≠0)
?
问题情境
公园里的喷泉，投掷的篮球都会形成一条曲线.这些曲线有什么共同特点？能否用函数表达式表示呢？
生活·数学
1.水滴激起的波纹不断地向外扩展，形成的圆.
圆的周长C与相应圆的半径r的关系式是________；
圆的面积S与相应圆的半径r的关系式是_________.
这两个函数表达式有何差异？
C=2πr
S=πr2
在这个问题中，设矩形的一边长为xm，则另一边长为_______m．
生活·数学
2. 用长16m的篱笆围成矩形的生物园饲养小兔，怎样围可使小兔的活动范围较大?
(8-x)
究竟怎样围可使小兔的活动范围比较大？
矩形面积 y与长 x之间的函数关系为:
y＝－x2＋8x
生活·数学
3. 一面长比宽之比为2：1的矩形镜子，四周镶有边框. 已知镜面的价格是每平方米120元，边框的价格是每米30元，加工费为45元.
设镜面的宽为x m，则长为____m，镜面面积为_____m2 ，镜面费用为___________元，边框费用为______________元，总费用(元)与镜面宽长(m)之间的函数关系为___________________.
2x
2x2
120×2x2
30(2x+x+2x+x)
xm
2xm
y＝240x2＋180x＋45
类比归纳
S=πr2
y＝－x2＋8x
y＝240x2＋180x＋45
以上函数表达式有什么共同特征？它们与一次函数、反比例函数的表达式有什么不同？
类比一次函数的定义，你能归纳出二次函数的定义吗？
概念学习
二次函数的概念
一般地，形如y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，且a≠0）的函数称为二次函数．其中x是自变量，y是x的函数.
为什么要限制a≠0，b、c可以为零吗？
思考：
二次函数的一般形式
新知巩固
下列函数中y是x的二次函数吗？若是二次函数，指出a、b、c的值．
(1) 1－x2
(2) y＝x(x－2)
(3) y＝22+2x
(4) y＝????????????+x
?
(5) y＝3x(2－x)－3x2
(6) y＝ax2+bx+c
如何判断一个函数是否是二次函数？
归纳总结
（1）函数表达式是关于自变量的整式；
（2）化简后自变量的最高次数是2 (可以没有一次项和常数项，但不能没有二次项)；
（3）二次项系数不为0.
注意：先化简后判断
二次函数的识别方法：
讨论交流
问题1 函数y=ax2+bx+c中自变量x的取值范围是什么？
任意实数
问题2 上述三个问题中自变量的取值范围还是任意实数吗？
S=πr2
y＝－x2＋8x
y＝240x2＋180x＋45
r＞0
0x＞0
通常，二次函数的自变量x可以是任意实数，如果二次函数的自变量表示实际问题中的某个量，那么它的取值范围受到实际意义的限制．
归纳总结
例1 已知函数y＝(????-3)?????????????????+(m+1)x -2m+1是二次函数，求m的值，并写出这个二次函数的解析式.
?
?????????≠?????????????????=????　
?
解：由题意得：　　　　　　
解得：m＝－3．
当m=-3时，y=-6x2-2x+7
例题讲解
变式 y＝(????-3)?????????????是二次函数，则m=______.
?
－1
例题讲解
例2 写出下列问题中y与x之间的函数的表达式 , 并写出自变量的取值范围:
(1)如图，在长200m、宽140m的矩形绿地内修建等宽的十字形道路，设道路宽为 x(m)，绿地面积为y(m2)；
解：(1)y=(200-x)(140-x)
0例题讲解
(2)某化肥厂10月份生产某种化肥200t，设该厂11月、12月的月平均增长率为x，12月份化肥的产量为y(t)；
解：(2)y=200(1+x)2
x＞0
(3)如图，用长50m的护栏围成一块靠墙的矩形花园，设矩形花园的长为x(m)，面积为 y(m2).
解：(3)y=????????(50-x)x
?
0新知巩固
1.当k为何值时，函数y=(k-1)????????????+????+1为二次函数？
?
2.写出正方体的表面积S(cm2)与正方体的棱长a(cm)之间的函数表达式.
?????????≠????????????+????=????　
?
解：由题意得：　　　　　　
解得：k＝－2．
解：S=6a2
a＞0
新知巩固
4.如图，矩形纸片长为30cm、宽为20cm，剪去一个边长为x cm的正方形，写出剩余部分的面积 S(cm2)与x(cm)之间的函数表达式.
3.高为14 cm的圆柱的体积V(cm3)与底面半径r(cm)之间的函数表达式.
解：V=14πr2
r＞0
解：S=600-x2
0课堂小结
二次函数
概念
列二次函数表达式
自变量的取值范围
形如y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，且a≠0）的函数称为二次函数．
审清题意
找出等量关系
列二次函数表达式
一般是任意实数
实际问题有实际意义
当堂检测
1.下列函数中，属于二次函数的是(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　A.y＝2x－1 B.y＝x2＋???????? C.y＝x2(x＋3) D.y＝x(x＋1)
?
D
2.若y＝(m－2)x2＋(m－1)x是关于x的二次函数，则m的取值范围是( 　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　A.m≠2　　 　 B.m≠1　　 C.m≠2且m≠1　　　　 D.全体实数
A
当堂检测
3.用绳子围成周长为10 m的矩形，记矩形的一边长为x m，它的邻边长为y m，矩形的面积为S m2.当x在一定范围内变化时，y和S都随x的变化而变化，则y与x，S与x满足的函数关系分别是(　　)A.一次函数关系、二次函数关系 B.反比例函数关系、二次函数关系C.一次函数关系、反比例函数关系 D.反比例函数关系、一次函数关系
A
4. 已知函数y=3x2m-1－5
① 当m=＿＿时，y是关于x的一次函数；
② 当m=＿＿时，y是关于x的反比例函数；
③ 当m=＿＿时，y是关于x的二次函数 .
当堂检测
1
0
????????
?
5.将y＝－(x＋2)2－3化为一般形式为_______________，其中二次项系数为_______，一次项系数为_______，常数项为_______.
y＝－x2－4x－7
－1
－4
－7
当堂检测
6.函数y＝2x2＋3x＋7中，自变量x的取值范围为___________.
全体实数
7.已知二次函数y＝x2＋3x－5，当x＝2时，y＝________.
5
8.若菱形的两条对角线的长的和为36 cm，则菱形的面积S(cm2)与一条对角线的长x(cm)之间的函数表达式为________________，其中自变量x的取值范围是___________.
S＝－????????x2＋18x
?
0＜x＜36
当堂检测
9.如图，学校准备围一个中间隔有一道篱笆且一面靠墙(墙长为10 m)的长方形花圃，现有长为24 m的篱笆，设花圃的宽AB为x m，面积为S m2.求S关于x的函数表达式．(不要求写出x的取值范围)
解：∵AB为x m，
∴BC为(24－3x)m，
∴S＝(24－3x)x＝－3x2＋24x.