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专题1.5 解直角三角形的新定义模型
模块1：学习目标
解直角三角形的新定义模型，是体现选拔功能的试题中对初高中知识衔接的考查。高中数学为这类试题的命制提供了广阔的空间背景，命题者将高中数学的一些概念、定理、法则、公式等初中化（用初中数学知识内容包装、初中试题命制技术设置）处理，命制出具有高中数学背景味道的试题。这类试题往往对学生思维能力和创新能力要求较高，能有效检验学生是否具备进入高中学习的潜能，所以平时教学挖掘这方面解题技能及功效尤为重要。恰当地构建模型可以拓宽解题思路，优化解题过程，丰富解题内涵。
模块2：知识梳理
模型1、新定义模型
此类模型主要包含高中数学中的三角函数和解三角形的相关定理（公式），而这些定理（公式）也可利用初中数学知识证明。
若无特殊说明，一般认为△ABC的3个角∠A、∠B、∠C，分别对应边a、b、c；
1）正弦定理：如图1，（其中R是三角形外接圆的半径）。
图1 图2
2）余弦定理：如图2，； ； ．
3）正弦面积公式：如图2，.
4）同角三角函数的基本关系式:，。
5）和（差）、二倍角角公式：
; .
; .
.
模块3：核心模型与典例
例1．（2022·湖南·中考真题）阅读下列材料：
在中，、、所对的边分别为、、，求证：．
证明：如图1，过点作于点，则：
在中， CD=asinB； 在中，
根据上面的材料解决下列问题：
(1)如图2，在中，、、所对的边分别为、、，求证：；(2)为了办好湖南省首届旅游发展大会，张家界市积极优化旅游环境．如图3，规划中的一片三角形区域需美化，已知，，米，求这片区域的面积．（结果保留根号．参考数据：，
【答案】(1)见解析 (2)
【分析】（1）作BC边上的高，利用三角函数表示AD后，即可建立关联并求解；
（2）作BC边上的高，利用三角函数分别求出AE和BC，即可求解．
(1)证明：如图2，过点作于点，在中，，
在中，，，；
(2)解：如图3，过点作于点，，，，
在中，
又，即，，．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系，即锐角三角函数的定义是解决问题的前提．
例2．（2023秋·广东九年级课时练习）我们知道，直角三角形的边角关系可用三角函数来描述，那么在任意三角形中，边角之间是否也存在某种关系呢？（已知）
如图，锐角中，、、所对的边分别为a、b、c，过点C作，
在中，，∴，
在中，由勾股定理得，即，
整理可得：，同理可得：．
利用上述结论解答下列问题：（1）在中，，求a和的大小；
（2）在中，，其中，求边长c的长度．
【答案】（1），；（2）
【分析】（1）根据给出的公式，把已知条件代入计算，求出a的值，根据勾股定理的逆定理证明直角三角形，根据等腰直角三角形的性质即可得到答案；
（2）把数据代入相应的公式，得到关于c的一元二次方程，解方程得到答案．
【详解】解：（1）在中，，∴，
∵，即，∴为直角三角形，，
又∵，∴；
（2）∵，
∴，化简得，解得，，
∵，∴．
【点睛】本题考查的是新定义和解直角三角形的知识，理解新定义并正确运用新定义的公式是解题的关键，注意应熟记特殊角的三角函数值．
例3．（2023·山西·九年级统考期中）阅读下列内容，并解答问题：三角形的一个面积公式
小明喜欢通过多渠道学习数学知识，一天，他运用网络搜索学会了一个三角形面积公式，这个公式叙述如下：在中，已知，，，则的面积为.
请你完成以下活动：问题探究：（1）如图1，已知是锐角三角形，，，，请证明上述三角形面积公式仍然成立；
问题解决：（2）如图2，在中，，，.则的面积是______.
【答案】（1）证明见解析；（2）9
【分析】（1）过点作于点，解，求出AD，即可；（2）同理求出AD的长度，运用求解即可.
【详解】（1）证明：如图，过点作于点，
在中，.∵，∴.
（2）在△ABC中，∵，，，∴.
【点睛】本题考查了三角形的面积公式，解题的关键是做辅助线，通过解直角三角形表示出三角形对应边上的高.
例4．（2022春·辽宁沈阳·九年级校考开学考试）设一个三角形的三边长分别为，，，，则有下面的面积公式
（海伦公式） （秦九韶公式）
若一个三角形的三边长依次为5，6，7，则这个三角形的面积为 （可以直接利用上面的面积公式）
【答案】
【分析】利用两个公式分别代入即可．
【详解】解：，
由海伦公式可得；
由秦九昭公式可得．故答案为：．
【点睛】本题主要考查二次根式的应用，掌握二次根式的性质是解题的关键．
例5．（2023·北京市·九年级校考期末）关于三角函数有如下公式：sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ，sin（α﹣β）＝sinαcosβ﹣cosαsinβ；cos（α+β）＝cosαcosβ﹣sinαsinβ，cos（α﹣β）＝cosαcosβ+sinαsinβ；tan（α+β）＝（1﹣tanαtanβ≠0），合理利用这些公式可以将一些角的三角函数值转化为特殊角的三角函数来求值，如sin90°＝sin（30°+60°）＝sin30°cos60°+cos30°sin60°＝＝1，利用上述公式计算下列三角函数①sin105°＝，②tan105°＝﹣2﹣，③sin15°＝，④cos90°＝0，其中正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【分析】直接利用已知公式法分别代入计算得出答案．
【详解】①sin105°=sin（60°+45°）=sin60°cos45°+cos60°sin45°= =，故此选项正确；②tan105°=tan（60°+45°）== ==-2-，故此选项正确；
③sin15°=sin（60°-45°）=sin60°cos45°-cos60°sin45°==，故此选项正确；
④cos90°=cos（45°+45°）=cos45°cos45°-sin45°sin45°==0，故此选项正确；
故正确的有4个．故选D．
【点睛】此题主要考查了特殊角的三角函数值以及公式的应用，正确应用公式是解题关键．
例6．（2023年四川省广元市中考真题数学试题）“一缕清风银叶转”，某市20台风机依次矗立在云遮雾绕的山脊之上，风叶转动，风能就能转换成电能，造福千家万户．某中学初三数学兴趣小组，为测量风叶的长度进行了实地测量．如图，三片风叶两两所成的角为，当其中一片风叶与塔干叠合时，在与塔底D水平距离为60米的E处，测得塔顶部O的仰角，风叶的视角．
(1)已知α，β两角和的余弦公式为： ，请利用公式计算；
(2)求风叶的长度．
【答案】(1)(2)风叶的长度为米
【分析】（1）根据题中公式计算即可；（2）过点A作，连接，，先根据题意求出，再根据等腰对等边证明，结合第一问的结论用三角函数即可求，再证明四边形是矩形，即可求出．
【详解】（1）解：由题意可得：，
∴；
（2）解：过点A作，连接，，如图所示，
由题意得：米，，∴米，，
∵三片风叶两两所成的角为，∴，∴，
又∵，∴，∴，∴米，
∵，，∴，由（1）得：，
∴米，∴米，
∵，，，∴四边形是矩形，∴米，
∵三片风叶两两所成的角为，且三片风叶长度相等，∴，
∴米，∴风叶的长度为米．
【点睛】本题考查解直角三角形的实际应用，正确理解题意和作出辅助线是关键．
例7．（2022·山东济南·统考模拟预测）通过学习三角函数，我们知道在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长的比值相互唯一确定，因此边长与角的大小之间可以相互转化．类似的，可以在等腰三角形中建立边角之间的联系．我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对（）．如果中，，那么顶角A的正对记作，这时=．容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的．根据上述角的正对定义，填空：如果的正弦函数值为，那么的值为___________．
【答案】
【分析】过点作于，利用的正弦函数值，设出的长，根据勾股定理求出，最后根据的规定求值即可．
【详解】解：过点作于，如图所示，
，设，，
，，，；故答案为：．
【点睛】此题是新定义运算题，主要考查了等腰三角形的定义、勾股定理和三角函数等知识，熟练掌握勾股定理、三角函数的定义以及新定义运算的规定是解答此题的关键．
例8．（2023·湖南·统考一模）已知，（其中和都表示角度），比如求，可利用公式得，又如求，可利用公式得，请你结合材料，若（为锐角），则的度数是 ．
【答案】
【分析】设，先根据公式可得到一个关于x的分式方程，解方程可求出x的值，再根据特殊角的正切函数值即可得出答案．
【详解】设 由题意得：
解得经检验，是分式方程的根即
为锐角故答案为：．
【点睛】本题考查了分式方程的解法、特殊角的正切函数值，熟记特殊角的正切函数值是解题关键．
例9．（2022·重庆·校考一模）材料一：证明：．
证明：如图，作∠BAC=∠a，在射线AC上任意取一点D(异于点A)，过点D作DE⊥AB，垂足为E．
∵DE⊥AB于点E，
∵在Rt△ADE中，DE2+AE2=AD2
∵∠BAC=∠a ∴．
材料二：学习了三角函数之后，我们知道，在直角三角形中，知道了一个直角三角形的两条边的长或知道直角三角形的一条边的长及其一个锐角的度数，我们可以求出这个直角三角形其它边的长度和其它角的度数；由“SAS”定理可知，如果一个三角形的两条边的长度及其这两条边的夹角的度数知道了，那么这个三角形的第三条边一定可以求出来.
应用以上材料，完成下列问题：(1)如图，在△ABC中，AC=4，BC=6，∠C=60°，求AB的长．
(2)在（1）题图中，如果AC=b，BC=a，∠C=a，你能用a，b和cosa表示AB的长度吗？如果可以，写出推导过程；如果不可以，说明理由．
【答案】(1)(2)能，过程见解析
【分析】(1) 过点A作于点D，根据解直角三角形即可求得；
(2) 过点A作于点D，根据解直角三角形即可求得．
【详解】（1）解：过点A作于点D
，
（2）解：如图，过点A作于点D
，
．
【点睛】本题考查了解直角三角形，作出辅助线，构造直角三角形是解决本题的关键．
例10．（2023春·湖北·九年级专题练习）在初中，我们学习过锐角的正弦、余弦、正切和余切四种三角函数，即在图1所示的直角三角形，是锐角，那么的对边÷斜边，的邻边÷斜边，的对边÷的邻边．为了研究需要，我们再从另一个角度来规定一个角的三角函数的意义：设有一个角α，我们以它的顶点作为原点，以它的始边作为x轴的正半轴，建立直角坐标系（图2），在角α的终边上任取一点P，它的横坐标是x，纵坐标是y，点P和原点的距离为（r总是正的），然后把角α的三角函数规定为：，，．我们知道，图1的四个比值的大小与角A的大小有关，而与直角三角形的大小无关，同样图2中四个比值的大小也仅与角α的大小有关，而与点P在角α的终边位置无关．比较图1与图2，可以看出一个角的三角函数的意义的两种规定实际上是一样的，根据第二种定义回答下列问题：
(1)若，则角α的三角函数值、、，其中取正值的是 ；
(2)若角α的终边与直线重合，则的值；
(3)若角α是钝角，其终边上一点，且，求的值；
(4)若，则的取值范围是 ．
【答案】(1)(2)或(3)(4)
【分析】（1）由题意可得，，，然后依据定义进行判断即可；（2）设点，则，然后分为和两种情况求解即可；（3）由题意可得，然后依据定理列出关于x的方程，从而求出x的值，然后依据正切的定义求解即可；（4）依据三角形的三边关系可得，然后再得到，再求得的取值范围，即可求得结果．
【详解】（1）解：当时，，，，
，，，故答案为：．
（2）解：∵若角α的终边与直线重合，，，
当时，，当时，，
的值为或．
（3）解：，点，且，
，（正值舍去），．
（4）解：，，，
，，又，
，故答案为：．
【点睛】本题考查了正比例函数的性质、三角函数的定义及完全平方公式，理解三角函数的定义是解题的关键．
模块4：同步培优题库
全卷共25题 测试时间：80分钟 试卷满分：120分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2023秋·广东东莞·九年级校考阶段练习）阅读材料：余弦定理是描述三角形中三边长度与一个角余弦值关系的数学定理，运用它可以解决一类已知三角形两边及夹角求第三边或者已知三边求角的问题．余弦定理是这样描述的：在中，、、所对的边分别为a、b、c，则三角形中任意一边的平方等于另外两边的平方和减去这两边及这两边的夹角的余弦值的乘积的2倍．用公式可描述为：；；；现已知在中，，，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用公式直接解答即可．
【详解】解：∵，，∴，
∵，∴，整理得，，
解得或（负值舍去），故选：B．
【点睛】此题考查了三角函数的应用、解一元二次方程，正确理解公式并灵活运用是解题的关键．
2．（2020·四川广元市·中考真题）规定：给出以下四个结论：（1） ；（2）；（3） ；（4）其中正确的结论的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】根据题目所规定的公式，化简三角函数，即可判断结论．
【详解】解：（1），故此结论正确；
（2），故此结论正确；
（3）故此结论正确；
（4）==
，故此结论错误.故选：C．
【点睛】本题属于新定义问题，主要考查了三角函数的知识，解题的关键是熟练掌握三角函数的基础知识，理解题中公式.
3．（2023年湖南省娄底市中考数学真题）我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数学九章》一书中，给出了这样的一个结论：三边分别为a、b、c的的面积为．的边a、b、c所对的角分别是∠A、∠B、∠C，则．下列结论中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题利用三角函数间的关系和面积相等进行变形解题即可．
【详解】解：∵，，
∴ 即，
，，故选：A．
【点睛】本题考查等式利用等式的性质解题化简，熟悉是解题的关键．
4．（2023·安徽滁州·校考二模）已知三角形的三边长分别为a、b、c，求其面积问题．中外数学家曾经进行过深入研究，古希腊的几何学家海伦给出求其面积的海伦公式S=，其中p=；我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求其面积的秦九韶公式S=，若 一个三角形的三边长分别为5，6，7，则其面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据题目中的秦九韶公式，可以求得一个三角形的三边长分别为5，6，7的面积，从而可以解答本题．
【详解】∵S=∴若一个三角形的三边长分别为5，6，7，
则面积是：S=，故选A.
【点睛】此题考查二次根式的应用，解题关键在于结合题意列相应的二次根式并将其化简.
5．（2023·广东深圳·校联考一模）由三角函数定义，对于任意锐角A，有sinA=cos(90°-A)及sin2A+cos2A=1成立.如图，在△ABC中，∠A，∠B是锐角，BC=a，AC=b,AB=c,CD⊥AB于D，DE//AC交BC于E，设CD=h，BE=a’，DE=b’，BD=c’，则下列条件中能判断△ABC是直角三角形的个数是（ ）
(1)a2+b2=c2 (2)aa’+bb’=cc’ (3)sin2A+sin2B=1 (4)+=
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【分析】根据勾股定理的逆定理以及解直角三角形一一判断即可.
【详解】解：∵a2＋b2＝c2，∴∠ACB＝90°，∴△ABC是直角三角形，故①正确，
∵DE∥AC，∴△DEB∽△ACB，∴，
∴，不妨设，则a′＝ak，b′＝bk，c′＝ck，
∵aa'＋bb'＝cc'，∴a2k＋b2k＝c2k，∴a2＋b2＝c2，∴△ABC是直角三角形，故②正确，
∵sin2A＋sin2B＝1，sin2A＋cos2A＝1，∴sin2B＝cos2A，∴sinB＝cosA，
∵sinA＝cos（90° A），∴90° ∠B＝∠A，∴∠A＋∠B＝90°，∴△ABC是直角三角形，故③正确，
∵+=，∴+=1，∴sin2B＋sin2A＝1，∴△ABC是直角三角形，故④正确．故选D．
【点睛】本题考查勾股定理的逆定理，三角函数，解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考选择题中的压轴题．
6．（2023秋·福建莆田·九年级校考阶段练习）我们给出定义：如果两个锐角的和为，那么称这两个角互为半余角．如图，在中，，互为半余角，且，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】要求的值，想到构造直角三角形，根据已知可得的补角为，所以过点B作，交的延长线于点D，分别在和中利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答．
【详解】解：过点B作，交的延长线于点D，
∵，∴设，，
，互为半余角，，，
在中，，，
，，在中，，故选：B．
【点睛】本题考查了余角和补角，解直角三角形，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线构造直角三角形是解题的关键．
7．（2023春·九年级课时练习）阅读材料：一般地，当为任意角时，与的值可以用下面的公式求得：：根据以上材料，解决下列问题：如图，在中，AB是直径，，点C、D在圆上，点C在半圆弧的中点处，AD是半圆弧的，则CD的长为（ ）
A． B． C． D．1
【答案】D
【分析】连结OD、过点D作DF⊥AC于F，根据是半圆弧的，求出∠AOD=60°，再求∠DOC=90°-∠AOD=30°，根据，求出OD=OC=OA=，利用三角函数ADsin∠DAF=CDsin30°求解即可．
【详解】解：连结OD、OC，过点D作DF⊥AC于F，
∵是半圆弧的，∴∠AOD=60°，∴△AOD为等边三角形，∴∠DAO=60°，AD=OA，
∵点C在半圆弧的中点处，∴=半圆弧的一半，∴∠CAO=45°，
∵，∴AD=OA=，
∵∠DAF=∠DAO-∠CAO=60°-45°=15°，∠DCA==30°，∴DF=ADsin∠DAF=CDsin30°，
∴CD=2ADsin15°=2（）（sin60°cos45°-cos60°sin45°）=2×=1．故选择：D．
【点睛】本题考查弧与圆心角，圆周角的关系，等边三角形判定与性质，锐角三角函数，掌握弧与圆心角，圆周角的关系，等边三角形判定与性质，锐角三角函数是解题关键．
8．（2023春·广东深圳·九年级校联考开学考试）数学中余弦定理是这样描述的：在中，、、所对的边分别为、、，则三角形中任意一边的平方等于另外两边的平方和减去这两边及这两边的夹角的余弦值的乘积的2倍，用公式可描述为：，，．在中，，，，则的值是（ ）
A．5 B． C． D．2
【答案】C
【分析】根据题目中给出的信息列式解答即可．
【详解】解：根据题意得：
，
∴或（舍去），故C正确．故选：C．
【点睛】本题考查新定义计算，特殊角的三角函数值，余弦定理，解题的关键是理解题意，熟练进行计算．
9．（2022·广东东莞·校考一模）关于三角函数有如下的公式：，由该公式可求得的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据，代入特殊三角函数值计算即可．
【详解】解： ，故选：B．
【点睛】本题考查了实数的运算，特殊角的三角函数值，灵活运用公式把一般角转化为特殊角的和或者差是解题的关键．
10．（2023春·湖南湘西·八年级统考阶段练习）已知三角形的三边长分别为，求其面积问题，中外数学家曾经进行过深入研究，古希腊的几何学家海伦（，约公元50年）给出求其面积的海伦公式，其中；我国南宋时期数学家秦九韶（约1202-约1261）曾提出利用三角形的三边求其面积的秦九韶公式．若一个三角形的三边长分别为2，3，4，则其面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】把分别代入题目所给两个公式，即可进行解答．
【详解】解：法一：∵，∴，
∴；
法二：∵，∴；故选：B．
【点睛】本题主要考查了求代数式的值，解题的关键是掌握已知字母的值求代数式值的方法．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（2023春·江苏盐城·九年级校联考阶段练习）定义：在中，，把∠Ａ的邻边与对边的比叫做的余切，记作．等腰三角形中有两条边为4和6，则底角的余切值为 ．
【答案】或
【分析】此题需要分类讨论：若；或．利用勾股定理和等腰三角形的性质求出，然后利用余切的定义求解．
【详解】解：若，
过A作于D，如图，
∴，∴，∴；
若，过A作于D，如图，
∴，∴，∴；故答案为：或．
【点睛】此题主要考查了余切的定义，同时也利用了等腰三角形的性质和勾股定理，有一定的综合性．
12．（2023·江苏苏州·统考一模）定义：在中，，我们把的对边与的对边的比叫做的邻弦，记作，即： ．如图，若，则的值为 ．
【答案】
【分析】如图，作，垂足为H，然后根据三角函数的定义即可可解答．
【详解】解：如图，作，垂足为H，
在中，，即，
在中，，即，
所以．故答案为．
【点睛】本题考查了解直角三角形，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键．
13．（2022·黑龙江绥化·统考中考真题）定义一种运算；，．例如：当，时，，则的值为 ．
【答案】
【分析】根据代入进行计算即可．
【详解】解：=
===．故答案为：．
【点睛】此题考查了公式的变化，以及锐角三角函数值的计算，掌握公式的转化是解题的关键．
14．（2022秋·上海青浦·九年级校考期中）若定义等腰三角形顶角的值为等腰三角形底边和底边上高的比值，即，若等腰，，且，则 ．
【答案】/0.28
【分析】过点A作于D，过点B作于E，设，，根据勾股定理得， ，进而判断是锐角三角形，点E在AC边上，从而得，由三角函数的定义即可求解．
【详解】如图，过点A作于D，过点B作于E，
∵，∴设，，∵，∴，
根据勾股定理得， ，
∴，
∴，，∴，
∵，∴，∴是锐角三角形，∴点E在AC边上，
∵，，∴即，∴，
∴，∴．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质、勾股定理以及三角函数，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
15．（2023·湖南娄底·统考一模）同学们，在我们进入高中以后，还将学到下面三角函数公式：，，，．例：．若已知锐角满足条件，则 ．
【答案】
【分析】先根据求出，把变为，然后根据计算即可．
【详解】解：如图，在中，
∵，∴．
∵，∴．∵为锐角，∴．
∵
∴．故答案为：．
【点睛】本题考查了三角函数的运算，正确理解所给计算公式是解答本题的关键．
16．（2023·山东潍坊·统考二模）一般地，当α、β为任意角时，tan（α+β）与tan（α-β）的值可以用下面的公式求得：tan（α±β）=．例如：tan15°=tan（45°-30°）=====2-．请根据以上材料，求得tan75°的值为 ．
【答案】2+．
【分析】根据给定的公式，将，代入中计算化简即可．
【详解】解： tan75°=tan（45°+30°）=====2+．
故答案为：2+．
【点睛】本题考查了三角函数的计算以及用平方差公式进行分母有理化，读懂新定义的含义是关键.
17．（2023·成都市九年级期中）阅读材料：余弦定理是描述三角形中三边长度与一个角的余弦值关系的定理，是勾股定理在一般三角形情形下的推广．对于任意三角形，任何一边的平方等于其它两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍．定理解读：如图，在任意中，以边为例，其它两边是和，和的夹角为，根据余弦定理有，类似的可以得到关于和的关系式．已知在中，，，是和的比例中项，那么的余弦值为 ．
【答案】/0.75
【分析】据余弦定理得，AC2=AB2+BC2-2AB BC cosB，再根据AC是BC和AB的比例中项，即可推出结果．
【详解】解：根据余弦定理得，AC2=AB2+BC2-2AB BC cosB，
∵AC是BC和AB的比例中项，∴AC2=AB BC，
∴AB BC=AB2+BC2-2AB BC cosB，即1×2=12+22-2×1×2×cosB，∴cosB=，故答案为：．
【点睛】本题是阅读理解题，考查了线段比例中项的定义，读懂题意，采用类比的方法是解题的关键．
18．（2023·河北石家庄·九年级统考期中）阅读下面的材料，先完成阅读填空，再按要求答题．
sin230°＋cos230°＝ ；
sin245°＋cos245°＝ ；
sin260°＋cos260°＝ ；
……
观察上述等式，猜想：对任意锐角A，都有sin2A＋cos2A＝ ．
【答案】 1 1 1 1
【详解】sin230°＋cos230°＝=1 ，
sin245°＋cos245°＝=1 ，
sin260°＋cos260°＝=1 ，
即可猜想出：对任意锐角，都有 故答案为：1；1；1；1
三、解答题（本大题共7小题，共66分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2023·浙江杭州·九年级期中）观察与思考：阅读下列材料，并解决后面的问题．
在锐角△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，过A作AD⊥BC于D(如图1)，则sinB＝，sinC＝，即AD＝csinB，AD＝bsinC，于是csinB＝bsinC，即．同理有：，，所以=，即：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等．在锐角三角形中，若已知三个元素(至少有一条边)，运用上述结论和有关定理就可以求出其余三个未知元素．根据上述材料，完成下列各题．
(1)如图2，△ABC中，∠B＝45°，∠C＝75°，BC＝60，则∠A＝_____；AC＝_____；
(2)如图3，一货轮在C处测得灯塔A在货轮的北偏西30°的方向上，随后货轮以60海里/时的速度按北偏东30°的方向航行，半小时后到达B处，此时又测得灯塔A在货轮的北偏西75°的方向上(如图3)，求此时货轮距灯塔A的距离AB．
【答案】(1)60°，；(2)货轮距灯塔的距离AB＝15海里．
【分析】（1）利用题目总结的正弦定理，将有关数据代入求解即可；
（2）在△ABC中，分别求得BC的长和三个内角的度数，利用题目中总结的正弦定理求AC的长即可．
【详解】(1)∠A＝60°，AC＝；
(2)如图，依题意：BC＝60×0.5＝30(海里) ∵CD∥BE，∴∠DCB+∠CBE＝180°
∵∠DCB＝30°，∴∠CBE＝150° ∵∠ABE＝75°．∴∠ABC＝75°，∴∠A＝45°，
在△ABC中，，即 解之得：AB＝15．
答：货轮距灯塔的距离AB＝15海里．
【点睛】本题考查了方向角的知识，更重要的是考查了同学们的阅读理解能力，通过材料总结出学生们没有接触的知识，并根据此知识点解决相关的问题，是近几年中考的高频考点．
20．（2023·浙江·九年级专题练习）亲爱的同学们，在我们进入高中以后，将还会学到三角函数公式：，．
例：．
（1）试仿照例题，求出的准确值；（2）我们知道：，试求出的准确值；
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）把75°化为30°+45°直接代入三角函数公式：sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ，cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ计算即可；（2）把tan75°代入，再把（1）及例题中的数值代入即可．
【详解】解：（1）∵cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ，
∴cos75°=cos（30°+45°）=cos30°cos45°-sin30°sin 45°，=；
（2）∵，∴tan75°===．
【点睛】本题是信息题，解答此题的关键是具备三角函数的基础知识，读懂题干中的运算方法．
21．（2022春·浙江·九年级专题练习）阅读材料：
一般地，当α、β为任意角时，tan（α+β）与tan（α﹣β）的值可以用下面的公式求得：tan（α±β）=．
例如：tan15°=tan（45°﹣30°）== == =．
根据以上材料，解决下列问题：（1）求tan75°的值；
（2）都匀文峰塔，原名文笔塔，始建于明代万历年间，系五层木塔，文峰塔的木塔年久倾毁，仅存塔基，1983年，人民政府拨款维修文峰塔，成为今天的七层六面实心石塔（图1），小华想用所学知识来测量该铁搭的高度，如图2，已知小华站在离塔底中心A处5.7米的C处，测得塔顶的仰角为75°，小华的眼睛离地面的距离DC为1.72米，请帮助小华求出文峰塔AB的高度．（精确到1米，参考数据≈1.732，≈1.414）
【答案】（1）；（2）23．
【详解】试题分析：（1）利用题中的公式和特殊角的三角函数值计算75度的正切值；
（2）如图2，先在Rt△BDE中利用正切的定义计算出BE，然后计算BE+AE即可．
（1）tan75°=tan（45°+30°）====；
（2）如图2，易得DE=CA=5.7，AE=CD=1.72，在Rt△BDE中，∵tan∠BDE=，∴BE=DEtan75°=5.7×（）≈21.2724，∴AB=BE+AE=21.2724+1.72≈23（m）．
答：文峰塔AB的高度约为23m．
点睛：本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角：解决此类问题要了解角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形，另当问题以一个实际问题的形式给出时，要善于读懂题意，把实际问题划归为直角三角形中边角关系问题加以解决．
22．（2022·湖南湘潭·校考一模）同学们，在我们进入高中以后，还将学到下面三角函数公式：，；，．
例：．
(1)试仿照例题，求出的值；(2)若已知锐角α满足条件，求的值．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）把化为直接代入三角函数公式计算即可；
（2）把化为直接代入三角函数公式计算即可．
【详解】（1）解：∵，
∴；
（2）解：∵，，α为锐角，解得，
∴．
【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值的应用，属于新题型，解答本题的关键是根据题目中所给信息结合特殊角的三角函数值来求解．
23．（2023·四川成都·成都外国语学校校考一模）观察与思考：阅读下列材料，并解决后面的问题
在锐角△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，过A作AD⊥BC于D（如图（1）），则，即AD=csinB，AD=bsinC，于是csinB=bsinC，即 ，同理有：，所以．
即：在一个锐角三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等在锐角三角形中，若已知三个元素（至少有一条边），运用上述结论和有关定理就可以求出其余三个未知元素．
根据上述材料，完成下列各题．
（1）如图（2），△ABC中，∠B=45°，∠C=75°，BC=60，则∠A= ；AC= ；
（2）某次巡逻中，如图（3），我渔政船在C处测得钓鱼岛A在我渔政船的北偏西30°的方向上，随后以40海里/时的速度按北偏东30°的方向航行，半小时后到达B处，此时又测得钓鱼岛A在的北偏西75°的方向上，求此时渔政船距钓鱼岛A的距离AB．
【答案】（1）60°,20;(2)10
【详解】（1）先利用三角形内角和定理求出∠A，再利用题目总结的正弦定理，将有关数据代入求解即可；（2）在△ABC中，分别求得BC的长和三个内角的度数，利用题目中总结的正弦定理AB的长即可．
解析：（1）∵∠B=45°，∠C=75°，∴∠A=180°-∠B-∠C=60°，
根据材料有：，∴，即，∴AC=20，故答案为60°，20；
（2）如图，依题意：BC=40×0.5=20（海里），∵CD∥BE，∴∠DCB+∠CBE=180°．∵∠DCB=30°，∴∠CBE=150°，
∵∠ABE=75°，∴∠ABC=75°，∴∠A=45°，
在△ABC中， ， 即， 解之得：AB=10海里，
所以渔政船距钓鱼岛A的距离为10海里．
【点睛】本题考查的阅读理解题，涉及到三角函数等知识，弄清材料中知识，并能应用解决相关的问题是关键.
24．（2023春·山东济宁·九年级统考期中）某校九年级数学兴趣小组，探究出下面关于三角函数的公式：
；；．
利用这些公式可将某些不是特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数来求值，如：
．
根据上面的知识，选择适当的公式解决下面的实际问题：
(1)计算：；(2)如图，直升飞机在一建筑物上方点处测得建筑物顶端点的俯角，底端点的俯角，此时直升飞机与建筑物的水平距离为，求建筑物的高．
【答案】(1)(2)建筑物AB的高为120米
【分析】（1）利用求解；
（2）利用求出，解直角三角形求出和B，C垂直距离，即可求解．
【详解】（1）解：；
（2）解：，，，，
，
，
B，C垂直距离为，∴（米）．
答：建筑物的高为120米．
【点睛】本题考查解直角三角形的实际应用，解题的关键是根据提供的公式计算出非特殊角的三角函数值．
25．（2023·湖南株洲·校考模拟预测）阅读、理解、应用
研究间的角的三角函数，在初中我们学习过锐角的正弦余弦正切和余切四种三角函数，即在图1所示的直角三角形是锐角，那么
为了研究需要，我们再从另一个角度来规定一个角的三角函数的意义：
设有一个角，我们以它的顶点作为原点，以它的始边作为轴的正半轴，建立直角坐标系（图2），在角的终边上任取一点，它的横坐标是，纵坐标是，终边可以看作是将射线点O逆时针旋转后所得到的．和原点的距离为（总是正的）然后把角的三角函数规定为：
（其中分别是点的横、纵坐标）我们知道，图1的四个比值的大小与角A的大小有关，而与直角三角形的大小无关，同样图2中四个比值的大小也仅与角的大小有关，四个比值的正、负取决于角的终边所在的象限，而与点在角的终边位置无关．
比较图1与图2，可以看出一个角的三角函数的意义的两种规定实际上是一样的，根据第二种定义回答下列问题， (1)如图3，若，则角的三角函数值，其中取正值的是________．
(2)若角的终边与直线重合，则________．
(3)若角是锐角，其终边上一点且，则________．
(4)若，则的取值范围是________．
【答案】(1)(2)或(3)(4)
【分析】（1）由点在第四象限，推出，根据，即可判断；（2）分两种情形讨论即可解决问题；（3）如图2中，作轴于E．求出的长，根据三角函数的定义即可解决问题；（4）根据题意可得，根据，可得，再由，可得，从而得到，由此即可解决问题．
【详解】（1）解：∵，
∴点在第四象限，∴，
∵，∴，
∴取取正值的是；故答案为：
（2）解：如图1中，
①当点P在第一象限时，作轴于E．设，则，
∴．
②当点P在第三象限时，作轴于E．设，则，
∴．
综上所述， 或；故答案为：或；
（3）解：如图2中，作轴于E．
由题意， ，∴，
∴，∴；
（4）解：根据题意得：，∵，∴，
∵，∴，∴，
∴，∴，∴．
【点睛】本题考查一次函数综合题、三角函数的定义、解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用参数解决问题，属于中考创新题目．
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专题1.5 解直角三角形的新定义模型
模块1：学习目标
解直角三角形的新定义模型，是体现选拔功能的试题中对初高中知识衔接的考查。高中数学为这类试题的命制提供了广阔的空间背景，命题者将高中数学的一些概念、定理、法则、公式等初中化（用初中数学知识内容包装、初中试题命制技术设置）处理，命制出具有高中数学背景味道的试题。这类试题往往对学生思维能力和创新能力要求较高，能有效检验学生是否具备进入高中学习的潜能，所以平时教学挖掘这方面解题技能及功效尤为重要。恰当地构建模型可以拓宽解题思路，优化解题过程，丰富解题内涵。
模块2：知识梳理
模型1、新定义模型
此类模型主要包含高中数学中的三角函数和解三角形的相关定理（公式），而这些定理（公式）也可利用初中数学知识证明。
若无特殊说明，一般认为△ABC的3个角∠A、∠B、∠C，分别对应边a、b、c；
1）正弦定理：如图1，（其中R是三角形外接圆的半径）。
图1 图2
2）余弦定理：如图2，； ； ．
3）正弦面积公式：如图2，.
4）同角三角函数的基本关系式:，。
5）和（差）、二倍角角公式：
; .
; .
.
模块3：核心模型与典例
例1．（2022·湖南·中考真题）阅读下列材料：
在中，、、所对的边分别为、、，求证：．
证明：如图1，过点作于点，则：
在中， CD=asinB； 在中，
根据上面的材料解决下列问题：
(1)如图2，在中，、、所对的边分别为、、，求证：；(2)为了办好湖南省首届旅游发展大会，张家界市积极优化旅游环境．如图3，规划中的一片三角形区域需美化，已知，，米，求这片区域的面积．（结果保留根号．参考数据：，
例2．（2023秋·广东九年级课时练习）我们知道，直角三角形的边角关系可用三角函数来描述，那么在任意三角形中，边角之间是否也存在某种关系呢？（已知）
如图，锐角中，、、所对的边分别为a、b、c，过点C作，
在中，，∴，
在中，由勾股定理得，即，
整理可得：，同理可得：．
利用上述结论解答下列问题：（1）在中，，求a和的大小；
（2）在中，，其中，求边长c的长度．
例3．（2023·山西·九年级统考期中）阅读下列内容，并解答问题：三角形的一个面积公式
小明喜欢通过多渠道学习数学知识，一天，他运用网络搜索学会了一个三角形面积公式，这个公式叙述如下：在中，已知，，，则的面积为.
请你完成以下活动：问题探究：（1）如图1，已知是锐角三角形，，，，请证明上述三角形面积公式仍然成立；
问题解决：（2）如图2，在中，，，.则的面积是______.
例4．（2022春·辽宁沈阳·九年级校考开学考试）设一个三角形的三边长分别为，，，，则有下面的面积公式
（海伦公式） （秦九韶公式）
若一个三角形的三边长依次为5，6，7，则这个三角形的面积为 （可以直接利用上面的面积公式）
例5．（2023·北京市·九年级校考期末）关于三角函数有如下公式：sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ，sin（α﹣β）＝sinαcosβ﹣cosαsinβ；cos（α+β）＝cosαcosβ﹣sinαsinβ，cos（α﹣β）＝cosαcosβ+sinαsinβ；tan（α+β）＝（1﹣tanαtanβ≠0），合理利用这些公式可以将一些角的三角函数值转化为特殊角的三角函数来求值，如sin90°＝sin（30°+60°）＝sin30°cos60°+cos30°sin60°＝＝1，利用上述公式计算下列三角函数①sin105°＝，②tan105°＝﹣2﹣，③sin15°＝，④cos90°＝0，其中正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
例6．（2023年四川省广元市中考真题数学试题）“一缕清风银叶转”，某市20台风机依次矗立在云遮雾绕的山脊之上，风叶转动，风能就能转换成电能，造福千家万户．某中学初三数学兴趣小组，为测量风叶的长度进行了实地测量．如图，三片风叶两两所成的角为，当其中一片风叶与塔干叠合时，在与塔底D水平距离为60米的E处，测得塔顶部O的仰角，风叶的视角．
(1)已知α，β两角和的余弦公式为： ，请利用公式计算；
(2)求风叶的长度．
例7．（2022·山东济南·统考模拟预测）通过学习三角函数，我们知道在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长的比值相互唯一确定，因此边长与角的大小之间可以相互转化．类似的，可以在等腰三角形中建立边角之间的联系．我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对（）．如果中，，那么顶角A的正对记作，这时=．容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的．根据上述角的正对定义，填空：如果的正弦函数值为，那么的值为___________．
例8．（2023·湖南·统考一模）已知，（其中和都表示角度），比如求，可利用公式得，又如求，可利用公式得，请你结合材料，若（为锐角），则的度数是 ．
例9．（2022·重庆·校考一模）材料一：证明：．
证明：如图，作∠BAC=∠a，在射线AC上任意取一点D(异于点A)，过点D作DE⊥AB，垂足为E．
∵DE⊥AB于点E，
∵在Rt△ADE中，DE2+AE2=AD2
∵∠BAC=∠a ∴．
材料二：学习了三角函数之后，我们知道，在直角三角形中，知道了一个直角三角形的两条边的长或知道直角三角形的一条边的长及其一个锐角的度数，我们可以求出这个直角三角形其它边的长度和其它角的度数；由“SAS”定理可知，如果一个三角形的两条边的长度及其这两条边的夹角的度数知道了，那么这个三角形的第三条边一定可以求出来.
应用以上材料，完成下列问题：(1)如图，在△ABC中，AC=4，BC=6，∠C=60°，求AB的长．
(2)在（1）题图中，如果AC=b，BC=a，∠C=a，你能用a，b和cosa表示AB的长度吗？如果可以，写出推导过程；如果不可以，说明理由．
例10．（2023春·湖北·九年级专题练习）在初中，我们学习过锐角的正弦、余弦、正切和余切四种三角函数，即在图1所示的直角三角形，是锐角，那么的对边÷斜边，的邻边÷斜边，的对边÷的邻边．为了研究需要，我们再从另一个角度来规定一个角的三角函数的意义：设有一个角α，我们以它的顶点作为原点，以它的始边作为x轴的正半轴，建立直角坐标系（图2），在角α的终边上任取一点P，它的横坐标是x，纵坐标是y，点P和原点的距离为（r总是正的），然后把角α的三角函数规定为：，，．我们知道，图1的四个比值的大小与角A的大小有关，而与直角三角形的大小无关，同样图2中四个比值的大小也仅与角α的大小有关，而与点P在角α的终边位置无关．比较图1与图2，可以看出一个角的三角函数的意义的两种规定实际上是一样的，根据第二种定义回答下列问题：
(1)若，则角α的三角函数值、、，其中取正值的是 ；
(2)若角α的终边与直线重合，则的值；
(3)若角α是钝角，其终边上一点，且，求的值；
(4)若，则的取值范围是 ．
模块4：同步培优题库
全卷共25题 测试时间：80分钟 试卷满分：120分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2023秋·广东东莞·九年级校考阶段练习）阅读材料：余弦定理是描述三角形中三边长度与一个角余弦值关系的数学定理，运用它可以解决一类已知三角形两边及夹角求第三边或者已知三边求角的问题．余弦定理是这样描述的：在中，、、所对的边分别为a、b、c，则三角形中任意一边的平方等于另外两边的平方和减去这两边及这两边的夹角的余弦值的乘积的2倍．用公式可描述为：；；；现已知在中，，，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
2．（2020·四川广元市·中考真题）规定：给出以下四个结论：（1） ；（2）；（3） ；（4）其中正确的结论的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．（2023年湖南省娄底市中考数学真题）我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数学九章》一书中，给出了这样的一个结论：三边分别为a、b、c的的面积为．的边a、b、c所对的角分别是∠A、∠B、∠C，则．下列结论中正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·安徽滁州·校考二模）已知三角形的三边长分别为a、b、c，求其面积问题．中外数学家曾经进行过深入研究，古希腊的几何学家海伦给出求其面积的海伦公式S=，其中p=；我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求其面积的秦九韶公式S=，若 一个三角形的三边长分别为5，6，7，则其面积是（ ）
A． B． C． D．
5．（2023·广东深圳·校联考一模）由三角函数定义，对于任意锐角A，有sinA=cos(90°-A)及sin2A+cos2A=1成立.如图，在△ABC中，∠A，∠B是锐角，BC=a，AC=b,AB=c,CD⊥AB于D，DE//AC交BC于E，设CD=h，BE=a’，DE=b’，BD=c’，则下列条件中能判断△ABC是直角三角形的个数是（ ）
(1)a2+b2=c2 (2)aa’+bb’=cc’ (3)sin2A+sin2B=1 (4)+=
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．（2023秋·福建莆田·九年级校考阶段练习）我们给出定义：如果两个锐角的和为，那么称这两个角互为半余角．如图，在中，，互为半余角，且，则的值为（ ）
A． B． C． D．
7．（2023春·九年级课时练习）阅读材料：一般地，当为任意角时，与的值可以用下面的公式求得：：根据以上材料，解决下列问题：如图，在中，AB是直径，，点C、D在圆上，点C在半圆弧的中点处，AD是半圆弧的，则CD的长为（ ）
A． B． C． D．1
8．（2023春·广东深圳·九年级校联考开学考试）数学中余弦定理是这样描述的：在中，、、所对的边分别为、、，则三角形中任意一边的平方等于另外两边的平方和减去这两边及这两边的夹角的余弦值的乘积的2倍，用公式可描述为：，，．在中，，，，则的值是（ ）
A．5 B． C． D．2
9．（2022·广东东莞·校考一模）关于三角函数有如下的公式：，由该公式可求得的值是（ ）
A． B． C． D．
10．（2023春·湖南湘西·八年级统考阶段练习）已知三角形的三边长分别为，求其面积问题，中外数学家曾经进行过深入研究，古希腊的几何学家海伦（，约公元50年）给出求其面积的海伦公式，其中；我国南宋时期数学家秦九韶（约1202-约1261）曾提出利用三角形的三边求其面积的秦九韶公式．若一个三角形的三边长分别为2，3，4，则其面积是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（2023春·江苏盐城·九年级校联考阶段练习）定义：在中，，把∠Ａ的邻边与对边的比叫做的余切，记作．等腰三角形中有两条边为4和6，则底角的余切值为 ．
12．（2023·江苏苏州·统考一模）定义：在中，，我们把的对边与的对边的比叫做的邻弦，记作，即： ．如图，若，则的值为 ．
13．（2022·黑龙江绥化·统考中考真题）定义一种运算；，．例如：当，时，，则的值为 ．
14．（2022秋·上海青浦·九年级校考期中）若定义等腰三角形顶角的值为等腰三角形底边和底边上高的比值，即，若等腰，，且，则 ．
15．（2023·湖南娄底·统考一模）同学们，在我们进入高中以后，还将学到下面三角函数公式：，，，．例：．若已知锐角满足条件，则 ．
16．（2023·山东潍坊·统考二模）一般地，当α、β为任意角时，tan（α+β）与tan（α-β）的值可以用下面的公式求得：tan（α±β）=．例如：tan15°=tan（45°-30°）=====2-．请根据以上材料，求得tan75°的值为 ．
17．（2023·成都市九年级期中）阅读材料：余弦定理是描述三角形中三边长度与一个角的余弦值关系的定理，是勾股定理在一般三角形情形下的推广．对于任意三角形，任何一边的平方等于其它两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍．定理解读：如图，在任意中，以边为例，其它两边是和，和的夹角为，根据余弦定理有，类似的可以得到关于和的关系式．已知在中，，，是和的比例中项，那么的余弦值为 ．
18．（2023·河北石家庄·九年级统考期中）阅读下面的材料，先完成阅读填空，再按要求答题．
sin230°＋cos230°＝ ；
sin245°＋cos245°＝ ；
sin260°＋cos260°＝ ；……
观察上述等式，猜想：对任意锐角A，都有sin2A＋cos2A＝ ．
三、解答题（本大题共7小题，共66分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2023·浙江杭州·九年级期中）观察与思考：阅读下列材料，并解决后面的问题．
在锐角△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，过A作AD⊥BC于D(如图1)，则sinB＝，sinC＝，即AD＝csinB，AD＝bsinC，于是csinB＝bsinC，即．同理有：，，所以=，即：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等．在锐角三角形中，若已知三个元素(至少有一条边)，运用上述结论和有关定理就可以求出其余三个未知元素．根据上述材料，完成下列各题．
(1)如图2，△ABC中，∠B＝45°，∠C＝75°，BC＝60，则∠A＝_____；AC＝_____；
(2)如图3，一货轮在C处测得灯塔A在货轮的北偏西30°的方向上，随后货轮以60海里/时的速度按北偏东30°的方向航行，半小时后到达B处，此时又测得灯塔A在货轮的北偏西75°的方向上(如图3)，求此时货轮距灯塔A的距离AB．
20．（2023·浙江·九年级专题练习）亲爱的同学们，在我们进入高中以后，将还会学到三角函数公式：，．
例：．
（1）试仿照例题，求出的准确值；（2）我们知道：，试求出的准确值；
21．（2022春·浙江·九年级专题练习）阅读材料：
一般地，当α、β为任意角时，tan（α+β）与tan（α﹣β）的值可以用下面的公式求得：tan（α±β）=．
例如：tan15°=tan（45°﹣30°）== == =．
根据以上材料，解决下列问题：（1）求tan75°的值；
（2）都匀文峰塔，原名文笔塔，始建于明代万历年间，系五层木塔，文峰塔的木塔年久倾毁，仅存塔基，1983年，人民政府拨款维修文峰塔，成为今天的七层六面实心石塔（图1），小华想用所学知识来测量该铁搭的高度，如图2，已知小华站在离塔底中心A处5.7米的C处，测得塔顶的仰角为75°，小华的眼睛离地面的距离DC为1.72米，请帮助小华求出文峰塔AB的高度．（精确到1米，参考数据≈1.732，≈1.414）
22．（2022·湖南湘潭·校考一模）同学们，在我们进入高中以后，还将学到下面三角函数公式：，；，．
例：．
(1)试仿照例题，求出的值；(2)若已知锐角α满足条件，求的值．
23．（2023·四川成都·成都外国语学校校考一模）观察与思考：阅读下列材料，并解决后面的问题
在锐角△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，过A作AD⊥BC于D（如图（1）），则，即AD=csinB，AD=bsinC，于是csinB=bsinC，即 ，同理有：，所以．
即：在一个锐角三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等在锐角三角形中，若已知三个元素（至少有一条边），运用上述结论和有关定理就可以求出其余三个未知元素．
根据上述材料，完成下列各题．（1）如图（2），△ABC中，∠B=45°，∠C=75°，BC=60，则∠A= ；AC= ；（2）某次巡逻中，如图（3），我渔政船在C处测得钓鱼岛A在我渔政船的北偏西30°的方向上，随后以40海里/时的速度按北偏东30°的方向航行，半小时后到达B处，此时又测得钓鱼岛A在的北偏西75°的方向上，求此时渔政船距钓鱼岛A的距离AB．
24．（2023春·山东济宁·九年级统考期中）某校九年级数学兴趣小组，探究出下面关于三角函数的公式：
；；．
利用这些公式可将某些不是特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数来求值，如：
．
根据上面的知识，选择适当的公式解决下面的实际问题：
(1)计算：；(2)如图，直升飞机在一建筑物上方点处测得建筑物顶端点的俯角，底端点的俯角，此时直升飞机与建筑物的水平距离为，求建筑物的高．
25．（2023·湖南株洲·校考模拟预测）阅读、理解、应用
研究间的角的三角函数，在初中我们学习过锐角的正弦余弦正切和余切四种三角函数，即在图1所示的直角三角形是锐角，那么
为了研究需要，我们再从另一个角度来规定一个角的三角函数的意义：
设有一个角，我们以它的顶点作为原点，以它的始边作为轴的正半轴，建立直角坐标系（图2），在角的终边上任取一点，它的横坐标是，纵坐标是，终边可以看作是将射线点O逆时针旋转后所得到的．和原点的距离为（总是正的）然后把角的三角函数规定为：
（其中分别是点的横、纵坐标）我们知道，图1的四个比值的大小与角A的大小有关，而与直角三角形的大小无关，同样图2中四个比值的大小也仅与角的大小有关，四个比值的正、负取决于角的终边所在的象限，而与点在角的终边位置无关．
比较图1与图2，可以看出一个角的三角函数的意义的两种规定实际上是一样的，根据第二种定义回答下列问题， (1)如图3，若，则角的三角函数值，其中取正值的是________．
(2)若角的终边与直线重合，则________．
(3)若角是锐角，其终边上一点且，则________．
(4)若，则的取值范围是________．
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