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数学广角
—鸽巢问题
今天大家一起玩一个游戏：
抢 凳 子
准备：4把凳子，5名同学
规则：5名同学抢坐4把凳子，必须要每个人都有凳子坐。
游戏进行时我们发现4个同学坐到了4把凳子上，剩下1名同学要坐到凳子上，他就要坐到其中一把凳子上。
也就是说，5个同学，4把椅子玩抢凳子游戏时至少有一把凳子上要坐2个人。
下面再看一个问题一：
把4支铅笔放进3个笔筒中，不管怎么放，总有1个笔筒里至少有2支铅笔。这句话对吗？
4支铅笔
3个笔筒
经过实验我们发现上述说法是正确的。
动手做一做
把4支铅笔看作4只鸽子，3个笔筒看作3个鸽巢；那么4只鸽子飞进3个鸽巢中，总有一个鸽巢至少飞进2只鸽子。
把5名同学看作5只鸽子，4个凳子看作4个鸽巢；那么5只鸽子飞进4个鸽巢，总有一个鸽巢至少飞进2只鸽子。
类似的，像这类的问题我们称为
鸽
巢
问
题
想一想
鸽子飞进4个鸽巢，总有一个鸽巢至少飞进 只鸽子。
5只鸽子
6只鸽子
7只鸽子
70只鸽子
至少飞进2只鸽子
至少飞进2只鸽子
至少飞进2只鸽子
至少飞进18只鸽子
你能发现什么规律？
把7本书放进3个抽屉，不管怎么放，总有1个抽屉里至少有3本书。为什么呢？
问题二：
7本书
3个抽屉
3个鸽巢
7只鸽子
所以不管怎么放，总有1个抽屉里至少有3本书。
8本呢？10本呢？试着算一下
盒子里有同样大小的红球和篮球各4个，要想摸出的球一定有2个同色的，至少要摸出几个球？
问题三：
2个鸽巢
至少有几只鸽子
红球和蓝球
至少要摸出几个球
保证一个鸽巢中有2只鸽子
所以至少要摸出3个球，能保证摸出的球一定有2个同色的
练一练
小丽从书架上随意拿出13份报纸，你知道至少有几份报纸是同一个月的吗？
一年有12个月！
所以至少有2份报纸是同一个月的。
六（2）有47名学生参加一次数学竞赛，成绩都是整数，满分是100分，已知3名学生的成绩在60分以下，其余学生的成绩均在75分到95分之间。问：至少有几名学生的成绩相同？
练一练
75分到95分之间一共有21个不同的分数，看作21个鸽巢，把 名学生看作44只鸽子。
所以至少有3名学生的成绩是相同的。
“鸽巢原理”又称“抽屉原理”，最先是由19世纪的德国数学家狄利克雷提出来的，所以又称“狄里克雷原理”。这一原理在解决实际问题中有着广泛的应用。“鸽巢原理”的应用却是千变万化的，用它可以解决许多有趣的问题，并且常常能得到一些令人惊异的结果。
你知道吗？
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《数学广角—鸽巢问题》习题
A组
1、10只鸽子飞回3个鸽舍，至少有几只鸽子要飞进同一个鸽舍里？
2、我校四年级共有735名学生，总有至少多少名学生在同一天过生日？
3、有红、黄、蓝三种颜色的小球各110个，混放在一个布袋里，一次至少摸出多少个球，才能保证有5个是同一种颜色的？21世纪教育网版权所有
4、一个布袋里有红、白、蓝、绿四种球各1 ( http: / / www.21cnjy.com )0个，它们的大小和质量都一样，至少要摸出多少个，才能保证其中至少有4个颜色相同的球？至少要摸出多少个，才能保证有4种不同颜色的球？www.21-cn-jy.com
5、盒子里有大小相同的红、黄、蓝、白四种颜色的球各12个，要想摸出的球一定有2个是同色的，至少要摸出几个球？
B组www-2-1-cnjy-com
6、有13个箱子，现在往里面装苹果，要求每 ( http: / / www.21cnjy.com )个箱子里装的苹果都是奇数个，无论这些苹果怎么放，总能找到4个箱子的苹果个数是一样的，问：最多有多少个苹果？
7、重阳节那天，敬老院买来了3种水果，每位老人任选两个，那么至少应有多少位老人才能保证必有两位或两位以上的老人所选的水果相同？2·1·c·n·j·y
8、从1到2006中，至少要取出多少个奇数，才能保证其中必定存在两个数，他们的和为2008？
9、一个布袋中有40块相同的木块，其中编上 ( http: / / www.21cnjy.com )号码1，2，3，4的各有10块。问：一次至少要取出多少木块，才能保证其中至少有3块号码相同的木块？【来源：21·世纪·教育·网】
10、某幼儿班有40名小朋友，现有各种玩具122件，把这些玩具全部分给小朋友，是否会有小朋友得到4件或4件以上的玩具？21教育网
11、六年级有100名学生，他们都订阅甲、乙、丙三种杂志中的一种、二种或三种。问：至少有多少名学生订阅的杂志种类相同？2-1-c-n-j-y
12、篮子里有苹果、梨、桃和桔子，现有81个小朋友，如果每个小朋友都从中任意拿两个水果，那么至少有多少个小朋友拿的水果是相同的？【版权所有：21教育】
答案
A组
1、解：根据10只鸽子飞回 ( http: / / www.21cnjy.com )3个鸽舍，10÷3=3余1，即平均每个鸽舍飞进3只鸽子后，剩下的一只鸽子无论怎么飞至少3+1=4（只）鸽子要飞进同一个鸽舍里。
所以至少有4只鸽子要飞进同一个鸽舍里。
2、解：一年最多有366天，735÷3 ( http: / / www.21cnjy.com )66=2余3人，最坏的情况是，每天都有两名学生过生日，还余3名学生，所以总有至少2+1=3名学生在同一天过生日。
答：至少3名学生在同一天过生日。
3、解：建立鸽巢：把红黄蓝三种颜色分别看做3个鸽巢。
考虑最差情况：摸出12个小球，每个 ( http: / / www.21cnjy.com )鸽巢都有4个小球，此时再任意摸出1个小球，无论放到哪个鸽巢都会出现5个颜色相同的小球，所以12+1=13（个）。
答：一次至少摸出13个球，才能保证有5个是同一种颜色的。
4、解析：把10种不同颜色看作10 ( http: / / www.21cnjy.com )个抽屉，把40种不同颜色的球看作40个元素，从最不利情况考虑：（1）每个抽屉放3个需要3×4=12个，再取出1个不论是什么颜色，总有一个抽屉里的球和它同色，所以至少要取出12+1=13（个）。【来源：21cnj*y.co*m】
（2）先把其中的3种球取尽，共需要3×10= ( http: / / www.21cnjy.com )30个，再取出1个（剩下的球），就能保证有4种不同颜色的球，所以至少要取出：30+1=31（个）。21·cn·jy·com
答：至少要摸出13个，才能保证其中至少有4个颜色相同的球；至少要摸出31个，才能保证有4种不同颜色的球。21*cnjy*com
5、解：盒子里有同样大小的 ( http: / / www.21cnjy.com )红、黄、蓝、白四种颜色的球，最坏的情况是，当摸出4个球的时候，红、黄、蓝、白四种颜色的各一个，此时只要再任意摸出一个球，摸出的球一定有2个同色的，即至少要摸出4+1=5个。
答：至少要摸出5个球，摸出的球一定有2个同色的。
B组
6、解：把箱子分成3组， ( http: / / www.21cnjy.com )每组4个，共12个，另外还剩下一个单独的箱子，每组4个箱子里分别放入1、3、5、7个苹果，为使苹果数最多，则第13个箱子里也放入7个苹果，所以最多共有(1+3+5+7)×3+7=55个苹果。21cnjy.com
7、三种水果，假设是苹果、橘子、梨；每 ( http: / / www.21cnjy.com )位老人任意选两个，共有3×2=6种可能（苹果苹果，橘子橘子，梨梨，苹果橘子，苹果梨，橘子梨），最差情况是6位老人拿的不同，所以应有6+1=7位老人，才能保证有两个或两个以上的老人拿的一样。
答：至少应有7位老人才能保证必有两位或两位以上的老人所选的水果相同。
8、从1到2006中总共有2006÷2 ( http: / / www.21cnjy.com )=1003个奇数，3+2005=2008，5+2003=2008到1003+1005=2008，和为2008的奇数对有1003÷2=501对余1个．最坏的情况是一直取不到符合条件的奇数对，一直到不成对的全部取完，即每对只取一个；因此，第501+1+1=503个奇数一定能在之前取到的奇数中找到与其之和为2008的对应奇数。
答：至少要取出503个奇数才能保证其中必定存在两个数，他们的和为2008。
9、解：将1，2，3，4四种号码看 ( http: / / www.21cnjy.com )成4个抽屉。要保证有一个抽屉中至少有3件物品，至少要有4×2+1=9（件）物品。所以一次至少要取出9块木块，才能保证其中有3块号码相同的木块。21·世纪*教育网
10、解：将40名小朋友看成40个抽屉。 ( http: / / www.21cnjy.com )今有玩具122件，122=3×40+2。立即知道：至少有一个抽屉中放有4件或4件以上的玩具。也就是说，至少会有一个小朋友得到4件或4件以上的玩具。21教育名师原创作品
11、解：首先应当弄清订阅杂志的种类 ( http: / / www.21cnjy.com )共有多少种不同的情况。订一种杂志有：订甲、订乙、订丙3种情况；订二种杂志有：订甲乙、订乙丙、订丙甲3种情况；订三种杂志有：订甲乙丙1种情况。总共有3+3+1=7（种）订阅方法。我们将这7种订法看成是7个“抽屉”，把100名学生看作100件物品。因为100=14×7+2。至少有14＋1=15（人）所订阅的报刊种类是相同的。 21*cnjy*com
12、首先应弄清不同的水果搭配有多少种 ( http: / / www.21cnjy.com )。两个水果是相同的有4种，两个水果不同有6种：苹果和梨、苹果和桃、苹果和桔子、梨和桃、梨和桔子、桃和桔子。所以不同的水果搭配共有4+6=10（种）。将这10种搭配作为10个“抽屉”。4+6=10余1（个）。至少有8+1=9（个）小朋友拿的水果相同。【出处：21教育名师】
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网 www.21cnjy.com ·第 5 页 （共 5 页） 版权所有@21世纪教育网
