湖北省鄂东南六校2024届高三上学期期中考试数学试卷（PDF版含答案）
文档属性
| 名称 | 湖北省鄂东南六校2024届高三上学期期中考试数学试卷（PDF版含答案） |  | |
| 格式 | |||
| 文件大小 | 1.1MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-11-17 13:30:37 | ||
图片预览
文档简介
数学试题
试卷满分 150分 考试用时 ： 120分钟
注惹事项：
l ． 答题前，先将自己的姓名 、准考证号 、考场号 、 座位号填写在试卷和答题卡上，并认真核准准考证号
条形码上的以上信息，将条形码粘贴在答题卡上的指定位置 ．
2． 诮按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷 、 单稿纸和答题卡上的非答题区域
均无效 。
3 ． 选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字
体工整，笔迹清楚 。
第 I 卷（共60分）
—
、 选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分． 在每小题给出的四个选项中，只有 —项是
符合题意要求的 ．
“
1. 命题 VxER,x2 ”+2.1：十l>O 的否定是 （ 、丿
A. V xER,.'.l2 +2艾·十l O B. V xER ,x2 +2艾·十l
“点M在第二象限 ＂的（ ）条件
A.充分不必要 B．必要不充分
C. 充要 D. 既不充分也不必要
2 sin2 王＿1
2 、
3.若/(x) = 2tan x+ ，则j （平）的3 值是 （ ）｀ 艾
sin -cos -
2 2
A. 2 B. O C. -2 D. -1
4..为了得到 y = sin(2.x) 的图像，只需将 y = cos(2艾． ）的图像经过( ）个单位变化得到
A. 向左平移工 B.向右平移工 C. 向右平移工4 D.向左平2 2 移工4
5 在等差数列{a,,｝中，前n项和 S,，有最小低且业＜ － l ，则使 S,,
A. 1 B. 19 C. 20 D.10
数学试题 笫 1 页 共 4 页
一 1 一声 一 一 一
6.在!::.ABC 中，BD=-;,-3 BC,E是线段 AD 上的动点（与端点不重合），设 CE=xCA+yCB,
则2x+3y 3， xy 的最小值是 （
、`
/
A. 3 B. 1 C. 2 D.4
）
7已知函数 f(x)-1 二二），若关于r的方程尸G)
一(a+1)f(x)＋ a= 0 有 3 个不同
的实数根，则实数a的取值范即为
A. ( -OO， 一 1 寸 B ( － ，O
1 1
了 ) C（三） D （
一
了了）
8.已知奇函数 f位）满足 ： /(1-x)=f(l+ 义·)，当 －l,:;;;;工,:;;;;o 时，f(x)=e'-e一 ·-zsin.1，则
下列大小关系正确的是 （ ）
A. f(2024)
目要求全部选对的得 5 分部分选对的得 2 分，有错选的得 0 分
9.已知向拱 a= (2,l),b = (l ， 一1),c =(m-2,-11) ，其中 m,11 均为正数，且(a-b) II c.下
列说法正确的是 （ ）
A.a 与b的夹角为钝角 B. m2 +112 的最小
16
值为一5
1 1
C. 向佩 a 在 b 方向上的投影向贵为（－2 ，一－2 ） D.mn 的最大值为 2
10.已知数列 {a,,} 中，a =1 l，其前 n 项和为 s,t,s,，= 3也＋ 1+m(n;; ,l,11EN')，则下列结论正
确的是 ( )
A．数列位， ｝为等比数列 B．若数列位， ｝为等比数列，则 m= -3
一
C..＇，,＝ 3[（打 － 1] D.若 m
=-2 ，则彦2 时八 ，，＝ 3 （+)'， 1_2
11.已知函数 f(.r) = sin(w几·一千）如＞ 0 ） 在 [o 书］上单调递增（如 TY
图），则阴影部分的面积可能取值为 ( )
A. 穴 B. 2穴
2
C. 亢-;::- D.工2
12. 已知函数 f(x) = (2a+2) In 艾＋ 2矿＋ 5，设 a<-1 ，若对任意不相等的正数文，心小恒
叫 ·f亿）－ f伍） 1>
工 1. 8一 ，则实． 数a的取值可能是， 2
3
A.-3 B -e C. -e D. -2
数学试题第2页共4页
第 II 卷（共 90 分）
三 、 填空题 ： 本题共4小题．每小题5分，共20分．
13. 已知向拯a 、b满足lal = Llbl = Z且a上(a-b)，则a与b 的夹角为
14. 在心ABC中，sin2 C-sin2 A-sin2 B=sin Asin B，则乙C为
、
15. 如果函数j (.1:）在其定义域内的给定区间[a,b]上存在 .1:0 (a
b-a ，则称函数f(1.)是[a,b]上的
＂ 均值函数” , 气t:o是它的一个均值点 ．
例如 ： 函数y = lxl是[-2.2]上的＂ 均伯函数” ,0就是它的均伯点．若函数 f釭）＝m+
墨nm·十cos冗x是[ 1 1 ＂ ”飞,了“ ］上的 均值函数 ，则实数，n的取值范即是
16. 设函数．／（J)＝～？ 一旦＿
、
3` In x 有两个不同的极值点 义．l 、J2，若艾1 < 立 ，则j.(义. 1 )-j (艾2)的
取值范围为
四 、 解答题 ： 本题共 6 小题，共 70 分． 解答应写出文字说明 、 证明过程或演算步骤 ．
17. （本小题满分） 0 分）
胖天轮是一种大剧转轮状的 ， . . ..
． ．
机械建筑设施，游客坐在摩天轮的
．
．
座舱里慢慢的往上转，可以从高处 ．
．
俯瞰四周的景色（如图1)． 某摩天
轮的最高点距 离 地 面 的高度为
115 米．最低点距离地面 5 米序夭
轮上均匀设置了36个座舱（如
图1 图2
图2)．开启后摩天轮按逆时针方
向匀速转动，游客在座舱离地面最近时的位议进入座舱，摩天轮转完一周后在相同的位甡
窝开座舱． 麻天轮转一周需要，JO分钟，当游客甲坐上靡天轮的座舱开始计时设经过［分
钟后游客甲距离地面的高度为h米，已知h(t)=Asin(wt+
(1)试求h(t)的解析式
(2)求游客甲坐上靡天轮转笫一圈的过程中离地面高度为 15米时的时刻．
18.（本小题满分12分）
已知函数f(x工)＝－孔．3+一
”
x2+
(a-一l归．十l.
3 2
(1)若曲线y =f(x)在点(2,f(2)）处的切线与直线6x+y+l = O平行．求出这条切线的
方程；
(2) 讨论函数f(x）的单调性 ．
数学试题 笫3页 共4页
19. （本小题满分］2分）
已知等差数列{a,,}的公差为正数，“1与幻的等差中项为8，且a迅1 = 28.
(1)求数列{a,,}的通项公式；
从{a, ，第 ，一(2) ，｝中依次取出第一项，第四项，第十六项 4' 1项，按原来顺序组成一个新数列
{b,,} ， 又数列{c,, }, c,, = 11 (b,，十7)，求数列{(、 ',｝的前n项和 ．
20.（本小题满分］2分）
.6.ABC中，内角A,B,C所对的边分别为Cl,b,（·,btan A+btan B = 屈c .cos A
(1)求角B;
(2)若D是AC边上的一点，且CD=2,BD=AD=6，求ran A.
21.（本小题满分12分）
已知f釭）＝cir+l
一 ．
-2a ，是定义域为R的奇函数．
(1)函数g(x)＝泸＋矿“-2f(x),.'.lE[0,2]，求g(.:i)的最小值 ．
(2)是否存在入＞0，使得j.（2r)<入j.（工）对xE[-2,-1]恒成立，若存在 ， 求入的取值范
围；若不存在 ， 说明理由 ．
22.（本小题满分12分）
已知h(x)=ln x-ax
(1)若h(几.）有两个零点，求 (I 的取值范围；
．
(2)若方和ax e.,.=ln曰妇有两个实根X 1、 立 ， 且工2 >打 ， 证明：h'(.'.lle' 1:孔. )
2023-2024学年上学期高三期中考试
数学答案
一、 单项选择 1-4 0 AB C 5-8 BOB C
二、 多项选择 9. BCD 10.B O ll.1\B 12.ACO
13.冗 2冗三、 填空题 了 14了 15. (2,4) 16.(0,+oo ）
四 、 解答题
17解：（1) h(t)min =-A+b=5 且h(t ., =A+b=45 ...... ··· l分
A =；国） -h(t) m)= 20m , b = ;（如） ＋h（上）＝ 25 ·········3 分max 皿｀
归(0)= 20 sin
．．· |叫＜兀．·．
h(t) = 20sin(王二）＋ 25
5 2
= 20cos(—冗t- )＋25 (0$;t$;10) ·········6 分
5
(2)令h(t)=20sin(王二）＋ 25= 155 2
25 20 cos 冗 t= 15 COS-冗 l- .:..:.. (=- ·········7 分
5 5 2
·:O t lO
冗
. ·. 0三一［ 2 ·········8 分兀
5
．·.一冗 t=-冗 或—
5冗
5 3 3
5 25
:. t =－或— ·········9 分
3 3
5 25
答： 游客甲坐上胀天轮转第一 圈的过程中离地面商度为 15 米的时刻为第－分钟和—－分钟。
3 3
········· 10分
18 解（1)/(x)=x2． +ax+a-1
六校联考商三数学试题 第1页 共5页
......· ··
(2) =3a +3 1分/
由已知／（2)=-6 3a+3 =-6得a= -3 ·········3 分
3 1
又／（2）＝ －—3
3 1
曲线／（x）在点 (2,/(2)）处的切线方程为y+— =－ 6(x- 2)
3
化简得：18x+3y-5 =0 .........5 分
(2订(x)= (x+a-l)(x+ 1) 令f'(x)=0得x=l-a 或x=-1 ...... "'6 分
＠当l-a<-1即a>2 时，f(x)减区间为(l -a,-1),
增区间为(-oo,1-a), (-1, +oo) ·········8分
＠当1-a=-l即a=2时， f(x)在(-oo, )上为增函数 ········· 七o 10分
＠当1-a>-l 即 a<2时f(x)减区间为（－1,1-a),
增区间为(-oo,-1), (l -a, +oo) ·········12 分
19．解（1) 由已知得a1 +a9 =16 ·: {a,,｝为等差数列
.· .a 1 + a = 9 a3 +a 7
即a3 + a = 1 1 6, 又a a = 3 1 28
解得{”3
=2 {a3 =14或
a =1 14 [a =1 2
·.· 公差d> 0 :. a1 > a3
:. a3 = 2,a7 = 14 ． 2
:.4d=l2, 得d=3,a,=-4 ． 4
:. a, =-4+ (n -l)x3= 3n-7 ． 6
(2 一) 由已知得 b.. =a ”4川一 =3x4"-'1 -7,:.c.,., =3n x4"
一1 ·········8分
“ 1 “
记｛动的前n 项和为S,,
凡＝3xlx4° +3x2x4 1 +3x3x4 2 +···+3nx4”一I CD
分
4S. =3xlx4 1 +3x2x42 +3x3x4 3 +···+3nx4" 分＠ ·········9
分
O —＠得：
-3S. =3xlx4 ° +3xlx4 1 +3xlx4 2 +···+3xlx4"
一1 -3nx4" ......... 10分
六校联考商三数学试题 第2页 共5页
分
=(1-3n)·4" -1 1l 分
叶＋（ i)4'1 12分Sn －n
3
20、 (1) 由 b tan A + b tan B=— 3c 得b sni A+.b sinB= c
cos A cosA cosB cosA
由正弦定理得 sni B sni A sni
2
＋ B＝ 3 sinC
cos A cosB cos A ·········2 分
化简得：sni B(cos Bsni A + sni B cos A)＝ 3sinCcosB
即sni Bsni C = 3 sinC cosB ·: sni C -:1: 0 :. sni B= 3cosB ·········4分
:. tanB= ＄ 又 O
＝
CD BD CD(2) 在战 中 ＝
sni 乙BCD sni 乙CBD ·········8分
·: BD= AD=6:．乙CBD= 冗－ －乙A 又 sni C = sin( A + B ) = sin( A + f)
3
. ·. 6 2
sm（气） sm甘－ A）＝ ·········10分
化简得 3cos A= 2 sinA :. tan A= — ...... "'12分
21 解： （l）由f(x) 为 R 上奇函数， 知／（O)=a-2=0 ， 得a=2 ......... 2分
g( x) ＝ 2 2x + 2-2.'- 2(2 x+l - 2 2-．') ＝( 2·r)
2 + （2-．r)2 -4 (2 A. -2 一入． ）
= （2·' －2 -x)2 -4(2 X - 2-x)＋2 ·········4分
令 = 2 -' -2气 [0,2],:. t [o, 1 5 l ._.XE E ] ·········5分4
则上式转化为h (t) = t2 -4t +2 = (t- 2) 2 - 2
t=2 时， g(x),.,,, =-2 此时x= log 1 ·········6分2 ( ＋五）
(2)/(x)= 2 亿－2 斗 f (2x)= 2(2 2
一
x -2 2x)
六校联考商三数学试题 第3页 共5页
代入不等式得 2(22'- 2-2x)sn(2'-r')
·: X e(-2, -1]时 2＇ - 2-.，＜0 ·········7 分，
．＇ 儿三2 ，'` +2“ , ·········8分．
而 5 (2'+rx) ＝－ ·········]0分
min 2
. ·. 0
2
22. 解法一 ，
lnx
解 （ I)函数f(x)的定义域为(0,+oo) 由f(x)= O可得a= —一， ，
令g(x)＝ ln－x 其. . .. . . _.,.＇,, － ， 中x>O,则g （入）＝－—1-ln—x- ， 令g'(x)=O可得x=e,列表如下
X X
X (O,e) e (e,+OO)
g'(x) ＋ 。
g(x) 增 极大值－I
·········2 分
且当x>I时 ， g(x)=—
lnx >0 ， 作出函数g(x)和 Y = “的图象如下图所示：
X
l，
I
由图可知，当O
l
即当O
1
因此，实数a的取值范围是 (o, ) ·········4 分
(2) 解： 方程 ax e"= Inx +x <=:> ax·e" = In( x · e")
令t=x·e'，由a,t e·'=lnx+x有两个实根x1 、X2 '
则 I = x 护，t = x 泸是h(x)的两个零占、
i 1 2 2
h(1,)= lnt -a1 t = 01 助(t )= lnt -at = 02 2 2
a= h让
－ lnt
可得 2 ， ·········6 分
（八 一 片）
六校联考窝二数学试题 第4页 共5页
由h(x)= lnx-ax可得h'(x) 飞－ a, 要证 h'( 产）＜ O=h'（且
即证t +t ＞一， ·········7分2
2(1即证t,+t, > 1 飞）l '2 lnt 1 -ln t2
. X2 ＞x _
... t ＞
2 h
（ t 、
、 2＿
_
, ＿
n t 1、tllt 2 InE " 证 _ 丿 ＝ ＼ 6
）
． ＿ ·········8 分＿n ，
6 t 1＋t 2 -til
＋l
h
k=t 令 ..L E(0, J)，即证ln 2(Kk< -1) －－－-,t2 k+1
2( -l)
构造函数 k
1
－－ 4 _ (k-1/2 > 0，所以，函数
:. cp(k)＜叩）＝0 ， 故原不等式成立 ……… l2分
解法二：
1
解 (1) h(x) = lnx-ax h'(x)=-=--a ·········]分
x
当a O时， h'(x) > 0 恒成立得h(x)在 (o,+CX) )递珩 ·········2 分
当 a>O时，得h(x)在（叶）递增，在(;,+CX))递减 ·········3 分
要使h(x)有两个不同零点
必须a
1
>O 且极大值飞）＞ 0 (X 0和x +oo 时 h(x) 女）
:.O
六校联考商三数学试题 第5页 共5 页
令l = X·矿，由a x入＼ = lnx+x有两个实根X1 、X2 ,
则t = l= x 1护、f2 X2沪是h(x)的两个零点
由h(x)＝lnx-ax可得h'(x) = 1 -a为减函数，
X
要证h'广气
1
由h(x)的图象， 不妨设t ＜一1 ＜t2 (tI ,t2 分布在h(x)的极值点两侧）a
2 2
要证{1 +t2 > 一，只需证t －l > -t2
a a
一2 l ＠当t 2 时，因0
＠当一
l ＜6 2<一
时，0＜ 一2 一l ＜ 一l l ，又0
由h(x)在(o,±)递增即证明h(t,) > h( -t2) h (t2）＞飞－t2)
2
构造函数F(x)= h(x)-h仁－ x) (±
1 1 -4x+2ax
2 2a(x-切
F'(x) =
1
h'(x)+h' （一2 ）＝ a+ —-－－ a = “ = a > 0
a J X ;-X - X尸－ x) X（已＿ x)a a J a
...F(x)在尸）为增函数，F(· x) >F（勹＝0,所以要证的不等式成立……… 12分a a1 \a
六校联考商三数学试题 第6页 共5页