江西省临川县2023-2024学年高二上学期期中考试数学试卷（含解析）

临川县2023-2024学年高二上学期期中考试
数学试卷
第I卷（选择题）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．过，两点的直线的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
2．若双曲线=1的离心率为，则该双曲线的渐近线方程为（ ）
A． B．
C． D．
3．已知向量，且与共线，则（ ）
A．1 B．2 C．-1 D．-2
4．直线与直线垂直，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．或
5．已知圆与圆相交所得的公共弦长为，则圆的半径（ ）
A． B． C．或1 D．
6．已知A，B两点在以F为焦点的抛物线上，并满足，过弦AB的中点M作抛物线对称轴的平行线，与准线交于N点，则MN的长为（ ）
A． B． C． D．
7．已知球O是正三棱锥（底面是正三角形，顶点在底面的射影为底面中心）的外接球，，，点E为线段的中点.过点E作球O的截面，则所得截面面积的最小值是（ ）
A． B． C． D．
8．已知斜率为的直线l与椭圆交于A，B两点，线段AB中点M纵坐标为，点在椭圆上，若的平分线交线段AB于点N，则的值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.
9．已知圆，直线，则下列结论正确的是（ ）
A．存在实数k，使得直线l与圆C相切
B．若直线l与圆C交于A，B两点，则的最大值为4
C．当时，圆C上存在4个点到直线l的距离为
D．当时，对任意，曲线恒过直线与圆C的交点
10．已知函数，部分图象如图所示，下列说法正确的是（ ）
A．
B．函数的图象关于直线对称
C．函数在上单调递增
D．将函数的图象向左平移个单位得到函数的图象
11．近日,“英雄航天员”邓清明来到我校参加弘扬载人航天精神暨国防教育进校园主题活动，同学们在学习航天知识的同时，也深深被航天员的航天精神所感动。“嫦娥五号”是中国首个实施无人月面取样返回的月球探测器，是中国探月工程的收官之战，实现了月球区域着陆及采样返回.如图所示，月球探测器飞到月球附近时，首先在以月球球心为圆心的圆形轨道Ⅰ上绕月飞行，然后在点处变轨进入以为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ上绕月飞行，最后在点处变轨进入以为圆心的圆形轨道Ⅲ上绕月飞行，设圆形轨道Ⅰ的半径为，圆形轨道Ⅲ的半径为，则以下说法正确的是（ ）
A．椭圆轨道Ⅱ的焦距为
B．椭圆轨道Ⅱ的短轴长为
C．若不变，则椭圆轨道Ⅱ的离心率随的增大而增大
D．若不变，则椭圆轨道Ⅱ的离心率随的增大而增大
12．已知点P为双曲线所在平面内一点，分别为C的左、右焦点，，线段分别交双曲线于两点，， ．设双曲线的离心率为e，则下列说法正确的有（ ）
A．若平行于渐近线，则 B．若，则
C．若，则 D．
第II卷（非选择题）
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13．已知，，则 .
14．已知，，则 .
15．已知分别是圆，圆上动点，是直线上的动点，则的最小值为 ．
16．已知抛物线：（）的焦点与圆的圆心重合，过的直线与交于、两点，对于下列命题：
①；
②的中垂线与轴交于点，则；
③以，两点为切点引的两条切线，两条切线交于一点，点必在上；
④为坐标原点，点、在上且满足（，均不与重合）则的中点轨迹方程：.
以上说法中正确的有 .
四、解答题:共本大题6小题，共70分.解答应写岀必要的文字说眀、证明过程及演算步骤.
17．已知三角形ABC的三个顶点分别为，，，求
(1)边上的高所在直线的方程；
(2)三角形外接圆的方程
18．已知在中，角所对的边分别是，且．
(1)求的大小；
(2)若，求的最大值．
19．已知圆，直线过点.
(1)若直线与圆相切，求直线的方程；
(2)若直线与圆交于，两点，求使得面积最大的直线的方程.
20．四棱锥中，平面，四边形为菱形，，，E为的中点，F为中点．
(1)求证：平面；
(2)求二面角的正弦值．
21．已知分别是双曲线的左、右焦点，点A是C的左顶点，直线与只有一个公共点.
(1)求C的方程；
(2)直线l与C交于M，N两点（M，N异于双曲线C的左、右顶点），若以为直径的圆经过点A，求证：直线l恒过定点.
22．椭圆的两个焦点为、，是椭圆上一点，且满足．
（1）求离心率的取值范围；
（2）当离心率取得最小值时，点到椭圆上点的最远距离为.
①求此时椭圆的方程；
②设斜率为的直线与椭圆相交于不同两点、，为的中点，问：、两点能否关于过点、的直线对称？若能，求出的取值范围；若不能，请说明理由.
参考答案：
1．C
【详解】由，，可知直线斜率，
所以直线倾斜角满足，且，所以，故选：C.
2．C
【详解】由题意得，∴，
又双曲线的渐近线方程为，
∴双曲线的渐近线方程是，即．故选：C．
3．B
【详解】由向量，
可得，
因为与共线，可得，解得.故选：B.
4．B
【详解】因为直线与直线垂直，
所以，解得.故选：B.
5．D
【详解】与两式相减得，即公共弦所在直线方程.圆方程可化为，可得圆心，半径.则圆心到的距离为，半弦长为，则有，解得或（舍），此时故选：.
6．C.略
7．A
【详解】如图，是A在底面的射影，由正弦定理得，的外接圆半径，
由勾股定理得棱锥的高，
设球O的半径为R，则，解得，所以，
在中，所以在中，，
当截面垂直于时，截面面积最小，此时半径为，截面面积为.故选：A.
8．D
【详解】设，，，其中
，两式作差整理可得：,解得:
直线方程为,代入椭圆方程整理得：，解得，
直线斜率不存在，方程为
故选：D
9．BCD
【详解】，圆心且半径为，因为直线过定点，且点在圆上，若直线l与圆C相切，则直线l的斜率不存在，即，故A不正确；
当直线l经过圆心时，取最大值即圆的直径，故B正确；
当时，直线，因为圆心C到直线l的距离，所以，
所以圆C上有4个点到直线的距离为，故C正确；
当时，直线，曲线，
即一定过直线与圆的交点，故D正确．故选：BCD．
10．ABC
【详解】由图可知，函数的周期，，由，解得，
将代入函数，可得方程，解得，
由，则，所以.A正确
对于B，由，则，根据正弦函数的对称性，
可知直线是函数的对称轴，故B正确；
对于C，由，则，根据正弦函数的单调性，
函数在上单调递增，故C正确；
对于D，由，
该函数图象向左平移个单位可得新函数的解析式为
，故D错误.故选：ABC.
11．AC
【详解】在椭圆中，由图可知，解得，
所以，所以，A正确，B错误；
，当不变时，由反比例函数的性质可知，函数在上单调递增，C正确；
，当不变时，由反比例函数的性质可知，函数在上单调递减，D错误.故选：AC
12．ABD
【详解】依题意，在中，，而，，则，，
由对称性，不妨令点P在第一象限，如图
对于A，若平行于渐近线，而直线斜率为，则，得，A正确；
对于B，若，则，在中，由余弦定理得：
，，
离心率，B正确；
对于C，若，则，在中
，离心率，C错误；
对于D，，，
由得，即，则，
所以，D正确．故选：ABD
13．
【详解】解：因为，，
所以，，
.故答案为：
14．
【详解】，，
又，，
，故答案为：.
15．3
【详解】，，，，，
设关于的对称点为，则，解得，即.
所以圆关于直线的对称圆：
因为，，
所以.故答案为：3
16．①③④.
【详解】①选项：圆化为标准方程得∴圆心是，
∴，即，故①正确；
②选项：抛物线：,设直线方程为,与抛物线方程联立得，
设,根据韦达定理可以得到，即，
的中垂线方程为：，
与轴的交点，即,，
故显然不成立，故②错误；
③选项：设，则，又过点，
所以以，两点为切点引的两条切线，两条切线交于一点，点必在上，故③正确；
④选项：设，以及经过M,N的直线方程为，（）
与抛物线方程联立得，
根据韦达定理可以得到，即，
又∵，，解得（舍去），,∴，
设，的中点坐标为, 即，，化简得，故④正确.故答案为：①③④.
17．(1)；(2)
【详解】（1）由题意得斜率，
则上的高所在直线斜率为，方程为，即
（2）设外接圆的方程为，
则，解得，
则圆方程为，即
18．(1)；(2)12
【详解】（1）因为，
所以由正弦定理可得，整理可得，又，所以．
（2）因为，所以由正弦定理可得，
所以，又，所以，
所以
，
当即时，取得最大值12．
19．(1)或；(2)或.
（1）当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即，
因为直线与圆相切，所以，解得，
所以此时直线的方程为，
当直线的斜率不存在时，其方程为，与圆相切，适合题意，
综上，直线的方程为或；
（2）由题可知当直线与圆相交时，它的斜率一定存在，设其方程为，
因为圆心到直线的距离，，
所以的面积为，
所以当时，的面积取得最大值，
由，整理得，解得或，
所以直线的方程为或.
20．(1)证明见解析(2)
【详解】（1） 如图所示，取中点G，连接，
由中位线的性质易知：且，
又因为底面是菱形，E为的中点，所以，，
即四边形是平行四边形，所以，
而平面，平面，所以平面；
（2） 如图所示，作，垂足为I，作交PC于J，连接AJ，
易知即二面角，
在菱形中，由于，，平面，
易得，
在中，，
在中，，在中，，即二面角的正弦值为.
法二：由利用三垂线法找到二面角的平面角进行计算
法三：利用空间向量进行求解
21．(1)；(2)证明见解析
（2）证明：当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为，
联立得.
由得
所以，
.
因为以为直径的圆经过点，所以，即
整理得，所以或.
当时，直线l的方程为，所以直线l过左顶点，不符合题意；
当时，直线l的方程为，所以直线l恒过定点.
当直线l的斜率不存在时，设直线l的方程为，
代入，得，所以.
因为，整理得，
解得（舍去），
此时直线l的方程为，直线l也过点.综上所述，直线l恒过定点.
22．（1）；（2）①；②能，k的范围为.
【详解】（1）设，由在椭圆上，则，则①，
由，，则，可得②，
将①代入②：，整理得，而，
所以，即，
所以，即，可得，又，
因此，椭圆的离心率的范围是.
（2）①当椭圆的离心率取最小值时，即，此时，则.
设椭圆上任意一点，由（1）知：，
所以，其中.
（i）当时，当时取最大值，
则，即，解得，不合题意；
（ii）当时，当时取最大值，
则，解得，则，
综上，椭圆的方程为；
②设直线为，设、，设，
联立直线与椭圆方程得，消去并整理得：，
，得，①
由韦达定理得，.
所以，，则.
由于、两点关于直线对称，则，
所以，直线斜率，得，即.
代入①得：，即，解得.
又，所以使题设条件成立的实数的范围是.