河南省固始县2023-2024学年高二上学期期中考试数学试题（含解析）

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固始县2023-2024学年高二上学期期中考试
数学试题
（考试用时120分钟 试卷满分150分）
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应科目的答案标号涂黑。如需改动，橡皮擦干净后，涂上其他答案标号。
3．回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将答题卡交回。
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若直线：与：平行，则两直线之间的距离为（ ）
A． B．1 C． D．2
2．在x，y轴上的截距分别为4，的直线l被圆C：截得的弦长为（ ）
A．3 B．6 C． D．
3．已知圆心为的圆与直线相切，则该圆的标准方程是（ ）
A． B．
C． D．
4．已知，，，若平面ABC的一个法向量为，则（ ）
A． B． C． D．
5．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如．在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是（ ）
A． B． C． D．
6．抛掷一枚质地均匀的骰子两次，设“第一次向上的点数是2”为事件A，“第二次向上的点数是奇数”为事件B，“两次向上的点数之和能被3整除”为事件C，则下列说法正确的是（ ）
A．事件A与事件B互为对立事件 B．
C． D．事件B与事件C相互不独立
7．如图，在四面体OABC中，，，．点M在OA上，且，N为BC中点，则等于（ ）
A． B． C． D．
8．已知直三棱柱，在中，，，，则异面直线与所成角为（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分）
9．判断下列结论正确的是（ ）
A．空间中任意两个非零向量，共面．
B．在三个向量的数量积运算中．
C．对于非零向量，由数量积，则．
D．若A，B，C，D是空间任意四点，则有．
10．已知直线l过点，且直线l在坐标轴上的截距的绝对值相等，则直线l的方程为（ ）
A． B． C． D．
11．若圆上恒有4个点到直线的距离为1，则实数r的可能取值是（ ）
A． B． C．3 D．
12．不透明的袋子中装有6个大小质地相同的小球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机抽取两次，每次取一个球．A表示事件“第二次取出的球上标有的数字大于等于3”，B表示事件“两次取出的球上标有的数字之和为5，则（ ）
A． B． C． D．事件A与B相互独立
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
三、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填写在题中横线上）
13．已知两点，，点P满足，则点P的轨迹方程为 ．
14．现有3张分别标有1、3、5的卡片，采取有放回的方式从中依次随机取出2张卡片，则抽到的2张卡片的数字之和不小于8的概率是 ．
15．如图，在正四面体P-ABC中，M，N分别为PA，BC的中点，D是线段MN上一点，且，若，则的值为 ．
16．已知直线l：与曲线有两个交点，则k的取值范围为 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
17．已知△ABC三个顶点的坐标分别为，，．求：
（1）过点且与直线BC平行的直线方程．
（2）△ABC中，AC边上的高所在直线的方程．
18．药品监督局检测某种产品的两个质量指标x，y，用综合指标核定该产品的等级．若，则核定该产品为一等品．现从一批该产品中随机抽取10件产品作为样本，其质量指标列表如下：
产品编号
质量指标
产品编号
质量指标
（1）利用上表提供的样本数据估计该批产品的一等品率；
（2）在该样品的一等品中，随机抽取2件产品，设事件B为“在抽取的2件产品中，每件产品的综合指标均满足”，求事件B的概率．
19．为全面贯彻落实习近平总书记“培养德智体美劳全面发展的社会主义建设者和接班人”的指示精神和中共中央国务院印发的《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》的文件要求．南充高中建成以“种桑养蚕”为主题的学生劳动实践基地，该基地于2023年4月在南充高中高坪校区完工，基地包括桑树基地和养蚕基地．现学校给高中10个班每班划分一块实践基地用于种植桑树，经过一段时间的维护，根据这10个班桑树未存活的数量绘制如下频率分布直方图，桑树未存活数量凡超过30棵的班级，设为需“重点教授劳动技术班级”．
（1）根据直方图估计这10个班级的未存活桑树的平均数和中位数；
（2）现从“重点教授劳动技术班级”中随机抽取两个班级调查其劳动课上课情况，求抽出来的班级中有且仅有一个“重点教授劳动技术班级”在的概率．
20．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，PD⊥平面ABCD，E是棱PC的中点．
（1）证明：PA∥平面BDE；
（2）若，，且F为棱PB上一点，DF与平面BDE所成角的大小为30°，求的值．
21．已知△POM满足，，
（1）求点M的轨迹C的方程，并说明轨迹的形状．
（2）若直线l过定点与C交于A，B两点，且，求直线l的方程．
22．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，平面PAB⊥底面ABCD，侧棱PC与底面所成的角为60°．
（1）证明：平面PAB⊥平面PAD；
（2）若平面PBD⊥平面PAC，求二面角B-PC-D的正弦值．
参考答案：
1．C
【分析】根据两直线平行可得，再由平行线间的距离公式即可求得结果．
【详解】依题意，由两直线平行可知，解得，
所以两直线分别为，，
可得两直线之间的距离为，
故选：C．
2．B
【分析】根据题意，求得直线l的方程为，结合圆的弦长公式，即可求解．
【详解】由题意得，直线l的方程为，即，
又由C：，可化为，
可得圆C的圆心为，半径为，则圆心到直线l的距离，
所以直线l被圆C截得的弦长为．
故选：B．
3．A
【分析】由圆心到切线的距离等于半径，求出圆的半径，即可得到本题答案．
【详解】因为圆心为的圆与直线相切，所以圆心到直线的距离等于半径，
即，
所以该圆的标准方程是．
故选：A
4．C
【分析】利用法向量和平面内直线的方向向量之间的关系求解即可．
【详解】由，，得：
，，
面ABC的一个法向量为，
所以，，
即，，
解得，，
所以，
故选：C．
5．C
【详解】分析：先确定不超过30的素数，再确定两个不同的数的和等于30的取法，最后根据古典概型概率公式求概率．
详解：不超过30的素数有2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，共10个，随机选取两个不同的数，共有种方法，因为，所以随机选取两个不同的数，其和等于30的有3种方法，故概率为，选C．
点睛：古典概型中基本事件数的探求方法：（1）列举法．（2）树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求．对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法．（3）列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化．（4）排列组合法：适用于限制条件较多且元素数目较多的题目．
6．C
【分析】由对立事件的定义判断A；应用列举法求、判断B、C；根据独立事件的判定判断D．
【详解】由事件定义，事件A与事件B可以同时发生，故不互为对立事件，A错误；
抛掷一枚骰子两次的样本点数共36种，
事件B的样本点为
，，，，，，，，，，，，，，，，，共18种，
事件C的样本点为，，，，，，，，，，，共有12种，
事件BC的样本点为，，，，，共6种，
所以，B错误；，C正确；
因为，所以事件B与事件C相互独立，D错误．
故选：C
7．B
【分析】连接ON，利用空间向量基本定理可得答案．
【详解】连接ON，．
故选：B．
8．A
【分析】根据余弦定理求出AC，再由勾股定理得BC⊥AC，以C为原点，CB为x轴，CA为y轴，CC1为z轴，建立空间直角坐标系，如图，利用空间向量法求出线线角的余弦值和异面直线夹角的范围，进而得出结果．
【详解】在直三棱柱中，，，，
由余弦定理，得，
所以，所以BC⊥AC，
以C为原点，CB为x轴，CA为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，如图，
，，，，
，，
设异面直线、所成角的平面角为，
有，又，
所以．
故选：A
9．AD
【分析】由向量共面的条件判断A，由数量积的性质判断B，由向量垂直判断C，由向量的加法法则判断D
【详解】
对于A：空间中任意两个非零向量，可以构成一个平面，故A正确；
对于B：向量的数量积不满足结合律，故B错误；
对于C：当，，互相垂直时，C错误；
对于D：根据向量的加法法则可知：，
故，故D正确；
故选：AD
10．ABC
【分析】分直线过原点，直线截距相等，直线截距互为相反数三种情况设直线分别为，，，结合过点可得答案．
【详解】当直线l过原点时，设直线方程为，因过点，则直线l的方程为，即，故A正确；
当直线l截距相等时，设直线方程为，因过点，则，则直线l的方程为，故C正确；
当直线l截距互为相反数时，设直线方程为，因过点，则，则直线l的方程为，故B正确．
故选：ABC．
11．BC
【分析】转化条件为圆的半径大于圆心到直线的距离加一即可得解．
【详解】圆的圆心到直线的距离，
因为圆上恒有4个点到直线的距离为1，
所以圆的半径．
对比选项，可得BC符合题意．
故选：BC．
12．AC
【分析】根据题意结合古典概型求，，，再结合概率的运算和事件的独立性运算求解．
【详解】
对于选项A：因为第二次取出球为3，4，5，6，所以，故A正确；
对于选项B：因为，所以，故B错误；
对于选项C：因为，则，
所以，故C正确；
对于选项D：因为，所以事件A与B不独立，故D错误；
故选：AC．
13．
【分析】根据平面向量数量积的坐标表示公式进行求解即可．
【详解】设，所以，，
因此由，
所以点P的轨迹方程为，
故答案为：
14．
【分析】列举出所有的基本事件，确定所求事件所包含的基本事件数，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率．
【详解】设事件A为“抽到的2张卡片的数字之和不小于8”，
则这个试验的样本空间可记为，共包含9个样本点，
事件A包含的样本点有：、、，包含3个样本点，所以．
故答案为：．
15．
【分析】利用基向量表示，结合空间向量基本定理可得．
【详解】
所以，，所以．
【点睛】本题主要考查空间向量的基本定理，把目标向量向基底向量靠拢是求解的主要思路．
16．
【分析】直线过定点，曲线表示以O为圆心，2为半径的上半圆，数形结合可求实数k的取值范围．
【详解】直线l：，得，可知直线l过定点，
如图，曲线表示以O为圆心，2为半径的上半圆．
当直线l与半圆相切时，，解得．
曲线与x轴负半轴交于点，．
因为直线l与曲线有两个交点，所以．
故答案为：．
17．（1） （2）
【分析】
（1）首先利用直线与BC平行得到斜率，再利用点斜式写出方程即可．
（2）首先求出AC的斜率，再利用垂直得出直线斜率，最后用点斜式即可求出方程．
【详解】
（1）因为，，
所以直线BC的斜率为，则过点且与直线BC平行的直线方程为，即．
（2）因为直线AC的斜率为，
所以△ABC中AC边上的高所在直线的斜率为，
又高所在直线过点，所以高所在直线的方程为，
即．
18．（1）0.6；（2）．
【分析】
（1）根据题设得到产品编号与综合指标Q的表格，应用古典概型的概率求法求一等品率；
（2）列举法求事件B的概率即可．
【详解】
（1）由题设可得如下表格，
产品编号
Q 2 4 8 3 6 5 3 2 1 6
又则核定该产品为一等品，故一等品共有6个，所以一等品率为；
（2）由题意，一等品中随机抽取2件产品有
，，，，，，，，，，，，，，共15种，
其中事件B为，，，，，，，，，，共10种
所以．
19．（1）29；32.5 （2）
【分析】
（1）根据平均数和中位数的定义即可求解；
（2）根据频率分布直方图可计算得到未成活颗数在和的数量，采用列举法可得所有基本事件和满足题意的基本事件个数，利用古典概型概率公式可计算得到结果．
【详解】
（1）根据频率分布直方图可估计平均数为：
．
根据频率分布直方图可估计中位数为：
（2）由频率分布直方图可知：未成活棵数在的班级有4个，记为A，B，C，D；未成活棵数在的班级有2个，记为a，b；
从“重点教授劳动技术班级”中随机抽取两个，则有AB，AC，AD，Aa，Ab，BC，BD，Ba，Bb，CD，Ca，Cb，Da，Db，ab，共15种情况；
其中有且仅有一个“重点教授劳动技术班级”在的情况有Aa，Ab，Ba，Bb，Ca，Cb，Da，Db，共8种情况；
所以所求概率．
20．（1）证明见解析 （2）1∶1
【分析】
（1）连接AC交BD于点M，连接EM，即可得到PA∥EM，从而得证；
（2）依题意可得AD⊥BD，如图建立空间直角坐标系，求出平面BDE的法向量，设，利用空间向量法求出线面角的正弦值，即可得到方程，解得，即可得解；
【详解】
（1）证明：如图，连接AC交BD于点M，连接EM，
因为M是AC的中点，E是PC的中点，所以PA∥EM
又平面BDE，平面BDE，
所以PA∥平面BDE
（2）解：因为，，所以，所以AD⊥BD，故以D为坐标原点，DA为x轴，DB为y轴，DP为z轴建立空间直角坐标系，
则，，，，，，
，，
设平面BDE的法向量为，则，即，
故取，设，则，
因为直线DF与平面BDE所成角的大小为30°，
所以，即
解得，故此时．
21．
（1），轨迹是以为圆心，2为半径的圆．
（2）或
【分析】
（1）设，利用两点距离公式列方程，整理化简即可得M的轨迹C的方程；
（2）若D是AB中点，连接CD，结合几何法及圆的弦长求C到直线l距离，数形结合及点线距离公式求参数，即得直线方程．
【详解】
（1）令，则，故2，整理得，
即M的轨迹C的方程为，轨迹是以为圆心，2为半径的圆．
（2）由题设，若D是AB中点，连接CD，则CD⊥AB，且，
所以，即C到直线l距离为1，
显然时满足C到直线l距离为1，且过；
若l的斜率存在，令l：，则，故，
所以，故l：；
综上，直线l为或．
22．（1）证明见解析 （2）
【分析】
（1）根据平面与平面垂直的性质定理和判定定理即可证明；
（2）根据条件建立空间直角坐标系，求出平面PBC和平面PCD的法向量，进而可求出结果．
【详解】
（1）证明：在正方形ABCD中，AD⊥AB．
又因为平面PAB⊥底面ABCD，平面平面，平面ABCD，
所以AD⊥平面PAB，
而平面PAD，所以平面PAB⊥平面PAD．
（2）设AC与BD交于点O，则平面平面，
在平面PAC内作AH垂直PO于H，
又因为平面PBD⊥平面PAC，
所以AH⊥平面PBD，而平面PBD，所以AH⊥BD，
又AC⊥BD，且，AH，平面PAC，所以BD⊥平面PAC，
因为平面PAC，所以BD⊥PA，
由（1）知AD⊥平面PAB，平面PAB，所以AD⊥PA，
又，AD，底面ABCD，
所以AP⊥底面ABCD，故PC和底面ABCD所成的角为∠PCA，即，
故．
以A为原点，的方向为x轴正方向，的方向为y轴正方向，的方向为z轴正方向建立空间直角坐标系A-xyz．
设，．则，，，，
所以，，，，
设平面PBC和平面PCD的法向量分别为，，
由，即，
取，得；
由，即，
取，得．
所以，，，
设二面角B-PC-D的大小为，则．
所以二面角B-PC-D的正弦值为．