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学 科 数学 年 级 九 设计者
教材版本 人教版 册、章 上册第二十五章
课标要求 1）通过列表、画树状图等方法列出简单随机事件所以可能的结果，以及指定随机事件发生的所有可能结果，了解随机事件概率.2)知道通过大量重复试验，可以用频率估计概率.
内容分析 本章共包含三部分内容，分别是：随机事件与概率、用列举法求概率、用频率估计概率.本章既有理论知识，又有实验研究，内容丰富.本章是学生在已经了解统计的相关知识，掌握了方差、频率等知识的基础上继续学习概率的相关知识.由于学生初学概率，面对概率意义的描述，学生容易产生困惑。本章学习内容在人们的生活和生产建设中有着广泛的应用，所以它在教材中处于非常重要的地位.
学情分析 学生在以前的学习中已经认识了许多随机事件,研究了一些简单的随机事件发生的可能性的大小，并对一些现象作出了合理的解释，对一些游戏活动的公平性作出了自己的评判。但学生对随机事件以及发生的概率的认识是一个较长的认知过程,学生对概率的理解也有必要随着其数学活动经验。
单元目标 教学目标1.能正确指出实际生活中的一些必然事件、不可能事件、随机事件.2.了解概率的意义,能用列举法(包括画树状图法和列表法)求简单事件的概率.3.能通过试验获得事件的频率,知道大量重复试验时频率可作为事件发生概率的估计值. (二)教学重点、难点教学重点：能运用列举法(列表法、画树状图法)计算简单事件发生的概率教学难点:用实验的方法估计一个事件发生的概率，并会设计一个方案来估计一个事件发生的概率。
单元知识结构框架及课时安排 （一）单元知识结构框架
（二）课时安排课时编号单元主要内容课时数25.1随机事件与概率225.2用列举法求概率214.3用频率估计概率2
达成评价 课题课时目标达成评价评价任务25.1随机事件与概率理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念，能辨别随机事件；会简单分析事件发生的可能性；会在具体情境中求出一个事件的概率. 会进行简单的概率计算及应用根据必然事件、不可能事件、随机事件的特点，能辨别随机事件理解可以用事件所包含的各种可能的结果数在全部可能的结果数中所占的比，来表示事件发生的概率.学生能够采用直接列举试验结果的方法计算一些简单事件的概率：如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件A包含其中的m种结果，那么事件A发生的概率P(A)＝．任务1.认识事件类型 任务2.归纳随机事件概率的求法 任务3.出示例题25.2用列举法求概率会用直接列举法、列表法列举所有可能出现的结果.用列举法(列表法或树状图)计算事件发生的概率.会用列表法或树状图法求事件的概率任务1：认识列举法任务2.用列表法求简单事件的概率任务3.用树状图法求复杂事件的概率25.3用频率估计概率知道通过大量重复试验，可以用频率估计概率．会用频率估计概率并解决实际问题．通过对树苗移植成活率、柑橘损坏率问题的探究，培养根据频率的稳定趋势估计概率的能力，感受概率在问题决策中的重要作用，提升统计的意识，培养应用数学的意识．学生理解在做大量重复试验时，随机事件发生的频率会呈现出规律性，即随着试验次数的增加，一个事件出现的频率，总是在一个固定数的附近摆动，显示出一定的稳定性．因此，我们可以通过大量的重复试验，用一个随机事件发生的频率去估计它的概率．任务1.出示问题了解大量重复试验 任务2.知道某一事件在试验中出现的频率可以表示概率任务3.出示实际问题体会概率在实际生活中的作用
活动1：通过现实生活中的问题引入课题
活动2：了解随机事件
概率的初步
25.3.2用频率估计概率（第2课时）
活动3：例题
活动2：通过问题探究频率表示概率的方法
活动1：复习引入本节课
25.3.1用频率估计概率（第1课时）
活动3：例题
活动2：通过探究得出多次试验可以用频率表示概率
活动1：通过探究总结出单项式乘多项式法则
25.2.2用列举法求概率（第2课时）
活动3：例题
活动2：通过探究问题会求三次及以上试验的概率(画树状图)
活动1：引入课题
25.2.1用列举法求概率(第1课时)
活动3：例题
活动1：引入课题
活动2：通过探究问题会计算两次试验的概率
25.1.2概率
活动3：例题
活动2：通过骰子试验得出随机事件的求法
活动1：引入课题
25.1.1随机事件与概率
活动4：例题
活动3：通过问题3得出随机事件的可能性大小
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25.3.1用频率估计概率
人教版九年级上册
内容总览
教学目标
01
新知导入
02
新知讲解
03
课堂练习
04
课堂总结
05
板书设计
06
目录
作业布置
07
教学目标
1 .知道通过大量重复试验，可以用频率估计概率．
2 .经历抛掷硬币试验，对数据进行收集、整理、描述与分析，体验频率的随机性与规律性，了解用频率估计概率的合理性和必要性，培养随机观念
新知导入
抛掷一枚质地均匀的硬币，“正面向上”的概率为0.5．
这是否意味着：
“抛掷 2 次，1 次正面向上”？
“抛掷 50 次，25 次正面向上”？
我们不妨用试验进行检验．
新知讲解
1.抛掷一枚质地均匀的硬币，硬币落地后会出现哪些可能的结果呢？
2.抛掷一枚质地均匀的硬币，出现正面向上的概率是多少？
3.多次抛掷一枚质地均匀的硬币时，会出现什么情况呢？
P(正面向上)=
出现“正面朝上”和“反面朝上”两种情况
新知讲解
试验:把全班同学分成10组，每组同学抛掷一枚硬币50次，整理同学们获得的试验数据，并完成下表.
新知讲解
新知讲解
新知讲解
随着抛掷次数的增加，“正面向上”的频率的变化趋势是什么？
1）在重复抛掷一枚硬币时，“正面向上”的频率在0.5的左右摆动.
2）随着抛掷次数的增加，一般地，频率就呈现出一定的稳定性.
3）在0.5的左右摆动的幅度会越来越小.由于“正面向上”的频率呈现出上述稳定性，我们就用0.5这个常数表示“正面向上”发生的可能性的大小.
【注意】当抛掷次数越来越大时，正面向上概率越来越稳定于0.5，并不是说投掷2n次一定恰好有n次正面向上
新知讲解
历史上，有些人曾做过成千上万次抛掷硬币的试验，下面是数学家大量重复试验数据，分析试验结果，大家有何发现？
试验者 抛掷次数n “正面向上”次数m “正面向上”
频率( )
棣莫弗 2 048 1 061
布 丰 4 040 2 048
费 勒 10 000 4 979
皮尔逊 12 000 6 019
皮尔逊 24 000 12 012
0.518 1
0.506 9
0.497 9
0.501 6
0.500 5
新知讲解
把上面表格中数学家大量重复试验数据，绘制在直角坐标系中，观察各点，大家有何发现？
试验次数越多频率越接近0. 5，即频率稳定于概率.
抛掷次数n
0.5
2048
4040
10000
12000
24000
“正面向上”
频率( )
归纳总结
通过大量重复试验，可以用随机事件发生的频率来估计该事件发生的概率.
频率稳定性定理：人们在长期的实践中发现,在随机试验中,由于众多微小的偶然因素的影响,每次测得的结果虽不尽相同,但大量重复试验所得结果却能反应客观规律.这称为大数法则,亦称大数定律.
新知讲解
如果某一随机事件，可能出现的结果是无限个，或每种可能结果发生的可能性不一致，那么我们无法用列举法求其概率，这时我们能够用频率来估计概率吗？
一般地，在大量重复试验中，如果事件A发生的频率会稳定在某个常数k附近，那么事件A发生的概率P(A)＝k.
归纳总结
简述频率与概率的区别与联系
频率 概率
区别
联系
试验值或使用时的统计值
理论值
与试验次数的变化有关
与试验次数的变化无关
与试验人、试验时间、
试验地点有关
与试验人、试验时间、试验地点无关
试验次数越多，频率越趋向于概率
典例精析
例1 某篮球队教练记录该队一名主力前锋练习罚篮的结果如下：
（1）填表（精确到0.001）；
（2）比赛中该前锋队员上篮得分并造成对手犯规，罚篮一次，你能估计这次他能罚中的概率是多少吗？
练习罚篮次数 30 60 90 150 200 300 400 500
罚中次数 27 45 78 118 161 239 322 401
罚中频率
0.900
0.750
0.867
0.787
0.805
0.797
0.805
0.802
典例精析
解：从表中的数据可以发现，随着练习次数的增加，该前锋罚篮命中的频率稳定在0.8左右，所以估计他这次能罚中的概率约为0.8.
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
1.下列说法正确的是( )
A.“明天降雨的概率是80%”表示明天有80%的时间都在降雨
B.“抛一枚硬币正面朝上的概率为”表示每抛两次就有一次正面朝上
C.“彩票中奖的概率为1%”表示买100张彩票肯定会中奖
D.“抛一枚正方体骰子，朝上的点数为2的概率为”表示随着拋掷次数的增加，“抛出朝上的点数为2”这一事件发生的频率稳定在附近
D
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
2.在课外实践活动中，甲、乙、丙、丁四个小组用投掷一元硬币的方法估算正面朝上的概率，其试验次数分别为10次、50次、100次、200次，其中试验相对科学的是( )
A.甲组 B.乙组 C.丙组 D.丁组
3.在“抛掷正六面体”的试验中，正六面体的六个面分别标有数字“”“”“”“”“”“”，在试验次数很大时，数字“”朝上的频率的变化趋势接近的值是______．
D
课堂练习
【知识技能类作业】选做题：
4.2022年3月12日是我国第44个植树节，某林业部门为了考察某种幼树在一定条件下的移植成活率，在同等条件下，对这种幼树进行大量移植，并统计成活情况，下表是这种幼树移植过程中的一组统计数据：
估计该种幼树在此条件下移植成活的概率是 ．（结果精确到0.1）
0.9
课堂练习
【综合拓展类作业】
5.某射击运动员在同一条件下的射击成绩记录如下：
(1)计算表中相应的“射中9环以上”的频率(精确到0.01)；
(2)这些频率具有什么样的稳定性？
(3)根据频率的稳定性，估计这名运动员射击一次时“射中9环以上”的概率(精确到0.1)
射击次数 20 40 100 200 400 1000
“射中九环以上”的次数 15 33 78 158 321 801
“射中九环以上”的频率
稳定在0.8附近
0.8
0.75
0.83
0.78
0.79
0.80
0.80
课堂总结
频率估计概率
大量重复试验
求非等可能性事件概率
列举法
不能适应
频率稳定
常数附近
板书设计
一般地，在大量重复试验中，如果事件A发生的频率会稳定在某个常数k附近，那么事件A发生的概率P(A)＝k.
作业布置
【知识技能类作业】必做题：
1．小明在一次用“频率估计概率”的实验中，把对联“海水朝朝朝朝朝朝朝落，浮云长长长长长长长消”中的每个汉字分别写在同一种卡片上，然后把卡片无字的面朝上，随机抽取一张，并统计了某一结果出现的频率，绘制了如图所示的折线统计图，则符合这一结果的实验最有可能是（ ）
A．抽出的是“朝”字 B．抽出的是“长”字
C．抽出的是独体字 D．抽出的是带“氵”的字
D
作业布置
【知识技能类作业】必做题：
2．在大量重复试验中，关于随机事件发生的频率与概率，下列说法正确的是( )
A．频率就是概率 B．频率与试验次数无关
C．概率是随机的，与频率无关
D．随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率
3．下列说法错误的是（ ）
A．随着试验次数的增多，某一事件发生的频率就会不断增大
B．一个事件在试验中出现的次数越多，频数就越大
C．试验的总次数一定时，频率与频数成正比
D．频数与频率都能反映一个事件出现的频繁程度
D
A
作业布置
【知识技能类作业】选做题：
4.当重复试验次数足够多时，可用频率来估计概率．历史上数学家皮尔逊（Pearson）曾在实验中掷均匀的硬币24000次，正面朝上的次数是12012次，频率约为0.5，则掷一枚均匀的硬币，正面朝上的概率是 ．
5.社团课上，同学们进行了“摸球游戏”：在一个不透明的盒子里装有几十个除颜色不同外其余均相同的黑、白两种球，将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复上述过程．整理数据后，制作了“摸出黑球的频率”与“摸球的总次数”的关系图象如图所示，经分析可以推断盒子里个数比较多的是 （填“黑球”或“白球”）．
0.5
白球
作业布置
【综合拓展类作业】
6.一盒里装有5个红球和20个白球，每个球除颜色外其余都相同，几名同学轮流从盒子里摸一个球，记录下所摸球的颜色后，再把球放回盒里，记录如下:
计算每次摸到红球的频率(结果保留小数点后两位),画出频率随试验总次数变化的折线统计图，估计摸到红球的概率.
作业布置
【综合拓展类作业】
解:由频率折线统计图，估计摸到红球的概率为0.2.
谢谢
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分课时教学设计
第一课时《25.3.1用频率估计概率》教学设计
课型 新授课√ 复习课口 试卷讲评课口 其他课口
教学内容分析 《用频率估计概率》是人教版新教材九年级上册第二十五章第三节，前两节已经学习了概率的古典定义，并利用列举法求一些有限等可能事件的概率，本节将从统计试验结果的角度去研究概率，即通过频率研究概率，用频率估计概率将不受试验结果个数有限和等可能条件的限制，因此适用范围比用概率的古典定义更广。
学习者分析 参与者为九年级的在校学生;对外界充满好奇,对数学实验、方案设计等活动很感兴趣; 活泼开朗,乐于表现自己,具有很强的集体荣誉感; 思维活跃,有较强的求知欲望,合作学习能力较强。 大部分学生活泼开朗,喜欢合作学习,但需要教师指导。
教学目标 1 .知道通过大量重复试验，可以用频率估计概率． 2 .经历抛掷硬币试验，对数据进行收集、整理、描述与分析，体验频率的随机性与规律性，了解用频率估计概率的合理性和必要性，培养随机观念
教学重点 理解用频率估计概率的合理性
教学难点 理解用频率估计概率的合理性，以及两者之间的区别与联系
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：引入新课教师活动1： 抛掷一枚硬币，正面（写有“1元”） 向上的概率是多少？ 抛掷一枚硬币50次是否会25次正面向上，25次反面向上呢？ 我们不妨用试验进行检验。 学生活动1： 教师提出问题，学生思考活动意图说明：学生积极思考讨论，为课堂教学营造民主和谐的气氛，也为下一步引导学生开展探索交流活动打下基础.环节二：新知探究教师活动2： 1.抛掷一枚质地均匀的硬币，硬币落地后会出现哪些可能的结果呢？ 出现“正面朝上”和“反面朝上”两种情况 2.抛掷一枚质地均匀的硬币，出现正面向上的概率是多少？ P(正面向上)= 3.多次抛掷一枚质地均匀的硬币时，会出现什么情况呢？ 试验:把全班同学分成10组，每组同学抛掷一枚硬币50次，整理同学们获得的试验数据，并完成下表. 随着抛掷次数的增加，“正面向上”的频率的变化趋势是什么？ 1）在重复抛掷一枚硬币时，“正面向上”的频率在0.5的左右摆动. 2）随着抛掷次数的增加，一般地，频率就呈现出一定的稳定性. 3）在0.5的左右摆动的幅度会越来越小.由于“正面向上”的频率呈现出上述稳定性，我们就用0.5这个常数表示“正面向上”发生的可能性的大小. 【注意】当抛掷次数越来越大时，正面向上概率越来越稳定于0.5，并不是说投掷2n次一定恰好有n次正面向上) 历史上，有些人曾做过成千上万次抛掷硬币的试验，下面是数学家大量重复试验数据，分析试验结果，大家有何发现？ 把上面表格中数学家大量重复试验数据，绘制在直角坐标系中，观察各点，大家有何发现？ 试验次数越多频率越接近0. 5，即频率稳定于概率. 通过大量重复试验，可以用随机事件发生的频率来估计该事件发生的概率. 频率稳定性定理：人们在长期的实践中发现,在随机试验中,由于众多微小的偶然因素的影响,每次测得的结果虽不尽相同,但大量重复试验所得结果却能反应客观规律.这称为大数法则,亦称大数定律. 学生活动2： 学生分小组讨论，教师巡视，然后教师请学生代表回答 活动意图说明：通过以上实践探究活动，让学生真实地感受到、清楚地观察到试验所体现的规律，即大量重复试验事件发生的频率接近事件发生的可能性的大小（概率）. 环节三：新知讲解教师活动3： 如果某一随机事件，可能出现的结果是无限个，或每种可能结果发生的可能性不一致，那么我们无法用列举法求其概率，这时我们能够用频率来估计概率吗？ 一般地，在大量重复试验中，如果事件A发生的频率会稳定在某个常数k附近，那么事件A发生的概率P(A)＝k. 简述频率与概率的区别与联系 学生活动3： 通过观察，交流，师生共同得出试验结论 学生思考归纳频率与概率的关系活动意图说明：试验中体会频率的稳定性，感受试验频率与理论频率之间的关系，形成对概率的全面理解；活动中要求学生态度端正，认真记录试验数据，以培养学生一丝不苟、严谨求实的科学精神；让学生经历定义的探求过程，实现在真实数据的分析中形成数学思考，在讨论交流中达成知识的主动构建环节三：典例精析教师活动3： 例1 某篮球队教练记录该队一名主力前锋练习罚篮的结果如下： （1）填表（精确到0.001）； （2）比赛中该前锋队员上篮得分并造成对手犯规，罚篮一次，你能估计这次他能罚中的概率是多少吗？ （1）填表（精确到0.001）； （2）比赛中该前锋队员上篮得分并造成对手犯规，罚篮一次，你能估计这次他能罚中的概率是多少吗？学生活动3： 学生思考、交流，教师引导，启发学生 活动意图说明：通过例题，进一步巩固用频率估计概率的方法，突出重点；实例让学生理解数学来源于生法又服务于生活。
板书设计 一般地，在大量重复试验中，如果事件A发生的频率会稳定在某个常数k附近，那么事件A发生的概率P(A)＝k.
课堂练习 【知识技能类作业】 必做题： 1.下列说法正确的是( ) A.“明天降雨的概率是80%”表示明天有80%的时间都在降雨 B.“抛一枚硬币正面朝上的概率为”表示每抛两次就有一次正面朝上 C.“彩票中奖的概率为1%”表示买100张彩票肯定会中奖 D.“抛一枚正方体骰子，朝上的点数为2的概率为”表示随着抛掷次数的增加，“抛出朝上的点数为2”这一事件发生的频率稳定在附近 2. 在课外实践活动中，甲、乙、丙、丁四个小组用投掷一元硬币的方法估算正面朝上的概率，其试验次数分别为10次、50次、100次、200次，其中试验相对科学的是( ) A.甲组 B.乙组 C.丙组 D.丁组 3.在“抛掷正六面体”的试验中，正六面体的六个面分别标有数字“”“”“”“”“”“”，在试验次数很大时，数字“”朝上的频率的变化趋势接近的值是______． 选做题： 4.2022年3月12日是我国第44个植树节，某林业部门为了考察某种幼树在一定条件下的移植成活率，在同等条件下，对这种幼树进行大量移植，并统计成活情况，下表是这种幼树移植过程中的一组统计数据： 估计该种幼树在此条件下移植成活的概率是 ．（结果精确到0.1） 【综合拓展类作业】 5.某射击运动员在同一条件下的射击成绩记录如下： (1)计算表中相应的“射中9环以上”的频率(精确到0.01)； (2)这些频率具有什么样的稳定性？ (3)根据频率的稳定性，估计这名运动员射击一次时“射中9环以上”的概率(精确到0.1)
课堂总结
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1．小明在一次用“频率估计概率”的实验中，把对联“海水朝朝朝朝朝朝朝落，浮云长长长长长长长消”中的每个汉字分别写在同一种卡片上，然后把卡片无字的面朝上，随机抽取一张，并统计了某一结果出现的频率，绘制了如图所示的折线统计图，则符合这一结果的实验最有可能是（ ） A．抽出的是“朝”字 B．抽出的是“长”字 C．抽出的是独体字 D．抽出的是带“氵”的字 2．在大量重复试验中，关于随机事件发生的频率与概率，下列说法正确的是( ) A．频率就是概率 B．频率与试验次数无关 C．概率是随机的，与频率无关 D．随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率 3．下列说法错误的是（ ） A．随着试验次数的增多，某一事件发生的频率就会不断增大 B．一个事件在试验中出现的次数越多，频数就越大 C．试验的总次数一定时，频率与频数成正比 D．频数与频率都能反映一个事件出现的频繁程度 选做题 4.当重复试验次数足够多时，可用频率来估计概率．历史上数学家皮尔逊（Pearson）曾在实验中掷均匀的硬币24000次，正面朝上的次数是12012次，频率约为0.5，则掷一枚均匀的硬币，正面朝上的概率是 ． 5.社团课上，同学们进行了“摸球游戏”：在一个不透明的盒子里装有几十个除颜色不同外其余均相同的黑、白两种球，将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复上述过程．整理数据后，制作了“摸出黑球的频率”与“摸球的总次数”的关系图象如图所示，经分析可以推断盒子里个数比较多的是 （填“黑球”或“白球”）． 【综合拓展类作业】 6.一盒里装有5个红球和20个白球，每个球除颜色外其余都相同，几名同学轮流从盒子里摸一个球，记录下所摸球的颜色后，再把球放回盒里，记录如下:
教学反思 本节课每一个环节都运用了问题的形式，这样更能抓住重点，各个突破，并可激发学生的学习兴趣，使学生由发散思维过渡到集中性思维上来，并可体现学生的主体性，但在教学过程中要克服以完成教学任务为主要目标，不舍得给学生时间去探索的弊端，要充分相信学生，给予学生足够的空间和时间。
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