2023学年第一学期浙江省 9+1高中联盟高二年级期中考试
数学参考答案
1．C 2．A 3．B 4．C 5．D 6．B 7．C 8．A 9．ACD 10．ABD 11．BC 12．BCD
3 5
1．解： k ，故选 C
3 6
8 i
2．解： z 2 3i，故选 A
1 2i
3．解： ln x 0 0 x 1，故选 B
cos 5 1 5 k 5 k , 4 , , 2 5 4．解： , , ，
3 3 3 3 3 3 3
故选 C
5．解：以 BA为 x轴， BC为 y轴， BB1为 z轴，得D 1,1,0 ,E 0,1,0 ,B1 0,0,2 ,C1 0,2,2
C1D 1, 1, 2 ,B1E 0,1, 2 cos C1D,B E
1 4 30
1 ，故选 D6 5 10
6 m 1 x x2 9．解： 9 m 1 x 9有解 有解 m 1 x
6 m 5，故选 Bx x min
2 2
2 b 37．解： c1 a b
2 ,c2 a
2 b2 e c1 ,e c 2 e a b1 2 ，设 2 t 0， k a a e a2 b21 a 5
3 1 k 2 2
k 2 0, 2 5
， t 2 1 2 1,4 t 1,2 ，故选 C 1 k 1 k
8．解： FA FD 2 2a a 1, AD 1 1 3 2c c ，a c 点 F 的轨迹是椭圆， b ；
2 2
AE与CD所成的角等于 AE与 AB所成的角 ，即 EAB，
1
由三余弦定理得： cos cos EAC cos CAB cos 1 EAC ，此时 E与C重合,
2 2
3
设 AD 3 6 7的中点为O ,则CO ， OF ,1 EF CF CO2 OF 2 2 2
,
2 2
故选 A
9 A 23．解： 的子集共有 8个，故 A正确； a2 a 0 a 0或1，故 B不正确；
令 x cos , y sin ，故C正确；
2R 14 R 14 S 4 R2 14 ，故D正确； 故选：ACD
2
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10．解： sin cos 2 sin 2 2 2 1 不存在，故 A正确；
a
b 0 2 sin cos 0 2 tan ，故 B正确；
2
a 2
2
b 2 cos2若 sin2 1 cos2 1，存在 ，故 C不正确；
x y 2 0 x 1
11．解： x y 2 x y 0 ，直线恒过定点 1,1 ，故 A不正确；
x y 0 y 1
1 1 4 0， 定点 1,1 在 C内，故 B正确； 公共弦： 4y 4x 0 y x，故 C正确；
0 2 0 l : x y 0,C 0,2 , r 2 d 2 弦长 2 2，故 D不正确；故选：BC
2
12．解： a 2,b 1 c 3， PQ 2,4 ,F1F2 2 3 PQ F1F2有可能成立，故 A不正确；
由对称性知：QF2 PF1 , 周长为 2a PQ 4 PQ 6，故 B正确；
x21 4
2
A 2,0 ,P x , y y1 y1 y1 4 11 1 ,Q x1, y1 kAP kAQ ，故 C正确；x1 2 x1 2 4 x2 4 x21 1 4
由草图得：m 2,0 ，设M 2cos , sin , , MF2 a e 2cos 2 3 cos
2
NF2 2 3 cos ,周长为 4 2 3 cos 2sin 4 4sin
8
，此时 sin
3
1，
3
5 m 2cos 3 S 1 MNF 1 2 3 3，故 D正确；3 2 6 2 2
故选 BCD
x2 y2
13．解： 1 a 3,b 4 c 5， MF2 9 2a 6 MF2 15或3，故填：15或39 16
14．解： rl 6 rl 6； 2 r l l 2r r 3, l 2 3 h 3 1 V r 2h 3 ，
3
故填：3
15．解： l : y x m,C : x2 y2 9 y 0 ，由草图得： m 3,3 m 3,3 ；
m
若相切，则 d 3 m 3 2, m 3 2 m 3 2 ；故填： 3,3 3 2
2
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16．解：设 COP AD BC 2sin ,OB 2cos ,OA 2sin ,
tan
AB OB OA 2cos 2sin S 2sin
tan ABCD
AB BC 2cos 2sin 1
tan
4sin2 2 2
4sin cos 4sin 4sin 1 4sin cos 1 tan
tan tan 4sin cos 1
4 cos
2 ， 当 2 tan
1 4 4
时， tan ，故填：
cos cos sin 2 min 3 34 1
sin sin
2
17．解：（1） sin Bsin A 3 sin AcosB 0 sin B 3 cos B tan B 3 B ；
3
1 BD BA BC 3 1 c2 4 2 2c 1 （2） c2 2c 8 0 c 42 4 2
S 1 1 3 ac sin B 2 4 2 3
2 2 2
18．解：（1）0.05 0.2 0.2 0.3 10h 1 h 0.025， 图中缺失部分的直方图的高度 h 0.025；
0.1 40 4 0.25 40 10 135 x 4人， 人， x 131， 排名第8的选手分数为131；
10 10
（2）0.05 40 2人，0.1 40 4人，总数 5 4 3 2 1 15，
P 2 1 P 1 P 2 14 14 ,抽到的选手中至多有1位是95分以下选手的概率是
15 15 15
（3）男子组 40位选手的平均分 y 0.05 90 0.1 100 0.2 110 0.3 120 0.25 130
0.1 140 119 117 119， 所有选手的平均分 z 118；女子组的方差 S 2
2 x
121，
2 2 2 2
男子组的方差 S y 90 119 0.05 19 0.1 9 0.2 12 0.3 112 0.25 212 0.1 169
S 2 1 x2x x2 1172 121 x2 x2 40 121 117240 1 40 1 40
S 2 1y y21 y2 1192 169 y2 240 1 y40 40 169 119240
所有选手的方差 S 2 1z x21 x240 y2 21 y40 118280
121 1172 169 1192 2 1182 290 119 118 117 118
146
2 2
2
综述：所有选手的平均分 z 118，所有选手的方差 Sz 146
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2
19 1 C : 3x2 y2．解：（ ）设 ， M 2,3 ， 12 9 3 C : x2 y 1
3
a 1,b 3,c 2 e 2；
3x2 y2 3
（2）设 A x1, y1, B x2 , y2 ， 3 k 2 x2 2kx 4 0的根为 x , x ，
y kx 1
1 2
48 12k 2 0 k 2 4 k 2 3 k y1 3 kx1 1 3 2k 2k k 2k 2 且 ， MA x1 2 x1 2 x1 2
k k 2k 2
1 1
同理： MB ， kMA kMB 2k 2k 2 x2 2
x1 2 x2 2
2k
2 4
2k 2 k 1 x1 x2 4 2k 2 k 1 3 k
x1x2 4 2 x1 x 42
2 4 2
2k
3 k 3 k 2
2k 12 4k
2 2 k 2 2k 3
2k 2 k 1 2 2k k 1
2k k 6
2k k 1 3
4 12 4k 4k k 2 k 2 k 2 k 1
20．解：（1） AB AM 2,AB AM AMB 45 ,同理： CMD 45 MB MC ,
MB PC , MB 平面 PMC， MB PM ;
（2）设CD的中点为 N ， AB的中点为 E ,正 PCD CD PN , CD NE
PNE P CD A 1 cos ， PN 3 ,作 PO NE于点O ON 1,
3
PO 2 h h , OB 10 PB 2 3 ,设 dB PAD h，则 sin ,PB 2 3
V 1 1 2S ABD 1B PAD VP ABD S PAD h S ABD 2 h , S ABD 4 2 4 ,3 3 S PAD 2
PD 2, AD 4,PA PB 2 3 PA2 PD2 AD2 PA PD
S 1 4 2 2 2 2 2 1 2 PAD 2 2 3 2 3 , h sin ．2 2 3 3 3 2 3 3
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21 2．解：（1） a 0 f x 3x 2x x ，① x 0 f x x2 0, ；
② x 0 f x 5x2 0, ； 综述：函数 f x 的值域是 0, ；
x2 3ax a2 x a
（2） f x ， 1 13a2 0, 2 11a2 0
5x
2 3ax a2 x a
① a 0 a 3 a f 3 a 0，不符题意， a 0舍去；
2 2
a 0 a 3 3 3 9a
2 3
② a,a a f x f a 5 3a a a2 33
2 10 min 10 100 10
a2 60 a 2 15 ； 综述： a 2 15
c 1 x 2a x
2
22 2．解：（1） ，焦点在 轴上， 2 a 2b a 2,b c 1 C : y 1
2b 2
x2 2y
2 2
（2）设 A x1, y1, B x , y t22 2 ， 2 y2 2ty 1 0的根为 y , y ，
x ty 1
1 2
S 1 4a r 4 1 2 2 t
2 1
ABF ，又 S ABF 2c y2 y1 y y1 2 3 1 2 2 1
t2
2 t2 2
2 2 t2 1 4
2 t 1 l : x y 1t 2 3
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数 学
考生须知：
1．本卷满分 150分，考试时间 120分钟；
2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场、座位号及准考证号并核对条形码信息；
3．所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效，考试结束后，只需上交答题卷；
4．参加联批学校的学生可关注“启望教育”公众号查询个人成绩分析。
一．单项选择题（本大题共 8个小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的）
1．已知直线 l : x 3y 1 0，则直线 l的倾斜角 为（ ▲ ）
2 5
A． B． C． D．
3 3 6 6
2．若复数 z满足： z 1 2i 8 i，则复数 z的虚部为（ ▲ ）
A． 3 B． 2 C．3 D． 3i
3．“ x 1”是“ ln x 0 ”的（ ▲ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
5
4．若函数 f x cos 2x 的图象关于直线 x 对称，则 的最小值是（ ▲ ）
6
4 2
A． B． C． D．
3 3 3 6
5．直三棱柱 ABC A1B1C1中， AB BC,AB BC AA1，D,E分别为 AC,BC 的中点，则异面直线
C1D与B1E所成角的余弦值为（ ▲ ）
3 5
A． B．
3 5
10 30
C． D．
10 10
第 5题图
6．若关于 x的不等式 x2 m 1 x 9 0在 1,4 上有解，则实数m的最小值为（ ▲ ）
21
A．9 B．5 C．6 D．
4
x2 y2 2 2
7．设椭圆C1 : 2 2 1 a b
x y
0 与双曲线C2 : 2 2 1的离心率分别为e1,e2，且双曲线C2的渐a b a b
15 e
近线的斜率小于 ，则 2 的取值范围是（ ▲ ）
5 e1
A． 1，4 B． 4， C． 1，2 D． 2，
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8．如图，四棱锥 P ABCD中， AB / /CD, AB 2CD 2 , ACD是正三角形， PA AC ,平面 PAC
平面 PBC，若点F 是 PAD所在平面内的动点，且满足
FA FD 2，点 E是棱 PC（包含端点）上的动点，则
当直线 AE与CD所成角取最小值时，线段 EF 的长度不可能
为（ ▲ ）
5 6
A． B．
2 2
26 7 第 8C D 题图． ．
4 2
二．多项选择题（本大题共 4个小题，每小题 5分，共 20分．在每个小题给出的四个选项中，有多项符
合题目要求，全部选对的得 5分，选对但不全的得 2分，有选错或不选的得 0分）
9．下列命题正确的是（ ▲ ）
A．集合 A a,b,c 的子集共有8个
B．若直线 l1 : x ay 1 0与 l2 : a
2x y 1 0垂直，则 a 1
C 2 2．若 x y 1 x, y R ，则3x 4y的最大值为5
D．长、宽、高分别为1、2、3的长方体的外接球的表面积是14
10．已知向量 a 2,cos ,b sin ,1 ，则下列命题正确的是（ ▲ ）
2
A．不存在 R，使得 a / /b B．当 tan 时， a b
2
3
C．对任意 R，都有 a b D．当 a b 3时，a在b 方向上的投影向量的模为 5
5
11．已知直线 l : 1 x 1 y 2 0, C : x2 y2 4y 0，则下列结论正确的是（ ▲ ）
A．直线 l恒过定点 2,4
B．直线 l与 C必定相交
C． C 与 C1 : x
2 y2 4x 0公共弦所在直线方程为 y x
D．当 0时，直线 l与 C的相交弦长是 2
x2
12 2．设椭圆C： y 1的左、右焦点分别为 F 、F ，椭圆C的右顶点为 A，点 P、Q都在椭圆C上
4 1 2
且 P、Q关于原点对称，直线 x m与椭圆C相交于点M、N ，则下列说法正确的是（ ▲ ）
A．四边形 PF1QF2 不可能是矩形
B．△PQF2 周长的最小值为6
PA QA 1C．直线 ， 的斜率之积为定值
4
D．当 F2MN 的周长最大时， F2MN 的面积是 3
三．填空题（本大题共 4个小题，每小题 5分，共 20分．把答案填在答题卡相应的横线上）
13 2 2．若双曲线16x 9y 144 0上一点M 与它的一个焦点的距离为9，则点M 与另一个焦点的距离
为 ▲ ．
14．已知圆锥的侧面积为6 ，且它的侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的体积是 ▲ ．
15 2．若直线 l : x y m 0与曲线C : y 9 x 只有一个公共点，则实数m的取值范围是 ▲ ．
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16．已知扇形OPQ中，半径 r 2 ，圆心角为 0
，若要在扇形上截
2
取一个面积为1的矩形 ABCD，且一条边在扇形的一 条半径上，如图所示，
则 tan 的最小值为 ▲ ．
第 16题图
四．解答题（本大题共 6个小题，共 70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（10分）已知 ABC的内角 A,B,C的对边分别是 a,b,c，且bsin A 3a cosB 0．
（1）求角 B的大小；
（2）若 a 2， AC边上的中线BD 3，求 ABC的面积 S．
18．（12分）亚洲运动会简称亚运会，是亚洲规模最大的综合性运动会，由亚洲奥林匹克理事会的成员国
轮流主办，每四年举办一届.1951年第 1届亚运会在印度首都新德里举行，七十多年来亚洲运动员已
成为世界体坛上一支不可忽视的力量，而中国更是世界的体育大国和亚洲的体育霸主.第 19届亚运会
于 2023年 9月 23日至 10月 8日在杭州举办，为普及体育知识，增强群众体育锻炼意识，衢州举办
了亚运知识竞赛活动.活动分为男子组和女子组进行，最终决赛男女各有 40名选手参加，下图是其中
男子组成绩的频率分布直方图（成绩介于 85到 145之间），
（1）求图中缺失部分的直方图的高度，并估算男子组成绩
排名第 8的选手分数；
（2）若计划从男子组中 105分以下的选手中随机抽样调查
2个同学的答题状况，则抽到的选手中至多有 1位是 95
分以下选手的概率是多少？
（3）若女子组 40位选手的平均分为 117，标准差为 11，
试求所有选手的平均分和方差.
19．（12分）已知双曲线C的渐近线方程是 y 3x，点M 2,3 在双曲线C上．
（1）求双曲线C的离心率 e的值；
（2）若动直线 l : y kx 1与双曲线C交于 A,B两点，问直线MA,MB的斜率之和是否为定值？
若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
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20．（12分）如图，四棱锥 P ABCD中，底面 ABCD为矩形， BC 4,PC PD CD 2 ,M 为 AD
的中点．
（1）若 BM PC，求证： BM PM ；
P CD A 3（2）若二面角 的余弦值为 ，
3
求直线 PB与平面 PAD所成角 的正弦值．
21 2．（12分）已知函数 f x 3x 2x a x a ．
（1）当 a 0时，求函数 f x 的值域；
（2）若不等式 f x 33对 x R恒成立，求实数 a的最小值．
22．（12分）已知椭圆C的中心在原点，一个焦点为 F 1,0 ，且长轴长是短轴长的 2倍．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）设过焦点 F 的直线 l与椭圆C交于 A、 B两点， F1是椭圆的另一个焦点，若 ABF1内切圆的半
2
径 r ，求直线 l的方程．
3
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