江苏省南通市崇川区、通州区2023-2024学年高二上学期11月期中联考数学试题（含答案）

南通市崇川区、通州区2023-2024学年高二上学期11月期中联考
数学
注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上指定位置上，在其他位置作答一律无效。 3．本卷满分为150分，考试时间为120分钟。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．在空间直角坐标系中，点关于xOz平面对称的点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
2．直线的一个方向向量是（ ）
A． B． C． D．
3．已知在三棱锥中，M，N分别是PC和AB的中点．设，，，则（ ）
A． B． C． D．
4．已知椭圆C：的焦点在y轴上，则实数k的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．圆C：关于直线对称圆的方程为（ ）
A． B．
C． D．
6．中国古代数学瑰宝《九章算术》中记载了一种称为“曲池”的几何体，该几何体为上、下底面均为扇环形的柱体（扇环是指圆环被扇形截得的部分）．现有一个如图所示的曲池，其中底面ABCD，底面扇环所对的圆心角为，扇环对应的两个圆的半径之比为1：2，，，E是的中点，则异面直线BE与所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
7．已知椭圆C：的左焦点为F，P为C上一动点，定点，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
8．已知圆O：，，是圆O上两点，满足，，则（ ）
A． B．3 C． D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．对于直线l：，下列说法正确的是（ ）
A．l的斜率一定存在 B．l恒过定点
C．时，l的倾斜角为60° D．时，l不经过第二象限
10．下列结论正确的是（ ）
A．若向量，，，则，，共面
B．若直线l的方向向量为，平面的法向量，则
C．若向量，，则在上的投影向量为
D．若空间三点，，，则点C到直线AB的距离为3
11．已知点P在圆C：上，直线l：与x轴、y轴分别交于A，B两点，则（ ）
A．点P到直线l的距离大于1
B．点P到直线l的距离小于7
C．当∠PAB最大时，
D．以BC为直径的圆与圆C的公共弦所在直线的方程为
12．已知双曲线C：（，）的一条渐近线的方程为，，是C的左、右焦点，是C上一点，连结交C于点B，则（ ）
A．C的离心率为 B．
C．的周长为 D．的内切圆半径为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知直线：和直线：垂直，则________．
14．已知椭圆E以矩形ABCD的两个顶点A，B为焦点，且经过C，D两点．若，则E的离心率为________．
15．写出满足下列两个条件的一个双曲线C的方程：________．
①焦距为；②直线与C的一支有2个公共点．
16．已知正四棱柱中，，．若P是侧面上的一个动点（含边界），且，则点P形成的轨迹长度为________；若P是侧面上的一个动点（含边界），且，则点P形成的轨迹长度为________．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（10分）
已知三角形的三个顶点是，，，边BC上的高所在直线为l．
（1）求直线l的方程；
（2）求直线l关于点B对称的直线的方程．
18．（12分）
已知圆C：，点．
（1）过点P作直线l与圆C交于A，B两点，若，求直线l的方程；
（2）若圆M经过点P，且与圆C相切于点，求圆M的方程．
19（12分）
如图，在直三棱柱中，侧面为正方形，，．E，F分别为AC和的中点，D为棱上的点．
（1）证明：；
（2）当时，求直线BF与平面DEF所成角的正弦值．
20（12分）
已知椭圆C：的右焦点为F，斜率不为0的直线l与C交于A，B两点．
（1）若是线段AB的中点，求直线l的方程；
（2）若直线l经过点（点A在点B，Q之间），直线BF与C的另一个交点为D，求证：点A，D关于x轴对称．
21．（12分）
如图，在四棱锥中，平面ABCD，，，，，M是PB的中点，点N在线段AC上．
（1）当N是AC中点时，求点N到平面PCD的距离；
（2）当二面角的正弦值为时，求的值．
22．（12分）
在平面直角坐标系xOy中，已知圆O：，点，以线段FG为直径的圆与圆O相切，记动点G的轨迹为W．
（1）求W的方程；
（2）设点M在x轴上，点，在W上是否存在两点A，B，使得当A，B，N三点共线时，△ABM是以AB为斜边的等腰直角三角形？若存在，求出点M的坐标和直线AB的方程；若不存在，请说明理由．
南通市崇川区、通州区2023-2024学年高二上学期11月期中联考
数学参考答案及评分标准
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B C C A D B B D
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
题号 9 10 11 12
答案 ABD AC BCD ABD
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13． 14．
15．（或），其中．
16．，
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（10分）
【解】（1）因为点，，所以．……2分
因为，所以．……3分
因为l经过点，
所以直线l的方程为．……5分
（2）设直线的方程为．……6分
由点到直线l和直线的距离相等，
所以，……8分
解得，
所以直线的方程为．……10分
18．（12分）
【解】（1）若直线l的斜率不存在，则l的方程为，
将代入圆C的方程，解得或，
所以，符合条件；……2分
若直线l的斜率存在，设l的方程为，
即．
因为，圆C的半径为，
所以圆心到直线l的距离为1，
所以，……4分
解得，所以直线l的方程为．
综上，直线l的方程为或．……6分
（2）设圆M的方程为．
因为圆M经过点，且与圆C相切于点，
所以圆心M在直线CQ：上，……8分
所以解得
所以圆M的方程为．……12分
19（12分）
【解】（1）因为直三棱柱中，，
所以BA，BC，两两垂直，
以点B为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系．
因为侧面为正方形，，
E，F分别为AC和的中点，D为棱上的点，
所以，，，，……3分
设，则．
由，
得，即．……6分
（2）当时，则，，．
设平面DEF的法向量为，
则由即取．……9分
设直线BF与平面DEF所成角为，
则，
即直线BF与平面DEF所成角的正弦值为．……12分
20（12分）
【解】（1）设，，
则两式相减，得，
即．……2分
因为是线段AB的中点，所以，，
所以直线l的斜率，
所以直线l的方程为，即．……4分
（2）根据椭圆的对称性，欲证点A，D关于x轴对称，
只需证，即证．……6分
设直线AB的方程为，
由消x得，
所以，．……8分
所以．
因为，
所以，即点A，D关于x轴对称．……12分
21．（12分）
【解】（1）因为平面ABCD，AB，平面ABCD，
所以，．
在平面ABP内作，又，
所以BA，BE，BC两两垂直，
B为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系．
因为，，，N是AC中点，则
，，，，，
，，．……2分
设平面PCD的法向量，
则即取．……4分
所以点N到平面PCD的距离．……6分
（2）因为M是PB的中点，所有，设，
则，，．
设平面AMN的法向量，
则即取．8分
设平面PMN的法向量，
则即取．……10分
设二面角的大小为，则．
设，因为二面角的正弦值为，
所以，解得，此时，
所以．……12分
22．（12分）
【解】（1）设，以线段FG为直径的圆的圆心为点C，圆C与圆O相切于点H，
则．
因为C为FG的中点，O为的中点，
所以，．……1分
当圆C与圆O内切时，；
当圆C与圆O外切时，，
所以为定值．……3分
又因为，所以动点G的轨迹是以，F为焦点的双曲线．
设它的方程是（，），
则，，即，所以W的方程为．……5分
（2）假设存在符合题意的点A，B，
由A，B，N三点共线，知直线AB斜率存在．
设直线AB的方程为，，，
由消去y并整理，得，
则解得，且，
，．……7分
设线段AB的中点为，
则，．
设点，则，．
连结TM，则，
即，即，整理得．……9分
由，
得，
即，
即，
所以，
整理，得，解得，
显然满足条件，且．……11分
当时，点M的坐标为，直线AB的方程为；
当时，点M的坐标为，直线AB的方程为．
所以存在满足题意的两点A，B，此时，直线AB的方程为；
或，直线AB的方程为．……12分