江西省抚州市黎川县2023-2024学年高二上学期期中考试数学试题（含解析）

黎川县2023-2024学年高二上学期期中考试
数学
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡的相应位置上：
2.作答时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将答题卡交回。
一、单选题（每题5分，共40分）
1．“”的一个必要不充分条件是（ ）
A． B． C． D．
2．已知直线，则直线在轴上的截距为（ ）
A． B． C． D．
3．与直线关于轴对称的直线方程为（ ）
A． B．
C． D．
4．圆C：的半径为（ ）
A．4 B．2 C． D．1
5．圆与圆的位置关系是（ ）
A．相交 B．相切 C．内含 D．以上均有可能
6．若为抛物线上一点，且到焦点的距离为9，则到轴的距离为（ ）
A．7 B．10 C．8 D．9
7．已知椭圆：的离心率为，则（ ）
A． B．1 C．3 D．4
8．已知F1，F2分别为双曲线C:的左右焦点，过点F1且斜率存在的直线L与双曲线C的渐近线相交于AB两点，且点AB在x轴的上方，AB两个点到x轴的距离之和为，若，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题（每题5分，共20分）
9．下列说法中正确的是（ ）
A．若直线的倾斜角越大，则直线的斜率就越大
B．若，，则直线的倾斜角为
C．若直线过点，且它的倾斜角为，则这条直线必过点
D．直线的截距为
10．已知椭圆：，在下列结论中正确的是（ ）
A．长轴长为8 B．焦距为
C．焦点坐标为 D．离心率为
11．已知直线与圆，则下列说法正确的是（ ）
A．直线恒过定点
B．圆的半径为2
C．存在实数，使得直线与圆相切
D．直线被圆截得的弦长最长为
12．已知抛物线的焦点为，过点作直线交抛物线于点，过分别向抛物线的准线作垂线，垂足分别为，线段的中点为，则有（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题（共20分）
13．直线的倾斜角为 ．
14．已知直线：，直线：，若，则 .
15．若直线与曲线恰有一个公共点，则实数的一个可能取值是 .
16．已知椭圆C：，点，M为椭圆上任意一点，A，B为椭圆的左，右顶点，当M不与A，B重合时，射线交椭圆C于点N，直线交于点T，则动点T的轨迹方程为 .
四、解答题（共70分）
17．如图，已知平行四边形ABCD的三个顶点的坐标分别为，，.
(1)求直线CD的方程；
(2)求平行四边形ABCD的面积.
18．在平面直角坐标系中，圆C的半径，圆心是直线：与：的交点C.
(1)求圆C的方程；
(2)判断直线：与圆C的位置关系，如果相交，设交点为A，B，并求弦长的大小.
19．已知椭圆：的长轴长等于6，离心率.
(1)求椭圆的方程；
(2)椭圆的左、右焦点分别为，，点P在椭圆上，且，求的面积.
20．已知双曲线.
(1)若，求双曲线的焦点坐标，顶点坐标和渐近线方程；
(2)若双曲线的离心率，求实数的取值范围.
21．已知曲线上任意一点到点的距离与到点的距离之比为.
(1)求曲线的轨迹方程；
(2)过直线上一点向曲线作切线，切点分别为，，圆过，，三点，证明：圆恒过定点.
22．在平面直角坐标系中，抛物线的焦点为的准线交轴于点，过的直线与拋物线相切于点，且交轴正半轴于点．已知的面积为2．
(1)求抛物线的方程；
(2)过点的直线交于两点，过且平行于轴的直线与线段交于点，点满足．证明：直线过定点．
答案
1．A
因为 ，所以为“”的一个必要不充分条件，A正确，
而B显然为充要条件，
， ，故CD为充分不必要条件.
故选：A.
2．B
令，得，即，
所以直线在轴上的截距为.
故选：B
3．A
在所求直线上任取一点，则点关于轴的对称点在直线上，
故所求直线方程为，即.
故选：A.
4．B
可化为，所以圆半径为，
故选：B.
5．D
解：两个圆的圆心分别为，，且圆心在圆上，
因为圆的半径不确定，所以均有可能．
故选：D．
6．C
根据抛物线的定义可得到焦点的距离等于到准线的距离，所以到轴的距离为．
故选：C
7．C
由题意可知.
故选：C
8．A
设,，设的中点为，
由于，故,因此为直角三角形，故，
由于，所以，进而可得，
故或，由在双曲线渐近线上，
所以，
进而，
当时，,，
所以，
当时，,，所以不符合题意，舍去，
综上：故离心率为.
故选：A

9．BC
A：倾斜角为锐角，斜率为正；倾斜角为钝角时，斜率为负，错；
B：由于，的横坐标相等，即直线与y轴垂直，故倾斜角为，对；
C：由题设，直线方程为，显然在直线上，对；
D：直线在y轴上的截距为，但轴上的截距不一定为，错.
故选：BC
10．ABD
由已知得，
则，
故椭圆长轴长为，焦距为，
焦点坐标为，离心率，故ABD正确，
故选：ABD.
11．AB
变形为，故恒过定点，A正确；
变形为，圆心坐标为，半径为2,B正确；
令圆心到直线的距离，
整理得：，
由可得，方程无解，
故不存在实数，使得直线与圆相切，C错误；
若，直线方程为，圆心在直线上，
故直线被圆截得的弦长为直径4，为最大弦长，故D错误．
故选：AB
12．ACD
易知焦点，准线方程为，如下图所示：
可设直线的方程为，；
联立直线和抛物线方程，消去可得，
由韦达定理可知，即A正确；
易知，
所以,
又，
，
所以，即B错误；
可知，则，
则，即，可知C正确；
易得，所以，
则
，
即，所以D正确.
故选：ACD
13．
因为直线的斜率为，所以直线的倾斜角为．
故答案为：
14．或1
由，则，即，
所以或.
故答案为：或1
15．
曲线表示圆心在原点，半径为的圆的上半部分，
如图所示，

有图可知，当直线在和之间移动或与半圆相切，即处于的位置时，
直线与圆恰好有一个公共点，
当直线在时，经过点，所以，
当直线在时，经过点，所以，
当直线与半圆相切时，，
所以，或者（舍），
故或者.
故答案为:
16．（）
由题知，MN不与x轴重合，设直线MN的方程为，
联立，消x整理得，，
设、，则，.
因为AM的方程为，AN的方程为
两直线方程联立得：，
因为.
所以，解得.
所以动点T的轨迹方程为（）.
故答案为：（）
17．(1)
(2)8
（1）∵平行四边形ABCD的三个顶点的坐标分别为，，，
∴，
∴直线CD的方程为：，
整理得直线CD的方程为．
（2）点到直线CD的距离，
，
∴平行四边形的面积.
18．(1)
(2)直线与圆相交，
（1）由得，
∴，因为圆的半径，
所以圆的方程为.
（2）由（1）知圆的方程为，
圆心到直线：的距离为，
∴直线与圆相交，
∴弦长，
即弦长的大小为.
19．(1)
(2)
（1）依题意，，∴.
∵，即，∴.
∴.
∴椭圆的方程为.
（2）由（1）知，，，
设，，
则，
即，
将，代入后，得，
∴，即，
∴.
∴ .
∴ 的面积为 .
20．(1)焦点坐标为，；顶点坐标为，；渐近线方程为
(2)
（1）由已知可得，双曲线的方程为，
所以，双曲线的焦点在轴上，且，，，
所以，，，，
所以，双曲线的焦点坐标为，；
顶点坐标为，；
渐近线方程为
（2）由已知可得，，，，
所以，，，，
，
因为，
所以有，即，
整理可得，，
解得.
21．(1)
(2)证明见解析
（1）设曲线上一点坐标为，由已知得，
化简可得，
即曲线的轨迹方程为..
（2）如图所示：
由（1）知曲线是以为圆心，半径为的圆，
过直线上一点向曲线作切线，切点分别为，，
则，，所以四点共圆，
即圆为的外接圆，圆心为的中点，半径为．
设，则，的中点为，，
所以圆的方程为，
即．
将变形，得，
所以，解得或，
所以圆恒过定点和．
22．(1)
(2)证明见解析
（1）由题可知，，准线，
因为直线的斜率存在且不为0，所以设，
联立，消去，得，
因为与相切，所以，所以（舍去）．
因此，解得，所以，
故，所以，所以（负值舍去），
所以抛物线的方程为．
.
（2）由（1）知，又，所以．
因为斜率存在且不为零，所以设:，
联立，消去，得，
则，所以且．
又直线，令，得，所以，
因为，所以，所以，
所以直线的方程为，
所以，
因为，
所以直线为，所以恒过定点．