江西省抚州市黎川县2023-2024学年高三上学期期中考试数学试题（含解析）

黎川县2023-2024学年高三上学期期中考试
数学
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡的相应位置上：
2.作答时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将答题卡交回。
一、单选题（每题5分，共40分）
1．已知集合，，则
A． B． C． D．
2．若a＞0，且，则等于（　　）
A．9+ B． C． D．6
3．已知向量，，若，，则（ ）
A． B． C． D．
4．已知函数在单调递减，在单调递增，则的最小正周期为（ ）
A． B． C． D．
5．过圆上一点作圆O的切线l，则直线l的方程是（ ）
A． B．
C． D．
6．如图，在菱形中，，线段、的中点分别为、．现将沿对角线翻折，当二面角的余弦值为时，异面直线与所成角的正弦值是（ ）
A． B． C． D．
7．已知双曲线的右焦点为，，直线与轴交于点，点为双曲线上一动点，且点在以为直径的圆内，直线与以为直径的圆交于点，则的最大值为（ ）
A．48 B．49
C．50 D．42
8．已知函数，若恒成立，则实数的取值范围是
A． B．
C． D．
二、多选题（每题5分，共20分）
9．在二项式的展开式中，下列结论正确的是（ ）
A．第5项的系数最大
B．所有项的系数和为
C．所有奇数项的二项式系数和为
D．所有偶数项的二项式系数和为
10．已知数列是等差数列，数列是等比数列，则下列说法正确的是（ ）
A．若p，q为实数，则是等比数列
B．若数列的前项和为，则，，成等差数列
C．若数列的公比，则数列是递增数列
D．若数列的公差，则数列是递减数列
11．如图所示，在长方体中，，，点是棱上的一个动点，给出下列命题，其中真命题的是（ ）
A．三棱锥的体积恒为定值
B．在棱上存在相应的点，使得平面
C．存在唯一的点，使得过的截面的周长取得最小值
D．为长方体表面上的动点，且满足，则点的轨迹长度为
12．数列满足（为非零常数），则下列说法正确的有（ ）
A．若，则数列是周期为6的数列
B．对任意的非零常数，数列不可能为等差数列
C．若，则数列是等比数列
D．若正数满足，则数列为递增数列
三、填空题（共20分）
13．事件互相独立，若，则 .
14．已知，，则的最大值是 ．
15．我国古代数学著作《算法统宗》中有这样一段记载：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关．”其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天才到达目的地．”则该人第一天走的路程为 里．
16．关于的方程在区间上有三个不相等的实根，则实数的取值范围是 .
四、解答题（共70分）
17．已知复数，为z的共轭复数，且．
(1)求m的值；
(2)若是关于x的实系数一元二次方程的一个根，求该一元二次方程的另一复数根．
18．某校举行了一次数学竞赛，为了了解本次竞赛学生的成绩情况，从中抽取了部分学生的分数（得分取正整数，满分为100分）作为样本（样本容量为）进行统计，按照，，，，的分组作出如图所示的频率分布直方图，已知得分在，的频数分别为16，4．
（1）求样本容量和频率分布直方图中的，的值；
（2）估计本次竞赛学生成绩的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；
（3）在选取的样本中，若男生和女生人数相同，我们规定成绩在70分以上称为“优秀”，70分以下称为“不优秀”，其中男、女姓中成绩优秀的分别有24人和30人，请完成列联表，并判断是否有90%的把握认为“学生的成绩优秀与性别有关”？
男生 女生 总计
优秀
不优秀
总计
附：，．
0.10 0.05 0.010 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
19．如图，在四棱锥中，平面，四边形是矩形，点是的中点，.
（1）证明：平面；
（2）求二面角的余弦值.
20．已知数列满足且．
(1)若为等差数列，求其前项和；
(2)若存在，使得对任意的，恒成立，证明是等差数列．
21．平面直角坐标系xOy中，点（－，0），（，0），点M满足，点M的轨迹为曲线C.
(1)求曲线C的方程；
(2)已知A（1，0），过点A的直线AP，AQ与曲线C分别交于点P和Q（点P和Q都异于点A），若满足AP⊥AQ，求证：直线PQ过定点.
22．已知函数.
(1)当时，求曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形面积的最大值；
(2)当时，函数取得极值，求的值.
答案
1．B
集合，，
所以.
故选B.
2．C
∵，
∴．
故选：C.
3．D
，，，，
所以．
故选：D．
4．D
由题意结合余弦函数图像可得，
，
最小正周期，
故选：D.
5．D
由题意点为切点，所以，又，所以，因此直线l的方程为．
故选：D
6．A
如下图所示，过作，交于点，
设与的夹角为，则，
记二面角的大小为，，
即，即，
，所以，即，
故选：A．
7．A
由双曲线方程知，右焦点，在双曲线上，
因为直线MF的方程为，整理得，
令，解得，
所以，
又，故的中点为，
所以以为直径的圆的圆心为F，且，.

连接，因为在以为直径的圆上，
所以，，
，
由于，所以
，
因为P为双曲线上一点，所以，且此时点P在圆内，所以.
故选：A.
8．A
根据题意可得恒成立，
因为，所以不等式可化为：恒成立，
令，，
可求得当时，，当时，，
所在上单调增，在上单调减，
所以，
所以的取值范围是，
故选A.
9．BD
在二项式展开式中，
第9项系数为，
第5项系数为，
因，所以错误.
令，得所有项系数和为，正确.
因为奇数项的二项式系数和等于偶数项二项式系数和，
为，所以错误，D正确.
故选：BD.
10．BD
取，，显然A不正确；由等差数列片段和性质知B正确；取，易知，但为递减数列，故C不正确；若，则由等差数列定义知，故数列是递减数列，D正确.
故选：BD.
11．ACD
对于A，，点到平面的距离，
，即三棱锥的体积恒为定值，A正确；
对于B，若与重合，在棱上取一点，满足，
假设平面，
，，四边形为平行四边形，，
又平面，平面，平面，
又平面，假设错误，
即不存在相应的点，使得平面，B错误；
对于C，在棱上取点，满足，连接，
，，，；
同理可得：，四边形为平行四边形，四点共面，
过的截面即为平行四边形，
过的截面的周长为；
将侧面和沿展开，可得侧面展开图如下图所示，
则当三点共线时，取得最小值；
存在唯一的点，使得过的截面的周长取得最小值，C正确；
对于D，若，则点轨迹是以为球心，为半径的球面，
则点轨迹由构成，如下图所示，
，，
，，；
又，，
点轨迹长度为，D正确.
故选：ACD.
12．AD
解：对于A，因为，所以，，
所以，，
所以，
所以数列是周期为6的数列，故正确；
对于B，当时，则有，，
即有，，
由等差中项的性质可知为等差数列，故错误；
对于C，当时，，，
即有，，
当时，数列是以2为公比的等比数列，故错误；
对于D，因为正数满足，
所以
所以，，
所以，，
设数列前项和为，
则有=，
所以，，
所以，，
所以，，
所以==，，
所以数列为递增数列，故正确.
故选：AD.
13．
因为事件互相独立，所以，
所以，所以，.
故答案为：
14．
因为，所以，设的夹角为，
，
当时，的最大值是.
故答案为：
15．192
解：由题意得，该人每天所走的路程成等比数列，公比为，
设第一天走了里，
则，解得，
即则该人第一天走的路程为192里.
故答案为：192.
16．
令，
则关于的方程在区间上有三个不相等的实根，
等价于函数的图象在区间上的部分与直线有三个不同的交点，

是过原点斜率为的直线，
设过原点且与的图象相切的直线与的图象相切于点，
所以，，所以，
所以切线方程为，整理可得：，
因为切线过原点，所以，即，所以，
所以设过原点且与的图象相切的直线方程为，
记，则直线的斜率为，
由图知：要使函数的图象在区间上的部分与直线有三个不同的交点，
则令直线的斜率在过原点的与的图象相切的直线的斜率和直线的斜率之间，所以，
所以实数的取值范围是
故答案为：.
17．(1)
(2)
（1）已知，则，
由于，得，解得：
（2）由（1）可知，，将代入方程可得：，
即：，得：，解得：，，
带入一元二次方程中得：，
解得：，，
即方程另外一个复数根为
18．（1），，；（2）；（3）填表见解析；没有．
解：（1）由题意可知，样本容量，
，
．
（2）设本次竞赛学生成绩的平均数为，
则．
（3）100位学生中男女生各有50名，成绩优秀共有54名，所以学生的成绩优秀与性别列联表如下表：
男生 女生 总计
优秀 24 30 54
不优秀 26 20 46
总计 50 50 100
∵
∴没有90%的把握认为“学生的成绩优秀与性别有关”．
19．（1）证明见解析；（2）.
（1）连接交于，在中，，为中点，所以，
因为平面，平面，所以平面.
（2）以为原点，分别以，，的方向为轴，轴，轴正方向，
建立空间直角坐标系，如图所示,
设，则，，且，，
设平面的法向量为，满足取，则，
因为平面，所以可以取平面的一个法向量为，
可得，
所以二面角的余弦值为.
20．(1)
(2)证明见解析
（1）若为等差数列，设，由可知，
因为，所以由可得，即，整理得①，
由可得，即，整理得②，
要使①②满足恒成立，则，解得，代入验证满足不等式恒成立，
所以，其前项和.
（2）因为数列满足且，
所以 对任意的恒成立，
又因为存在，使得对任意的，恒成立，
令，，则由可得对任意恒成立，
因为，所以当时，即，
所以，即数列是等差数列
21．(1)
(2)过定点，证明见详解
（1）因为，所以
由双曲线定义可知，M的轨迹为双曲线，其中
所以
所以曲线C的方程为：
（2）若直线PQ垂直于x轴，易知此时直线AP的方程为，
联立求解可得，直线PQ过点.
当直线PQ斜率存在时，设直线PQ方程为，
代入，整理得：
则
因为AP⊥AQ，所以
整理得
解得或
因为点P和Q都异于点A，所以不满足题意
故，代入，得，过定点.
综上，直线PQ过定点.
22．(1)
(2)或
（1）由已知，
则，，
曲线在点处的切线方程为，
当时，，当时，，
设线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形面积为，
则，
，
令，则，即在上单调递增，
令，则，即在上单调递减，
即，
即曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形面积的最大值为；
（2）由（1），
因为当时，函数取得极值，
得，解得或，
当时，，设，
则，令，
则，明显在上单调递增，
，即在上单调递增，
，即在上单调递增，
，即函数在上单调递增
又明显在上恒成立，
则在上单调递增，
，即函数在上单调递减，
所以当时，函数取得极值，
当时，，设，
则，
当时，明显，
当时，因为，
在上恒成立，
在上单调递增，又，
函数在上单调递减，在上单调递增，
所以当时，函数取得极值，
故或.
现证明，
设，则，
令，得，在上单调递增，
令，得，在上单调递减，
，即，
现证明，
设，则在上恒成立
即在上单调递增，
，即.