山东省菏泽市2023-2024学年高二上学期11月期中考试数学试题（B）（含答案）

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菏泽市2023-2024学年高二上学期11月期中考试
数学试题（B）
2023.11
注意事项：
1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟．
2．答题前，考生务必将姓名、班级等个人信息填写在答题卡指定位置．
3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答．超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效．
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．若直线与互相平行，则的值是（ ）
A． B． C．或 D．或
2．已知点，点在直线上，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
3．抛物线的焦点坐标为（ ）
A． B． C． D．
4．已知抛物线的焦点为，点在上．若到直线的距离为，则（ ）
A． B． C． D．
5．已知直线，圆．则“”是“与相切”的（ ）
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
6．明朝的一个葡萄纹椭圆盘如图（1）所示，清朝的一个青花山水楼阁纹饰椭圆盘如图（2）所示，北宋的一个汝窑椭圆盘如图（3）所示，这三个椭圆盘的外轮廓均为椭圆．已知图（1），（2），（3）中椭圆的长轴长与短轴长的比值分别为，，，设图（1），（2），（3）中椭圆的离心率分别为，，，则（ ）
（1） （2） （3）
A． B． C． D．
7．设抛物线的焦点为，准线为，点为上一动点，为定点，则下列结论错误的是（ ）
A．准线的方程是 B．的最大值为2
C．的最小化为5 D．以线段为直径的圆与轴相切
8．已知双曲线的右焦点为，点，是双曲线上的一点，当取得最小值时，点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分．
9．已知圆，则（ ）
A．点在圆的内部 B．圆的直径为2
C．过点的切线方程为 D．直线与圆相离
10．在平面直角坐标系中，已知双曲线，则（ ）
A．的离心率为 B．的渐近线方程为
C．的实轴长为 D．的右焦点到渐近线的距离为
11．2021年3月30日，小米正式开始启用具备“超椭圆”数学之美的新（如图所示），设计师的灵感来源于曲线．当，，时，下列关于曲线的判断正确的有（ ）
A．关于轴和轴对称
B．所围成的封闭图形的面积小于
C．设，直线交于、两点，则的周长小于
D．上的点到原点的距离的最大值为
12．已知椭圆的左、右焦点分别为，，离心率为，椭圆的上顶点为，且，双曲线和椭圆有相同的焦点，且双曲线的离心率为，为曲线与的一个公共点．若，则（ ）
A． B． C． D．
三、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置．
13．若直线的一个方向向量是，则直线的倾斜角是________．
14．两圆，相切，则实数________．
15．已知抛物线的焦点，过点作互相垂直的两条弦，，两条弦、的中点分别为，，直线与轴交于点．当的斜率为时，的面积为________．
16．某同学画“切面圆柱体”（用与圆柱底面不平行的平面切圆柱，底面与切面之间的部分叫做切面圆柱体），发现切面与圆柱侧面的交线是一椭圆（如图所示）．若该同学所画的椭圆的离心率为，则“切面”所在平面与底面所成锐二面角的大小为________．
四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）已知点，．
（1）求线段的垂直平分线的直线方程；
（2）若点，到直线的距离相等，求实数的值．
18．（12分）已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，长轴长为，离心率为．
（1）求椭圆的方程；
（2）设直线的斜率为1，经过点，且与椭圆交于，两点，若，求值．
19．（12分）小徐同学在平面直角坐标系画了一系列直线和以点为圆心，为半径的圆，如图所示，他发现这些直线和对应同一值的圆的交点形成的轨迹很熟悉，设上述交点的轨迹所在曲线为.
（1）求的方程；
（2）过点作直线交此于、两点，点在第一象限，且，上一点在直线的左侧，求三角形面积的最大值．
20．（12分）已知圆
（1）求过点且与圆相切的直线方程；
（2）若为圆上的任意一点，求的取值范围．
21．（12分）已知椭圆，①直线过的右焦点，椭圆的长轴长是下顶点到直线的距离的2倍，②点，都在上，③四点，，，中恰有三点在椭圆上．
在以上三个条件中任选一个，解答下列问题．
（1）求椭圆的标准方程：
（2）设，，是椭圆上不同于，的两点（其中在轴上方），若直线的斜率等于直线的斜率的2倍，求四边形面积的最大值．
22．（12分）已知双曲线的右焦点为，的两条渐近线分别与直线交于，两点，且的长度恰好等于点到渐近线距离的倍．
（1）求双曲线的离心率；
（2）已知过点且斜率为的直线与双曲线交于，两点，为坐标原点，若对于双曲线上任意一点，均存在实数，，使得，试确定，的等量关系式．
高二数学试题（B）参考答案
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．A 2．C 3．C 4．A 5．B 6．A 7．B 8．B
二、多项选择题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分．
9．ACD 10．ABD 11．ABD 12．BC
三、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置．
13． 14．或0 15． 16．
四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）
解：（1）线段的中点为，，
故线段的中垂线的方程为，
即，
（2）由条件线段的中点为在直线上或线段所在直线与直线平行，线段的中点为在直线上；
线段所在直线与直线平行．
18．（12分）
解：（1）设椭圆的方程为，
所以，，解得，
所以，所以；
（2）根据题意可得
，，
，
，则，解得，经检验，符合题意．
19．（12分）
解：（1）设交点为，所以所以；
（2）设直线为，
，，，，
，
因为，所以
所以，，
所以，，，
直线，
设点，，
点到直线的距离为，
所以.
20．（12分）
解：（1）圆的圆心为，半径，
当经过点的直线与轴垂直时，方程为，恰好到圆心到直线的距离等于半径，此时直线与圆相切，符合题意；
当经过点的直线与轴不垂直时，设直线为，
即，
由圆到直线的距离，得，解得，
此时直线的方程为，化简得，
综上圆的切线方程为或，
（2）可以看作圆上动点与定点距离的平方，
设圆心与点的距离为，则，
所以圆上动点与定点距离的最大值为，最小值为，
故的最大值为，最小值为，
即的取值范围．
21．（12分）
解：（1）若选①设椭圆的焦距为，直线恒过定点，所以．
椭圆的下顶点到直线的距离，
由题意得解得，．
所以椭圆的标准方程为；
若选②因为，都在上，所以解得
所以椭圆的标准方程为；
若选③由对称知：，都在椭圆上，对于椭圆在第一象限的图像上的点，
易知是的减函数，故，只有一个点符合，显然不在椭圆上，
所以，，三点在椭圆上，所以，
将代入椭圆方程可得，解得，
所以椭圆的方程为；
（2）设直线的斜率为，即直线的方程为，
联立直线与椭圆方程化简整理可得，
，
设，由韦达定理可得，，即，，
因为直线的斜率等于直线的斜率的倍，
所以可得直线的方程为，
联立直线与椭圆方程
化简整理可得，
，
设，由韦达定理可得，即，，
由对称性，不妨设，
则四边形的面积
，
令，则，当且仅当，即，等号成立，
则，故的最大值为．
22．（12分）
解：（1）设直线与轴交于点，不妨取一条渐近线，
则，所以，
又到的距离，
所以，即，所以．
（2）由（1）可知，，
所以，所以，
所以双曲线的方程为，即，则，直线，
由消去可得，
设，，则由根与系数的关系可得，，
设，则由，可得
由点在双曲线上，可得，
即，
因为，
，，
所以．