山东省菏泽市2023-2024学年高三上学期11月期中考试数学试题（B）（含答案）

菏泽市2023-2024学年高三上学期11月期中考试
数学试题（B）
2023．11
注意事项：
1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟．
2．答题前，考生务必将姓名、班级等个人信息填写在答题卡指定位置．
3．考生作答时，请将答案答在答题卡上，选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答．超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效．
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．王昌龄是盛唐著名的边塞诗人，被誉为“七绝圣手”，其《出塞》传诵至今，“秦时明月汉时关，万里长征人未还．但使龙城飞将在，不教胡马度阴山”，由此推断，其中最后一句“不教胡马度阴山”是“但使龙城飞将在”的（ ）
A．必要条件 B．充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
3．设，，则，的大小关系为（ ）
A． B． C． D．大小关系不确定
4．近来猪肉价格起伏较大，假设第一周、第二周的猪肉价格分别为元/斤、元/斤，甲和乙购买猪肉的方式不同，甲每周购买20元钱的猪肉，乙每周购买6斤猪肉，甲、乙两次平均单价为分别记为，，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．，的大小无法确定
5．已知定义在R上的奇函数满足，当时，，则（）
A．0 B．2 C． D．3
6．已知，为钝角，则，则（ ）
A． B． C．7 D．
7．函数在数学上称为高斯函数，也叫取整函数，其中表示不大于的最大整数，如，，，那么不等式成立的一个充分不必要条件是（ ）
A． B． C． D．
8．已知是边长为1的正三角形，若点满足，则的最小值为（ ）
A． B．1 C． D．
二、多项选择题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分．
9．设，，满足，则下列结论正确的是（ ）
A．的最大值为 B．的最小值为4
C．的最大值为2 D．的最小值为4
10．已知不等式的解集为，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．的解集为
11．已知的最小正周期为，则下列说法正确的是（ ）
A．是曲线的一个对称中心
B．在有两个极值点
C．在的值域为
D．将的图象向左平移个单位长度后得到的图象，则为偶函数
12．已知奇函数在R上可导，其导函数为，且恒成立，若在单调递增，则（ ）
A．在上单调递减 B．
C． D．
三、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置．
13．若命题“存在，使”是真命题，则实数的一个可能取值为______．
14．设，若函数有大于零的极值点，则的取值范围是______．
15．公路北侧有一幢楼，高为60米，公路与楼脚底面在同一平面上．某人在点处测得楼顶的仰角为45°，他在公路上自西向东行走，行走60米到点B处，测得仰角为45°，沿该方向再行走60米到点处，测得仰角为．则______．
16．已知为等边三角形，点是的重心．过点的直线与线段交于点，与线段交于点．设，，则______；与周长之比的取值范围为______．
四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．已知：实数满足，：实数满足（其中）．
（1）若，且和至少有一个为真，求实数的取值范围；
（2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围．
18．已知函数．
（1）若的解集为R，求实数的取值范围；
（2）当时，解关于的不等式．
19．在中，角，，所对的边分别，，，且
（1）求角的值；
（2）已知在边上，且，，求的面积的最大值．
20．用数学的眼光看世界就能发现很多数学之“美”．现代建筑讲究线条感，曲线之美让人称奇．衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下：若是的导函数，是的导函数，则曲线在点处的曲率．
（1）若曲线与在处的曲率分别为，，比较，大小；
（2）求正弦曲线曲率的最大值．
21．对1个单位质量的含污物体进行清洗，清洗前其清洁度（含污物体的清洁度定义为：）为0.8，要求洗完后的清洁度是0.99．有两种方案可供选择，方案甲：一次清洗；方案乙：两次清洗．该物体初次清洗后受残留水等因素影响，其质量的变化量为（）．设用单位质量的水初次清洗后的清洁度是，用单位质量的水第二次清洗后的清洁度是，其中是该物体初次清洗后的清洁度．
（1）分别求出方案甲以及时方案乙的用水量，并比较哪一种方案用水量较少；
（2）若采用方案乙，当为某定值时，如何安排初次与第二次清洗的用水量，使总用水量最少？并讨论取不同数值时对最少总用水量多少的影响．
22．已知函数，．
（1）求证：；
（2）求函数的极值．
高三数学试题（B）参考答案
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．D 2．A 3．A 4．C 5．A 6．D 7．B 8．A
二、多项选择题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分．
9．BD 10．AB 11．ACD 12．BC
三、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置．
13．（答案不唯一） 14． 15． 16．3
四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）
解：（1）：实数满足，解得，
当时，：，解得，
因为和至少有一个为真，所以或，所以，
所以实数的取值范围为；
（2）因为，由，解得，即：，
因为是的充分不必要条件，
所以（等号不同时取），所以．
18．（12分）
解：（1）由题意知在R上恒成立，所以，解得，
即实数的取值范围为；
（2）由得：；
当时，的解为或；
当时，的解为或；
综上所述：当时，不等式的解集为：当时，不等式的解集为．
19．（12分）
解：（1）在中因为．
由正弦定理得，
所以，
因为，所以．故．
又是的内角，所以．从而．
而为的内角，所以；
（2）因为，所以，所以，
从而，
由基本不等式可得：，当且仅当，时等号成立，
故的面积的最大值为．
20．（12分）
解：（1），，所以，
，，，所以；
（2），，
所以，
，
令，则，
设，则，
显然当时，，递减，所以．最大值为1，
所以的最大值为1．
21．（12分）
解：（1）设方案甲与方案乙的用水量分别为，，则由题意得
，解得，
由得方案乙初次用水量为3，第二次用水量满足，
解得，所以，
即两种方案的用水量分别为19和，
因为时，，
所以，所以方案乙的用水量较少；
（2）设初次与第二次清洗的用水量分别为与，
类似（1）得，，
所以
，
当为定值时，，
当且仅当时取等号，
此时不合题意舍去，或，
将代入，，
得，，
所以时总用水量最少，
此时第一次与第二次用水量分别为和，
最少用水量为，
当时，，所以在上为增函数，
所以随着的增加，最少用水量在增加．
22．（12分）
解：（1）令．
由基本不等式，得，当且仅当时等号成立．
又，所以，
故；
（2），
当时，，，，，则，
所以，
当时，，
设，，则，
所以在上单调递减．
由且，得，得，
又，则，
当时，，
当时，且，得，得．
又，则．
综上，在上恒大于0，在上恒小于0．
则在单调递增，在单调递减，
因此是在的唯一极大值点，且的极大值为，
故有极大值，极大值为，无极小值．