广东省深圳市光明区2023-2024学年高一上册数学10月月考试卷
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．（2023高一上·光明月考）已知集合，，，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2023高一上·光明月考）下列命题中是全称量词命题且真命题的是（ ）
A．所有的素数都是奇数 B．有些梯形是等腰梯形
C．平行四边形的对角线互相平分 D．，
3．（2023高一上·光明月考）不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
4．（2023高一上·光明月考）已知集合，则集合A的非空真子集有（ ）个
A．5 B．6 C．7 D．8
5．（2023高一上·光明月考）已知命题p：，命题q：，则命题p是命题q的（ ）条件
A．充分不必要 B．必要不充分
C．充要 D．既不充分也不必要
6．（2023高一上·光明月考）分式不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
7．（2023高一上·光明月考）已知不等式的解集是，则下列说法错误的是（ ）
A． B． C． D．
8．（2023高一上·光明月考）对非空有限数集A定义运算“”：表示集合A中的最小元素．现给定两个非空有限数集A，B，定义集合，我们称为集合A，B之间的“距离”，记为.现有如下四个命题：
①若，则；②若，则；
③若，则；④对任意有限数集A，B，C，均有.
其中，真命题的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．（2023高一上·光明月考）下列数学符号使用正确的是（ ）
A． B． C． D．
10．（2023高一上·光明月考）已知a，b，c，，且，则下列不等式一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
11．（2023高一上·光明月考）若甲是乙的充分不必要条件，乙是丙的充要条件，丙是丁的必要不充分条件，则下列说法正确的是（ ）
A．乙是甲的必要不充分条件
B．甲是丙的充分不必要条件
C．丁是甲的既不充分也不必要条件
D．乙是丁的充要条件
12．（2023高一上·光明月考）下列结论正确的是（ ）
A．若集合A，B满足，则
B．若集合中只有一个元素，则或
C．若，则有最大值，且最大值为
D．若实数a，b，c满足，，则
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．（2023高一上·光明月考）已知命题p：，，则是 .
14．（2023高一上·光明月考）立德中学有35人参加“学党史知识竞赛”，若答对第一题的有20人，答对第二题的有16人，两题都答对的有6人，则第一，第二题都没答对的有 .
15．（2023高一上·光明月考）若不等式在上恒成立，则实数k的取值范围为 .
16．（2023高一上·光明月考）已知，则当时，取到最小值 .
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（2023高一上·光明月考）集合，，求：
（1），；
（2）．
18．（2023高一上·光明月考）
（1）已知，求的最小值；
（2）已知，且满足，求的最小值.
19．（2023高一上·光明月考）已知集合，，，则
（1）若是的充分条件，求实数t的范围；
（2）若，求实数a的范围.
20．（2023高一上·光明月考）用作差法证明下列不等式：
（1）对，；
（2）对，.
21．（2023高一上·光明月考）运货卡车以每小时x千米的速度匀速行驶130千米，按交通法规限制(单位：千米/时)．假设汽油的价格是每升2元，而汽车每小时耗油升，司机的工资是每小时14元．
（1）求这次行车总费用y关于x的表达式；
（2）当x为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值．（最后结果保留2位小数，）
22．（2023高一上·光明月考）已知不等式，.
（1）若不等式的解集为，求a的值；
（2）对，讨论该不等式的解集.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】交、并、补集的混合运算
【解析】【解答】解：因为，，，所以，则.
故答案为：D.
【分析】直接根据集合的交集、补集的概念判断即可.
2．【答案】C
【知识点】复合命题的真假；全称量词；存在量词
【解析】【解答】解：A、 所有的素数都是奇数 是全称量词命题；2是素数，但2不是奇数，故A不符合；
B、 有些梯形是等腰梯形 是存在量词命题；真命题，故B不符合；
C、平行四边形的对角线互相平分 是全称存在量词命题；真命题，故C符合；
D、， 存在量词命题，假命题，故D不符合.
故答案为：C.
【分析】根据全称量词命题和存在量词命题的概念，以及命题真假的判断方法，逐项分析即可.
3．【答案】A
【知识点】一元二次不等式
【解析】【解答】解：，解得，即不等式的解集为.
故答案为：A.
【分析】直接解一元二次不等式即可.
4．【答案】B
【知识点】子集与真子集
【解析】【解答】解：由，可得，所以集合A的非空真子集个数为.
故答案为：B.
【分析】根据已知条件，得到集合，再根据非空真子集个数的计算公式求解即可.
5．【答案】A
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】解：若，则，故；若，只需中至少一个不为0即可，则不一定成立，综上，命题P是命题q的充分不必要条件.
故答案为：A.
【分析】利用命题概念、充分条件、必要条件、充要条件、既不充分也不必要条件的定义分析运算判断即可得解.
6．【答案】D
【知识点】不等关系与不等式
【解析】【解答】解：分式不等式等价于，解得或，所以分式不等式的解集为.
故答案为：D.
【分析】将分式不等式转化为不等式组求解即可.
7．【答案】B
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：因为不等式的解集为，所以，再由韦达定理可知，可知，，又因为，所以.
故答案为：B.
【分析】根据不等式的解集为，得，再由韦达定理得a，b和c的关系，由，判断b和c和0的大小关系，再根据，判断D选项即可.
8．【答案】C
【知识点】集合的含义；集合的表示方法
【解析】【解答】解：易得，对于任意两个非空数集，，当且仅当两个非空有限数集A，B中有相同数时，，则①③正确，②错误；取，所以，所以④错误.
故答案为：C.
【分析】根据已知条件，结合新定义可判定①③正确，②错误；取特殊的集合，可判定④错误.
9．【答案】A,B,D
【知识点】元素与集合的关系
【解析】【解答】解：A、表示自然数，-1不是自然数，所以，故A错误；
B、1是整数，表示整数，所以，故B正确；
C、为空集，没有任何元素，所以，故C错误；
D、为空集，空集时任何集合的子集，所以，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】根据集合与元素之间关系以及集合与集合之间的关系逐项判断即可.
10．【答案】B,D
【知识点】利用不等式的性质比较大小
【解析】【解答】解：取时，，故A错误；，故B正确；，故C错误；，故D正确.
故答案为：BD.
【分析】取特殊值逐项判断即可.
11．【答案】A,B,C
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】解：因为甲是乙的充分不必要条件，所以乙是甲的必要不充分条件，故A正确；
甲是乙的充分不必要条件，乙是丙的充要条，所以甲能推出丙，而丙推不出甲，所以甲是丙的充分不必要条件，故B正确；
甲是乙的充分不必要条件，乙是丙的充要条件，丙是丁的必要不充分条件，甲乙丙推不出丁，丁丙乙，乙推不出甲，所以丁是甲的既不充分也不必要条件，故C正确；
甲是乙的充分不必要条件，乙是丙的充要条件，丙是丁的必要不充分条件，甲乙丙推不出丁，丁丙乙，所以乙是丁的必要不充分条件，故D错误.
故答案为：ABC.
【分析】利用充分条件和必要条件的定义进行判断.
12．【答案】C,D
【知识点】利用不等式的性质比较大小；基本不等式
【解析】【解答】解：A、因为集合满足，所以，故A错误；
B、 当时，集合为空集，不满足集合中只有一个元素，故B错误；
C、当，时，当且仅当即时等号成立，所以有最大值，且最大值为-2，故C正确；
D、因为，，所以，即，所以，故D正确.
故答案为：CD.
【分析】利用集合运算和集合性质判断A；根据集合中元素个数为1，验证判断B；利用基本不等式，判断C；由不等式性质D即可.
13．【答案】，
【知识点】命题的否定
【解析】【解答】解：命题p：，的否定为：，.
故答案为：，.
【分析】根据含一个量词命题否定的概念，直接改写即可.
14．【答案】5
【知识点】Venn图表达集合的关系及运算
【解析】【解答】解：设第一，第二题都没答对的有人，根据题意可得，解得.
故答案为：5.
【分析】设第一，第二题都没答对的有人，利用图求解即可.
15．【答案】
【知识点】函数恒成立问题
【解析】【解答】解：，不等式恒成立，
当时，原不等式转化为恒成立，满足条件；
当时，不等式在恒成立，则需满足解得，综上可得，，所以实数的取值范围为.
故答案为：.
【分析】根据题意，分和两种情况讨论，结合二次函数的性质，列出不等式组，求解即可.
16．【答案】
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】解：令，因为，所以且，，当且仅当，即且，所以.
故答案为：.
【分析】令，由，推出，利用常值“1”代换与基本不等式的性质求解即可.
17．【答案】（1）解：在数轴上画出A，B集合如下
所以
（2）解：在数轴上画出与B集合如下
所以
【知识点】交、并、补集的混合运算
【解析】【分析】（1）画数轴，找出两集合的交集、并集即可.
（2）画数轴，先求集合A的补集，再找出集合A的补集与集合B的交集即可.
18．【答案】（1）解：，因为，所以
所以，
当且仅当时取等号，此时，即(舍)或
（2）解：由，，，等式两边同除以ab，得
，故最小值为16
当且仅当时取等号，此时，联立，解得，
【知识点】基本不等式
【解析】【分析】（1）因为，所以，配凑，再利用基本不等式求最小值即可；
（2）由已知条件，，推出，利用常值代换结合基本不等式即可求得最小值.
19．【答案】（1）解：依题意，
画出数轴图
由图得，
（2）解：由，得
①，则，得
②，画出数轴
由数轴可得，解得
综上所述，m的取值范围为.
【知识点】元素与集合的关系；集合关系中的参数取值问题
【解析】【分析】（1）由是的充分条件，可得，画数轴，即可求得实数t的取值范围；
（2）由，可得，分和，结合数轴，列不等式组，求m得取值范围即可.
20．【答案】（1）解：
对，，所以
（2）解：
对，，，所以，即.
【知识点】不等关系与不等式
【解析】【分析】（1）作差，配方判断正负号即可证明原不等式；
（2）作差分子有理化处理，将差式变形为正的和式即可判断符号，从而证明不等式.
21．【答案】（1）解：设此次停车总时间为t，则时()
故汽车总耗油，总油费元
司机工资为元
行车总费用元
（2）解：由(1)，元
当，即时取等号
即千米/时，行车总费用最低，最低为82.16元.
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【分析】（1）设此次行车总时间为t，则，汽车总耗油，求得总油费和司机工资，进而求得y关于x的表达式 ；
（2）由（1）中的表达式，利用基本不等式求解即可.
22．【答案】（1）解：由题知，，是方程的两个根，
于是有
解得
（2）解：令
下面开始讨论，
①当，不等式变为，不等式的解集为
当，有两根2与
②当时，，不等式的解集为，
③当，，不等式的解集为，
④当时，，不等式解集为，
⑤当时，，不等式的解集为.
【知识点】一元二次不等式及其解法
【解析】【分析】（1）根据题意得，-1和2是方程的两个根，利用韦达定理列方程即可求解；
（2）分和，结合一元二次不等式解法，分情况讨论，即可求解.
1 / 1广东省深圳市光明区2023-2024学年高一上册数学10月月考试卷
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．（2023高一上·光明月考）已知集合，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】交、并、补集的混合运算
【解析】【解答】解：因为，，，所以，则.
故答案为：D.
【分析】直接根据集合的交集、补集的概念判断即可.
2．（2023高一上·光明月考）下列命题中是全称量词命题且真命题的是（ ）
A．所有的素数都是奇数 B．有些梯形是等腰梯形
C．平行四边形的对角线互相平分 D．，
【答案】C
【知识点】复合命题的真假；全称量词；存在量词
【解析】【解答】解：A、 所有的素数都是奇数 是全称量词命题；2是素数，但2不是奇数，故A不符合；
B、 有些梯形是等腰梯形 是存在量词命题；真命题，故B不符合；
C、平行四边形的对角线互相平分 是全称存在量词命题；真命题，故C符合；
D、， 存在量词命题，假命题，故D不符合.
故答案为：C.
【分析】根据全称量词命题和存在量词命题的概念，以及命题真假的判断方法，逐项分析即可.
3．（2023高一上·光明月考）不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】一元二次不等式
【解析】【解答】解：，解得，即不等式的解集为.
故答案为：A.
【分析】直接解一元二次不等式即可.
4．（2023高一上·光明月考）已知集合，则集合A的非空真子集有（ ）个
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】B
【知识点】子集与真子集
【解析】【解答】解：由，可得，所以集合A的非空真子集个数为.
故答案为：B.
【分析】根据已知条件，得到集合，再根据非空真子集个数的计算公式求解即可.
5．（2023高一上·光明月考）已知命题p：，命题q：，则命题p是命题q的（ ）条件
A．充分不必要 B．必要不充分
C．充要 D．既不充分也不必要
【答案】A
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】解：若，则，故；若，只需中至少一个不为0即可，则不一定成立，综上，命题P是命题q的充分不必要条件.
故答案为：A.
【分析】利用命题概念、充分条件、必要条件、充要条件、既不充分也不必要条件的定义分析运算判断即可得解.
6．（2023高一上·光明月考）分式不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】不等关系与不等式
【解析】【解答】解：分式不等式等价于，解得或，所以分式不等式的解集为.
故答案为：D.
【分析】将分式不等式转化为不等式组求解即可.
7．（2023高一上·光明月考）已知不等式的解集是，则下列说法错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：因为不等式的解集为，所以，再由韦达定理可知，可知，，又因为，所以.
故答案为：B.
【分析】根据不等式的解集为，得，再由韦达定理得a，b和c的关系，由，判断b和c和0的大小关系，再根据，判断D选项即可.
8．（2023高一上·光明月考）对非空有限数集A定义运算“”：表示集合A中的最小元素．现给定两个非空有限数集A，B，定义集合，我们称为集合A，B之间的“距离”，记为.现有如下四个命题：
①若，则；②若，则；
③若，则；④对任意有限数集A，B，C，均有.
其中，真命题的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【知识点】集合的含义；集合的表示方法
【解析】【解答】解：易得，对于任意两个非空数集，，当且仅当两个非空有限数集A，B中有相同数时，，则①③正确，②错误；取，所以，所以④错误.
故答案为：C.
【分析】根据已知条件，结合新定义可判定①③正确，②错误；取特殊的集合，可判定④错误.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．（2023高一上·光明月考）下列数学符号使用正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A,B,D
【知识点】元素与集合的关系
【解析】【解答】解：A、表示自然数，-1不是自然数，所以，故A错误；
B、1是整数，表示整数，所以，故B正确；
C、为空集，没有任何元素，所以，故C错误；
D、为空集，空集时任何集合的子集，所以，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】根据集合与元素之间关系以及集合与集合之间的关系逐项判断即可.
10．（2023高一上·光明月考）已知a，b，c，，且，则下列不等式一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B,D
【知识点】利用不等式的性质比较大小
【解析】【解答】解：取时，，故A错误；，故B正确；，故C错误；，故D正确.
故答案为：BD.
【分析】取特殊值逐项判断即可.
11．（2023高一上·光明月考）若甲是乙的充分不必要条件，乙是丙的充要条件，丙是丁的必要不充分条件，则下列说法正确的是（ ）
A．乙是甲的必要不充分条件
B．甲是丙的充分不必要条件
C．丁是甲的既不充分也不必要条件
D．乙是丁的充要条件
【答案】A,B,C
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】解：因为甲是乙的充分不必要条件，所以乙是甲的必要不充分条件，故A正确；
甲是乙的充分不必要条件，乙是丙的充要条，所以甲能推出丙，而丙推不出甲，所以甲是丙的充分不必要条件，故B正确；
甲是乙的充分不必要条件，乙是丙的充要条件，丙是丁的必要不充分条件，甲乙丙推不出丁，丁丙乙，乙推不出甲，所以丁是甲的既不充分也不必要条件，故C正确；
甲是乙的充分不必要条件，乙是丙的充要条件，丙是丁的必要不充分条件，甲乙丙推不出丁，丁丙乙，所以乙是丁的必要不充分条件，故D错误.
故答案为：ABC.
【分析】利用充分条件和必要条件的定义进行判断.
12．（2023高一上·光明月考）下列结论正确的是（ ）
A．若集合A，B满足，则
B．若集合中只有一个元素，则或
C．若，则有最大值，且最大值为
D．若实数a，b，c满足，，则
【答案】C,D
【知识点】利用不等式的性质比较大小；基本不等式
【解析】【解答】解：A、因为集合满足，所以，故A错误；
B、 当时，集合为空集，不满足集合中只有一个元素，故B错误；
C、当，时，当且仅当即时等号成立，所以有最大值，且最大值为-2，故C正确；
D、因为，，所以，即，所以，故D正确.
故答案为：CD.
【分析】利用集合运算和集合性质判断A；根据集合中元素个数为1，验证判断B；利用基本不等式，判断C；由不等式性质D即可.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．（2023高一上·光明月考）已知命题p：，，则是 .
【答案】，
【知识点】命题的否定
【解析】【解答】解：命题p：，的否定为：，.
故答案为：，.
【分析】根据含一个量词命题否定的概念，直接改写即可.
14．（2023高一上·光明月考）立德中学有35人参加“学党史知识竞赛”，若答对第一题的有20人，答对第二题的有16人，两题都答对的有6人，则第一，第二题都没答对的有 .
【答案】5
【知识点】Venn图表达集合的关系及运算
【解析】【解答】解：设第一，第二题都没答对的有人，根据题意可得，解得.
故答案为：5.
【分析】设第一，第二题都没答对的有人，利用图求解即可.
15．（2023高一上·光明月考）若不等式在上恒成立，则实数k的取值范围为 .
【答案】
【知识点】函数恒成立问题
【解析】【解答】解：，不等式恒成立，
当时，原不等式转化为恒成立，满足条件；
当时，不等式在恒成立，则需满足解得，综上可得，，所以实数的取值范围为.
故答案为：.
【分析】根据题意，分和两种情况讨论，结合二次函数的性质，列出不等式组，求解即可.
16．（2023高一上·光明月考）已知，则当时，取到最小值 .
【答案】
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】解：令，因为，所以且，，当且仅当，即且，所以.
故答案为：.
【分析】令，由，推出，利用常值“1”代换与基本不等式的性质求解即可.
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（2023高一上·光明月考）集合，，求：
（1），；
（2）．
【答案】（1）解：在数轴上画出A，B集合如下
所以
（2）解：在数轴上画出与B集合如下
所以
【知识点】交、并、补集的混合运算
【解析】【分析】（1）画数轴，找出两集合的交集、并集即可.
（2）画数轴，先求集合A的补集，再找出集合A的补集与集合B的交集即可.
18．（2023高一上·光明月考）
（1）已知，求的最小值；
（2）已知，且满足，求的最小值.
【答案】（1）解：，因为，所以
所以，
当且仅当时取等号，此时，即(舍)或
（2）解：由，，，等式两边同除以ab，得
，故最小值为16
当且仅当时取等号，此时，联立，解得，
【知识点】基本不等式
【解析】【分析】（1）因为，所以，配凑，再利用基本不等式求最小值即可；
（2）由已知条件，，推出，利用常值代换结合基本不等式即可求得最小值.
19．（2023高一上·光明月考）已知集合，，，则
（1）若是的充分条件，求实数t的范围；
（2）若，求实数a的范围.
【答案】（1）解：依题意，
画出数轴图
由图得，
（2）解：由，得
①，则，得
②，画出数轴
由数轴可得，解得
综上所述，m的取值范围为.
【知识点】元素与集合的关系；集合关系中的参数取值问题
【解析】【分析】（1）由是的充分条件，可得，画数轴，即可求得实数t的取值范围；
（2）由，可得，分和，结合数轴，列不等式组，求m得取值范围即可.
20．（2023高一上·光明月考）用作差法证明下列不等式：
（1）对，；
（2）对，.
【答案】（1）解：
对，，所以
（2）解：
对，，，所以，即.
【知识点】不等关系与不等式
【解析】【分析】（1）作差，配方判断正负号即可证明原不等式；
（2）作差分子有理化处理，将差式变形为正的和式即可判断符号，从而证明不等式.
21．（2023高一上·光明月考）运货卡车以每小时x千米的速度匀速行驶130千米，按交通法规限制(单位：千米/时)．假设汽油的价格是每升2元，而汽车每小时耗油升，司机的工资是每小时14元．
（1）求这次行车总费用y关于x的表达式；
（2）当x为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值．（最后结果保留2位小数，）
【答案】（1）解：设此次停车总时间为t，则时()
故汽车总耗油，总油费元
司机工资为元
行车总费用元
（2）解：由(1)，元
当，即时取等号
即千米/时，行车总费用最低，最低为82.16元.
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【分析】（1）设此次行车总时间为t，则，汽车总耗油，求得总油费和司机工资，进而求得y关于x的表达式 ；
（2）由（1）中的表达式，利用基本不等式求解即可.
22．（2023高一上·光明月考）已知不等式，.
（1）若不等式的解集为，求a的值；
（2）对，讨论该不等式的解集.
【答案】（1）解：由题知，，是方程的两个根，
于是有
解得
（2）解：令
下面开始讨论，
①当，不等式变为，不等式的解集为
当，有两根2与
②当时，，不等式的解集为，
③当，，不等式的解集为，
④当时，，不等式解集为，
⑤当时，，不等式的解集为.
【知识点】一元二次不等式及其解法
【解析】【分析】（1）根据题意得，-1和2是方程的两个根，利用韦达定理列方程即可求解；
（2）分和，结合一元二次不等式解法，分情况讨论，即可求解.
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