山东省青岛市名校2023-2024学年高二上册数学期初考试试卷
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分．在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1．（2022高二上·江西开学考）集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．江西南昌的滕王阁，位于南昌沿江路赣江东岸，始建于唐朝永徽四年（即公元653年），是古代江南唯一的皇家建筑．因初唐诗人王勃所作《滕王阁序》而名传千古，流芳后世，被誉为“江南三大名楼”之首（另外两大名楼分别为岳阳楼与武汉的黄鹤楼）．小张同学为测量滕王阁的高度，选取了与底部水平的直线，将自制测量仪器分别放置于，两处进行测量．如图，测量仪器高，点与滕王阁顶部平齐，并测得，，则小张同学测得滕王阁的高度约为（参考数据：）（ ）
A． B． C． D．
3．（2022高二上·江西开学考）如图，在中，点D在边上，，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．已知样本数据的方差为4，若由，，得到另一组样本数据，则样本数据的方差为（ ）
A．8 B．16 C．32 D．64
5．已知，，当与的夹角为时，在上的投影向量为（ ）
A．2 B． C． D．
6．如图，线段是圆的直径，圆内一条动弦与交于点，且，现将半圆沿直径翻折，则三棱锥体积的最大值是（ ）
A． B． C．3 D．1
7．函数的部分图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
8．已知，且，则的值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分．在每小题有多项符合题目要求）
9．已知，，且，则下列结论正确的是（ ）
A．的最小值为3 B．的最大值为6
C．的最大值为 D．
10．一个质地均匀的正四四体，四个面分别标有数字1、2、3、4，抛掷这个正四面体一次，观察它与地面接触的面上的数字得到样本空间，设事件，事件，事件，则下列说法中正确的是（ ）
A．与不是互斥事件 B．与是对立事件
C．与是独立事件 D．与是独立事件
11．，是两个平面，，是两条直线，有下列四个命题，其中正确的有（ ）
A．如果，与所成的角相等，那么
B．如果，，那么
C．如果，，那么
D．如果，，，那么
12．如图所示，在棱长为1的正方体中，为的中点，直线交平面于点，则下列结论正确的是（ ）
A．，，三点共线
B．平面
C．直线与平面所成的角为
D．到平面的距离为
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13．（2022高二上·宣城开学考）设（其中为虚数单位），则 .
14．（2022高二上·宣城开学考）已知幂函数的图象过点，则 .
15．（2022高一下·祁东期末）驾照考试一共有四个科目：科目一（驾驶员理论考试）、科目二（场地驾驶技能考试）、科目三（道路驾驶技能考试）、科目四（安全文明驾驶常识考试）．只有四个科目都通过才能取得驾照．若某学员四个科目通过的概率依次是0.9、0.8、0.8、0.9，且每个科目是否通过相互之间没有影响，则该学员拿到驾照的概率为 ．
16．（2022高二上·江西开学考）用一个平行于圆锥底面的平面截圆锥，得到一个小圆锥和一个圆台，若小圆锥与圆台的侧面积之比为，则小圆锥与圆台的体积之比为 ．
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17． 2022年“中国航天日”线上启动仪式在4月24日上午举行，为普及航天知识，某校开展了“航天知识竞赛”活动，现从参加该竞赛的学生中随机抽取50名，统计他们的成绩（满分100分），其中成绩不低于80分的学生被评为“航天达人”，将数据整理后绘制如图所示的频率分布直方图．
（1）求频率分布直方图中的值，并估计这50名同学的平均成绩；
（2）先用分层抽样的方法从评分在和的同学中抽取5名同学，再从抽取的这5名同学中随机抽取2名，求这2名同学的分数都在区间的概率．
18．在如图所示的半圆柱中，为上底面直径，为下底面直径，为母线，点在上，在上，且，为的中点．
（1）求直线与直线所成角的余弦值；
（2）求直线与平面所成角的正切值；
（3）求二面角的正弦值．
19．已知函数．
（1）求的单调递减区间；
（2）若当时，关于的不等式恒成立，求实数的取值范围．
20．在中，角，，的对边分别为，，，．
（1）求角的大小；
（2）若，求的面积的最大值，并指出此时三角形的形状．
21．如图，在直三棱柱中，，，点为中点，连接、交于点，点为中点．
（1）求证：平面；
（2）求证：平面平面．
22．已知函数．
（1）求证函数的图象过定点，并写出该定点；
（2）设函数，且，试证明函数在上有唯一零点．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】由于，所以.
对于函数，由于，所以，所以，
所以。
故答案为：B
【分析】利用已知条件结合偶次根式函数求定义域的方法，进而得出集合A，再利用换元法求值域的方法求出集合B，再结合交集的运算法则，进而得出集合A和集合B的交集。
2．【答案】C
【知识点】解三角形
【解析】【解答】解：因为，
所以
所以AB=BP=64，在Rt中，PC=BPsin60= =
所以小张同学测得滕王阁的高度约为PF=PC+CF= +2321.732+2=57.4
故答案为： C.
【分析】利用中边和角的关系，解得PC的值,进而得到PF的值.
3．【答案】A
【知识点】向量加法的三角形法则；平面向量的数量积运算
【解析】【解答】过点A作，垂足为E.，，，
。
故答案为：A.
【分析】过点A作，垂足为E，再利用，和勾股定理得出，再结合已知条件和三角形法则以及数量积的运算法则，再利用数量积的定义得出的值。
4．【答案】B
【知识点】极差、方差与标准差
【解析】【解答】解：设样本数据的方差为D(X)=4， Y=2X+3则样本数据的方差为 D(Y)=D(2X+3)=4D(X)=16.
故答案为：B.
【分析】由新数据与已知数据关系D(Y)=D(2X+3)=4D(X)得到新数据方差.
5．【答案】B
【知识点】平面向量数乘的运算
【解析】【解答】解：因为 ， 在上的投影向量为
故答案为：B.
【分析】根据已知条件直接由投影向量公式求得.
6．【答案】D
【知识点】正弦函数的性质；棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面所成的角
【解析】【解答】解：设翻折后CM与平面ABD所成角为，则 三棱锥体积 为
故答案为：D .
【分析】根据CM与平面ABD所成角为，得到高为CM，再由棱锥体积公式V=sh列出式子，结合正弦函数值域得到结论.
7．【答案】D
【知识点】函数的奇偶性；正弦函数的图象
【解析】【解答】解：，得f（x）是偶函数，A，C错误；当x时，f(x)0，答案B错误.
故答案为：D.
【分析】本题用排除法.根据奇偶性得图像关于y轴对称，排除A，C.据某一区间的函数值排除B.
8．【答案】D
【知识点】两角和与差的余弦公式；两角和与差的正弦公式；两角和与差的正切公式；二倍角的余弦公式
【解析】【解答】解：因为，
所以，
所以，
又 ，
所以=1 ，
所以
故答案为：D.
【分析】根据两角和差公式展开两角的正弦、余弦、正切即可，注意条件.
9．【答案】A,C,D
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解：对于A，因为，，，
所以
当且仅当且即x=y=1时取等号，A正确；
对于B ， 当且仅当x=2y且x+2y=3时取等号，所以 ，
B错误；
对于C ， ，xy当且仅当x=2y时取等号，C正确；
对于D ， ， 当且仅当x+1=2y且x+2y=3，即x=y=1时，取等号，D正确
故答案为：A，C，D.
【分析】根据均值不等式a+b成立的条件：一正，二定，三相等，列出不等式求最值.
10．【答案】A,B,C
【知识点】互斥事件与对立事件；相互独立事件
【解析】【解答】解：当正四面体与地面接触的面上的数字是1时，事件E与事件F都发生，则E与F不是互斥事件而是相互独立事件，A、C正确；
样本空间，与，一定有且只有一个发生 ，是对立事件而不是独立事件B正确D错误；
故答案为：A、B、C.
【分析】在样本空间确定的条件下，不可能同时发生的事件是互斥事件，对立事件是互斥事件的特例，对立事件只有两事件之间的互斥事件.一个事件的发生对另一事件没有影响，它们为相互独立事件.
11．【答案】D
【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系；平面与平面之间的位置关系
【解析】【解答】解：对于A，若直线m，n关于平面的垂线对称， ，与所成的角也相等，故A错误.
对于B，过n及平面内一点A作平面，则平面与平面交于过点A的直线c ,因为 ,所以nc.因为,所以mc，所以 ,故B正确.
对于C，m可能在内，故C错误.
对于D，因为所以或,又，所以，故D正确.
故答案为：B，D.
【分析】利用空间直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行判定条件，举出反例即可排除.
12．【答案】A,B,C
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积；平面的基本性质及推论；直线与平面垂直的性质；直线与平面所成的角
【解析】【解答】解：对于A，因为
所以C1、M、O三点共线，A正确
对于B，因为 所以BD平面AA1C1C又平面AA1C1C
所以 同理 又BD=B 所以 平面 故B正确
对于C，连接A1D、AD1交于N，因为
所以平面所以就是 直线与平面所成的角
因为所以 直线与平面所成的角为 ，C正确
对于D，设 到平面的距离为 h，因为所以 解得h=所以D错误
故答案为：A、B、C.
【分析】根据平面基本性质，三点都在两平面交线上，得A正确.正方体体对角线与面对角线垂直，线面垂直判定定理，得B正确.根据直线与平面所成角为斜线与它在平面内身影所成角找到角，在直角三角形中求角，得C正确.根据三棱锥等积法求点到平面距离，知D错误.
13．【答案】
【知识点】复数代数形式的混合运算；复数的模
【解析】【解答】由题意可知，
所以.
故答案为：.
【分析】利用复数除法法则及加法法则，结合复数的摸公式即可求解.
14．【答案】
【知识点】函数的值
【解析】【解答】设，
由的图象过点，可得，解得
，故.
故答案为：.
【分析】利用待定系数法求出函数解析式即可求解.
15．【答案】0.5184
【知识点】相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【解答】由题意得，该学员拿到驾照的概率为.
故答案为：0.5184.
【分析】利用独立事件的概率乘法公式直接求解可得该学员拿到驾照的概率.
16．【答案】
【知识点】旋转体（圆柱/圆锥/圆台/球）的结构特征
【解析】【解答】设小圆锥的底面半径为，高为，母线为，大圆锥的底面半径为的r，高为h，母线为l，则，且，则，故小圆锥与大圆锥的体积之比为，故小圆锥与圆台的体积之比为。
故答案为：。
【分析】设小圆锥的底面半径为，高为，母线为，大圆锥的底面半径为的r，高为h，母线为l，再利用两线段平行对应边成比例，则，再结合圆锥的侧面积公式和已知条件得出，进而得出，再利用圆锥的体积公式得出小圆锥与大圆锥的体积之比，再结合作差法得出小圆锥与圆台的体积之比。
17．【答案】（1）解：由已知，
∴，记这50名同学的平均成绩为，
则．
（2）解：先用分层抽样的方法从评分在和的同学中抽取5名同学，
因为，则应从评分在的同学中抽取1人，记为A，从评分在的同学中抽取4人，记为，，，．
从这5名同学中随机抽取2人，所有可能的结果共有10种，分别是：
，
又因为抽取的2名同学的分数都在区间的结果有：
，共6种．
故所求概率．
【知识点】分层抽样方法；频率分布直方图；古典概型及其概率计算公式
【解析】【分析】（1）根据频率分布直方图中，各小矩形面积之和为1得方程，解方程得a的值.然后由加权平均数公式计算出 这50名同学的平均成绩 .
(2) 用分层抽样的方法从评分在和的同学中抽取5名同学 ， 再从这5名同学中随机抽取2人，所有可能的结果共有10种 ，然后再看 抽取的2名同学的分数都在区间的结果有 6种，最后代入古典概型概率计算公式得到概率.
18．【答案】（1）解：过点作圆柱的母线交于，
因为与均为圆柱的母线，所以且，
所以四边形为平行四边形，所以且，
所以为正三角形．
又因为为正三角形，所以，，
所以，所以或其补角为直线与所成的角．
在中，，，，
所以由余弦定理知：，
所以直线与直线所成角的余弦值为．
（2）解：因为平面，平面，所以
又因为，，，平面，
所以平面，所以为直线与平面所成的角．
在中，，．
（3）解：由（2）知平面，平面，
所以，，因为为二面角的平面角．
在中，，，．
所以二面角的正弦值为．
【知识点】异面直线及其所成的角；直线与平面所成的角；二面角的平面角及求法
【解析】【分析】（1）异面直线所成角可以通过平移直线得到AGP或其补角，然后证平行，最后解三角形.
（2）直线和平面所成角需要找直线与直线在平面内射影所成角，然后证 平面，所以为直线与平面所成的角． 最后解直角三角形.
(3)二面角可以通过过棱上一点分别在两半平面内找棱的垂线得到，然后证 ，，得到为二面角的平面角 ，最后解直角三角形得到 面角的正弦值为 .
19．【答案】（1）解：因为
．
又函数的单调递减区间为，
所以，
解得，
所以的单调递减区间为．
（2）解：由题意可知，不等式恒成立，即．
因为，所以．故当，即时，取得最小值，且最小值为，所以．
【知识点】函数恒成立问题；二倍角的正弦公式；二倍角的余弦公式；含三角函数的复合函数的单调性
【解析】【分析】(1)利用二倍角公式转化为asinA+bcosA的形式，然后逆用正弦和角公式得到的形式，根据 函数的单调递减区间为，得到 即可.
(2) 不等式恒成立，转化为． 利用正弦型函数性质得出最小值，注意区间，不是实数R上的最值.
20．【答案】（1）解：∵，由正弦定理可得，
∵，
∴，
∵，∴，从而，即，
∵，∴．
（2）解：∵，，由余弦定理得：，
即，由于（当且仅当时取等号）
所以，
即（当且仅当时取等号，）∴，
∴当时，的积最大，且最大值为，
由于，所以此时为正三角形．
【知识点】正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】(1)利用正弦定理将边转化为角，由三角统一成两角，根据同角三角函数关系得到正切值，注意标明范围.
(2)由余弦定理得，结合基本不等式，得到 （当且仅当时取等号，） 最后代入三角形面积公式即可.
21．【答案】（1）解：证明：∵直三棱柱，∴四边形为平行四边形，
∴为的中点，∵为的中点，∴，
又∵平面，平面，
∴平面．
（2）解：∵四边形为平行四边行，，
∴平行四边形为菱形，即．∵三棱柱为直三棱柱，
∴平面，∵平面，∴，
∵，∵，∵，，
平面，∴．
∵，∴，∵，，
平面，∴平面，∵平面，∴平面平面．
【知识点】直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定
【解析】【分析】（1）根据线面平行的条件，只要证明直线平行于平面内一条直线即可，所以根据平行四边形得即可证明平面.
（2）要证面面垂直只要在一个平面内找到一条直线垂直于另一个平面即可。也就是证明平面即可，那就需要先证明AC1垂直于平面内两相交直线，问题得到解决.
22．【答案】（1）解：函数，
可得，由，可得，
则当时，，所以函数的图象过定点，该定点为；
（2）解：函数，
可得，又，解得，
则，由函数和均在上单调递增，
所以在上单调递增，故函数在上最多有一个零点，
又，，
则，
由函数零点存在定理可得，函数在上有唯一零点．
【知识点】奇函数与偶函数的性质；二分法求函数零点近似值
【解析】【分析】（1）先得到的解析式，根据指数函数图象恒过（0，1），得x+1=0，由x值代入得y值，得该定点.
（2）先由已知条件得方程解出a的值，判定g(x)单调区间，根据零点存在定理得证.
1 / 1山东省青岛市名校2023-2024学年高二上册数学期初考试试卷
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分．在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1．（2022高二上·江西开学考）集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】由于，所以.
对于函数，由于，所以，所以，
所以。
故答案为：B
【分析】利用已知条件结合偶次根式函数求定义域的方法，进而得出集合A，再利用换元法求值域的方法求出集合B，再结合交集的运算法则，进而得出集合A和集合B的交集。
2．江西南昌的滕王阁，位于南昌沿江路赣江东岸，始建于唐朝永徽四年（即公元653年），是古代江南唯一的皇家建筑．因初唐诗人王勃所作《滕王阁序》而名传千古，流芳后世，被誉为“江南三大名楼”之首（另外两大名楼分别为岳阳楼与武汉的黄鹤楼）．小张同学为测量滕王阁的高度，选取了与底部水平的直线，将自制测量仪器分别放置于，两处进行测量．如图，测量仪器高，点与滕王阁顶部平齐，并测得，，则小张同学测得滕王阁的高度约为（参考数据：）（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】解三角形
【解析】【解答】解：因为，
所以
所以AB=BP=64，在Rt中，PC=BPsin60= =
所以小张同学测得滕王阁的高度约为PF=PC+CF= +2321.732+2=57.4
故答案为： C.
【分析】利用中边和角的关系，解得PC的值,进而得到PF的值.
3．（2022高二上·江西开学考）如图，在中，点D在边上，，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【知识点】向量加法的三角形法则；平面向量的数量积运算
【解析】【解答】过点A作，垂足为E.，，，
。
故答案为：A.
【分析】过点A作，垂足为E，再利用，和勾股定理得出，再结合已知条件和三角形法则以及数量积的运算法则，再利用数量积的定义得出的值。
4．已知样本数据的方差为4，若由，，得到另一组样本数据，则样本数据的方差为（ ）
A．8 B．16 C．32 D．64
【答案】B
【知识点】极差、方差与标准差
【解析】【解答】解：设样本数据的方差为D(X)=4， Y=2X+3则样本数据的方差为 D(Y)=D(2X+3)=4D(X)=16.
故答案为：B.
【分析】由新数据与已知数据关系D(Y)=D(2X+3)=4D(X)得到新数据方差.
5．已知，，当与的夹角为时，在上的投影向量为（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】B
【知识点】平面向量数乘的运算
【解析】【解答】解：因为 ， 在上的投影向量为
故答案为：B.
【分析】根据已知条件直接由投影向量公式求得.
6．如图，线段是圆的直径，圆内一条动弦与交于点，且，现将半圆沿直径翻折，则三棱锥体积的最大值是（ ）
A． B． C．3 D．1
【答案】D
【知识点】正弦函数的性质；棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面所成的角
【解析】【解答】解：设翻折后CM与平面ABD所成角为，则 三棱锥体积 为
故答案为：D .
【分析】根据CM与平面ABD所成角为，得到高为CM，再由棱锥体积公式V=sh列出式子，结合正弦函数值域得到结论.
7．函数的部分图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】函数的奇偶性；正弦函数的图象
【解析】【解答】解：，得f（x）是偶函数，A，C错误；当x时，f(x)0，答案B错误.
故答案为：D.
【分析】本题用排除法.根据奇偶性得图像关于y轴对称，排除A，C.据某一区间的函数值排除B.
8．已知，且，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】两角和与差的余弦公式；两角和与差的正弦公式；两角和与差的正切公式；二倍角的余弦公式
【解析】【解答】解：因为，
所以，
所以，
又 ，
所以=1 ，
所以
故答案为：D.
【分析】根据两角和差公式展开两角的正弦、余弦、正切即可，注意条件.
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分．在每小题有多项符合题目要求）
9．已知，，且，则下列结论正确的是（ ）
A．的最小值为3 B．的最大值为6
C．的最大值为 D．
【答案】A,C,D
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解：对于A，因为，，，
所以
当且仅当且即x=y=1时取等号，A正确；
对于B ， 当且仅当x=2y且x+2y=3时取等号，所以 ，
B错误；
对于C ， ，xy当且仅当x=2y时取等号，C正确；
对于D ， ， 当且仅当x+1=2y且x+2y=3，即x=y=1时，取等号，D正确
故答案为：A，C，D.
【分析】根据均值不等式a+b成立的条件：一正，二定，三相等，列出不等式求最值.
10．一个质地均匀的正四四体，四个面分别标有数字1、2、3、4，抛掷这个正四面体一次，观察它与地面接触的面上的数字得到样本空间，设事件，事件，事件，则下列说法中正确的是（ ）
A．与不是互斥事件 B．与是对立事件
C．与是独立事件 D．与是独立事件
【答案】A,B,C
【知识点】互斥事件与对立事件；相互独立事件
【解析】【解答】解：当正四面体与地面接触的面上的数字是1时，事件E与事件F都发生，则E与F不是互斥事件而是相互独立事件，A、C正确；
样本空间，与，一定有且只有一个发生 ，是对立事件而不是独立事件B正确D错误；
故答案为：A、B、C.
【分析】在样本空间确定的条件下，不可能同时发生的事件是互斥事件，对立事件是互斥事件的特例，对立事件只有两事件之间的互斥事件.一个事件的发生对另一事件没有影响，它们为相互独立事件.
11．，是两个平面，，是两条直线，有下列四个命题，其中正确的有（ ）
A．如果，与所成的角相等，那么
B．如果，，那么
C．如果，，那么
D．如果，，，那么
【答案】D
【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系；平面与平面之间的位置关系
【解析】【解答】解：对于A，若直线m，n关于平面的垂线对称， ，与所成的角也相等，故A错误.
对于B，过n及平面内一点A作平面，则平面与平面交于过点A的直线c ,因为 ,所以nc.因为,所以mc，所以 ,故B正确.
对于C，m可能在内，故C错误.
对于D，因为所以或,又，所以，故D正确.
故答案为：B，D.
【分析】利用空间直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行判定条件，举出反例即可排除.
12．如图所示，在棱长为1的正方体中，为的中点，直线交平面于点，则下列结论正确的是（ ）
A．，，三点共线
B．平面
C．直线与平面所成的角为
D．到平面的距离为
【答案】A,B,C
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积；平面的基本性质及推论；直线与平面垂直的性质；直线与平面所成的角
【解析】【解答】解：对于A，因为
所以C1、M、O三点共线，A正确
对于B，因为 所以BD平面AA1C1C又平面AA1C1C
所以 同理 又BD=B 所以 平面 故B正确
对于C，连接A1D、AD1交于N，因为
所以平面所以就是 直线与平面所成的角
因为所以 直线与平面所成的角为 ，C正确
对于D，设 到平面的距离为 h，因为所以 解得h=所以D错误
故答案为：A、B、C.
【分析】根据平面基本性质，三点都在两平面交线上，得A正确.正方体体对角线与面对角线垂直，线面垂直判定定理，得B正确.根据直线与平面所成角为斜线与它在平面内身影所成角找到角，在直角三角形中求角，得C正确.根据三棱锥等积法求点到平面距离，知D错误.
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13．（2022高二上·宣城开学考）设（其中为虚数单位），则 .
【答案】
【知识点】复数代数形式的混合运算；复数的模
【解析】【解答】由题意可知，
所以.
故答案为：.
【分析】利用复数除法法则及加法法则，结合复数的摸公式即可求解.
14．（2022高二上·宣城开学考）已知幂函数的图象过点，则 .
【答案】
【知识点】函数的值
【解析】【解答】设，
由的图象过点，可得，解得
，故.
故答案为：.
【分析】利用待定系数法求出函数解析式即可求解.
15．（2022高一下·祁东期末）驾照考试一共有四个科目：科目一（驾驶员理论考试）、科目二（场地驾驶技能考试）、科目三（道路驾驶技能考试）、科目四（安全文明驾驶常识考试）．只有四个科目都通过才能取得驾照．若某学员四个科目通过的概率依次是0.9、0.8、0.8、0.9，且每个科目是否通过相互之间没有影响，则该学员拿到驾照的概率为 ．
【答案】0.5184
【知识点】相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【解答】由题意得，该学员拿到驾照的概率为.
故答案为：0.5184.
【分析】利用独立事件的概率乘法公式直接求解可得该学员拿到驾照的概率.
16．（2022高二上·江西开学考）用一个平行于圆锥底面的平面截圆锥，得到一个小圆锥和一个圆台，若小圆锥与圆台的侧面积之比为，则小圆锥与圆台的体积之比为 ．
【答案】
【知识点】旋转体（圆柱/圆锥/圆台/球）的结构特征
【解析】【解答】设小圆锥的底面半径为，高为，母线为，大圆锥的底面半径为的r，高为h，母线为l，则，且，则，故小圆锥与大圆锥的体积之比为，故小圆锥与圆台的体积之比为。
故答案为：。
【分析】设小圆锥的底面半径为，高为，母线为，大圆锥的底面半径为的r，高为h，母线为l，再利用两线段平行对应边成比例，则，再结合圆锥的侧面积公式和已知条件得出，进而得出，再利用圆锥的体积公式得出小圆锥与大圆锥的体积之比，再结合作差法得出小圆锥与圆台的体积之比。
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17． 2022年“中国航天日”线上启动仪式在4月24日上午举行，为普及航天知识，某校开展了“航天知识竞赛”活动，现从参加该竞赛的学生中随机抽取50名，统计他们的成绩（满分100分），其中成绩不低于80分的学生被评为“航天达人”，将数据整理后绘制如图所示的频率分布直方图．
（1）求频率分布直方图中的值，并估计这50名同学的平均成绩；
（2）先用分层抽样的方法从评分在和的同学中抽取5名同学，再从抽取的这5名同学中随机抽取2名，求这2名同学的分数都在区间的概率．
【答案】（1）解：由已知，
∴，记这50名同学的平均成绩为，
则．
（2）解：先用分层抽样的方法从评分在和的同学中抽取5名同学，
因为，则应从评分在的同学中抽取1人，记为A，从评分在的同学中抽取4人，记为，，，．
从这5名同学中随机抽取2人，所有可能的结果共有10种，分别是：
，
又因为抽取的2名同学的分数都在区间的结果有：
，共6种．
故所求概率．
【知识点】分层抽样方法；频率分布直方图；古典概型及其概率计算公式
【解析】【分析】（1）根据频率分布直方图中，各小矩形面积之和为1得方程，解方程得a的值.然后由加权平均数公式计算出 这50名同学的平均成绩 .
(2) 用分层抽样的方法从评分在和的同学中抽取5名同学 ， 再从这5名同学中随机抽取2人，所有可能的结果共有10种 ，然后再看 抽取的2名同学的分数都在区间的结果有 6种，最后代入古典概型概率计算公式得到概率.
18．在如图所示的半圆柱中，为上底面直径，为下底面直径，为母线，点在上，在上，且，为的中点．
（1）求直线与直线所成角的余弦值；
（2）求直线与平面所成角的正切值；
（3）求二面角的正弦值．
【答案】（1）解：过点作圆柱的母线交于，
因为与均为圆柱的母线，所以且，
所以四边形为平行四边形，所以且，
所以为正三角形．
又因为为正三角形，所以，，
所以，所以或其补角为直线与所成的角．
在中，，，，
所以由余弦定理知：，
所以直线与直线所成角的余弦值为．
（2）解：因为平面，平面，所以
又因为，，，平面，
所以平面，所以为直线与平面所成的角．
在中，，．
（3）解：由（2）知平面，平面，
所以，，因为为二面角的平面角．
在中，，，．
所以二面角的正弦值为．
【知识点】异面直线及其所成的角；直线与平面所成的角；二面角的平面角及求法
【解析】【分析】（1）异面直线所成角可以通过平移直线得到AGP或其补角，然后证平行，最后解三角形.
（2）直线和平面所成角需要找直线与直线在平面内射影所成角，然后证 平面，所以为直线与平面所成的角． 最后解直角三角形.
(3)二面角可以通过过棱上一点分别在两半平面内找棱的垂线得到，然后证 ，，得到为二面角的平面角 ，最后解直角三角形得到 面角的正弦值为 .
19．已知函数．
（1）求的单调递减区间；
（2）若当时，关于的不等式恒成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）解：因为
．
又函数的单调递减区间为，
所以，
解得，
所以的单调递减区间为．
（2）解：由题意可知，不等式恒成立，即．
因为，所以．故当，即时，取得最小值，且最小值为，所以．
【知识点】函数恒成立问题；二倍角的正弦公式；二倍角的余弦公式；含三角函数的复合函数的单调性
【解析】【分析】(1)利用二倍角公式转化为asinA+bcosA的形式，然后逆用正弦和角公式得到的形式，根据 函数的单调递减区间为，得到 即可.
(2) 不等式恒成立，转化为． 利用正弦型函数性质得出最小值，注意区间，不是实数R上的最值.
20．在中，角，，的对边分别为，，，．
（1）求角的大小；
（2）若，求的面积的最大值，并指出此时三角形的形状．
【答案】（1）解：∵，由正弦定理可得，
∵，
∴，
∵，∴，从而，即，
∵，∴．
（2）解：∵，，由余弦定理得：，
即，由于（当且仅当时取等号）
所以，
即（当且仅当时取等号，）∴，
∴当时，的积最大，且最大值为，
由于，所以此时为正三角形．
【知识点】正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】(1)利用正弦定理将边转化为角，由三角统一成两角，根据同角三角函数关系得到正切值，注意标明范围.
(2)由余弦定理得，结合基本不等式，得到 （当且仅当时取等号，） 最后代入三角形面积公式即可.
21．如图，在直三棱柱中，，，点为中点，连接、交于点，点为中点．
（1）求证：平面；
（2）求证：平面平面．
【答案】（1）解：证明：∵直三棱柱，∴四边形为平行四边形，
∴为的中点，∵为的中点，∴，
又∵平面，平面，
∴平面．
（2）解：∵四边形为平行四边行，，
∴平行四边形为菱形，即．∵三棱柱为直三棱柱，
∴平面，∵平面，∴，
∵，∵，∵，，
平面，∴．
∵，∴，∵，，
平面，∴平面，∵平面，∴平面平面．
【知识点】直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定
【解析】【分析】（1）根据线面平行的条件，只要证明直线平行于平面内一条直线即可，所以根据平行四边形得即可证明平面.
（2）要证面面垂直只要在一个平面内找到一条直线垂直于另一个平面即可。也就是证明平面即可，那就需要先证明AC1垂直于平面内两相交直线，问题得到解决.
22．已知函数．
（1）求证函数的图象过定点，并写出该定点；
（2）设函数，且，试证明函数在上有唯一零点．
【答案】（1）解：函数，
可得，由，可得，
则当时，，所以函数的图象过定点，该定点为；
（2）解：函数，
可得，又，解得，
则，由函数和均在上单调递增，
所以在上单调递增，故函数在上最多有一个零点，
又，，
则，
由函数零点存在定理可得，函数在上有唯一零点．
【知识点】奇函数与偶函数的性质；二分法求函数零点近似值
【解析】【分析】（1）先得到的解析式，根据指数函数图象恒过（0，1），得x+1=0，由x值代入得y值，得该定点.
（2）先由已知条件得方程解出a的值，判定g(x)单调区间，根据零点存在定理得证.
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