山东省枣庄市滕州市2023-2024学年高三（上）期中数学试卷（PDF版含解析）

2023-2024学年山东省枣庄市滕州市高三（上）期中数学试卷
一、单项选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的。
1．（5分）已知集合 A＝{1，2，3}，B＝{y|y＝3x﹣3，x∈A}，则集合 A B＝（ ）
A．{3} B．{1，3} C．{3，6} D．{0，3，6}
2．（5分）下列函数既是奇函数，又在定义域内是减函数的为（ ）
A．y＝ B．y＝
C．y＝ D．y＝﹣tanx
3．（5分）已知 p： ，q：m﹣x＜0，若 p是 q的充分不必要条件，则 m的取值范
围是（ ）
A．m＜3 B．m＞3 C．m＜5 D．m＞5
4．（5分）已知 f（x）为奇函数，且当 x＜0时，f（x）＝x2+3x+2，则当 x∈[1，3]时，f（x）
的最小值是（ ）
A．2 B． C．﹣2 D．﹣
5．（5分）已知角α的终边上一点 A（4，3），且 tan（α+β）＝2，则 tan（3π﹣β）＝（ ）
A． B． C． D．
6．（5 分）已知等比数列{an}的前 n项和为 Sn，且 an＞0，若 S6＝10，S18＝70，则 S24＝
（ ）
A．90 B．135 C．150 D．180
7．（5分）函数 f（x）＝sinx+ 的最大值为（ ）
A． B． C． D．
8．（5分）已知实数 a，b，c，d满足 ＝ ＝1，其中 e是自然对数的底数，则（a
﹣c）2+（b﹣d）2的最小值为（ ）
A．8 B．10 C．12 D．18
二、多项选择题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20分。在每小题给出的四个选项中，有
多项符合题目要求。全部选对的得 5分，部分选对的得 2分，有选错的得 0分。
（多选）9．（5分）下列等式成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
（多选）10．（5分）已知定义在 R上的函数 f（x）满足：对于任意的 x，y∈R，都有 f（x+y）
＝f（x）+f（y）+1，且当 x＞0时，f（x）＞﹣1，若 f（1）＝1，则下列说法正确的有（ ）
A．f（0）＝0
B．f（x）关于（1，1）对称
C．f（x）在 R上单调递增
D．f（1）+f（2）+…+f（2023）＝20232
（多选）11．（5分）若 x，y满足 x2+y2﹣xy＝3，则下列正确的是（ ）
A．x+y≤2 B． C．x2+y2≤6 D．x2+y2≥4
（多选）12．（5分）已知 a为常数，函数 f（x）＝x（lnx﹣2ax）有两个极值点 x1，x2（x1
＜x2），则（ ）
A． B．x1+x2＜2
C．f（x1）＜0 D．
三、填空题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20分。
13．（5分）函数 f（x）＝ 的定义域为 ．
14．（5分）△ABC中，角 A，B，C所对的边为 a，b，c，若 ， ，b＝1，则△
ABC的面积为 ．
15．（5分）将正整数数列 1，2，3，4，5， 的各项按照上小下大的、左小右大的原则写成
如下的三角形数表．数表中的第 9行所有数字的和为 ．
16 ﹣．（5分）设定义在（0，+∞）上的函数 f（x）满足 f′（x）e x＞1，若 ，
，则 x的最小值为 ．
四、解答题：本题共 6小题，共 70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（10分）已知集合 A＝{x|a+1≤x≤2a﹣1}，B＝{x|x≤3或 x＞5}．
（1）若 a＝4，求 A∩B；
（2）若 A B，求 a的取值范围．
18．（12分）设函数 f（x）＝x2﹣（a+3）x+3a，a∈R．
（1）解关于 x的不等式 f（x）＜0；
（2）当 x∈[4，+∞）时，不等式 f（x）≥﹣9恒成立，求 a的取值范围．
19．（12分）已知函数 ．
（1）求函数 f（x）的单调递减区间
（2）若在△ABC中，角 A，B，C所对的边分别为 a，b，c，且 f（A）＝2， ，
求△ABC面积的最大值．
20．（12分）已知函数 f（x）是定义在 R上的奇函数，且当 x≥0时，f（x）＝x2ex．
（Ⅰ）求 f（x）的解析式并判断函数的单调性（无需证明）；
（Ⅱ）若对任意的 x∈R，f（ax2﹣3x﹣1）+f（5﹣ax）+ax2﹣（3+a）x+4＞0恒成立，求
实数 a的取值范围．
21．（12分）已知正项数列{an}的前 n项和为 Sn，且满足 2anSn＝ +2n．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）若对任意的 n∈N*，都有 an＜2 ﹣m成立，求实数 m的取值范围．
22．（12分）已知函数 f（x）＝lnx+mx+1，g（x）＝x（ex﹣1）．
（1）若 f（x）的最大值是 0，求 m的值；
（2）若对于定义域内任意 x，f（x）≤g（x）恒成立，求 m的取值范围．
2023-2024学年山东省枣庄市滕州市高三（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、单项选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的。
1．（5分）已知集合 A＝{1，2，3}，B＝{y|y＝3x﹣3，x∈A}，则集合 A B＝（ ）
A．{3} B．{1，3} C．{3，6} D．{0，3，6}
【分析】根据集合定义求出集合 B，再由交集定义计算．
【解答】解：由已知 B＝{0，3，6}，∴A∩B＝{3}．
故选：A．
【点评】本题考查集合的运算，难度不大．
2．（5分）下列函数既是奇函数，又在定义域内是减函数的为（ ）
A．y＝ B．y＝
C．y＝ D．y＝﹣tanx
【分析】对于 A，分析其单调性可判断；对于 B，分析其奇偶性可判断；对于 C，分析其
奇偶性与单调性可判断；对于 D，分析其单调性可判断．
【解答】解：对于 A， 的定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），在（﹣∞，0）与（0，
+∞）上单调递减，但在定义域内不是减函数，故 A错误；
对 于 B ， 设 ， 则 ， 故 函 数
为偶函数，故 B错误；
对于 C，设 ，定义域为 R，
且 ，故 为奇函数．
﹣
又 y＝e x与 y＝﹣ex在 R上都为减函数，故 在 R上为减函数，故 C
正确；
对于 D，设 y＝h（x）＝﹣tanx，其定义域为 ，在定义域内不
是减函数，故 D错误．
故选：C．
【点评】本题主要考查了函数奇偶性及单调性的判断，属于中档题．
3．（5分）已知 p： ，q：m﹣x＜0，若 p是 q的充分不必要条件，则 m的取值范
围是（ ）
A．m＜3 B．m＞3 C．m＜5 D．m＞5
【分析】先求得命题 p，q中 x的范围，根据 p是 q的充分不必要条件，即可得出答案．
【解答】解：命题 p： ，解得：x＞5；
命题 q：m﹣x＜0，解得：x＞m；
因为 p是 q的充分不必要条件，
所以 m＜5．
故选：C．
【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，是基础题．
4．（5分）已知 f（x）为奇函数，且当 x＜0时，f（x）＝x2+3x+2，则当 x∈[1，3]时，f（x）
的最小值是（ ）
A．2 B． C．﹣2 D．﹣
【分析】由条件利用函数的奇偶性求出函数再（0，+∞）上的解析式，再利用二次函数
的性质求得当 x∈[1，3]时，f（x）的最小值．
【解答】解：假设 x＞0，则﹣x＜0，由 f（x）为奇函数，当 x＜0时，f（x）＝x2+3x+2，
可得 f（﹣x）＝（﹣x）2+3（﹣x）+2＝x2 ﹣3x+2，即﹣f（x）＝x2﹣3x+2，故 f（x）＝
﹣ + ．
当 x∈[1，3]时，函数 f（x）的最小值为 f（3）＝﹣2，
故选：C．
【点评】本题主要考查利用函数的奇偶性求函数的解析式，求二次函数在闭区间上的最
值，二次函数的性质的应用，属基础题．
5．（5分）已知角α的终边上一点 A（4，3），且 tan（α+β）＝2，则 tan（3π﹣β）＝（ ）
A． B． C． D．
【分析】先通过三角函数的定义求出 tanα，代入 求出
tanβ，继而求出 tan（3π﹣β）的值．
【解答】解：∵角α的终边上一点 A（4，3），
∴ ，
，
解得 ，
∴ ．
故选：B．
【点评】本题主要考查了三角函数的定义，和角正切公式及诱导公式的应用，属于基础
题．
6．（5 分）已知等比数列{an}的前 n项和为 Sn，且 an＞0，若 S6＝10，S18＝70，则 S24＝
（ ）
A．90 B．135 C．150 D．180
【分析】利用等比数列的性质得出 S6，S12﹣S6，S18﹣S12，S24﹣S18之间的关系，求出 S12，
即可得出 S24的值．
【解答】解：由等比数列前 n项和的性质可得 S6，S12﹣S6，S18﹣S12，S24﹣S18成等比数
列，
∴ ，即 ，
整理可得 ，
解得 S12＝﹣20（舍）或 S12＝30，
∵ ，
∴有（70﹣30）2＝（30﹣10）（S24﹣70），
解得 S24＝150．
故选：C．
【点评】本题主要考查了等比数列的性质及求和公式的应用，考查了数学运算的核心素
养，属于基础题．
7．（5分）函数 f（x）＝sinx+ 的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【分析】首先对函数求导，确定函数的单调性，再把单调区间转化为对应的三角函数自
变量的范围，再求出最大值．
【解答】解：由题意，可得 f'（x）＝cosx+cos2x＝2cos2x+cosx﹣1＝（2cosx﹣1）（cosx+1），
∵cosx+1≥0，∴当 时，f'（x）＞0，当﹣1＜cosx＜ 时，f'（x）＜0，
即当 2kπ﹣ ＜x＜2kπ+ ，k∈Z 时，f（x）单调递增；
当 2kπ+ ＜x＜2kπ+ ，k∈Z时，f（x）单调递减，
故 f（x）在 x＝2kπ+ ，k∈Z处取得极大值即最大值，
f（x）max＝sin + sin ＝ + ＝ ．
故选：B．
【点评】本题以三角函数为背景，考查了利用导数研究函数的最值问题，属中档题．
8．（5分）已知实数 a，b，c，d满足 ＝ ＝1，其中 e是自然对数的底数，则（a
﹣c）2+（b﹣d）2的最小值为（ ）
A．8 B．10 C．12 D．18
【分析】由已知得点（a，b）在曲线 y＝x﹣2ex上，点（c，d）在曲线 y＝2﹣x上，（a﹣
c）2+（b﹣d）2的几何意义就是曲线 y＝x﹣2ex到曲线 y＝2﹣x上点的距离最小值的平方．由
此能求出（a﹣c）2+（b﹣d）2的最小值．
【解答】解：∵实数 a，b，c，d满足 ＝ ＝1，∴b＝a﹣2ea，d＝2﹣c，
∴点（a，b）在曲线 y＝x﹣2ex上，点（c，d）在曲线 y＝2﹣x上，
（a﹣c）2+（b﹣d）2的几何意义就是曲线 y＝x﹣2ex到曲线 y＝2﹣x上点的距离最小值
的平方．
考查曲线 y＝x﹣2ex上和直线 y＝2﹣x平行的切线，
∵y′＝1﹣2ex，求出 y＝x﹣2ex上和直线 y＝2﹣x平行的切线方程，
∴令 y′＝1﹣2ex＝﹣1，
解得 x＝0，∴切点为（0，﹣2），
该切点到直线 y＝2﹣x的距离 d＝ ＝2 就是所要求的两曲线间的最小距离，
故（a﹣c）2+（b﹣d）2的最小值为 d2＝8．
故选：A．
【点评】本题考查代数式的最小值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意两点间
距离公式的合理运用．
二、多项选择题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20分。在每小题给出的四个选项中，有
多项符合题目要求。全部选对的得 5分，部分选对的得 2分，有选错的得 0分。
（多选）9．（5分）下列等式成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】应用倍角正余弦、和差角正余弦公式及诱导公式化简求值，即可判断各项的正
误．
【解答】解：对于 A： ，
故 A成立；
对于 B： ，故 B成立；
对于 C：cos28°cos32°﹣cos62°cos58°＝cos28°cos32°﹣sin28°sin32°＝cos（28°
+32°）＝ ，故 C不成立；
对 于 D ：
＝ ，故 D不成立．
故选：AB．
【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的变换，主要考查学生的理解能力和计
算能力，属于中档题．
（多选）10．（5分）已知定义在 R上的函数 f（x）满足：对于任意的 x，y∈R，都有 f（x+y）
＝f（x）+f（y）+1，且当 x＞0时，f（x）＞﹣1，若 f（1）＝1，则下列说法正确的有（ ）
A．f（0）＝0
B．f（x）关于（1，1）对称
C．f（x）在 R上单调递增
D．f（1）+f（2）+…+f（2023）＝20232
【分析】利用赋值法可求得 f（0），即可判断 A；利用赋值法求出 f（2）＝3，令 y＝2﹣x，
可得 f（x）+f（2﹣x）＝2，即可判断 B；利用单调性的定义即可判断 C；令 x＝n，y＝1，
可得 f（n）﹣f（n﹣1）＝2，利用累加法可得 f（n）＝2，计算即可判断 D．
【解答】解：对于 A，令 x＝y＝0，得 f（0）＝2f（0）+1，可得 f（0）＝﹣1，故 A错；
对于 B，令 x＝y＝1，则 f（2）＝3，令 y＝2﹣x，
则 f（2）＝f（x）+f（2﹣x）+1 f（x）+f（2﹣x）＝2，故 B对；
对于 C，设 x1＞x2，则 f（x1）＝f（x1﹣x2+x2）＝f（x1﹣x2）+f（x2）+1 f（x1）﹣f（x2）
＝f（x1﹣x2）+1，
因为 x1﹣x2＞0，故 f（x1﹣x2）＞﹣1，故 f（x1）﹣f（x2）＝f（x1﹣x2）+1＞0，故 f（x）
在 R上单调递增，故 C对；
对于 D，x＝n，y＝1，故 f（n）＝f（n﹣1）+f（1）+1 f（n）﹣f（n﹣1）＝2，
所以 f（n）＝f（n）﹣f（n﹣1）+f（n﹣1）﹣f（n﹣2）+…+f（2）﹣f（1）+f（1）＝2n
﹣1，
故 ，故 D对．
故选：BCD．
【点评】本题主要考查抽象函数及其应用，考查运算求解能力，属于中档题．
（多选）11．（5分）若 x，y满足 x2+y2﹣xy＝3，则下列正确的是（ ）
A．x+y≤2 B． C．x2+y2≤6 D．x2+y2≥4
【分析】根据基本不等式和三角换元，结合三角恒等变换进行求解，即可得到本题的答
案．
【解答】解：由 3＝x2+y2﹣xy＝（x+y）2﹣3xy，可得 ，解
得 ，
当且仅当 时，x+y有最大值 ，当且仅当 时，x+y有最小值﹣ ，
故 A错误且 B正确；
根 据 ＝
＝ ，可知 C正确且 D错误．
故选：BC．
【点评】本题主要考查了基本不等式及三角函数性质在最值求解中的应用，属于基础题．
（多选）12．（5分）已知 a为常数，函数 f（x）＝x（lnx﹣2ax）有两个极值点 x1，x2（x1
＜x2），则（ ）
A． B．x1+x2＜2
C．f（x1）＜0 D．
【分析】令 f'（x）＝0，则 4a＝ ，构造函数 g（x）＝ ，作出函数 y＝4a和
函数 y＝g（x）的图象，利用图象即可判断选项 A，B，利用函数的单调性即可判断选项
C，D．
【解答】解：因为 f'（x）＝lnx+1﹣4ax（x＞0），
令 f'（x）＝0，则 4a＝ ，
令 g（x）＝ ，
则 g'（x）＝ ，
所以 g（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，
作出函数 y＝4a和函数 y＝g（x）的图象如图所示，
当 0＜a＜ 时，f'（x）＝0有两个根 x1，x2，且 x1＜1＜x2，故选项 A正确；
当 a→0时，x1+x2→+∞，故选项 B错误；
又函数 f（x）在区间（0，x1）上单调递减，在区间（x1，x2）上单调递增，在区间（x2，
+∞）上单调递减，
所以 f（x1）＜f（1）＝﹣2a＜0，f（x2）＞f（1）＝﹣2a＞ ，
故选项 C正确，选项 D正确．
故选：ACD．
【点评】本题考查了利用导数研究函数极值的理解与应用，利用导数研究函数单调性的
应用，以及函数与方程的综合应用，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题．
三、填空题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20分。
13．（5分）函数 f（x）＝ 的定义域为 （﹣2，0] ．
【分析】根据对数的真数大于零及偶次根式的被开方数大于或等于 0列出不等式，可求．
【解答】解：由题意得 ，
解得﹣2＜x≤0．
故答案为：（﹣2，0]．
【点评】本题主要考查了函数定义域的求解，属于基础题．
14．（5分）△ABC中，角 A，B，C所对的边为 a，b，c，若 ， ，b＝1，则△
ABC的面积为 ．
【分析】先利用余弦定理求得 c＝3，再由三角形的面积公式，即可求解．
【解答】解：由余弦定理知 a2＝b2+c2﹣2bccosA，
因为 ，可得 ，
即 c2+c﹣6＝0，解得 c＝2或 c＝﹣3（舍去），
所以△ABC的面积为 ．
故答案为： ．
【点评】本题主要考查余弦定理的应用，属于基础题．
15．（5分）将正整数数列 1，2，3，4，5， 的各项按照上小下大的、左小右大的原则写成
如下的三角形数表．数表中的第 9行所有数字的和为 369 ．
【分析】根据等差数列的通项公式和前 n项和进行求解，即可得到本题的答案．
【解答】解：根据三角形数表，可知前 8行一共有 个数，
因此第 9 行的第一个数为 37，一共有 9 个数，所以第 9 行所有数字的和为：
．
故答案为：369．
【点评】本题主要考查等差数列的通项与求和公式、归纳推理的一般方法等知识，考查
了计算能力与逻辑推理能力，属于基础题．
16．（5 ﹣分）设定义在（0，+∞）上的函数 f（x）满足 f′（x）e x＞1，若 ，
，则 x的最小值为 ．
﹣
【分析】由 f′（x）e x＞1可知 f′（x）＞ex，构造函数 g（x）＝f（x）﹣ex，由题意变
形得 ，利用 g（x）的单调性解不等式，即可得出答案．
【解答】解：∵f′（x）e﹣x＞1，
∴f′（x）＞ex，
令 g（x）＝f（x）﹣ex，则 g′（x）＝f′（x）﹣ex＞0，
∴g（x）在（0，+∞）上单调递增，
∵ ，
∴ ，
又 ，则 ，
∴ ，
又 g（x）在（0，+∞）上单调递增．
∴ ，解得 ，即 x的最小值为 ．
故答案为： ．
【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运
算能力，属于中档题．
四、解答题：本题共 6小题，共 70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（10分）已知集合 A＝{x|a+1≤x≤2a﹣1}，B＝{x|x≤3或 x＞5}．
（1）若 a＝4，求 A∩B；
（2）若 A B，求 a的取值范围．
【分析】（1）代入 a，根据交集定义直接运算即可；
（2）分 A＝ 和 A≠ 两种情况讨论可求出．
【解答】解：（1）当 a＝4时，易得 A＝{x|5≤x≤7}，
∵B＝{x|x≤3或 x＞5}，
∴A∩B＝{x|5＜x≤7}．
（2）若 2a﹣1＜a+1，即 a＜2时，A＝ ，满足 A B，
若 2a﹣1≥a+1，即 a≥2时，
要使 A B，只需 或 ，
解得 a＝2或 a＞4，
综上所述 a的取值范围为{a|a≤2或 a＞4}．
【点评】本题主要考查了集合的交集运算及集合包含关系的应用，属于基础题．
18．（12分）设函数 f（x）＝x2﹣（a+3）x+3a，a∈R．
（1）解关于 x的不等式 f（x）＜0；
（2）当 x∈[4，+∞）时，不等式 f（x）≥﹣9恒成立，求 a的取值范围．
【分析】（1）原不等式即（x﹣3）（x﹣a）＜0，然后分 a＜3，a＝3及 a＞3讨论即可得
解；
（2）转化可得 在 x∈[4，+∞）上恒成立，利用基本不等式即可得解．
【解答】解：（1）f（x）＜0，即为 x2﹣（a+3）x+3a＜0，即（x﹣3）（x﹣a）＜0，
当 a＜3时，解不等式可得 a＜x＜3；
当 a＝3时，解不等式得 x∈ ；
当 a＞3时，解不等式可得 3＜x＜a；
综上，当 a＜3时，不等式的解集为（a，3），当 a＝3时，不等式的解集为 ，当 a＞3时，
不等式的解集为（3，a）；
（ 2） f（ x）≥﹣ 9 在 x∈[4， +∞）上恒成立，即（ x﹣ 3） a≤ x2﹣ 3x+9，即
又 ，当且仅当 ，即 x＝6时等号
成立，
∴a≤9，即实数 a的取值范围为（﹣∞，9]．
【点评】本题考查不等式的解法以及不等式的恒成立问题，考查基本不等式的运用，考
查转化思想及运算求解能力，属于基础题．
19．（12分）已知函数 ．
（1）求函数 f（x）的单调递减区间
（2）若在△ABC中，角 A，B，C所对的边分别为 a，b，c，且 f（A）＝2， ，
求△ABC面积的最大值．
【分析】（1）利用辅助角公式将函数化简，再根据正弦函数的性质计算可得；
（2）由 f（A）＝2，求出角 A，余弦定理求 bc的最大值，面积公式可求△ABC面积的最
大值．
【解答】解：（1）因为
＝ ，
即 ，
令 ，k∈Z，解得 ，k∈Z，
所以函数的单调减区间为 ，k∈Z．
（2）由 f（A）＝2得 ，由 A∈（0，π），
∴ ，
∴ ．
又 ，由余弦定理 a2＝b2+c2﹣2bccosA得 b2+c2﹣bc＝12，
所以 bc＝b2+c2﹣12≥2bc﹣12，得 bc≤12，当且仅当 时等号成立，
所以 ，
所以△ABC面积的最大值为 ．
【点评】本题主要考查解三角形，考查转化能力，属于中档题．
20．（12分）已知函数 f（x）是定义在 R上的奇函数，且当 x≥0时，f（x）＝x2ex．
（Ⅰ）求 f（x）的解析式并判断函数的单调性（无需证明）；
（Ⅱ）若对任意的 x∈R，f（ax2﹣3x﹣1）+f（5﹣ax）+ax2﹣（3+a）x+4＞0恒成立，求
实数 a的取值范围．
【分析】（Ⅰ）由奇函数的定义和已知区间上的解析式，可得所求解析式和单调性；
（Ⅱ）由 f（x）的单调性可得 f（ax2﹣3x﹣1）+ax2﹣3x﹣1＞f（ax﹣5）+ax﹣5对任意的
x∈R恒成立，构造函数 h（x）＝f（x）+x，判断其单调性，运用不等式恒成立思想，可
得所求取值范围．
【解答】解：（Ⅰ）因为函数 f（x）是定义在 R上的奇函数，所以 f（﹣x）＝﹣f（x），
当 x＜0时，﹣x＞0，由 x ﹣≥0时，f（x）＝x2ex，可得 f（﹣x）＝x2e x，
又 f（﹣x ﹣）＝﹣f（x），则 x＜0时，f（x）＝﹣x2e x，
所以 f（x）＝ ，
函数 f（x）在定义域 R上单调递增．
（Ⅱ）因为函数 f（x）在定义域 R上单调递增．
原不等式恒成立等价于 f（ax2﹣3x﹣1）+ax2﹣3x﹣1＞﹣f（5﹣ax）+ax﹣5对任意的 x∈R
恒成立．
即 f（ax2﹣3x﹣1）+ax2﹣3x﹣1＞f（ax﹣5）+ax﹣5对任意的 x∈R恒成立．
构造函数 h（x）＝f（x）+x，易知 h（x）也是 R上的增函数．
故原不等式恒成立等价于 ax2﹣3x﹣1＞ax﹣5对任意的 x∈R恒成立，
即 ax2﹣（3+a）x+4＞0对任意的 x∈R恒成立．
①当 a≤0时，结论显然不成立；
②当 a＞0时，则（3+a）2﹣16a＜0，解得 1＜a＜9．
故实数 a的取值范围是（1，9）．
【点评】本题考查函数的奇偶性和单调性的定义和运用，以及不等式恒成立问题解法，
考查转化思想和运算能力、推理能力，属于中档题．
21．（12分）已知正项数列{an}的前 n项和为 Sn，且满足 2anSn＝ +2n．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）若对任意的 n∈N*，都有 an＜2 ﹣m成立，求实数 m的取值范围．
【分析】（1）利用 an和 Sn之间的关系，代入递推公式后可求得 Sn的通项公式，即可求
出 an的通项；
（2）利用作差法求出 an+1﹣an＜0，可知数列为单调递减数列，结合 恒成
立，可得 ，从而求得实数 m的取值范围．
【解答】解：（1）由 2anSn＝ +2n得：
当 n＝1时， ，解得 ；
当 n≥2时，由 ，得 ，
整理得 ，
∴ ，
故 ，
∴ ．
∵ 满足 ，∴ ；
（2）由 ，得 ，
则 ＝
＝ ，
∵ ，∴ ，
即 ，
∴an+1﹣an＜0，即数列{an}为递减数列．
∵ 恒成立，∴ ，可得 ．
∴实数 m的取值范围是（﹣∞， ）．
【点评】本题考查数列递推式，训练了累加法的应用，考查数列的函数特性，是中档题．
22．（12分）已知函数 f（x）＝lnx+mx+1，g（x）＝x（ex﹣1）．
（1）若 f（x）的最大值是 0，求 m的值；
（2）若对于定义域内任意 x，f（x）≤g（x）恒成立，求 m的取值范围．
【分析】（1）对函数求导，讨论参数 m的范围，分析单调性，根据最大值是 0求出 m范
围．
（2）分离参数，即 在（0，+∞）恒成立，求出
的最小值，即求出 m的取值范围．
【解答】解：（1）f（x）的定义域（0，+∞）， ．
若 m≥0，f′（x）＞0，f（x）在定义域内单调递增，无最大值；
若 m＜0，当 时，f′（x）＞0，函数 f（x）单调递增；
当 时，f′（x）＜0，函数 f（x）单调递减；
所以当 时，f（x）取得最大值 ，所以 m＝﹣1．
（2）对于定义域内任意 x，f（x）≤g（x）恒成立，即 在（0，+∞）
恒成立．
设 ，则 ．
设 q（x）＝x2ex+lnx，则 ，
所以 q（x）在其定义域内单调递增，且 ，q（1）＞0，
所以 q（x）有唯一零点 x0，且 ，
所以 ．
构造函数 h（x）＝xex，则 h（x0）＝h（﹣lnx0）
又函数 h（x）＝xex在（0，+∞）是增函数，
故 x0＝﹣lnx0．
所以由φ（x）在（0，x0）上单调递减，在（x0，+∞）上单调递增，
所以
于是 m的取值范围是（﹣∞，0]．
【点评】本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，考查
转化思想，分类讨论思想，是一道综合题．