2023-2024学年山东省济南市长清区八年级（上）期中数学试卷（PDF版 含解析）

2023-2024 学年山东省济南市长清区八年级（上）期中数学试卷
一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分.）
1．（4分）25的算术平方根是（ ）
A．5 B．±5 C．± D．
2．（4分）下列是无理数的是（ ）
A． B．π C． D．0.16
3．（4分）在平面直角坐标系中，点 P（2，﹣3）在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
4．（4分）下列式子正确的是（ ）
A． B．（﹣3）2＝﹣32 C． D．
5．（4分）象棋在中国有着三千多年的历史，由于用具简单，趣味性强，成为流行极为广泛
的益智游戏．如图，是一局象棋残局，已知表示棋子“馬”和“車”的点的坐标分别为
（4，3），（﹣2，1），则表示棋子“炮”的点的坐标为（ ）
A．（﹣3，3） B．（3，2） C．（0，3） D．（1，3）
6．（4分）点 A（1，y1）、B（2，y2）都在一次函数 y＝﹣2x+3 的图象上，则 y1、y2的大小
关系是（ ）
A．y1＞y2 B．y1＝y2 C．y1＜y2 D．不确定
7．（4分）已知 AB∥x轴，AB＝3，点 A的坐标为（﹣1，3），则点 B的坐标为（ ）
A．（2，3） B．（﹣4，3）
C．（﹣1，6）或（﹣1，0） D．（﹣4，3）或（2，3）
8．（4分）一次函数 y＝kx+b中，y随 x的增大而减小，且 kb＜0，则该函数图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
9．（4分）如图所示，A（2 ，0），AB＝3 ，以点 A为圆心，AB长为半径画弧交 x轴
负半轴于点 C，则点 C的坐标为（ ）
A．（3 ，0） B．（ ，0） C．（﹣ ，0） D．（﹣3 ，0）
10．（4分）在平面直角坐标系 xOy中，对于 P，Q两点给出如下定义：若点 P到 x、y轴的
距离中的最大值等于点 Q到 x、y轴的距离中的最大值，则称 P，Q两点为“等距点”．如
图中的 P，Q两点即为“等距点”．若点 A的坐标为（﹣3，1），点 B的坐标为 B（m，
m+6），且 A，B两点为“等距点”，则点 B的坐标为（ ）
A．（3，9） B．（﹣3，3） C．（﹣9，﹣3） D．（﹣9，3）
二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分.）
11．（4分） 的立方根是 ．
12．（4分）若点 P（m+1，m﹣1）在 y轴上，则 m的值为 ．
13．（4分）秦兵马俑的发现被誉为“世界第八大奇迹”，兵马俑的眼睛到下巴的距离与头顶
到下巴的距离之比约为 ，则 ．（选填“＞”，“＜”，“＝”）．
14．（4分）学校提倡“低碳环保，绿色出行”，小明和小亮分别选择步行和骑自行车上学，
两人各自从家同时同向出发，沿同一条路匀速前进．如图所示，l1和 l2分别表示两人到
小亮家的距离 s（km）和时间 t（h）的关系，则出发 h后两人相遇．
15．（4分）如图，直线 与 x轴、y轴分别交于点 A和点 B，点 C是 x轴上的一个
动点，将△ABC 沿 BC所在直线折叠后，点 A恰好落在 y轴上点 D处，则点 C的坐标
为 ．
16．（4分）如图，在平面直角坐标系 xOy中，A（2，0），B（10，0），点 P为 y轴正半轴
上的一个动点，以线段 PA为边在 PA的右上方作等边△APQ，连接 QB，在点 P运动的
过程中，线段 QB长度的最小值为 ．
三、解答题（本大题共 10 小题，共 86 分）
17．（6分）计算：
（1） ；
（2） ．
18．（6分）计算：
（1） ；
（2） ．
19．（6分）计算： ．
20．（8分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为 A（0，﹣2）、B（2，
﹣4）、C（4，﹣1）．
（1）作出△ABC关于 y轴对称的△A1B1C1；
（2）写出点的坐标：A1（ ），B1（ ），C1（ ）；
（3）在 x轴上找一点 P，使 PA+PC最小，标出点 P的位置（不写画法，保留作图痕迹）．
21．（8分）如图，已知直线 y＝kx+b的图象经过点 A（0，﹣4），B（3，2），且与 x轴交于
点 C．
（1）求一次函数的解析式；
（2）观察图象，直接写出方程 kx+b＝0的解为 ；
（3）求△AOB的面积．
22．（8分）如图，在长方形 OABC中，O为平面直角坐标系的原点，点 A坐标为（a，0），
点 C的坐标为（0，b），且 a、b满足 +|b﹣6|＝0，点 B在第一象限内，点 P从
原点出发，以每秒 2个单位长度的速度沿着 O→A→B→C→O的线路移动．
（1）点 B的坐标为 ；当点 P移动 4秒时，写出点 P的坐标 ．
（2）若点 Q从点 C以每秒 1个单位长度的速度沿着 C→B→A→O→C的线路移动，点 Q
与点 P同时出发，几秒后点 Q与点 P第一次相遇？
23．（10分）河南信阳毛尖是中国十大名茶之一，因其成品紧密如尖故名毛尖．某公司采购
员到信阳茶叶市场购买某品牌毛尖茶，商家推出了两种购买方式：
会员卡费用（元/张） 茶叶价格（元/kg）
方式一：金卡会员 500 1600
方式二：银卡会员 200 1800
设该公司此次购买茶叶 xkg，按方式一购买茶叶的总费用为 y1元，按方式二购买茶叶的
总费用为 y2元．
（1）请直接写出 y1，y2关于 x的函数解析式；
（2）若按方式一购买茶叶的总费用和按方式二购买茶叶的总费用相同，求该公司此次购
买茶叶的质量；
（3）若该公司此次购买茶叶的总预算为 6500元，则按哪种方式购买可以获得更多的茶
叶？
24．（10分）小明在解决问题：已知 ，求 2a2﹣8a+1的值．他是这样分析与解的：
∵ ，
∴ ，
∴（a﹣2）2＝3，a2﹣4a+4＝3，
∴a2﹣4a＝﹣1，
∴2a2﹣8a+1＝2（a2﹣4a）+1＝2×（﹣1）+1＝﹣1．
请你根据小明的分析过程，解决如下问题：
（1）①化简 ＝ ；
②当 时，求 3a2﹣6a﹣1的值．
（2）化简 ．
25．（12分）【复习旧知】结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：
数轴上表示 4和 1的两点之间的距离是 3；而|4﹣1|＝3；表示﹣3和 2两点之间的距离是
5；而|﹣3﹣2|＝5；表示﹣4和﹣7两点之间的距离是 3；而|﹣4﹣（﹣7）|＝3．
一般地，数轴上表示数 m和数 n的两点之间的距离公式为|m﹣n|．
（1）数轴上表示数﹣4的点与表示﹣1的点之间的距离为 ．
【探索新知】
如图①，我们在“格点”直角坐标系上可以清楚看到：要找 AB或 DE的长度，显然是
化为求 Rt△ABC或 Rt△DEF的斜边长．
下面：以求 DE为例来说明如何解决．
从坐标系中发现：D（﹣7，5），E（4，﹣3）．所以 DF＝|5﹣（﹣3）|＝8，EF＝|4﹣（﹣
7）|＝11，所以由勾股定理可得： ．
（2）在图②中：设 A（x1，y1），B（x2，y2），试用 x1，y1，x2，y2表示：AC＝ ，
BC＝ ，AB＝ ．
得出的结论被称为“平面直角坐标系中两点间距离公式”．
【学以致用】请用此公式解决如下题目：
（3）已知 A（﹣2，3）、B（4，﹣5），试求 A、B两点间的距离．
（4）已知一个三角形各顶点坐标为 A（﹣1，1）、B（﹣3，3）、C（2，4），请判定此三
角形的形状，并说明理由．
26．（12分）如图，在平面直角坐标系中，直线 l1：y＝ x与直线 l2：y＝kx+b（k≠0）相交
于点 A（a，3），直线 l2与 y轴交于点 B（0，﹣5）．
（1）求直线 l2的函数解析式；
（2）将△OAB沿直线 l2翻折得到△CAB，使点 O与点 C重合，AC与 x轴交于点 D．求
证：AC∥OB；
（3）在直线 BC下方是否存在点 P，使△BCP为等腰直角三角形？若存在，直接写出点
P坐标；若不存在，请说明理由．
2023-2024 学年山东省济南市长清区八年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分.）
1．（4分）25的算术平方根是（ ）
A．5 B．±5 C．± D．
【分析】根据算术平方根的定义即可解决问题．
【解答】解：∵52＝25，
∴25的算术平方根是 5，
故选：A．
【点评】本题考查了算术平方根的定义，算术平方根的概念易与平方根的概念混淆而导
致错误．
2．（4分）下列是无理数的是（ ）
A． B．π C． D．0.16
【分析】根据无理数的定义进行解答即可．
【解答】解：π是无理数；
＝3， ＝2，0.16是有理数．
故选：B．
【点评】本题考查的是无理数，立方根及算术平方根，熟知无理数的定义是解题的关键．
3．（4分）在平面直角坐标系中，点 P（2，﹣3）在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【分析】根据各象限内点的坐标特征解答．
【解答】解：点 P（2，﹣3）在第四象限．
故选：D．
【点评】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解
决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（﹣，+）；第三象
限（﹣，﹣）；第四象限（+，﹣）．
4．（4分）下列式子正确的是（ ）
A． B．（﹣3）2＝﹣32 C． D．
【分析】根据二次根式的乘法，减法，算术平方根，有理数的乘方法则进行计算，逐一
判断即可解答．
【解答】解：A、 ＝7，故 A不符合题意；
B、∵（﹣3）2＝9，﹣32＝﹣9，
∴（﹣3）2≠﹣32，
故 B不符合题意；
C、2 ﹣ ＝ ，故 C不符合题意；
D、 × ＝ ，故 D符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．
5．（4分）象棋在中国有着三千多年的历史，由于用具简单，趣味性强，成为流行极为广泛
的益智游戏．如图，是一局象棋残局，已知表示棋子“馬”和“車”的点的坐标分别为
（4，3），（﹣2，1），则表示棋子“炮”的点的坐标为（ ）
A．（﹣3，3） B．（3，2） C．（0，3） D．（1，3）
【分析】根据棋子“馬”和“車”的点的坐标可得出原点的位置，进而得出答案．
【解答】解：如图所示：棋子“炮”的点的坐标为：（1，3）．
故选：D．
【点评】此题主要考查了坐标确定位置，正确得出原点的位置是解题关键．
6．（4分）点 A（1，y1）、B（2，y2）都在一次函数 y＝﹣2x+3 的图象上，则 y1、y2的大小
关系是（ ）
A．y1＞y2 B．y1＝y2 C．y1＜y2 D．不确定
【分析】利用待定系数法把 A、B两点坐标代入一次函数 y＝﹣2x+3可算出 y1、y2的值，
再比较大小即可．
【解答】解：∵点 A（1，y1）、B（2，y2）都在一次函数 y＝﹣2x+3的图象上，
∴y1＝﹣2×1+3＝1，y2＝﹣2×2+3＝﹣1，
∴y1＞y2，
故选：A．
【点评】此题主要考查了一次函数图象上点的坐标特点，关键是掌握凡是函数图象经过
的点，必能使解析式左右相等．
7．（4分）已知 AB∥x轴，AB＝3，点 A的坐标为（﹣1，3），则点 B的坐标为（ ）
A．（2，3） B．（﹣4，3）
C．（﹣1，6）或（﹣1，0） D．（﹣4，3）或（2，3）
【分析】根据点 A的坐标和 AB＝3，求出点 B的横坐标，再根据纵坐标不变，作出选择．
【解答】解：点 B在点 A的右边时，横坐标为：﹣1+3＝2，则点 B的坐标为：（2，3）；
点 B在点 A的左边时，横坐标为：﹣1﹣3＝﹣4，则点 B的坐标为：（﹣4，3）；
故选：D．
【点评】本题考查了坐标与图形的性质，关键分两种情况求出点的坐标．
8．（4分）一次函数 y＝kx+b中，y随 x的增大而减小，且 kb＜0，则该函数图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据 y随 x的增大而减小可得 k＜0，然后根据 kb＜0，判断 b的符号，则函数
图象即可判断．
【解答】解：∵一次函数 y＝kx+b，y随着 x的增大而减小，
∴k＜0，
又∵kb＜0，
∴b＞0，
∴函数图象经过一、二、四象限．
故选：A．
【点评】本题考查了一次函数的图象：一次函数 y＝kx+b（k、b为常数，k≠0）是一条
直线，当 k＞0，图象经过第一、三象限，y随 x的增大而增大；当 k＜0，图象经过第二、
四象限，y随 x的增大而减小；图象与 y轴的交点坐标为（0，b）．
9．（4分）如图所示，A（2 ，0），AB＝3 ，以点 A为圆心，AB长为半径画弧交 x轴
负半轴于点 C，则点 C的坐标为（ ）
A．（3 ，0） B．（ ，0） C．（﹣ ，0） D．（﹣3 ，0）
【分析】根据点 A坐标就可以求出线段 OA的长，又因为 AB＝3 ，所以求出 CO长即
可解答．
【解答】解：∵A（2 ，0），AB＝3 ，
∴OA＝2 ，AC＝AB＝3 ，
∴OC＝AC﹣OA＝3 ﹣2 ＝ ，
∵点 C在 x轴的负半轴上，
∴点 C的坐标为（﹣ ，0）．
故选：C．
【点评】本题考查坐标与图形性质的应用，解题关键是熟练掌握正负半轴表示的点的坐
标的性质．
10．（4分）在平面直角坐标系 xOy中，对于 P，Q两点给出如下定义：若点 P到 x、y轴的
距离中的最大值等于点 Q到 x、y轴的距离中的最大值，则称 P，Q两点为“等距点”．如
图中的 P，Q两点即为“等距点”．若点 A的坐标为（﹣3，1），点 B的坐标为 B（m，
m+6），且 A，B两点为“等距点”，则点 B的坐标为（ ）
A．（3，9） B．（﹣3，3） C．（﹣9，﹣3） D．（﹣9，3）
【分析】先分析出直线上的点到 x、y轴距离中有 3的点，再根据”等距点“概念进行解
答即可．
【解答】解：∵点 A的坐标为（﹣3，1），到 x、y轴的距离中的最大值等于 3，
∴点 B坐标中到 x、y轴的距离中，至少有一个为 3的点，
如果 m＝3时，点 B坐标为（3，9）；
如果 m＝﹣3时，点 B坐标为（﹣3，3）；
如果 m+6＝3时，点 B坐标为（﹣3，3）；
如果 m+6＝﹣3时，点 B坐标为（﹣9，﹣3），
这些点中与 A符合“等距点”的是：（﹣3，3），
故选：B．
【点评】本题考查了坐标与图形性质，关键找到所有 B点的坐标，再加以判断．
二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分.）
11．（4分） 的立方根是 ﹣ ．
【分析】如果一个数 x的立方等于 a，那么 x是 a的立方根，根据此定义求解即可．
【解答】解：∵（﹣ ）3＝﹣ ，
∴﹣ 的立方根根是：﹣ ．
故答案为：﹣ ．
【点评】此题主要考查了求一个数的立方根，解题时应先找出所要求的这个数是哪一个
数的立方．由开立方和立方是互逆运算，用立方的方法求这个数的立方根．注意一个数
的立方根与原数的性质符号相同．
12．（4分）若点 P（m+1，m﹣1）在 y轴上，则 m的值为 ﹣1． ．
【分析】根据 y轴上的点横坐标为 0可得 m+1＝0，然后进行计算即可解答．
【解答】解：∵点 P（m+1，m﹣1）在 y轴上，
∴m+1＝0，
解得：m＝﹣1，
故答案为：﹣1．
【点评】本题考查了点的坐标，熟练掌握 y轴上的点横坐标为 0是解题的关键．
13．（4分）秦兵马俑的发现被誉为“世界第八大奇迹”，兵马俑的眼睛到下巴的距离与头顶
到下巴的距离之比约为 ，则 ＞ ．（选填“＞”，“＜”，“＝”）．
【分析】先估算 的大小，进一步判断 的大小，从而得出比较结果．
【解答】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：＞．
【点评】本题考查了实数的大小比较，熟练掌握无理数的估算方法是解题的关键．
14．（4分）学校提倡“低碳环保，绿色出行”，小明和小亮分别选择步行和骑自行车上学，
两人各自从家同时同向出发，沿同一条路匀速前进．如图所示，l1和 l2分别表示两人到
小亮家的距离 s（km）和时间 t（h）的关系，则出发 0.35 h后两人相遇．
【分析】用待定系数法求出 l1和 l2的函数解析式，再令 S1＝S2解方程即可．
【解答】解：设 l1的函数解析式为 y1＝kx+b，
则 ，
解得 ，
∴l1的函数解析式为 S1＝5t+3.5；
设 l2的函数解析式为 S2＝mt，
则 0.4m＝6，
解得 m＝15，
∴l2的函数解析式为 S2＝15t；
令 S1＝S2，即 5t+3.5＝15t，
解得 t＝0.35，
∴出发 0.35小时后两人相遇．
故答案为：0.35．
【点评】本题考查一次函数的应用，关键是求出函数解析式．
15．（4分）如图，直线 与 x轴、y轴分别交于点 A和点 B，点 C是 x轴上的一个
动点，将△ABC沿 BC所在直线折叠后，点 A恰好落在 y轴上点 D处，则点 C的坐标为
（﹣ ，0） ．
【分析】先求出 A，B两点的坐标，故可得出 AB的长，再由轴对称的性质得出 BD＝AB，
故可得出 D点坐标，进而可得出结论．
【解答】解：∵直线 与 x轴、y轴分别交于点 A和点 B，
∴A（﹣4，0），B（0，﹣3），
∴AB＝ ＝5，
∵将△ABC沿 BC所在直线折叠后，点 A恰好落在 y轴上点 D处，
∴BD＝AB＝5，
∴D（0，2）．
∵将△ABC沿 BC所在直线折叠后，点 A恰好落在 y轴上点 D处，
∴点 C在线段 AD的垂直平分线上，
∴AC＝CD，
设 AC＝CD＝x，则 OC＝4﹣x，OD＝2，
∴OD2+OC2＝CD2，即 22+（4﹣x）2＝x2，解得 x＝ ，
∴OC＝4﹣ ＝ ，
∴C（﹣ ，0）．
故答案为：（﹣ ，0）．
【点评】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点及轴对称的性质，根据题意得出 A、
B两点的坐标是解题的关键．
16．（4分）如图，在平面直角坐标系 xOy中，A（2，0），B（10，0），点 P为 y轴正半轴
上的一个动点，以线段 PA为边在 PA的右上方作等边△APQ，连接 QB，在点 P运动的
过程中，线段 QB长度的最小值为 6 ．
【分析】如图，将△ABQ绕点 A逆时针旋转 60°到△ACP，连接 BC，可证△ABC是等
边三角形，可求点 C坐标，由此确定当 PC⊥y轴时，PC最小．
【解答】解：如图，将△ABQ绕点 A逆时针旋转 60°到△ACP，连接 BC，
∴△ABQ≌△ACP，
∴AB＝AC，BQ＝PC，∠PAQ＝∠BAC，
∵△APQ是等边三角形，
∴∠PAQ＝∠BAC＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∵A（2，0），B（10，0），
∴AB＝10﹣2＝8，
∴C（6，4 ），即点 C是定点，
∴当 PC最小时，BQ最小，
∴当 PC⊥y轴时，PC最小，最小值是 6，
∴线段 QB长度的最小值为 6．
故答案为：6．
【点评】本题考查了确定最小值问题，此类题有难度，正确理解题意是关键，运用旋转
的性质作旋转三角形是本题的关键．
三、解答题（本大题共 10 小题，共 86 分）
17．（6分）计算：
（1） ；
（2） ．
【分析】（1）利用二次根式的除法法则进行计算，即可解答；
（2）利用二次根式的乘除法法则进行计算，即可解答．
【解答】解：（1）
＝
＝
＝﹣1；
（2）
＝
＝
＝
＝3．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算，分母有理化，准确熟练地进行计算是解题的
关键．
18．（6分）计算：
（1） ；
（2） ．
【分析】（1）先化简各式，然后再进行计算即可解答；
（2）利用完全平方公式，平方差公式进行计算，即可解答．
【解答】解：（1）
＝2 ﹣2 +2
＝2 ；
（2）
＝5﹣2 +1+5﹣4
＝7﹣2 ．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算，完全平方公式，平方差公式，准确熟练地进
行计算是解题的关键．
19．（6分）计算： ．
【分析】先计算二次根式、零次幂、负整数指数幂和绝对值，再计算加减．
【解答】解：
＝2 +2﹣ +2+1
＝2 ﹣ +5．
【点评】此题考查了实数的混合运算能力，关键是能准确确定运算顺序，并能进行正确
地计算．
20．（8分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为 A（0，﹣2）、B（2，
﹣4）、C（4，﹣1）．
（1）作出△ABC关于 y轴对称的△A1B1C1；
（2）写出点的坐标：A1（ 0，﹣2 ），B1（ ﹣2，﹣4 ），C1（ ﹣4，﹣1 ）；
（3）在 x轴上找一点 P，使 PA+PC最小，标出点 P的位置（不写画法，保留作图痕迹）．
【分析】（1）根据轴对称的性质作图即可．
（2）由图可得出答案．
（3）取点 A关于 x轴的对称点 A'，连接 A'C，交 x轴于点 P，则点 P即为所求．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求．
（2）由图可得，A1（0，﹣2），B1（﹣2，﹣4），C1（﹣4，﹣1）．
故答案为：0，﹣2；﹣2，﹣4；﹣4，﹣1．
（3）取点 A关于 x轴的对称点 A'，连接 A'C，交 x轴于点 P，连接 AP，
此时 PA+PC最小，
则点 P即为所求．
【点评】本题考查作图﹣轴对称变换、轴对称﹣最短路线问题，熟练掌握轴对称的性质
是解答本题的关键．
21．（8分）如图，已知直线 y＝kx+b的图象经过点 A（0，﹣4），B（3，2），且与 x轴交于
点 C．
（1）求一次函数的解析式；
（2）观察图象，直接写出方程 kx+b＝0的解为 x＝2 ；
（3）求△AOB的面积．
【分析】（1）把点 A（0，﹣4），B（3，2）代入直线 y＝kx+b，得到关于 k，b的方程组，
解方程组，求出 k，b即可；
（2）先求出点 C的坐标，然后根据一次函数与一元一次方程的关系，求出方程的解即可；
（3）先根据点 O和点 A的坐标，求出 OA，然后根据点 B的坐标，利用三角形的面积公
式，求出答案即可．
【解答】解：（1）把点 A（0，﹣4），B（3，2）代入直线 y＝kx+b得：
，
解得： ，
∴一次函数的解析式为：y＝2x﹣4；
（2）∵点 C在 x轴上，
∴点 C的纵坐标 y＝0，
把 y＝0代入 y＝2x﹣4得：
2x﹣4＝0，
2x＝4，
x＝2，
∴点 C坐标为：（2，0），
∴方程 kx+b＝0的解为：x＝2，
故答案为：x＝2；
（3）∵O（0，0），A（0，﹣4），
∴OA＝|﹣4﹣0|＝4，
∵B（3，2），
∴
＝
＝6．
【点评】本题主要考查了一次函数与一元一次方程的关系和利用待定系数法求一次函数
的解析式．
22．（8分）如图，在长方形 OABC中，O为平面直角坐标系的原点，点 A坐标为（a，0），
点 C的坐标为（0，b），且 a、b满足 +|b﹣6|＝0，点 B在第一象限内，点 P从
原点出发，以每秒 2个单位长度的速度沿着 O→A→B→C→O的线路移动．
（1）点 B 的坐标为 （4，6） ；当点 P 移动 4 秒时，写出点 P 的坐标 （4，
4） ．
（2）若点 Q从点 C以每秒 1个单位长度的速度沿着 C→B→A→O→C的线路移动，点 Q
与点 P同时出发，几秒后点 Q与点 P第一次相遇？
【分析】（1）利用非负数的性质可以求得 a、b的值，根据长方形的性质，可以求得点 B
的坐标；根据题意点 P从原点出发，以每秒 2 个单位长度的速度沿着 O→A→B→C→O
的线路移动，可以得到当点 P移动 4秒时，点 P的位置和点 P的坐标；
（2）由题意可以得方程，解答方程即可．
【解答】解：（1）∵a、b满足 +|b﹣6|＝0，
∴a﹣4＝0，b﹣6＝0，
解得 a＝4，b＝6，
∴点 B的坐标是（4，6）；
∵点 P从原点出发，以每秒 2个单位长度的速度沿着 O→A→B→C→O的线路移动，
∴点 P的路程：2×4＝8，
∵OA＝4，OC＝6，
∴当点 P移动 4秒时，在线段 AB上，AP＝8﹣4＝4，
即当点 P移动 4秒时，此时点 P的坐标是（4，4）；
故答案为：（4，6）；（4，4）；
（2）设 t秒后点 Q与点 P第一次相遇，根据题意得：
2t+t＝14，
解得 t＝ ，
答： s后点 Q与点 P第一次相遇．
【点评】本题考查矩形的性质，坐标与图形的性质，解题的关键是明确题意，找出所求
问题需要的条件，利用数形结合的思想解答问题．
23．（10分）河南信阳毛尖是中国十大名茶之一，因其成品紧密如尖故名毛尖．某公司采购
员到信阳茶叶市场购买某品牌毛尖茶，商家推出了两种购买方式：
会员卡费用（元/张） 茶叶价格（元/kg）
方式一：金卡会员 500 1600
方式二：银卡会员 200 1800
设该公司此次购买茶叶 xkg，按方式一购买茶叶的总费用为 y1元，按方式二购买茶叶的
总费用为 y2元．
（1）请直接写出 y1，y2关于 x的函数解析式；
（2）若按方式一购买茶叶的总费用和按方式二购买茶叶的总费用相同，求该公司此次购
买茶叶的质量；
（3）若该公司此次购买茶叶的总预算为 6500元，则按哪种方式购买可以获得更多的茶
叶？
【分析】（1）根据方式一、方式二的总费用的组成列式即可；
（2）根据方式一、方式二的费用相等列出方程，解方程即可；
（3）根据方式一、方式二的费用＝6500，解方程求出 x进行比较即可．
【解答】解：（1）根据题意得：y1＝500+1600x，y2＝200+1800x，
∴y1关于 x的函数解析式为 y1＝500+1600x，y2关于 x的函数解析式为 y2＝200+1800x；
（2）根据题意得：500+1600x＝200+1800x，
解得 x＝1.5，
答：该公司此次购买茶叶的质量为 1.5kg；
（3）按照第一种方式购买茶叶：500+1600x＝6500，
解得 x＝ ；
按照第二种方式购买茶叶：200+1800x＝6500，
解得 x＝ ．
∵ ，
∴按照第一种方式购买可以获得更多的茶叶．
【点评】本题考查了一次函数的应用，读懂题目信息，理解两种方式的费用表达式是解
题的关键．
24．（10分）小明在解决问题：已知 ，求 2a2﹣8a+1的值．他是这样分析与解的：
∵ ，
∴ ，
∴（a﹣2）2＝3，a2﹣4a+4＝3，
∴a2﹣4a＝﹣1，
∴2a2﹣8a+1＝2（a2﹣4a）+1＝2×（﹣1）+1＝﹣1．
请你根据小明的分析过程，解决如下问题：
（1）①化简 ＝ +1 ；
②当 时，求 3a2﹣6a﹣1的值．
（2）化简 ．
【分析】（1）先将 a分母有理化得出 a＝ +1，再代入 4a2﹣8a+1＝4（a﹣1）2﹣3计算
可得；
（2）将各式分母有理化，再计算加法即可得．
【解答】解：（1）①a＝ ＝ ＝ +1；
②3a2﹣6a+1＝3（a2﹣2a+1﹣1）+1
＝3（a﹣1）2﹣2
＝3（ +1﹣1）2﹣2
＝3×2﹣3
＝3，
故答案为：3；
（2）原式＝ + + +…
+
＝ + + +…+
＝
＝5．
【点评】本题主要考查二次根式的化简求值，解题的关键是熟练掌握分母有理化的方法．
25．（12分）【复习旧知】结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：
数轴上表示 4和 1的两点之间的距离是 3；而|4﹣1|＝3；表示﹣3和 2两点之间的距离是
5；而|﹣3﹣2|＝5；表示﹣4和﹣7两点之间的距离是 3；而|﹣4﹣（﹣7）|＝3．
一般地，数轴上表示数 m和数 n的两点之间的距离公式为|m﹣n|．
（1）数轴上表示数﹣4的点与表示﹣1的点之间的距离为 3 ．
【探索新知】
如图①，我们在“格点”直角坐标系上可以清楚看到：要找 AB或 DE的长度，显然是
化为求 Rt△ABC或 Rt△DEF的斜边长．
下面：以求 DE为例来说明如何解决．
从坐标系中发现：D（﹣7，5），E（4，﹣3）．所以 DF＝|5﹣（﹣3）|＝8，EF＝|4﹣（﹣
7）|＝11，所以由勾股定理可得： ．
（2）在图②中：设 A（x1，y1），B（x2，y2），试用 x1，y1，x2，y2表示：AC＝ y1﹣
y2 ，BC＝ x1﹣x2 ，AB＝ ．
得出的结论被称为“平面直角坐标系中两点间距离公式”．
【学以致用】请用此公式解决如下题目：
（3）已知 A（﹣2，3）、B（4，﹣5），试求 A、B两点间的距离．
（4）已知一个三角形各顶点坐标为 A（﹣1，1）、B（﹣3，3）、C（2，4），请判定此三
角形的形状，并说明理由．
【分析】（1）由﹣1﹣（﹣4）计算即可求出数轴上表示数﹣4的点与表示﹣1的点之间的
距离为 3；
（2）结合坐标系及各点坐标即可得出各线段的长度．
（3）利用平面直角坐标系中两点间距离公式解答即可；
（4）利用平面直角坐标系中两点间距离公式分别求得三边的长度，进一步判断即可．
【解答】解：（1）数轴上表示数﹣5的点与表示﹣2的点之间的距离＝﹣1﹣（﹣4）＝3；
故答案为：3；
（2）结合图形可得：AC＝y1﹣y2，BC＝x1﹣x2，AB＝ ．
故答案为：y1﹣y2；x1﹣x2； ；
（3）∵A（﹣2，3）、B（4，﹣5），
∴AB＝ ＝10，
∴A、B两点间的距离为 10；
（4）此三角形为直角三角形，理由如下：
∵A（﹣1，1）、B（﹣3，3）、C（2，4），
∴AB＝ ＝2 ，
AC＝ ＝3 ，
BC＝ ＝ ，
∵AB2＝（2 ）2＝8，AC2＝（3 ）2＝18，BC2＝（ ）2＝26，AB2+AC2＝BC2，
∴△ABC为直角三角形．
【点评】本题考查了勾股定理及两点间的距离公式，看似难度较大，其实不然，注意仔
细审题，领悟题意是解题的关键．
26．（12分）如图，在平面直角坐标系中，直线 l1：y＝ x与直线 l2：y＝kx+b（k≠0）相交
于点 A（a，3），直线 l2与 y轴交于点 B（0，﹣5）．
（1）求直线 l2的函数解析式；
（2）将△OAB沿直线 l2翻折得到△CAB，使点 O与点 C重合，AC与 x轴交于点 D．求
证：AC∥OB；
（3）在直线 BC下方是否存在点 P，使△BCP为等腰直角三角形？若存在，直接写出点
P坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）解方程得到 A（4，3），待定系数法即可得到结论；
（2）根据勾股定理得到 OA＝ ＝5，根据等腰三角形的性质得到∠OAB＝∠OBA，
根据折叠的性质得到∠OAB＝∠CAB，于是得到结论；
（3）过 C作 CM⊥OB于 M，求得 CM＝OD＝4，得到 C（4，﹣2），过 P1作 P1N⊥y轴
于 N，根据全等三角形的判定和性质定理即可得到结论．
【解答】解：（1）∵直线 l1：y＝ x与直线 l2：y＝kx+b相交于点 A（a，3），
∴A（4，3），
∵直线交 l2交 y轴于点 B（0，﹣5），
∴y＝kx﹣5，
把 A（4，3）代入得，3＝4k﹣5，
∴k＝2，
∴直线 l2的解析式为 y＝2x﹣5；
（2）∵OA＝ ＝5，
∴OA＝OB，
∴∠OAB＝∠OBA，
∵将△OAB沿直线 l2翻折得到△CAB，
∴∠OAB＝∠CAB，
∴∠OBA＝∠CAB，
∴AC∥OB；
（3）存在．理由如下：
如图，过 C作 CM⊥OB于 M，
则 CM＝OD＝4，
∵BC＝OB＝5，
∴BM＝3，
∴OM＝2，
∴C（4，﹣2），
过 P1作 P1N⊥y轴于 N，
∵△BCP是等腰直角三角形，
∴∠CBP1＝90°，
∴∠MCB＝∠NBP1，
∵BC＝BP1，
∴△BCM≌△P1BN（AAS），
∴BN＝CM＝4，
∴P1（3，﹣9）；
同理可得，P2（7，﹣6），P3（ ，﹣ ）．
【点评】本题考查了一次函数的综合题，折叠的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形
的判定和性质，正确的求得 P点的坐标是解题的关键．