2023-2024学年山东省泰安市东平县七年级（上）期中数学试卷（五四学制）(pdf版含解析）

2023-2024学年山东省泰安市东平县七年级（上）期中数学试卷
（五四学制）
一、选择题（本大题共 12个小题，每小题 4分，共 48分.每小题给出的四个答案中，只有
一项是正确的.）
1．（4分）下列四个图案中，轴对称图形的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．（4分）如图，已知△ABC六个元素，则下面甲、乙、丙三个三角形中和△ABC全等的是
（ ）
A．甲和乙 B．乙和丙 C．只有乙 D．只有丙
3．（4分）如图所示，为估计池塘两岸 A，B间的距离，小明在池塘一侧选取了一点 P，测
得 PA＝16m，PB＝12m，那么 AB间的距离不可能是（ ）
A．29m B．20m C．15m D．5m
4．（4分）适合下列条件的△ABC中，一定为直角三角形的个数为（ ）
①a＝ ，b＝ ，c＝ ；②a＝6，∠A＝45°；③∠A＝32°，∠B＝58°；④a＝7，
b＝24，c＝25；⑤a＝2，b＝3，c＝4．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
5．（4分）如图，在 Rt△ABC中，∠C＝90°，D为 AC上一点，且 DA＝DB＝5，又△DAB
的面积为 10，那么 DC的长是（ ）
A．4 B．3 C．5 D．4.5
6．（4分）如图，阴影部分是一个正方形，则此正方形的面积为（ ）
A．32 B．64 C．16 D．128
7．（4分）如图，在等边△ABC中，点 D，E分别在边 BC，AB上，且 BD＝AE，AD与 CE
交于点 F，作 CM⊥AD，垂足为 M，下列结论不正确的是（ ）
A．AM＝CM B．MF＝ CF C．∠BEC＝∠CDA D．AD＝CE
8．（4分）如图，在△ABC中，已知点 D、E、F分别为边 BC、AD、CE的中点且△ABC的
面积是 4cm2，则阴影部分面积等于（ ）
A． cm2 B． cm2 C．1cm2 D．2cm2
9．（4分）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为 30°，则顶角的度数为（ ）
A．60° B．120° C．60°或 150° D．60°或 120°
10．（4分）如图，在△ABC中，AB＝AC，MN是 AB的垂直平分线，△BNC的周长是 24cm，
BC＝10cm，则 AB的长是（ ）
A．17cm B．12cm C．14cm D．34cm
11．（4分）如图，有一块直角三角形纸片，两直角边 AC＝6cm，BC＝8cm，现将直角边 AC
沿直线 AD折叠，使它落在斜边 AB上且与 AE重合，则 CD等于（ ）
A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm
12．（4分）如图，C为线段 AE上一动点（不与点 A，E重合），在 AE同侧分别作等边△ABC
和等边△CDE，AD与 BE交于点 O，AD与 BC交于点 P，BE与 CD交于点 Q，连接 PQ．已
知以下结论：①AD＝BE；②PG∥AE；③AP＝BQ；④DE＝DP；⑤∠AOB＝60°．其
中不正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题（本大题共 6小题，每小题 4分，共 24分.只要求填写最后结果.）
13．（4分）等腰三角形的两边长分别为 4和 9，该三角形的周长为 ．
14．（4分）如图所示，学校有一块长方形花圃，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花
圃内走出了一条“路”．他们仅仅少走了 步路（假设 2步为 1米），却踩伤了花
草．
15．（4分）如图所示，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，∠1＝25°，∠2＝30°，则
∠3＝ ．
16．（4分）如图，在四边形 ABCD中，AD∥BC，AD＝BC，AB＝6，AD＝10．以点 B为圆
心，以任意长为半径作弧，分别交 BA，BC于点 P，Q；再分别以 P，Q为圆心，以大于
的长为半径作弧，两弧在∠ABC内交于点 M．连接 BM并延长，交 AD于点 E，则
DE的长为 ．
17．（4分）在△ABC中，AC＝5，中线 AD＝7，则 AB边的取值范围是 ．
18．（4分）如图，长方体的长为 15cm，宽为 10cm，高为 20cm，点 B到点 C的距离 5cm，
一只蚂蚁如果沿着长方体的表面从 A点爬到 B点，需要爬行的最短距离是 ．
三、解答题（本大题共 7小题，共 78分。写出必要的文字说明、证明过程或推演步骤.）
19．（10 分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，过点 C在△ABC外作直线 MN，
AM⊥MN于 M，BN⊥MN于 N．求证：MN＝AM+BN．
20．（10分）已知：如图，AB＝AC，点 D是 BC的中点，AB平分∠DAE，AE⊥BE，垂足
为 E．
（1）求证：AD＝AE．
（2）若 BE∥AC，试判断△ABC的形状，并说明理由．
21．（10分）一架方梯长 25米，如图，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙 7米，
（1）这个梯子的顶端距地面有多高？
（2）如果梯子的顶端下滑了 4米，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？
22．（10分）如图，点 E在线段 CD上，EA，EB分别平分∠DAB和∠CBA，点 F在线段 AB
上运动，AD＝4cm，BC＝3cm，且 AD∥BC．
（1）当点 F运动到离点 A多少厘米时，△ADE和△AFE全等？为什么？
（2）在（1）的情况下，此时 BF＝BC吗？为什么？求出 AB的长．
23．（12分）如图，小颖和她的同学荡秋千，秋千 AB在静止位置时，下端 B′离地面 0.6m，
荡秋千到 AB的位置时，下端 B距静止位置的水平距离 EB等于 2.4m，距地面 1.4m，求
秋千 AB的长．
24．（12 分）如图，已知△ABC中∠BAC＝135°，点 E，点 F在 BC上，EM垂直平分 AB
交 AB于点 M，FN垂直平分 AC交 AC于点 N，BE＝12，CF＝9．
（1）判断△EAF的形状，并说明理由；
（2）求△EAF的周长．
25．（14分）在等边△ABC中，点 E是 AB上的动点，点 E与点 A、B不重合，点 D在 CB
的延长线上，且 EC＝ED．
（1）如图 1，若点 E是 AB的中点，求证：BD＝AE；
（2）如图 2，若点 E不是 AB的中点时，（1）中的结论“BD＝AE”能否成立？若不成立，
请直接写出 BD与 AE数量关系，若成立，请给予证明．
2023-2024学年山东省泰安市东平县七年级（上）期中数学试卷
（五四学制）
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共 12个小题，每小题 4分，共 48分.每小题给出的四个答案中，只有
一项是正确的.）
1．（4分）下列四个图案中，轴对称图形的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】直接利用轴对称图形的定义分别判断得出答案．
【解答】解：第 1个不是轴对称图形，符合题意；
第 2个是轴对称图形，不合题意；
第 3个是轴对称图形，不合题意；
第 4个不是轴对称图形，符合题意，
故有 2个轴对称图形．
故选：B．
【点评】此题主要考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两
部分折叠后可重合．
2．（4分）如图，已知△ABC六个元素，则下面甲、乙、丙三个三角形中和△ABC全等的是
（ ）
A．甲和乙 B．乙和丙 C．只有乙 D．只有丙
【分析】由全等三角形的判定，即可判断．
【解答】解：甲和△ABC的两边对应相等，但夹角不一定相等，故甲和△ABC不一定全
等；
由 SAS判定乙和△ABC全等，故乙符合题意；
丙和△ABC的两角分别相等，但夹边不一定相等，故丙不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查全等三角形的判定，关键是掌握全等三角形的判定方法．
3．（4分）如图所示，为估计池塘两岸 A，B间的距离，小明在池塘一侧选取了一点 P，测
得 PA＝16m，PB＝12m，那么 AB间的距离不可能是（ ）
A．29m B．20m C．15m D．5m
【分析】根据三角形的三边关系定理：三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小
于第三边可得 16﹣12＜AB＜16+12，再解即可．
【解答】解：根据三角形的三边关系可得：16﹣12＜AB＜16+12，
即 4＜AB＜28，故 AB间的距离不可能是 29m．
故选：A．
【点评】此题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握第三边的范围是：大于已知的
两边的差，而小于两边的和．
4．（4分）适合下列条件的△ABC中，一定为直角三角形的个数为（ ）
①a＝ ，b＝ ，c＝ ；②a＝6，∠A＝45°；③∠A＝32°，∠B＝58°；④a＝7，
b＝24，c＝25；⑤a＝2，b＝3，c＝4．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【分析】计算出三角形的角利用定义判定或在知道边的情况下利用勾股定理的逆定理判
定则可．
【解答】解：① ，根据勾股定理的逆定理不是直角三角形，故
不符合题意；
②a＝6，∠A＝45不是成为直角三角形的必要条件，故不符合题意；
③∠A＝32°，∠B＝58°则第三个角度数是 90°，故符合题意；
④72+242＝252，根据勾股定理的逆定理是直角三角形，故符合题意；
⑤22+32≠42，根据勾股定理的逆定理不是直角三角形，故不符合题意．
故选：A．
【点评】本题考查了直角三角形的定义和勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理
时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最
大边的平方之间的关系，进而作出判断．掌握勾股定理的逆定理的内容是解题的关键．
5．（4分）如图，在 Rt△ABC中，∠C＝90°，D为 AC上一点，且 DA＝DB＝5，又△DAB
的面积为 10，那么 DC的长是（ ）
A．4 B．3 C．5 D．4.5
【分析】先利用三角形面积求 BC的长，最后利用勾股定理可得结论．
【解答】解：∵△DAB的面积为 10，DA＝5，∠C＝90°，
∴S△DAB＝ AD BC＝10，
×5BC＝10，
BC＝4，
在 Rt△BDC中，由勾股定理得：DC＝ ＝ ＝3，
故选：B．
【点评】本题考查了三角形面积、勾股定理，熟练运用三角形面积公式求边长 BC是本
题的关键．
6．（4分）如图，阴影部分是一个正方形，则此正方形的面积为（ ）
A．32 B．64 C．16 D．128
【分析】根据勾股定理得出正方形的边长，从而进行计算即可得到答案．
【解答】解：根据题意可得：
正方形的边长为： ，
∴正方形的面积为：8×8＝64，
故选：B．
【点评】本题主要考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理得出正方形的边长是解题的关键．
7．（4分）如图，在等边△ABC中，点 D，E分别在边 BC，AB上，且 BD＝AE，AD与 CE
交于点 F，作 CM⊥AD，垂足为 M，下列结论不正确的是（ ）
A．AM＝CM B．MF＝ CF C．∠BEC＝∠CDA D．AD＝CE
【分析】证明△AEC≌△BDA（SAS），推出 CE＝AD，∠AEC＝∠ADC，∠CFM＝60°，
可得结论．
【解答】解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC＝∠B＝60°，AB＝AC
又∵AE＝BD
在△AEC与△BDA中，
，
∴△AEC≌△BDA（SAS），
∴AD＝CE，∠AEC＝∠ADB，故 D正确，
∴∠BEC＝∠ADB，故 C正确，
∵△AEC≌△BDA，
∴∠BAD＝∠ACE，
∴∠AFE＝∠ACE+∠CAD＝∠BAD+∠CAD＝∠BAC＝60°，
∴∠CFM＝∠AFE＝60°，
∵CM⊥AD，
在 Rt△CFM中，∠FCM＝30°，
∴MF＝ CF，B正确，
要使 AM＝CM，则必须使∠DAC＝45°，由已知条件知∠DAC的度数为大于 0°小于 60°
均可，
∴AM＝CM不成立，故 A错误．
故选：A．
【点评】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、含 30°角的直角三
角形的性质；熟练掌握等边三角形的性质，并能进行推理论证与计算是解决问题的关键．
8．（4分）如图，在△ABC中，已知点 D、E、F分别为边 BC、AD、CE的中点且△ABC的
面积是 4cm2，则阴影部分面积等于（ ）
A． cm2 B． cm2 C．1cm2 D．2cm2
【分析】根据中点得到三角形面积相等，最终得到阴影部分的面积．
【解答】解：由题意可知，
＝2，
△ABE、△BDE、△AEC、△DEC的面积相等且为 1，
∴△BEC的面积为 2，
＝1，
故选：C．
【点评】本题考查三角形的面积，能够理解三角形的中线平分三角形的面积是解答本题
的关键．
9．（4分）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为 30°，则顶角的度数为（ ）
A．60° B．120° C．60°或 150° D．60°或 120°
【分析】等腰三角形的高相对于三角形有三种位置关系，三角形内部，三角形的外部，
三角形的边上．根据条件可知第三种高在三角形的边上这种情况不成了，因而应分两种
情况进行讨论．
【解答】解：当高在三角形内部时（如图 1），顶角是 60°；
当高在三角形外部时（如图 2），顶角是 120°．
故选：D．
【点评】此题主要考查了等腰三角形的性质，熟记三角形的高相对于三角形的三种位置
关系是解题的关键，本题易出现的错误是只是求出 120°一种情况，把三角形简单的认为
是锐角三角形．
10．（4分）如图，在△ABC中，AB＝AC，MN是 AB的垂直平分线，△BNC的周长是 24cm，
BC＝10cm，则 AB的长是（ ）
A．17cm B．12cm C．14cm D．34cm
【分析】根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质可得 AN＝BN，然
后求出△NBC的周长＝AC+BC＝AB+BC，再代入数据进行计算即可得解．
【解答】解：∵MN是 AB的垂直平分线，
∴AN＝BN，
∴△BNC的周长＝BN+CN+BC＝AN+CN+BC＝AC+BC＝AB+BC，
∵BC＝10cm，△BNC的周长是 24cm，
∴AB＝24﹣10＝14cm．
故选：C．
【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质的应用，注意：线段垂直平分线上的点到线
段两个端点的距离相等．
11．（4分）如图，有一块直角三角形纸片，两直角边 AC＝6cm，BC＝8cm，现将直角边 AC
沿直线 AD折叠，使它落在斜边 AB上且与 AE重合，则 CD等于（ ）
A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm
【分析】根据翻折的性质可知：AC＝AE＝6，CD＝DE，设 CD＝DE＝x，在 Rt△DEB中
利用勾股定理解决．
【解答】解：在 Rt△ABC中，∵AC＝6，BC＝8，
∴AB＝ ＝ ＝10，
△ADE是由△ACD翻折，
∴AC＝AE＝6，EB＝AB﹣AE＝10﹣6＝4，
设 CD＝DE＝x，
在 Rt△DEB中，∵DE2+EB2＝DB2，
∴x2+42＝（8﹣x）2
∴x＝3，
∴CD＝3．
解法二：根据 S△ABC＝S△ACD+S△ADB，
可得 ×6×8＝ ×6×x+ ×10×x，
解得 x＝3．
故选：B．
【点评】本题考查翻折的性质、勾股定理，利用翻折不变性是解决问题的关键，学会转
化的思想去思考问题．
12．（4分）如图，C为线段 AE上一动点（不与点 A，E重合），在 AE同侧分别作等边△ABC
和等边△CDE，AD与 BE交于点 O，AD与 BC交于点 P，BE与 CD交于点 Q，连接 PQ．已
知以下结论：①AD＝BE；②PG∥AE；③AP＝BQ；④DE＝DP；⑤∠AOB＝60°．其
中不正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】①由于△ABC和△CDE是等边三角形，可知 AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠
DCE＝60°，从而证出△ACD≌△BCE，可推知 AD＝BE；
②由△ACD≌△BCE得∠CBE＝∠DAC，由∠ACB＝∠DCE＝60°，AC＝BC，得到△
CQB≌△CPA（ASA），再根据∠PCQ＝60°推出△PCQ为等边三角形，又由∠PQC＝∠
DCE，根据内错角相等，两直线平行，可知②正确；
③根据②△CQB≌△CPA（ASA），可知③正确；
④反证法证明命题 DE≠DP，故④错误；
⑤由 BC∥DE，得到∠CBE＝∠BED，由∠CBE＝∠DAE，得到∠AOB＝∠OAE+∠AEO
＝60°，同理可得出∠AOE＝120°，进而得出∠AOB＝60°，故⑤正确．
【解答】解：∵等边△ABC和等边△CDE，
∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°，
∴∠ACB+∠BCD＝∠DCE+∠BCD，即∠ACD＝∠BCE，
在△ACD与△BCE中，
，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD＝BE，①正确，
∵△ACD≌△BCE，
∴∠CBE＝∠DAC，
又∵∠ACB＝∠DCE＝60°，
∴∠BCD＝60°，
∴∠ACP＝∠BCQ，
在△CQB和△CPA中，
，
∴△CQB≌△CPA（ASA），
∴CP＝CQ，
又∵∠PCQ＝60°，
∴△PCQ为等边三角形，
∴∠PQC＝∠DCE＝60°，
∴PQ∥AE，②正确，
∵△CQB≌△CPA，
∴AP＝BQ③正确，
若 DE＝DP，
∵DC＝DE，
∴DP＝DC，
∴∠PCD＝∠DPC，
又∵∠PCD＝60°，
∴∠DPC＝60°与△PCQ是等边三角形相矛盾，假设不成立，
故④错误；
∵BC∥DE，
∴∠CBE＝∠BED，
∵∠CBE＝∠DAE，
∴∠AOB＝∠OAE+∠AEO＝60°，
同理可得出∠AOE＝120°，
∴∠AOB＝60°，故⑤正确；
∴正确结论有：①②③⑤共 4个．
故选：D．
【点评】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质等知识；本题综合性
强，有一定难度，熟练掌握等边三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．
二、填空题（本大题共 6小题，每小题 4分，共 24分.只要求填写最后结果.）
13．（4分）等腰三角形的两边长分别为 4和 9，该三角形的周长为 22 ．
【分析】分类讨论：9为腰长，9为底边长，根据三角形的周长公式，可得答案．
【解答】解：分两种情况：
①当 4为底边长，9为腰长时，4+9＞9，
∴三角形的周长＝4+9+9＝22；
②当 9为底边长，4为腰长时，
∵4+4＜9，
∴不能构成三角形；
∴这个三角形的周长是 22．
故答案为：22．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质、三角形的三边关系；熟练掌握等腰三角形的性
质，通过进行分类讨论得出结果是解决问题的关键．
14．（4分）如图所示，学校有一块长方形花圃，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花
圃内走出了一条“路”．他们仅仅少走了 4 步路（假设 2步为 1米），却踩伤了花草．
【分析】本题关键是求出路长，即三角形的斜边长．求两直角边的和与斜边的差．
【解答】解：根据勾股定理可得斜边长是 ＝5m．
则少走的距离是 3+4﹣5＝2（m），
∵2步为 1米，
∴少走了 4步，
故答案为：4．
【点评】本题就是一个简单的勾股定理的应用问题．
15．（4分）如图所示，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，∠1＝25°，∠2＝30°，则
∠3＝ 55° ．
【分析】求出∠BAD＝∠EAC，证△BAD≌△CAE，推出∠2＝∠ABD＝30°，根据三角
形的外角性质求出即可．
【解答】解：∵∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，
∴∠1＝∠EAC，
在△BAD和△CAE中，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴∠2＝∠ABD＝30°，
∵∠1＝25°，
∴∠3＝∠1+∠ABD＝25°+30°＝55°，
故答案为：55°．
【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，三角形的外角性质的应用，解此题的关
键是推出△BAD≌△CAE．
16．（4分）如图，在四边形 ABCD中，AD∥BC，AD＝BC，AB＝6，AD＝10．以点 B为圆
心，以任意长为半径作弧，分别交 BA，BC于点 P，Q；再分别以 P，Q为圆心，以大于
的长为半径作弧，两弧在∠ABC内交于点 M．连接 BM并延长，交 AD于点 E，则
DE的长为 4 ．
【分析】由作图可知，BE平分∠ABC，再结合平行线的性质得出 AB＝AE即可推出结果..
【解答】解：由作图可知，BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBE，
又∵AD∥BC，
∴∠CBE＝∠AEB，
∴∠ABE＝∠AEB，
∴AB＝AE＝6，
又∵AD＝10，
∴DE＝AD﹣AE＝10﹣6＝4，
故答案为：4．
【点评】本题考查了作图﹣基本作图，角平分线的定义，平行线的性质，正确得出 AB＝
AE是解题的关键．
17．（4分）在△ABC中，AC＝5，中线 AD＝7，则 AB边的取值范围是 9＜AB＜19 ．
【分析】如图，延长 AD到 E使 DE＝AD，连接 BE，通过证明△ACD≌△EBD就可以得
出 BE＝AC，在△AEB中，由三角形的三边关系就可以得出结论．
【解答】解：延长 AD到 E使 DE＝AD，连接 BE，
∵D是 BC的中点，
∴CD＝BD．
在△ACD和△EBD中
，
∴△ACD≌△EBD（SAS），
∴AC＝EB＝5．
∵AD＝7，
∴AE＝14．
由三角形的三边关系为：
14﹣5＜AB＜14+5，
即 9＜AB＜19．
故答案为：9＜AB＜19．
【点评】本题考查了中线的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，三角形的三
边关系的运用，解答时证明三角形全等是关键．
18．（4分）如图，长方体的长为 15cm，宽为 10cm，高为 20cm，点 B到点 C的距离 5cm，
一只蚂蚁如果沿着长方体的表面从 A点爬到 B点，需要爬行的最短距离是 25 ．
【分析】要求长方体中两点之间的最短路径，最直接的作法，就是将长方体展开，然后
利用两点之间线段最短解答．
【解答】解：如图：（1）AB＝ ＝ ＝25；
（2）AB＝ ＝ ＝5 ；
（3）AB＝ ＝ ＝5 ．
所以需要爬行的最短距离是 25．
故答案为：25．
【点评】本题考查了平面展开最短路径问题，解题的关键是将图形展开，转化为直角三
角形利用勾股定理解答．
三、解答题（本大题共 7小题，共 78分。写出必要的文字说明、证明过程或推演步骤.）
19．（10 分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，过点 C在△ABC外作直线 MN，
AM⊥MN于 M，BN⊥MN于 N．求证：MN＝AM+BN．
【分析】首先根据题干条件求出∠ACM＝∠CBN，∠NCB＝∠MAC，结合 AC＝BC，证
明△BNC≌△CMA，于是得到 AM＝NC，BN＝MC，即可证明出结论．
【解答】证明：∵AM⊥MN于 M，BN⊥MN于 N，∠C＝90°，
∴∠NBC+∠NCB＝90°，∠MAC+MCA＝90°，∠CBA+∠CAB＝90°，
∴∠ACM＝∠CBN，∠NCB＝∠MAC，
在△ENC和△CMA中，
，
∴△BNC≌△CMA（ASA），
∴AM＝NC，BN＝MC，
∴MN＝AM+BN．
【点评】本题主要考查全等三角形的判定与性质的知识点，解答本题的关键是证明出△
BNC≌△CMA，此题难度不大．
20．（10分）已知：如图，AB＝AC，点 D是 BC的中点，AB平分∠DAE，AE⊥BE，垂足
为 E．
（1）求证：AD＝AE．
（2）若 BE∥AC，试判断△ABC的形状，并说明理由．
【分析】（1）由边角关系求证△ADB≌△AEB即可；
（2）由题中条件可得∠BAC＝60°，进而可得△ABC为等边三角形．
【解答】（1）证明：∵AB＝AC，点 D是 BC的中点，
∴AD⊥BC，
∴∠ADB＝90°，
∵AE⊥BE，
∴∠E＝90°＝∠ADB，
∵AB平分∠DAE，
∴∠1＝∠2，
在△ADB和△AEB中， ，
∴△ADB≌△AEB（AAS），
∴AD＝AE；
（2）△ABC是等边三角形．理由：
∵BE∥AC，
∴∠EAC＝90°，
∵AB＝AC，点 D是 BC的中点，
∴∠1＝∠2＝∠3＝30°，
∴∠BAC＝∠1+∠3＝60°，
∴△ABC是等边三角形．
【点评】本题主要考查了全等三角形的判定及性质以及等边三角形的判定问题，能够熟
练掌握．
21．（10分）一架方梯长 25米，如图，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙 7米，
（1）这个梯子的顶端距地面有多高？
（2）如果梯子的顶端下滑了 4米，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？
【分析】（1）利用勾股定理可以得出梯子的顶端距离地面的高度．
（2）由（1）可以得出梯子的初始高度，下滑 4 米后，可得出梯子的顶端距离地面的高
度，再次使用勾股定理，已知梯子的底端距离墙的距离为 7米，可以得出，梯子底端水
平方向上滑行的距离．
【解答】解：（1）根据勾股定理：
梯子距离地面的高度为： ＝24（米）；
（2）梯子下滑了 4米，
即梯子距离地面的高度为 A'B＝AB﹣AA′＝24﹣4＝20（米），
根据勾股定理得：25＝ ，
解得 CC′＝8．
即梯子的底端在水平方向滑动了 8米．
【点评】本题考查的是对勾股定理在解直角三角形中的应用，要求熟练掌握．
22．（10分）如图，点 E在线段 CD上，EA，EB分别平分∠DAB和∠CBA，点 F在线段 AB
上运动，AD＝4cm，BC＝3cm，且 AD∥BC．
（1）当点 F运动到离点 A多少厘米时，△ADE和△AFE全等？为什么？
（2）在（1）的情况下，此时 BF＝BC吗？为什么？求出 AB的长．
【分析】（1）当点 F运动到离点 A为 4cm（即 AF＝AD＝4cm）时，即可证明△ADE≌△
AFE；
（2）证明△ECB≌△EFB，可得 BF＝BC．再由 AF＝AD＝4cm，BF＝BC＝3cm，即可得
AB的长．
【解答】解：（1）当点 F运动到离点 A为 4cm（即 AF＝AD＝4cm）时，△ADE≌△AFE，
理由如下：
∵EA、EB分别平分∠DAB和∠CBA，
∴∠DAE＝∠FAE，∠FBE＝∠CBE，
在△AFE与△ADE中，
，
∴△AFE≌△ADE（SAS）；
（2）BF＝BC，理由如下：
∵△AFE≌△ADE，
∴∠D＝∠AFE，
∵AD∥BC，
∴∠D+∠C＝180°，
∵∠AFE+∠BFE＝180°，
∴∠C＝∠BFE，
在△ECB与△EFB中，
，
∴△ECB≌△EFB（AAS），
∴BF＝BC；
∵AF＝AD＝4cm，BF＝BC＝3cm，
∴AB＝AF+BF＝3+4＝7（cm）．
【点评】本题主要考查三角形全等的判定，角平分线的定义，平行线的性质，解决本题
的关键是判定两个三角形全等．
23．（12分）如图，小颖和她的同学荡秋千，秋千 AB在静止位置时，下端 B′离地面 0.6m，
荡秋千到 AB的位置时，下端 B距静止位置的水平距离 EB等于 2.4m，距地面 1.4m，求
秋千 AB的长．
【分析】设 AB＝xm，在 Rt△AEB中，利用勾股定理，构建方程即可解决问题
【解答】解：设 AB＝AB′＝xm，由题意可得出：B′E＝1.4﹣0.6＝0.8（m），
则 AE＝AB﹣0.8，
在 Rt△AEB中，∵AE2+BE2＝AB2，
∴（x﹣0.8）2+2.42＝x2
解得：x＝4，
答：秋千 AB的长为 4m．
【点评】本题考查勾股定理的应用，解题的关键是学会利用勾股定理构建方程解决问题，
属于中考常考题型．
24．（12 分）如图，已知△ABC中∠BAC＝135°，点 E，点 F在 BC上，EM垂直平分 AB
交 AB于点 M，FN垂直平分 AC交 AC于点 N，BE＝12，CF＝9．
（1）判断△EAF的形状，并说明理由；
（2）求△EAF的周长．
【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质得出 BE＝AE，AF＝CF，再由∠BAC＝135°得
出∠B+∠C＝180°﹣∠BAC＝180°﹣135°＝45°，故∠BAE+∠CAF＝45°，∠EAF＝
135°﹣45°＝90°由此可得出结论；
（2）由（1）知△EAF是直角三角形，再根据勾股定理求出 EF的长，进而可得出结论．
【解答】解：（1）△EAF为直角三角形．
∵EM是 AB的垂直平分线，
∴BE＝AE，
∴∠BAE＝∠B．
∵FN是 AC的垂直平分线，
∴AF＝CF，
∴∠CAF＝∠C．
∵∠BAC＝135°，
∴∠B+∠C＝180°﹣∠BAC＝180°﹣135°＝45°，
∴∠BAE+∠CAF＝45°，
∴∠EAF＝135°﹣45°＝90°，
∴△EAF为直角三角形；
（2）在△EAF中，
∵∠EAF＝90°，
∴EF2＝AE2+AF2，
∵BE＝12，CF＝9，
∴EF2＝122+92＝15，
∴EF＝36，
∴△EAF的周长＝36．
【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质，熟知线段垂直平分线上任意一点，到线
段两端点的距离相等是解答此题的关键．
25．（14分）在等边△ABC中，点 E是 AB上的动点，点 E与点 A、B不重合，点 D在 CB
的延长线上，且 EC＝ED．
（1）如图 1，若点 E是 AB的中点，求证：BD＝AE；
（2）如图 2，若点 E不是 AB的中点时，（1）中的结论“BD＝AE”能否成立？若不成立，
请直接写出 BD与 AE数量关系，若成立，请给予证明．
【分析】（1）由等边三角形的性质得出 AE＝BE，∠BCE＝30°，再根据 ED＝EC，得出
∠D＝∠BCE＝30°，再证出∠D＝∠DEB，得出 DB＝BE，从而证出 AE＝DB；
（2）作辅助线得出等边三角形 AEF，得出 AE＝EF，再证明三角形全等，得出 DB＝EF，
证出 AE＝DB．
【解答】（1）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝60°，
∵点 E是 AB的中点，
∴CE平分∠ACB，AE＝BE，
∴∠BCE＝30°，
∵ED＝EC，
∴∠D＝∠BCE＝30°．
∵∠ABC＝∠D+∠BED，
∴∠BED＝30°，
∴∠D＝∠BED，
∴BD＝BE．
∴AE＝DB．
（2）解：AE＝DB；
理由：过点 E作 EF∥BC交 AC于点 F．如图 2所示：
∴∠AEF＝∠ABC，∠AFE＝∠ACB．
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝∠A＝60°，AB＝AC＝BC，
∴∠AEF＝∠ABC＝60°，∠AFE＝∠ACB＝60°，
即∠AEF＝∠AFE＝∠A＝60°，
∴△AEF是等边三角形．
∴∠DBE＝∠EFC＝120°，∠D+∠BED＝∠FCE+∠ECD＝60°，
∵DE＝EC，
∴∠D＝∠ECD，
∴∠BED＝∠ECF．
在△DEB和△ECF中，
，
∴△DEB≌△ECF（AAS），
∴DB＝EF，
∴AE＝BD．
【点评】本题考查了等边三角形的性质与判定、三角形的外角以及全等三角形的判定与性质；
证明三角形全等是解决问题的关键．