浙江省“衢温5+1”联盟2023-2024学年高二上学期期中考试数学试题（含答案）
文档属性
| 名称 | 浙江省“衢温5+1”联盟2023-2024学年高二上学期期中考试数学试题（含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 671.8KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-11-17 21:26:05 | ||
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文档简介
绝密★考试结束前
浙江省“衢温5+1”联盟2023-2024学年高二上学期期中考试
数学学科 试题
考生须知：
1．本卷共6页满分150分，考试时间120分钟．
2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字．
3．所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效．
4．考试结束后，只需上交答题纸．
选择题部分
一、选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合，集合，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知复数满足，其中为虚数单位，则（ ）
A． B． C． D．
3．已知向量与单位向量的夹角为，且，则在方向上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
4．在空间中有3条不同的直线，满足，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．已知圆，圆，若与有公共点，则的最小值为（ ）
A．1 B．3 C．5 D．7
6．已知为锐角，，则（ ）
A． B． C． D．
7．已知双曲线的离心率为2，右焦点为，动点在双曲线右支上，点，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
8．已知为定义在上的奇函数，当时，，且当时，．若函数在区间上恰有7个零点，则实数的可能取值为（ ）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．衢州市某七天每天的最高气温分别是（单位），则（ ）
A．该组数据的平均数为36 B．该组数据的极差为4
C．该组数据的中位数为36 D．该组数据的第80百分位数为36
10．已知正数满足，下列说法正确的是（ ）
A． B． C． D．
11．已知函数，则（ ）
A．的最小正周期为 B．的值域为
C．在上单调递减 D．关于直线对称
12．勒洛四面体是一个非常神奇的“四面体”，它能在两个平行平面间自由转动，并且始终保持与两平面都接触，因此它能像球一样来回滚动．勒洛四面体是以正四面体的四个顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球的公共部分．如图所示，若正四面体的棱长为1，则（ ）
A．存在正方体使得勒洛四面体能在该正方体中自由转动，并始终保持与正方体六个面都接触
B．平面截勒洛四面体所得截面的周长为
C．勒洛四面体外接球半径为
D．勒洛四面体内切球半径为
非选择题部分
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．双曲线的渐近线方程为______．
14．已知侧棱长为5，高为4的正四棱锥被平行于底面的平面所截，截去一个高为2的正四棱锥，所得的棱台的体积为______．
15．已知是边长为3的正三角形，是以为斜边的等腰直角三角形，若二面角的大小为，则四面体的外接球的表面积为______．
16．已知椭圆的左、右焦点分别为，直线经过点与轴相交于点，点为与的一个交点，且，则的离心率为______．
四、解答题：本题共6小题，17题10分，其余每题12分，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．已知直线经过点，圆．
（1）若直线与圆相切，求直线的方程；
（2）若该直线与圆相交于两点，且的面积为，求直线的方程．
18．如图，在四棱锥中，，四边形是菱形，，．
（1）证明：平面；
（2）若是棱的中点，求三棱锥的体积．
19．已知的内角的对边分别是，满足．
（1）求；
（2）若是的中点，且，求的面积．
20．据调查，某市政府为了鼓励居民节约用水，减少水资源的浪费，计划在本市试行居民生活用水定额管理，即确定一个合理的居民用水量标准（单位：吨），月用水量不超过的部分按平价收费，超出的部分按议价收费．为了了解全市居民用水量分布情况，通过抽样，获得了户居民某年的月均用水量（单位：吨），其中月均用水量在内的居民人数为39人，并将数据制成了如图所示的频率分布直方图．
（1）求和的值；
（2）若该市政府希望使的居民月用水量不超过标准吨，试估计的值；
（3）在（2）的条件下，若实施阶梯水价，月用水量不超过吨时，按3元吨计算，超出吨的部分，按5元吨计算．现市政府考核指标要求所有居民的月用水费均不超过70元，则该市居民月用水量最多为多少吨？
21．如图所示，在四棱锥中，四边形为梯形，，，平面平面．
（1）若的中点为，求证：平面；
（2）求二面角的正弦值．
22．在平面直角坐标系中，已知点，点满足．记的轨迹为．
（1）求的方程；
（2）已知直线，若点关于直线的对称点（与不重合）在上，求实数的值；
（3）设直线的斜率为，且与有两个不同的交点，设，直线与的另一个交点为，直线与的另一个交点为，若点和点三点共线，求实数的值．
浙江省“衢温5+1”联盟2023-2024学年高二上学期期中考试
数学学科参考答案
一、单选题
1~8 CADB BCBD
二、多选题
9~12 BC ABD AD ABD
三、填空题
13． 14．21 15． 16．或
四、解答题
17．【答案】（1）； （2）
【详解】（1）设直线的方程为，圆，
因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离，
解得，所以直线的方程为．
（2）记圆心到直线的距离为，则，
所以，解得．
所以，解得，
所以直线的方程为．
18．【答案】（1）略； （2）
【详解】（1）在菱形中，，
又平面平面平面，平面，所以．
在中，，由勾股定理可知：．
又平面平面平面．
（2）．
19．【答案】（1） （2）
【详解】（1），由正弦定理得，．
故在中，．
（2）在中，，
在中，，
又因为点
所以，即．
在中，，解得，
．
20．【答案】（1） （2）16.6吨
（3）该市居民月用水量最多为20.64吨
【详解】（1），
用水量在的频率为，（户）
（2），
，
（吨）
（3）设该市居民月用水量最多为吨，因为，所以，
则，解得，
答：该市居民月用水量最多为20.64吨．
21．【答案】（1）略 （2）
【详解】（1）设是中点，连接，
在中，为中线，，又，
，即四边形为平行四边形，．
又平面平面平面
（2）如图以中点作为坐标原点，建立空间直角坐标系，则，
设平面的法向量为，
令，所以．
设平面的法向量为，，
令，则，所以．
平面平面，所以，
，
法二：如图，延长和交于点，连接．
过点作，垂足为点，连接．
平面平面，平面平面，
平面．
平面
为所求二面角的平面角．
在中，，
，
22．【答案】（1） （2） （3）
【详解】（1）由椭圆的定义可知，点的轨迹为椭圆，，．
（2）与关于直线对称，，设，与椭圆方程联立得：．
设为中点，，即．
又点在直线上，所以．
（3）设，则有，
，则，
联立得：，
所以，即，
，
同理可得：，
三点共线，
化简得
浙江省“衢温5+1”联盟2023-2024学年高二上学期期中考试
数学学科 试题
考生须知：
1．本卷共6页满分150分，考试时间120分钟．
2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字．
3．所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效．
4．考试结束后，只需上交答题纸．
选择题部分
一、选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合，集合，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知复数满足，其中为虚数单位，则（ ）
A． B． C． D．
3．已知向量与单位向量的夹角为，且，则在方向上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
4．在空间中有3条不同的直线，满足，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．已知圆，圆，若与有公共点，则的最小值为（ ）
A．1 B．3 C．5 D．7
6．已知为锐角，，则（ ）
A． B． C． D．
7．已知双曲线的离心率为2，右焦点为，动点在双曲线右支上，点，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
8．已知为定义在上的奇函数，当时，，且当时，．若函数在区间上恰有7个零点，则实数的可能取值为（ ）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．衢州市某七天每天的最高气温分别是（单位），则（ ）
A．该组数据的平均数为36 B．该组数据的极差为4
C．该组数据的中位数为36 D．该组数据的第80百分位数为36
10．已知正数满足，下列说法正确的是（ ）
A． B． C． D．
11．已知函数，则（ ）
A．的最小正周期为 B．的值域为
C．在上单调递减 D．关于直线对称
12．勒洛四面体是一个非常神奇的“四面体”，它能在两个平行平面间自由转动，并且始终保持与两平面都接触，因此它能像球一样来回滚动．勒洛四面体是以正四面体的四个顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球的公共部分．如图所示，若正四面体的棱长为1，则（ ）
A．存在正方体使得勒洛四面体能在该正方体中自由转动，并始终保持与正方体六个面都接触
B．平面截勒洛四面体所得截面的周长为
C．勒洛四面体外接球半径为
D．勒洛四面体内切球半径为
非选择题部分
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．双曲线的渐近线方程为______．
14．已知侧棱长为5，高为4的正四棱锥被平行于底面的平面所截，截去一个高为2的正四棱锥，所得的棱台的体积为______．
15．已知是边长为3的正三角形，是以为斜边的等腰直角三角形，若二面角的大小为，则四面体的外接球的表面积为______．
16．已知椭圆的左、右焦点分别为，直线经过点与轴相交于点，点为与的一个交点，且，则的离心率为______．
四、解答题：本题共6小题，17题10分，其余每题12分，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．已知直线经过点，圆．
（1）若直线与圆相切，求直线的方程；
（2）若该直线与圆相交于两点，且的面积为，求直线的方程．
18．如图，在四棱锥中，，四边形是菱形，，．
（1）证明：平面；
（2）若是棱的中点，求三棱锥的体积．
19．已知的内角的对边分别是，满足．
（1）求；
（2）若是的中点，且，求的面积．
20．据调查，某市政府为了鼓励居民节约用水，减少水资源的浪费，计划在本市试行居民生活用水定额管理，即确定一个合理的居民用水量标准（单位：吨），月用水量不超过的部分按平价收费，超出的部分按议价收费．为了了解全市居民用水量分布情况，通过抽样，获得了户居民某年的月均用水量（单位：吨），其中月均用水量在内的居民人数为39人，并将数据制成了如图所示的频率分布直方图．
（1）求和的值；
（2）若该市政府希望使的居民月用水量不超过标准吨，试估计的值；
（3）在（2）的条件下，若实施阶梯水价，月用水量不超过吨时，按3元吨计算，超出吨的部分，按5元吨计算．现市政府考核指标要求所有居民的月用水费均不超过70元，则该市居民月用水量最多为多少吨？
21．如图所示，在四棱锥中，四边形为梯形，，，平面平面．
（1）若的中点为，求证：平面；
（2）求二面角的正弦值．
22．在平面直角坐标系中，已知点，点满足．记的轨迹为．
（1）求的方程；
（2）已知直线，若点关于直线的对称点（与不重合）在上，求实数的值；
（3）设直线的斜率为，且与有两个不同的交点，设，直线与的另一个交点为，直线与的另一个交点为，若点和点三点共线，求实数的值．
浙江省“衢温5+1”联盟2023-2024学年高二上学期期中考试
数学学科参考答案
一、单选题
1~8 CADB BCBD
二、多选题
9~12 BC ABD AD ABD
三、填空题
13． 14．21 15． 16．或
四、解答题
17．【答案】（1）； （2）
【详解】（1）设直线的方程为，圆，
因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离，
解得，所以直线的方程为．
（2）记圆心到直线的距离为，则，
所以，解得．
所以，解得，
所以直线的方程为．
18．【答案】（1）略； （2）
【详解】（1）在菱形中，，
又平面平面平面，平面，所以．
在中，，由勾股定理可知：．
又平面平面平面．
（2）．
19．【答案】（1） （2）
【详解】（1），由正弦定理得，．
故在中，．
（2）在中，，
在中，，
又因为点
所以，即．
在中，，解得，
．
20．【答案】（1） （2）16.6吨
（3）该市居民月用水量最多为20.64吨
【详解】（1），
用水量在的频率为，（户）
（2），
，
（吨）
（3）设该市居民月用水量最多为吨，因为，所以，
则，解得，
答：该市居民月用水量最多为20.64吨．
21．【答案】（1）略 （2）
【详解】（1）设是中点，连接，
在中，为中线，，又，
，即四边形为平行四边形，．
又平面平面平面
（2）如图以中点作为坐标原点，建立空间直角坐标系，则，
设平面的法向量为，
令，所以．
设平面的法向量为，，
令，则，所以．
平面平面，所以，
，
法二：如图，延长和交于点，连接．
过点作，垂足为点，连接．
平面平面，平面平面，
平面．
平面
为所求二面角的平面角．
在中，，
，
22．【答案】（1） （2） （3）
【详解】（1）由椭圆的定义可知，点的轨迹为椭圆，，．
（2）与关于直线对称，，设，与椭圆方程联立得：．
设为中点，，即．
又点在直线上，所以．
（3）设，则有，
，则，
联立得：，
所以，即，
，
同理可得：，
三点共线，
化简得
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