高二数学参考答案
1. 【答案】 A
× (- ) + ×
【解析】 点 P 到直线 l:3x+4y= 0 d= 3 1 4 1 1的距离 = .
32 +42 5
2. 【答案】 C
【解析】 依题意,2c= 4,则 c= 2,
故 a2 -8 = 4 或 8-a2 = 4,解得 a= 2 3或 a= 2.
3. 【答案】 B
【解析】 → →依题意,AB= (-2,-2,1 ) ,设 c=λAB= (-2λ,-2λ,λ ) (λ<0 ) ,
则 c = -3λ= 9,解得 λ= -3,则 c= (6,6,-3 ) .
4. 【答案】 C
【解析】 依题意,a= 4,b= 7 ,则 c= a2 -b2 = 3,
故 1 =a-c≤ PF1 ≤a+c= 7.
5. 【答案】 D
【解析】 易知圆 C:(x-2 ) 2 + (y+3 ) 2 = 25,
+
故 C (2,-3 ) 到直线 l:2x-y+a= 0 的距离 d= 7 a ;
5
2
而 MN =
(
2 25- 7
+a ) = 4 5 ,解得 a= -2(a= -12 舍去) .
5
6. 【答案】 A
【 】 → →解析 依题意,CA= (1,1,-4 ) ,CB= (2,-1,-3 ) ,
C→故 A·C→B= 2-1+12 = 13, C→A = 1+1+16 = 3 2 , C→B = 4+1+9 = 14 ,
→ →
cos〈C→A,C→B〉 = CA·CB = 13 = 13 7 .
C→A C→B 3 2 × 14 42
7. 【答案】 D
【解析】 如图,易知点 A (-2,0 ) 关于 y= x 的对称点为 A′(0,-2 ) ,
点 D (2,10 ) 关于 x= 4 的对称点为 D′(6,10 ) ,
= 10+k k 2故 BC A′D′ = =- 2.6 0
8. 【答案】 B
【解析】 设直线 MN:x=m,直线 PQ:y=n,则 D (m,n ) ,
ì 2 x y
2
2 + 2 = 1, m
2
联立ía b 解得 y2 = b2 (1- ,
a2 )
x=m,
则 y= ± b a2 -m2 ,
a
3b
故 a2 -m2 -3n=n+ b a2 -m2 ;①
a a
高二数学参考答案 第 1 页(共 7 页)
{#{QQABAQCAoggIABIAABgCEwHiCkKQkAEAAKoGxAAIMAAAQANABCA=}#}
ìx2 y
2
2
联立ía2
+ 2 = 1, nb 解得 x2 =a2 (1-b2 ) , y=n,
则 x= ± a b2 -n2 ,
b
5a
故 b2 -n2 -5m=m+ a b2 -n2 ;②
b b
而 DM=DP, b a故 a2 -m2 -n= b2 -n2 -m;③
a b
6
联立①②,得 m= a,n= 10 b,
4 8
b 2
代入③中,得 = 3 ,则 e= 1-b = 10 .
a 5 a2 5
9. 【答案】 AC
【解析】 由图可知,k1 <-1
10. 【答案】 ABD
【解析】 作出方程 x2 +y2 -4 x -2 y -4 = 0 所表示的曲线图,如图所示,
曲线内部以及曲线上的点构成集合 M,而 N M,
故集合 N 表示的平面区域应该在集合 M 表示的平面区域的内部,
观察可知 ABD 正确.
11. 【答案】 ABC
【解析】 作出图形如图所示,以 D 为坐标原点,
DA,DC,DD1 所在直线分别为 x,y,z 轴建立
如图所示的空间直角坐标系,
AA1 = 6, λ=
1
若 ,μ= 1 ,
3 2
则 P (4,4,2 ) ,Q (0,6,3 ) , P→则 Q= (-4,2,1 ) ,
而平面 BCC1B1 的一个法向量 n1 = (0,1,0 ) ,
P→Q·n 2 21
故所求正弦值 sinθ= = ,故 A 正确;
P→Q · n 21
∵ D→P= (4,4,2 ) ,D→Q= (0,6,3 ) ,
D→P·D→Q 2
Q → 30
2
故点 到直线 DP 的距离 d= DQ 2 - ( → ) = 45- = 45-25 = 2 5 ,故 B 正确;DP 36
高二数学参考答案 第 2 页(共 7 页)
{#{QQABAQCAoggIABIAABgCEwHiCkKQkAEAAKoGxAAIMAAAQANABCA=}#}
∵ BD→1 = (-6,-6,6 ) ,B
→P=λBD→1 = (-6λ,-6λ,6λ ) ,
故 P (6-6λ,6-6λ,6λ ) ,C→Q=μCC→1 = (0,0,6μ ) ,
故 Q (0,6,6μ ) , →故 PQ= (6λ-6,6λ,6μ-6λ ) ,
而 (0,0,1 ) 为平面 ABCD 的一个法向量,故 λ=μ,故 C 正确;
而-6 (6λ-6 ) -6·6λ+6 (6μ-6λ ) = 0,则 3λ-μ= 1,故 D 错误.
12. 【答案】 ACD
【解析】 设圆 C:(x-a ) 2 + (y-b ) 2 = r2,
5+1 6+2
则 a= = 3,b= = 4,
2 2
则 r2 = (5-3 ) 2 + (2-4 ) 2 = 8,
故圆 C:(x-3 ) 2 + (y-4 ) 2 = 8,
则 AM2 max = (3+2 ) 2 + (4-0 ) 2 +2 2 = 41 +2 2 ,故 A 正确;
S 1 1△AM = M M ·h≥ ×4× ( - ) = 8-4 2 ,故 B 错误;1M2 2 1 2 2 4 2 2
当∠AN2N1 取得最小值时,
直线 AN 2与圆 C 相切且在第一象限靠近 x 轴一侧,
此时∠AN2N1 = ∠CN2N1 -∠AN2C= 15°,故 C 正确;
AN→ →1·AN2 = (1-x,-y ) · (-1-x,-y ) = x2 +y2 -1≥ ( - )
2
5 2 2 -1 = 32-20 2 ,故 D 正确.
13. 【答案】 5(答案不唯一,填写 5,6,7,8,9 均可)
【解析】 依题意,C1 (0,0 ) ,C2 (4,-a ) ,
则 C C = 16+a21 2 ,
故 6< 16+a2 <10,即 20∵ a∈N ,则 2 5 14. 【 】 3 2答案
2
【解析】 设 n= (x,y,z ) 为平面 ABC 的法向量,
{n·A
→B= x+y= 0,
则
n·A→C= 4z= 0,
则 n= (-1,1,0 ) 为平面 ABC 的法向量,
→ →
而 AP= -1,2,0 , d= AP·n( ) 则所求距离 = 3 2 .
n 2
15. 【 14答案】 ±
7
【解析】 设直线 l:y= kx+2,
联立{y= kx+2,2x2 +7y2 -14 = 0,
化简得 (2+7k2 ) x2 +28kx+14 = 0,
则 Δ= (28k ) 2 -4·14· (2+7k2 14) = 0,解得 k= ± .
7
高二数学参考答案 第 3 页(共 7 页)
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16. 【答案】 (-4,6 ) (2 分) 42(3 分)
【解析】 直线 l:m (3x+2y ) + (x+2y-8 ) = 0,
{3x+2y= 0,联立 x+2y-8 = 0,
解得 x= -4,y= 6,故 P (-4,6 ) ;
易知直线 l 的斜率存在且不为 0,
设直线 l:y-6 = k (x+4 ) ,
令 x= -1,得 y= 3k+6;
令 y= -1,得 x= - 7 -4,
k
则 M (-1,3k+6 ) ,N (- 7 -4,-1 ) ,k
故 PM · PN = 9+9k2 · 492 +49 = 21 1+k
2 · 12 +1 = 21 2+k
2 + 12 ≥42,k k k
当且仅当 k2 = 12 ,即 k= ±1 时等号成立.k
17. 【解析】 (1)若选①:
依题意,设直线 l1:2x-y+λ= 0 (λ≠5 ) , ……………………………………………………………… 2 分
将 P (-1,4 ) 代入可得,λ= 6, ………………………………………………………………………… 4 分
故直线 l1 的方程为 2x-y+6 = 0; …………………………………………………………………… 5 分
若选②:
依题意,设直线 l1:2x-y+λ= 0, ……………………………………………………………………… 2 分
将 P (-1,4 ) 代入可得,λ= 6, ………………………………………………………………………… 4 分
故直线 l1 的方程为 2x-y+6 = 0; …………………………………………………………………… 5 分
若选③:
依题意,直线 l2 的斜率 k2 = tan45° = 1, ……………………………………………………………… 1 分
故直线 l1 的斜率 k1 = 2k2 = 2,………………………………………………………………………… 2 分
故直线 l1 的方程为 y-4 = 2 (x+1 ) , ………………………………………………………………… 4 分
即 2x-y+6 = 0; ………………………………………………………………………………………… 5 分
(2)由(1)可得,直线 l1:4x-2y+12 = 0,……………………………………………………………… 6 分
l 、l m
-12
故直线 1 3 之间的距离 d= = 2 5 , ……………………………………………………… 8 分
2 5
则 m-12 = 20,解得 m= -8 或 m= 32. …………………………………………………………… 10 分
18. 【解析】 (1)依题意, PF1 + PF2 = 2a= 6, ……………………………………………………… 1 分
则 PF1 = PF2 = 3, ………………………………………………………………………………… 3 分
而 F1F2 = 2, ………………………………………………………………………………………… 4 分
PF 21 + PF 22 - F 21F2
故 cos∠F1PF2 = =
9+9-4 = 7
× × ; ………………………………………… 6 分2 PF1 PF2 2 3 3 9
ì y
2 x21 + 1 =
1, 9 8
(2)设 A (x1,y1 ) ,B (x2,y2 ) ,则í 2 ………………………………………………………… 7 分 y2 x22
+ = 1, 9 8
高二数学参考答案 第 4 页(共 7 页)
{#{QQABAQCAoggIABIAABgCEwHiCkKQkAEAAKoGxAAIMAAAQANABCA=}#}
(y1 +y2 ) (y1 -y2 ) (x, + 1
+x2 ) (x1 -x2 )
两式相减可得 = 0, …………………………………………… 8 分
9 8
y1 +y2
(y1 +y2 ) (y1 -y2 ) y -y+ 9 = 0, 2 · 1 2 9则 即 + = 0,
(x1 +x2 ) (x1 -x2 ) 8 x1 +x2 x1 -x2 8
2
即 k 9OM·kAB+ = 0, ………………………………………………………………………………… 10 分8
而直线 l:x-y+1 = 0 的斜率 kAB = 1,
k 9 9故 OM = - = - . ………………………………………………………………………………… 12 分8kAB 8
19. 【解析】 (1)E→F=E→B+B→F=A→B-A→E+ 1 B→D
3
=A→B- 1 (A→B+A→C ) + 1 A→D- 1 A→B
3 3 3
= 1 A→B- 1 A→C+ 1 A→D, ………………………………………………………………………………… 4 分
3 3 3
∴ x= 1 ,y= - 1 ,z= 1 ; ……………………………………………………………………………… 5 分
3 3 3
(2)易知 cos∠DAC= cos∠DAB= 1 ,C→D=A→D-A→C; ………………………………………………… 7 分
3
E→F·C→D= ( 1 A→B- 1 A→C+ 1 A→故 D) · (A→D-A→C ) …………………………………………………… 8 分3 3 3
= 1 A→B·A→D- 1 A→B·A→C- 2 A→C·A→D+ 1 A→C2 + 1 A→D2,
3 3 3 3 3
A→B·A→D=A→B·A→C=A→C·A→D= 2, …………………………………………………………………… 10 分
∴ E→F·C→D= 3. ……………………………………………………………………………………… 12 分
20. 【解析】 (1)如图,取 AC 中点 O,连接 OB,OD;
由图①可知,△ACD、△ABC 是正三角形,
所以 OD⊥AC,OB⊥AC.
又因为平面 ACD⊥平面 ABC,平面 ACD∩平面 ABC=AC,OD 平面 ACD,
所以 OD⊥平面 ABC. ………………………………………………… (2 分)
又 OB⊥平面 ACD,所以 OD⊥OB.
{O→B,O→C,O→
以 D}为正交基底建立空间直角坐标系.
设平面 ADE 的一个法向量 m= (x,y,z) .
因为 BP∥平面 ADE →等价于 BP⊥m. …………………………………………………………… (3 分)
不妨设 AB= 4,则 A(0,-2,0),B(2 3 ,0,0),C(0,2,0),D(0,0,2 3 ),E(2 3 ,0, 3 ),
A→因为 B= (2 3 ,2,0),A→C= (0,4,0),A→D= (0,2,2 3 ),A→E= (2 3 ,2, 3 ),
故 A→P=λA→C= (0,4λ,0),B→P= ( -2 3 ,4λ-2,0) .
因为平面 ADE 的一个法向量 m= (x,y,z),
高二数学参考答案 第 5 页(共 7 页)
{#{QQABAQCAoggIABIAABgCEwHiCkKQkAEAAKoGxAAIMAAAQANABCA=}#}
→
{m·AD= 0, {2y+2 3 z= 0,所以 则m·A→E= 0, 2 3 x+2y+ 3 z= 0,
令 x= 1,则 y= -2 3 ,z= 2,
所以 m= (1,-2 3 ,2) . …………………………………………………………………………… (5 分)
由 B→P·m= -2 3 -(4λ-2)·2 3 = 0,
λ= 1解得 ;………………………………………………………………………………………… (6 分)
4
(2)因为 C→D= (0,-2,2 3 ),C→E= (2 3 ,-2, 3 ),
设平面 CDE 的一个法向量 n= (x,y,z),
n·C→D= 0, -2y+2 3 z= 0,
所以{ 即n·C→E= 0, {2 3 x-2y+ 3 z= 0,
令 x= 1,则 y= 2 3 ,z= 2,
所以 n= (1,2 3 ,2) . …………………………………………………………………………… (8 分)
平面 ABC 的一个法向量 l= (0,0,1), …………………………………………………………… (9 分)
n·l 2 17
所以平面 CDE 与平面 ABC 夹角的余弦值 cosα= = . ………………………… (12 分)
n · l 17
21. 【解析】 (1)设 M (x,y ) ,则 MA1 = (x-1 ) 2 +y2 , MA2 = (x+2 ) 2 +y2 ,
MA (x-1 ) 2 +y2 1 2
故 = = , ……………………………………………………………………… 2 分
MA2 (x+2 ) 2 +y2 2
故 2 (x-1 ) 2 +2y2 = (x+2 ) 2 +y2,
化简得 x2 +y2 -8x-2 = 0; ……………………………………………………………………………… 5 分
(2)设 N (x,y ) ,A4 (m,n ) ,
故 NA 2 23 = (x+1 ) +y , NA4 = (x-m) 2 + (y-n ) 2 ,
NA3 = (x+1 )
2 +
∵ 2, y
2
故 = 2, ……………………………………………………………… 8 分
NA4 (x-m) 2 + (y-n ) 2
x2 +y2 -8m
+2 2 + 2 -
即 ·x-8n·y+4m 4n 1 = 0, ……………………………………………………… 9 分
3 3 3
而点 N 在圆 (x-3 ) 2 +y2 = 4 上,即 x2 +y2 -6x+5 = 0,
ì8m+2 = 6,
3
8n
对照可知,í = 0,3 ………………………………………………………………………… 10 分
4m2 +4n2 -1
= 5, 3
m= 2,
解得{n= 0,
NA3
故存在定点 A4 (2,0 ) ,使得 = 2. ……………………………………………………………… 12 分NA4
高二数学参考答案 第 6 页(共 7 页)
{#{QQABAQCAoggIABIAABgCEwHiCkKQkAEAAKoGxAAIMAAAQANABCA=}#}
22. 【解析】 (1)设 F1 (-c,0 ) ,F2 (c,0 ) ,(c>0),
则 PF2 = (-1-c) 2 +
9 = 5 ,
4 2
则 (c+1 ) 2 = 4,解得 c= 1(c= -3 舍去), ……………………………………………………………… 2 分
则 a2 -b2 = 1;①
1 9
而 2 + 2 = 1;②a 4b
联立①②,解得 a2 = 4,b2 = 3;
x2C y
2
故椭圆 的标准方程为 + = 1; ………………………………………………………………… 4 分
4 3
(2)依题意,M( -2,0),N(2,0),
设直线 l:x=my-1,联立{x=my-1,3x2 +4y2 -12 = 0,
整理得(3m2 +4)y2 -6my-9 = 0, ……………………………………………………………………… 5 分
Δ= 36m2 +36(3m2 +4)= 144(1+m2) >0;
设 A(x1,y1),B(x2,y2),
6m
则 y1 +y2 = 2 ,y1y2 = -
9
2 , …………………………………………………………………… 6 分3m +4 3m +4
y y
直线 AM:y= 1 (x++ 2),直线 BN:y
= 1
- (x
-2), ………………………………………………… 8 分
x1 2 x1 2
ì yy= 1 + (x
+2),
x1 2
法一: 联立í
y
y=
2 (x-2),
x2 -2
y2(x1 +2) +y1(x -2)
得 xD = 2[
2
+ - - ]y2(x1 2) y1(x2 2)
y (my +1) +y (my -3) 2my y +y -3y
= 2[ 2 1 1 2 ] = 2( 1 2 2 1 )
y2(my1 +1) -y1(my2 -3) y2 +3y1
2my
= 2[ 1
y2 +3(y1 +y2) -2(y2 +3y1)
+ ]
= -4,
y2 3y1
故点 D 在直线 x= -4 上. ………………………………………………………………………… 12 分
3
x +2 y (x +2) my y +y - (y +y ) +y -
3 y - 1 y
: D = 2 1 = 1 2 2 = 2
1 2 2 2 1= 2
2 1
法二 故 =- - ,xD 2 y1(x2 2) my1y2 -3y1 - 3 (y1 +y2) -3y1 -
9 y1 -
3 y 3
2 2 2 2
解得 xD = -4,
故点 D 在直线 x= -4 上. …………………………………………………………………………… 12 分
高二数学参考答案 第 7 页(共 7 页)
{#{QQABAQCAoggIABIAABgCEwHiCkKQkAEAAKoGxAAIMAAAQANABCA=}#}高二数学
满分：150分
考试时间：120分钟
注意事项：
1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准疏粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2.选择题必须使用2B铅笔填涂：非选举题必须使用0.5毫米黑色字迹签字笔书写，字体工整、笔迹清晰。
3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效：在草稿纸、试卷
上答题无效，
4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。
3
1.点P(-1,1)到直线1：y=-x的距离为
41
7
5
C.5
D.1
2已知稀圆c:。8三1a>0)的焦距为4，则a日
A.2w3
B.4
C.23或2
D.2w5或4
3.在空间直角坐标系中，已知点A(0,4,0),B(-2,2,1),若AB与c方向相反，且|c=9,则c=
A.(-6,-6,3)
B.(6,6,-3)
C.(3,3.-6)
D(-3,-3,6)
已知椭圆C:的左焦点为上，若点P在椭圆C上，则PF,的最大值
A.1
B.5
C.7
号
5.已知直线1：2x-y+a=0(a>-5)与圆C:*2+y2-4x+6y-12=0交于M,W两点.若MW|=45,则a=
A.4
B.2
C.-4
D.-2
6.在空间直角坐标系中，已知点A(1,2,-1),B(2,0.0)C(0,1,3),则cos(C,CB)=
43分
42
取
n.137
40
7.如图，已知某光线从点A(-2,0)射出，经过直线y=x上的点乃后第一次反射，
此反射光线经过直线x=4上的，点C后再次反射，该反射光线经过点D(2,I0),
则直线BC的斜率为
R
D.2
高二数学第1页（共4页）
8尼知M,成水，P,Q四点均在椭圆C:+三1(o>6>0)上，其中M韵，PQ轴，且汤=3丽.面
5DP,∠DMP=∠DPM,若点D在第一象限，则椭圆C的离心率为
4.0
B
2w5
D.
10
5
二、选择题：共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对
的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.已知直线1：y=-x,其巾11,2,1的图象如图所示，直线，2的斜率
分别为1，k2,纵截距分别为b,b2,则下列说法正确的是
A.-1B.k,C.bh
10.己知集合M={(x,y)|x+y2-4x-2y-4≤0}，若水手，则V可能是
A.{(x3)2+y2≤9}
B.(xy)|x+y≤2}
cl后到
D.{(x,y)|x≤3且|yl≤3}
11.已知正方体ABCD-A,B,G,D,中，14，=6，BP=ABD1,CQ=uCC,下列说法正确的是
A若入=3从=7则直线P0与平面8CCB,所成角的正弦值为2y2
11
21
B若A=34=2则点0到直线DP的距离为25
C,若PQ平面ABCD,则A=u
D.若PQ1BD,则3A-4=2
12.已知圆C过点(5,2)、(1,6)、(1,2)，A为圆C上的动点，点M,(2,0),M2(-2,0),0为坐标原点，%，
N2分别为线段OM,0M2的中点，则
A.AM2|≤√4I+22
B.△AM,M,面积的最小值为8
G.∠1N2V≥15c
D.AW,·AW:的最小值为32-202
三、填空题：共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知圆C,:x+y2=4,圆C2:(-4)+(+u)2=64,其中a∈N.若圆C1,C2仅有2条公切线，则a的值
可能是
(给出满足条件的一个值即可).
14.在空间直角坐标系中，已知点A(0,0,0),B(1,1,0),C(0,0,4),则点P(-1,2,0)到平面ABC的距离
为
5若直线【过点(0,2)且与椭圆C:)+)=1仅有【个交点，则直线1的斜率
16.已知直线：(3m+1)x+(2+2m)-8=0(m为任意实数)过定点P,则.点P的坐标为
;若宜
线1与直线(：x=-1,,:y=-1分别交于M点，N点，则|PM·PW|的最小值为
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