2023年秋季湖北省部分高中联考协作体期中考试
高二数学试卷
考试时间：2023年11月17日8：00-10：00
试卷满分：150分
★祝考试顺利★
注意事项：
1,答卷前，考生务必将自己的学校、考号、班级、姓名等填写在答题卡上
2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用
橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答在试题卷、草稿纸上无效。
3.填空题和解答题的作答：用0.5毫米黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，答在试题卷、草稿
纸上无效.
4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试题卷和答题卡一并交回.
第I卷选择题（共60分）
一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的.)
1.已知空间任意四个点A,B,C,D,则DA+CD-CB=
A.DB
B.AB
c.AC
D.BA
2.已知空间向量a=(1,2,一3)，则向量a在坐标平面Oxy上的投影向量是
A.(0,2,3)
B.(0,2,-3)
C.(1,2,0)
D.(1,2,-3)
3.若{a,b,c}构成空间的一个基底，则下列向量共面的是
A.2a-b,a+b-c;7a+5b+3c
B.2a+b,a+b+c;7a+56+3c
C.2a+b,a+b+c,6a+26+4c
D.2a-b,a+b-c,6a+4b+2c
4.若一入射光线经过点M(2,6),被直线l:x一y十3=0反射，反射光线经过点N(一3,4)，则反
射光线所在的直线方程为
()
A.2x-y+13=0
B.6x-y+22=0
C.x-3y+15=0
D.x一6y+27=0
5.已知直线l1:(3+m)x十4y=5-3m与l2:2x+(5+m)y=8平行，则实数m的值为()
13
A.-7
B.-1
C.-1或-7
D.3
6.已知椭圆+多=1(a>6>0)的一条弦所在的直线方程是x一y十5=0，弦的中点坐标是
M(一4,1)，则椭圆的离心率是
…1
A.2
B号
c号
5
2023年秋季湖北省部分高中联考协作体期中考试高二数学试卷（共4页）：第1页
已知F是椭圆C:名+.
+之=1的右焦点，P为椭圆C上一点，A(1,22)为椭圆外一点，则PA1十
IPFI的最大值为
(.)
A.4+√2
B.42
C.4+√3
D.43
8.已知空间中三个点A(1,1,0)、B(0,1,1)、C(0,3,0)组成一个三角形，分别在线段AB、AC、
BC上取D、E、F三点，当△DEF周长最小时，直线CD与直线BE的交点坐标为
()
A(2)
(告号)
c(日2，)
5135
D.（999
二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，
全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分)
9.下列说法正确的有
()
A.直线y=ax-3a+2过定点(3,2)
B.过点(2，一1)且斜率为一√3的直线的点斜式方程为y十1=一√3(x一2)
C.斜率为一2，在y轴上的截距为3的直线方程为y=一2x士3
D.经过点(1,1)且在x轴和y轴上截距相等的直线方程为x十y一2=0
10.如图，在棱长为1的正方体ABCD-A,B1C,D1中，E,F分别为DD1,BB,的中点，则()
A.直线FC1与底面ABCD所成的角为30
D
B,平面AB,E与底面ABCD夹角的余弦值为号
C.直线FC与直线AE的距离为√0
5
D直线FC,与平面AB,E的E离为号
11.已知圆O1:x2十y2一2x=0和圆O2:x2十y2+2x一4y=0的交点为A,B,则下列结论中正
确的是
A.公共弦AB所在的直线方程为x一y=O
B.线段AB的中垂线方程为x十y一1=0
C,公共弦AB的长为号
D.若P为圆O1上的一个动点，则三角形PAB周长的最大值为√8一4√2十√2
12.给定两个不共线的空间向量a与b,定义叉乘运算：4×b.规定：
①a×b为同时与a,b垂直的向量；
②a,b,a×b三个向量构成右手系（如图1）；
3laxbl=lablsin(a,b).
如图2，在长方体中ABCD-A1B,C1D1中，AB=AD=2,AA1=4,则
A.AB×AD=AA]
B.ABXAD=ADXAB
C.(AB+AD)XAA,=ABXAA+ADXAA
D.VARCD=(ABXAD).CC
图1
图2
2023年秋李湖北省部分高中联考协作体期中考试高二数学试卷（共4页）第2页2023年秋季湖北省部分高中联考协作体期中考试
高二年级数学答案
参考答案
1、答案：D
解析：.
2、答案：C
3、答案：B
解析：对于A，设，则此方程组无解，所以，，不共面；
对于B，因为，所以，，共面；
对于C，设，则此方程组无解，所以，，不共面；
对于D，设，则此方程组无解，所以，，不共面.故选B.
4.答案：D
解析：设点M关于直线的对称点为，则解得所以.因为反射光线经过点，所以，所以反射光线所在直线的方程为，即.故选D.
5、答案：A
解析：当时，两直线方程分别为，，此时两条直线不平行；
当时，两直线方程分别为，，此时两条直线不平行；
当且时，两直线方程分别为，，
两条直线平行，，且，
解得.
综上，.故选A.
6、答案：C
解析：设直线与椭圆交点为，，分别代入椭圆方程，由点差法可知代入，，解得，，选C.
7、答案：D
解析：点F为椭圆的右焦点，，点P为椭圆C上任意一点，点A的坐标为，点A在椭圆外，设椭圆C的左焦点为，，，当点P为射线与椭圆的交点时等号成立，，则的最大值为.故选D.
8、答案：B，当DEF为三角形ABC的垂足三角形时候周长最小，此时CD与BE的交点即为三角形ABC的垂心，即为B
9、答案：AB
解析：对于A,直线恒过定点,A正确;
对于B,过点且斜率为的直线的点斜式方程为,B正确;
对于C,斜率为-2,在y轴上的截距为3的直线方程为,C错误;
对于D,经过点且在x轴和y轴上截距相等的直线过原点时,方程为,
当该直线不过原点时,方程为,D错误.
故选：AB.
10、答案：BCD
解析：如图，以点D为原点，，，所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，
则，，，，，，所以，平面ABCD的法向量.
设直线与底面ABCD所成的角为，则，
所以直线与底面ABCD所成的角不为，故错误.
易知，.设平面的法向量为，则取，则，，所以.
设平面与底面ABCD的夹角为，则，所以平面与底面ABCD夹角的余弦值为，故B正确.
易知，所以直线与直线AE的距离，故C正确.
因为，平面，平面，所以平面.又，平面的一个法向量，所以直线与平面的距离，故D正确.选BCD.
11、答案：AB
解析：两圆方程相减可得公共弦AB所在直线的方程为，故A正确；线段AB的中垂线即为直线，由，，得直线的方程为，故B正确；圆心到直线AB的距离为，则弦长，故C错误；D错误应该为+.故选AB.
12、答案：ACD
解析：对于A，同时与，垂直，，且，，构成右手系，故成立，故A正确.
对于B，，，则，故B错误.
对于C，，与共线，且方向相同，，与共线，且方向相同，，与共线，且方向相同，所以，与共线，且方向相同，所以，故C正确.
对于D，，，所以，故D正确.
13、答案：
解析：因为直线l的一方向向量为,
所以直线l的斜率为,,
设直线l的倾斜角,则,
所以,即.
故答案为：
14、答案：
解析：由，即，可知圆的圆心为，半径为5.
因为圆与圆恰有两条公切线，所以圆与圆相交，
则，
又，
所以，
即m的取值范围是.
15、答案：
解析：因为，由椭圆的定义可得，可得，，在中，由余弦定理可得：，而，
即，可得，
可得离心率，
故答案为：
16、答案：(1)4- (2分）
(2)1+ (2分) 即为圆上的点到（1.0）的距离和到直线X+Y-1=0的距离的2倍之比，再利用两角和的正弦公式即可求得。 3分
17、
（1）答案：
解析：设直线l的方程为.
令，得.令，得，，解得.
直线l的方程为，化为一般式为.（5分）
（2）答案：直线l的方程为或或
解析：设直线l在x轴、y轴上的截距分别为a，b.
当，时，直线l的方程为.
直线过点，.
又，解得或
直线l的方程为或.
当时，直线l过原点且过点，
直线l的方程为.
综上所述，直线l的方程为或或.（10分）
18、答案：解：
（1）选①,由直线与圆相切知圆的半径为点到直线的距离
即，所以圆的方程为．
选②由与圆关于直线对称知圆的半径，
所以圆的方程为．
选③,圆的公切线长3，设圆的半径为则
，解得
所以圆的方程为．（6分）
（2）记线段的中点为，依据可得
且，，则
即点到直线的距离为1，
若直线的斜率存在设为，直线即，
所以，解得，直线的方程为．
若直线的斜率不存在，直线的方程为，符合题意．
综上直线的方程为或．（12分）
解析：
19、答案：(1)证明见解析
(2)
(3)
解析：（1）证明：建立如图所示的直角坐标系,
则、、.
在中,,,
.
、,
,,,
,,
即,,
又,AP,平面PAC,
平面PAC; （4分）
（2）由（1）得,.
设平面PCD的法向量为,
则,即,
故平面PCD的法向量可取为,
平面ABCD,
为平面ABCD的一个法向量.
设二面角的大小为,由图易得为锐角,
依题意可得,即二面角余弦值为.（8分）
（3）由（1）得,,
设平面PBD的法向量为,则,
,故可取为.
,
C到平面PBD的距离为. （12分）
20、答案：(1)证明见解析
(2)
解析：(1)证明：设AC的中点为O，连接BO，PO，如图.
由题意得，，.
在中，，O为AC的中点，.
在中，，，，
，.
，，平面，平面ABC.
平面，平面平面ABC.（4分）
(2)由平面，，平面ABC，
得，.
易知.
以O为原点，OC，OB，OP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图，
则，，，，，
，，，，.
设，，
则，
.
.
设平面BCM的法向量为，
则
令，则，，
.
设平面PBC的法向量为，
则
取，则，，.
设平面PBC与平面BCM所成的角为.
由图可知为锐角，
则，
化简，得，解得或(舍去).
棱PC上存在点M，使平面PBC与平面BCM所成角的余弦值为，此时.（12分）
21.(1)
，定弦定角轨迹为圆，但点应在优弧上，则点的轨迹方程为（4分）
(2)为定值，证明如下：
设
则
且
则 （12’）
22、答案：（1）
（2）直线BM与直线AN能交于一定点，且该定点为
解析：（1）由题意设椭圆方程为，
则，，.
又，所以，，.
故椭圆C的标准方程为.（4分）
（2）设直线AB的方程为.
联立得方程组
消去y并整理，得，
则.
设，，则，.
由对称性知，若定点存在，则直线BM与直线AN必相交于y轴上的定点.
由得，
则直线BM的方程为.
令，则
.（8分）
又，
则，
所以直线BM过定点，
同理直线AN也过定点.
故直线BM与直线AN能交于一定点，且该定点为.（12分）
