山东省临沂市临沭县2023-2024学年高二上学期11月学科素养水平监测（期中考试）数学试题（PDF版含答案）

2022 级普通高中学科素养水平监测试卷
数 学
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的.
1．直线3x+2y 1= 0的一个方向向量是
A．（2， 3） B．（2，3） C．（ 3，2） D．（3，2）
y2 x2
2．已知双曲线C : =1的离心率为2，则其渐近线的倾斜角为
a2 b2
5 2 5
A． B． C． 或 D． 或
3 6 3 3 6 6
3．已知矩形 ABCD中，AB = 2，BC = 2 3 ，将矩形 ABCD沿对角线 AC 折起，使平面 ABC
与平面 ACD垂直，则 | BD |=
A． 5 B． 6 C． 10 D．4
4．若两条不同的直线 l1：(2a 4) x 2y 2 = 0与直线 l2 ：3x + (a + 2) y +1= 0平行，则a 的
值为
A． 1 B．1 C． 1或 1 D．0
5．过圆C : x2 + y2 =1外一点 P（a-2,a）作圆C 的切线，切点分别为 A, B，则直线 AB 所
在直线的过定点
1 1 1 1 1 1 1 1
A． ( , ) B． ( , ) C． ( , ) D． ( , )
2 2 2 2 2 2 2 2
6．已知过坐标原点的直线 l 的方向向量u=（1，1, 1），则点 P（1,2，3）到直线 l 的距离是
A． 2 B． 5 C． 3 D． 2
x2 y2
7．已知椭圆C : + =1(a b 0)，F 为其左焦点，直线 y = kx(k 0)与椭圆C 交于点 A，
a2 b2
B ，且 AF ⊥ FB．若 ABF = 30 ，则椭圆C 的离心率为
1
A． 3 1 B． 2 1 C． 3 2 D．
2
8．我们都知道：平面内到两定点距离之比等于定值（不为 1）的动点轨迹为圆．后来该轨
迹被人们称为阿波罗尼斯圆．已知平面内有两点 A(4,2)和B(2,0)，且该平面内的点 P 满
4 1
足 | PA |= 3 | PB |，若点 P 的轨迹关于直线mx ny 3= 0(m 0,n 0)对称，则 + 的最
m n
小值是
3
A． B． 3 C．3 D．9
2
1
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二、多项选择题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20 分.在每小题给出的选项中，有多项
符合题目要求.全部选对的得 5分，有选错的得 0分，部分选对的得 2分.
9．下列结论正确的有
A．过点 A(1,3)，B( 3, 1)的直线的倾斜角为45
B．若直线 x + 3y + 6 = 0与直线ax y+2= 0垂直，则a = 3
C．已知 A(1,1) ，B(2,3)及 x 轴上的动点P，则 PA + PB 的最小值为 5
5
D．直线 x+2y 4= 0与直线2x+4y 3= 0之间的距离为
2
x2 y2
10．已知椭圆C : + =1(a b 0)的左、右焦点分别为F1，F2 ，点P在椭圆C 上，且 PF2 2 1a b
的最大值为 4，最小值为 2，则
1
A．椭圆C 的离心率为 B．△PF1F2 的周长为 8
3
C．若 F2PF1 = 90 ，则△PF1F2 的面积为 8 D．若 PF1 PF2 =8，则 F2PF1 = 60
11．在平面直角坐标系 xOy中，圆C 的方程为 x2 + y2 4x 4y + 4 = 0．若直线 y 2 = k (x+1)
上存在一点P，使过P所作的圆的两条切线相互垂直，则实数 k 的取值可以是
A．3 B． 2 C．1 D． 2
12．如图，在棱长为 2 的正方体 ABCD A1B1C1D1 中，E为边 AD的中点，点P为线段D1B上
的动点，设D1P = D1B，则
1 1
A．当 = 时，三棱锥 A PCE的体积
3 3
1
B．当 = 时，EP //平面 AB1C
2
1
C．当 = ，C1 平面 CEP 时
4
4 6
D． PA + PC 的最小值为
3
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5分，共 20分.
13．已知 A( 3, 4)，B (6,3)两点到直线 l：ax+ y+1=0的距离相等，则a = .
2 2
14．由曲线 x + y = 2 x +2 y 围成的图形的面积为 .
15．正方体 ABCD A1B1C1D1 中，M 是棱D1C1的中点.记 AB ， ， ，1 = a AC = b AD1 = c
AM 用 a ，b ， c 表示为 .
x2 y2 1 7
16．已知F 是椭圆C： + =1的左焦点，点 P 为该椭圆上一动点，若 A( , )在椭圆内部，
9 5 2 2
2
则 | PF | + | PA |的最大值为 ； | PF | + | PA |的最小值为 .
3
（第一空 3 分，第二空 2 分）
2
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四、解答题：
17．（本小题满分 10 分）
已知a = (x,1, 1) ，b = ( 2, y,1)， c = (2, 3, z)，若a//b,b ⊥ c 求：
（1） a，b ， c；
（2）a + c与b+ c 夹角的余弦值．
18．（本小题满分 12 分）
已知△ ABC的边 AB, AC所在直线的方程分别为 y = 2， x y+3= 0，点P (2, 1)在边
BC上．
（1）若△ ABC为直角三角形，求边BC所在直线的方程；
（2）若 P 为BC的中点，求边BC所在直线的一般方程．
19．（本小题满分 12 分）
x2 y2
已知双曲线 =1(a 0，b 0)，O 为坐标原点，离心
a2 b2
率 e = 2，点M（ 2，3）在双曲线上．
（1）求双曲线的方程；
（2）如图，若直线 l 与双曲线的左、右两支分别交于点 Q，P，
1 1
且OP OQ = 0 ，求证： +2 是定值． | OP | | OQ |2
20．（本小题满分 12 分）
如图,在正方体 ABCD A1B1C1D1 中,点E在 BD上,点 F 在CB1 上，设正方体的棱长
为 1，若CF = DE = a .
（1）当 a 为何值时，EF 的长最小 并求出EF 的最小值；
（2）当EF 的长最小时，求平面 EFD与平面EFC 夹角的余弦值.
3
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21．（本小题满分 12 分）
从 P（4,1）点发出的光线，经 x 轴镜面反射后与圆C1（: x + 2）
2 + (y 1)2 = 8 相切，
（1）求反射光线所在直线的一般式方程；
（2）若圆C 与圆C1 外切，并且与直线 x+ y 1= 0相切于点 A（2，-1）.
求圆C 的标准方程.
22．（本小题满分 12 分）
已知椭圆E的左 右焦点分别为F1 ( c,0),F2 (c,0)(c 0) 点M 在椭圆E上，MF2 ⊥ F1F2，
1
△MF1F2的周长为4+ 2 3 ，面积为 c ．
2
（1）求椭圆E的方程.
（2）设椭圆E的左 右顶点分别为 A, B，过点（1,0）的直线 l 与椭圆E交于C,D两点（不
同于左右顶点），记直线 AC 的斜率为 k1 ，直线BD的斜率为 k2 ，问是否存在实常数 ，使得
k1 = k2恒成立？若存在，求出 的值；若不存在，说明理由．
4
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2022 级普通高中学科素养水平监测试卷
数学参考答案
一、选择题：ADCBB DAC 9.ABD 10.AB 11.BCD 12.BD
1 7 1 1 3 10
三、填空题：13. 或 14．8+ 4π 15. a + b+ c 16．8，
3 9 4 4 4 3
四、解答题：
17．解：（1）因为，a = (x,1, 1) ，b = ( 2, y,1)，a//b，∴a = b，……………1 分
x = 2 = 1

∴ (x,1, 1) = ( 2, y,1)，即 1= y ，解得 x = 2 ，

1=

y = 1
∴ a = (2,1, 1),b = ( 2, 1,1)，…………………………………………………………3 分
又b ⊥ c,b = ( 2, 1,1),c = (2, 3, z) ，
∴b c = 4+3+ z = 0，故 z =1，
∴ c = (2, 3,1) .…………………………………………………………………………5 分
（2）∵a + c = (4, 2,0) ,b + c = (0, 4, 2)，…………………………………………6 分
(a+c) (b + c)=8， 2 2|(a+c)|= 42 +（-2)2 = 2 5 ， |b + c|= ( 4) + 2 = 2 5 ．……8 分
(a + c) (b + c) 8 2
∴ cos a + c,b+ c = = = .………………………………10 分
| a + c | | b + c | 2 5 2 5 5
18．解：（1）由△ ABC 的边 AB, AC所在直线的方程分别为 y = 2， x y+3= 0，
可知角 A不是直角，…………………………………………………………………1 分
①若角 B 是直角，由点 P 在边BC上，
得边BC所在直线的方程为 x = 2；…………………………………………………3 分
②若角C 是直角，由边 AC 所在直线的方程为 x y+3= 0，
得边BC所在直线的斜率为 1，又点 P 在边BC上，
所以边BC所在直线的方程为 y+1= 1(x 2)，即 x+ y 1= 0．…………………6 分
（2）由题意可设B(m, 2)，由 P 为BC的中点，得C (4 m,0)，…………7 分
将点C 的坐标代入边 AC 所在直线的方程 x y+3= 0，
得 (4 m)+3= 0，解得m = 7，所以C ( 3,0)，……………………………………8 分
0+ 2 1
得边BC所在直线的斜率为 k = = ，……………………………………10 分
3 7 5
1
所以边BC所在直线的方程为 y = (x+3)，……………………………………11 分
5
即 x+5y+3= 0．……………………………………………………………………12 分
c
19．解：（1）因为e = = 2，所以c = 2a，b2 = c2 a2 =3a2．
a
x2 y2
所以双曲线的方程为 =1，即3x2 y2 = 3a2 ．……………………………2分
a2 3a2
因为点M（ 2，3）在双曲线上，所以6 3=3a2，所以a2 =1．
y2
所以所求双曲线的方程为 x2 =1．……………………………………………4分
3
5
{#{QQABIQIAgggIABBAARgCAwXQCkOQkBCACCoGxAAAMAAAAQFABCA=}#}
(2)设直线 OP的方程为 y = kx(k 0)，……………………………………………5分
1
∵OP OQ = 0 ，则直线 OQ的方程为 y = x ，…………………………………6分
k
3
x2 =
3x2 y2 = 3 3 k 2
由 ，得 ，………………………………………………8分
y = kx 3k
2
y2 =
3 k 2
3（k 2 +1）
所以 | OP |2= x2 + y2 = ．…………………………………………………9 分
3 k 2
1
3（1+ ）
2 3(k 2 +1)
同理可得， | OQ |
2= k = ，……………………………………11分
1 3k 2 1
3
k 2
1 1 3 k 2 +（3k 2 1） 2+ 2k 2 2
故 + = = = ．
| OP |2 | OQ |2 3(k 2 +1) 3(k 2 +1) 3
1 1 2
∴ +2 2 是定值 .…………………………………………………………12 分 | OP | | OQ | 3
21．解：（1）∵ ABCD A1B1C1D1 是正方体，棱长为 1，
如图建立空间直角坐标系，
2 2 2 2
∵CF = DE = a，∴E( a, a, 0)，F( a, 1, a) ，…………………2分
2 2 2 2
2 2
∴ EF = (0, 1 a, a)，
2 2
2 2
| EF |= (1 a)2 + ( a)2 = a2 2a+1
2 2
2 1
= （a ）2 + .………………………………………………………………………3分
2 2
2 2
当 a = 时， |EF |最小， |EF |的最小值为 .……………………………………4分
2 2
1 1 1 1
（2）由（1）知，当 |EF |最小时，点E( , , 0)，F( , 1, )，
2 2 2 2
C(0, 1, 0)，………………………………………………………………………………5分
1 1 1 1 1 1
EF = (0, , ) ， DE = ( , ,0) ，CF = ( , 0, ) ，……………………………6分
2 2 2 2 2 2
设平面EFD的法向量n = (x, y, z)，
1 1
x + y = 0,
x =1,
DE n = 0, 2 2
∴ 即 ， y = 1,
EF n = 0
1 1
y + z = 0 z =1 2 2
∴ n = (1, 1,1) .………………………………………………………………………8分
6
{#{QQABIQIAgggIABBAARgCAwXQCkOQkBCACCoGxAAAMAAAAQFABCA=}#}
设平面EFC 的法向量为m = (x, y, z)，
1 1
x + z = 0, x =1,
CF m = 0, 2 2
∴ , ， y =1, ，
EF m = 0
1 1
y + z = 0 z = 1 2 2
∴m = (1,1, 1) ，…………………………………………………………………………10分
设平面EFD与平面EFC 的夹角为 ，
| n m | 1 1
cos = = = ，………………………………………………………11分
| n | | m | 3 3 3
1
∴平面EFD与平面EFC 的夹角的余弦值为 .…………………………………………12分
3
21．解：（1）点P（4,1）关于 x 轴的对称点为P（ 4, 1），……………………………1分
设过P（ 4, 1） 2与圆C1（: x + 2）+ (y 1)
2 = 8 相切的直线方程： y+1= k(x 4) ，
| 2k 1 4k 1|
由题意得 = 2 2 ，整理得：7k2 +6k 1= 0，
k 2 +1
1
所以 k = 1； k = （舍去），…………………………………………………………3分
7
故反射光线所在直线的方程： x+ y 3= 0…………………………………………4 分
（2）设圆C 的圆心为C（a, b），半径为 r ，
∵圆C 与C1 相外切，∴ (a+2)
2 + (b 1)2 = 2 2 + r，…… ①…………5分
∵圆C 与直线 x+ y 1= 0相切于点 A（2，-1），
b+1
∴ kAC = =1，得b = a 3，……………② ………………………………6分
a 2
| a + b 1|
∵圆C 与直线 x+ y 1= 0相切，所以 = r ， ……………………7分
2
（I）当a +b 1 0时，a+b 1= 2r ，………… ③，
由②，③得2a 4 = 2r ，…………④
将②代入①式，得： (a+2)2 + (a 4)2 = 2 2 + r ，…………⑤
由④，⑤两式得：a = 5，代入②式得b = 2 ， r = 3 2 ；
故圆的方程为：C（: x 5）2 + (y 2)2 =18.………………………………………9分
（II）当a +b 1 0时，a+b 1= 2r ，…………⑥
由①②⑥式解得：a =1，b = 2， r = 2 ，
故圆C（: x 1）2 + (y + 2)2 = 2.………………………………………………………11分
综上所求圆的方程为（x 1）2 + (y + 2)2 = 2或（x 5）2 + (y 2)2 =18 .…………12分
2a + 2c = 4+ 2 3 a + c = 2+ 3

22．解：（1）依题意，得 1 b2 b2 1 ，即 b2 1 ，……………2分
2c = c = c =
2 a a 4 a 2
a2 = 4 x2
解得 ，所以椭圆E的方程为 + y
2 =1.………………………………………………4分
b
2 =1 4
7
{#{QQABIQIAgggIABBAARgCAwXQCkOQkBCACCoGxAAAMAAAAQFABCA=}#}
（2）依题意，可设直线 l 的方程为 x = ty+1，………………………………………5分
x2
+ y
2 =1
联立方程 4 ，化简整理，得（t
2 + 4）y2 + 2ty 3 = 0 ， …………………6 分

x = ty +1
易得Δ 0恒成立，
设C (x1, y1 ), D(x2 , y2 )，由韦达定理，
2t
y1 + y2 = t2 + 4 3
得 ，可得 ty1y2 = ( y1 + y2 )，………………………………………8分
3 2y
1
y2 = 2
t + 4
k1 y x= 1 2
2
于是 …………………………………………………………………9 分
k2 x1 + 2 y2
(x2 2) y1 （ty 1）y
= = 2 1
(x1 + 2) y2 (ty1 +3)y2
3
y
ty y y ( 1 + y2 ) y1
= 1 2 1 = 2 ……………………………………………………10分
ty1y2 + 3y 32 ( y1 + y2 )+ 3y2
2
1 3 1
y1 + y2 ( y1 +3y2 )
= 2 2 = 2
1
= ，…………………………………………………11分
3 9 3 3
y1 + y2 ( y1 +3y2 )
2 2 2
1
故存在实数 = ，使得 k1 = k2恒成立.…………………………………………12分
3
8
{#{QQABIQIAgggIABBAARgCAwXQCkOQkBCACCoGxAAAMAAAAQFABCA=}#}