第五章 相交线与平行线›

第五章 相交线与平行线
姓名_______ 班级__________ 成绩__________
知识梳理
1、邻补角与对顶角
注意点：⑴对顶角是成对出现的，对顶角是具有特殊位置关系的两个角；
⑵如果∠α与∠β是对顶角，那么一定有∠α=∠β；反之如果∠α=∠β，那么∠α与∠β不一定是对顶角
⑶如果∠α与∠β互为邻补角，则一定有∠α+∠β=180°；反之如果∠α+∠β=180°，则∠α与∠β不一定是邻补角。
⑶两直线相交形成的四个角中，每一个角的邻补角有两个，而对顶角只有一个。
2、垂线
⑴定义，当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足。
⑵垂线性质1：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 (与平行公理相比较记)
⑶垂线性质2：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。简称：垂线段最短。
3、点到直线的距离
直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。现实生活中开沟引水，牵牛喝水都是“垂线段最短”性质的应用。
4、如何理解“垂线”、“垂线段”、“两点间距离”、“点到直线的距离”这些相近而又相异的概念
分析它们的联系与区别
⑴垂线与垂线段 区别：垂线是一条直线，不可度量长度；垂线段是一条线段，可以度量长度。 联系：具有垂直于已知直线的共同特征。(垂直的性质)
⑵两点间距离与点到直线的距离 区别：两点间的距离是点与点之间，点到直线的距离是点与直线之间。 联系：都是线段的长度；点到直线的距离是特殊的两点(即已知点与垂足)间距离。
⑶线段与距离 距离是线段的长度，是一个量；线段是一种图形，它们之间不能等同。
5、平行线的概念：
在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，直线与直线互相平行，记作∥。
6、两条直线的位置关系
在同一平面内，两条直线的位置关系只有两种：⑴相交；⑵平行。
因此当我们得知在同一平面内两直线不相交时，就可以肯定它们平行；反过来也一样（这里，我们把重合的两直线看成一条直线）
判断同一平面内两直线的位置关系时，可以根据它们的公共点的个数来确定：①有且只有一个公共点，两直线相交；②无公共点，则两直线平行；③两个或两个以上公共点，则两直线重合（因为两点确定一条直线）
7、平行公理――平行线的存在性与惟一性
经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行
8、平行公理的推论：
如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行
9、三线八角
两条直线被第三条直线所截形成八个角，它们构成了同位角、内错角与同旁内角。
如何判别三线八角
　判别同位角、内错角或同旁内角的关键是找到构成这两个角的“三线”，有时需要将有关的部分“抽出”或把无关的线略去不看，有时又需要把图形补全。
　例如：
　如图，判断下列各对角的位置关系：⑴∠1与∠2；⑵∠1与∠7；⑶∠1与∠BAD；⑷∠2与∠6；⑸∠5与∠8。
　我们将各对角从图形中抽出来（或者说略去与有关角无关的线），得到下列各图。
　如图所示，不难看出∠1与∠2是同旁内角；∠1与∠7是同位角；∠1与∠BAD是同旁内角；∠2与∠6是内错角；∠5与∠8对顶角。
注意：图中∠2与∠9，它们是同位角吗？
不是，因为∠2与∠9的各边分别在四条不同直线上，不是两直线被第三条直线所截而成。
7、两直线平行的判定方法：①同位角相等，两直线平行 ②内错角相等，两直线平行　③同旁内角互补，两直线平行
注意：⑴几何中，图形之间的“位置关系”一般都与某种“数量关系”有着内在的联系，常由“位置关系”决定其“数量关系”，反之也可从“数量关系”去确定“位置关系”。上述平行线的判定方法就是根据同位角或内错角“相等”或同旁内角“互补”这种“数量关系”，判定两直线“平行”这种“位置关系”。
⑵根据平行线的定义和平行公理的推论，平行线的判定方法还有两种：①如果两条直线没有交点（不相交）， 那么两直线平行。②如果两条直线都平行于第三条直线，那么这两条直线平行。
例题：判断下列说法是否正确，如果不正确，请给予改正：
　⑴不相交的两条直线必定平行线。
　⑵在同一平面内不相重合的两条直线，如果它们不平行，那么这两条直线一定相交。
　⑶过一点可以且只可以画一条直线与已知直线平行
8、平行线的性质：性质1：两直线平行，同位角相等；性质2：两直线平行，内错角相等 性质3：两直线平行，同旁内角互补。
典型习题
一、相交线、三线八角
1.平面内三条直线交点的个数有___________个。
2.在同一平面内，过直线l外的两点A，B所作直线与直线l的位置关系是_________
3.两条直线相交，最多有1个交点，三条直线相交，最多有___个交点，四条直线相交，最多有___个交点，n条直线相交，最多有_________个交点。
4.如下图，O为直线AB上一点，∠COB=26°30′，则∠1=_____
5.如上图，直线AB,CD相交于O，∠1-∠2=85°，∠AOC=_____°
6.一条直线与另两条平行线的关系是（ ）
A.一定与两条平行线平行
B.可能与两条平行线中的一条平行、一条相交
C.一定与两条平行线相交
D.与两条平行线都平行或都相交。
7.如图，∠1和∠2是直线______与直线____被直线____所截形成的_______（选填“同位角”“内错角”“同旁内角”）； ∠3和∠4是直线______与直线____被直线____所截形成的_______（选填“同位角”“内错角”“同旁内角”）；
8．如上图，与∠构成内错角的角有___个，同位角有___个，同旁内角有____个。
9.如上图，能与∠构成同旁内角的角有_____个。
二、对顶角、垂直及它们的性质
1.与一条已知直线垂直的直线有______条。
2.已知OA⊥OC于点O，∠AOB: ∠AOC=2:3，那么∠BOC的度数是______________
3.A村正南有一条公路MN，由A村到公路最近的路线是经过点A作AD⊥MN，垂足为点D，这种设计的理由是_________________；B村与A村相邻，两村村民来往的最短路线是线段AB的长，理由是_____________________。
4．如右图BC⊥AC，CB=8cm，AC=6cm，AB=10cm，那么点B到AC的距离是_____，点A到BC
的距离是____,A、B两点间的距离是________
三、平行线的性质
1．一个人从A点出发向北偏东60°方向走到B点，再从B点出发向南偏西15°方向走到C点，则∠ABC等于( )
A.135° B.105° C.75° D.45°
2.如下图，由点A测得点B的方向是______
3.如下图，一条公路修到湖边时，需拐弯绕湖而过，已知第一次拐弯的角是∠A，且∠A=120°，第二次拐弯的角是∠B，且∠B=150°，第三次拐弯的角是∠C，这时道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行，则∠C等于（ ）
A.120° B.130° C.140° D.150°
4.有下列图形中，由AB//CD能得到∠1=∠2的是（ ）
5.直线l同侧有A,B,C三点，若过A,B的直线和过B,C的直线都与平行，则A,B,C三点_____________，理论依据是_________________
6.如图，已知AB//CD,BE平分∠ABC，∠CDE=160°，则∠C=______。
7.如图，AB//CD,FG平分∠EFD，∠1=70°，则∠2=____。
四、平行线的判定
1.如图1，写出一个适当的条件，使AD//BC，这个条件是________
2.如图2，不能确定AB//CD的条件是（ ）
A. ∠DAC=∠ACB B. ∠BAC=∠DCA
C. ∠ABC+∠DCB=180° D. ∠BAD+∠CDA=180°
3.如图3，已知∠1+∠2=180°，∠1=∠3，EF与GH平行吗？为什么？
4.如图，直线AB，CD被直线EF所截，如果∠1=∠2，∠CNF=∠BME,那么AB//CD,MP//NQ,请说明理由。（变式：若MP和NQ分别平分∠BMF和∠DNF，求证MP//NQ）
五、综合考查平行线的判定和性质
1.一条公路两次转弯后，和原来的方向相同。如果第一次的右拐60°，第二次___(选填“左”“右”)拐____度。
2.如图，已知AB//CD，OE平分∠BOC，OE⊥OF，∠DOF=29°，则∠B=_____。
3. 如图所示，已知AB//CD，则、、之间的等量关系为_______________。
4.如图，已知AB//CD，BF平分∠ABE，DF平分∠CDE，∠BED=75°，那么∠BFD=________。
5.如图，点E,F,D,G都在△ABC的边上，且EF//AD，∠1=∠2，∠BAC=55°，求∠AGD的度数。
8.如图，已知∠ABC=90°，∠1=∠2，∠DCA=∠CAB，试说明CD平分∠ACE.
6.已知∠AOB与∠BOC互为邻补角，OD是∠AOB的平分线，OE在∠BOC内，∠BOE=∠EOC，∠DOE=72°，求∠EOC的度数。
7.如图，已知OA⊥OC，OB⊥OD,且∠AOD=3∠BOC，求∠BOC的度数。
10.已知直线AB和CD相交于点O，射线OE⊥AB于O，射线OF⊥CD于O，且∠BOF=25°，求∠AOC和∠EOD的度数。
6
B
A
D
2
3
4
5
7
8
9
F
E
C
1
A
B
C
1
7
A
B
F
2
1
A
D
B
F
1
A
B
C
D
2
6
A
B
C
D
2
6
B
A
F
E
5
8
C
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A
B
D
C
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第2题
第3题
第3题
第2题
第4题