2023-—2024学年冀教版数学八年级上册第十二章分式和分式方程全章综合测评卷（含解析）

第十二章　 分式和分式方程
作答时间：120分钟 总分：120分
一、选择题(本大题有16个小题,每小题3分,共48分)
1.式子-a,,,,,中,分式有(　　)
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
2.要使分式有意义,则x应满足 (　　)
A.x≠-1 B.x≠2
C.x≠±1 D.x≠-1或x≠2
3.若分式的值为0,则x的值是 (　　)
A.2 B.-2 C.2或-2 D.0
4.下列分式从左到右的变形,正确的是 (　　)
A. B.
C.=- D.
5.计算的结果为 (　　)
A.2 B.1 C.0 D.-1
6.方程的解为 (　　)
A.x=-1 B.x=1 C.x=2 D.x=3
7.若分式□运算的结果为x,则应在“□”中添加的运算符号为 (　　)
A.+　 B.-　 C.+或×　 D.-或÷
8.化简(a+)(-1)的结果为 (　　)
A.-a-2　 B.
C.a+2　 D.
9.若关于x的分式方程-1=有增根,则m的值为 (　　)
A.1　 B.2　 C.3　 D.2或3
10.化简的结果是,则a的值是 (　　)
A.-1 B.1 C.-2 D.2
11.分式,,的最简公分母是 (　　)
A.(a2-1)2 B.(a2-1)(a2+1)
C.a2+1 D.(a-1)4
12.对于两个不相等的数a,b,我们规定符号min{a,b}表示a,b中较小的数,如:min{3,5}=3.按照这个规定,方程min{-2,-3}=的解为 (　　)
A.- B.- C. D.
13.下列计算中,不正确的个数是 (　　)
①(+a-2)÷;
②·(a2-16)=a-4;
③=1;
④(a+b)÷(a+b)·=a+b.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
14.如果x2+x-3=0,那么代数式(-1)÷的值为 (　　)
A.- B.0 C. D.3
15.石家庄市某生态示范园计划种植一批梨树,原计划总产量30万千克,为了满足市场需求,现决定改良梨树品种,改良后平均每亩产量是原来的1.5倍,总产量比原计划增加了6万千克,种植亩数减少了10亩,则原来平均每亩产量是多少万千克 设原来平均每亩产量为x万千克,根据题意,列方程为(　　)
A.=10 B.=10
C.=10 D.=10
16.若关于x的一元一次不等式组的解集是x≤a,且关于y的分式方程=1有非负整数解,则符合条件的所有整数a的和为 (　　)
A.0 B.1 C.4 D.6
二、填空题(本大题有3个小题,共12分.17~18小题各3分,19小题有3个空,每空2分)
17.约分:=　　　　.
18.某班学生从学校出发前往科技馆参观,学校距离科技馆15 km,一部分学生骑自行车先走,过了15 min后,其余学生乘公交车出发,结果同时到达科技馆.已知公交车的速度是自行车速度的1.5倍,那么学生骑自行车的速度是　　　　km/h.
19.下面是嘉淇同学进行分式化简的过程,请认真阅读并完成相应任务.
　
= 第一步
= 第二步
= 第三步
= 第四步
= 第五步
=- . 第六步
(1)以上化简步骤中,第三步是进行分式的通分,通分的依据是　　　　　　　　　　　.
(2)第　　　　步开始出现错误,写出该分式化简后的正确结果　　　　　　　 　　.
三、解答题(本大题有7个小题,共60分)
20.(8分)计算:
(1);
(2)÷();
(3)()÷;
(4)÷(2x-).
21.(6分)解分式方程:
(1) =+1;　　(2)+1=.
22.(8分)先化简,再求值:
(1)(1-)÷,其中x=-1.
(2)()÷,其中|a-2|+(b+5)2=0.
23.(8分)老师在黑板上书写了一个代数式的正确计算结果,随后用字母A代替了原代数式的一部分,如下:(A-)÷.
(1)求A,并将其化简;
(2)原代数式的值能等于-1吗 请说明理由.
24.(9分)某中学为了创设“书香校园”,准备购买A,B两种书架,用于放置图书.在购买时发现,A种书架的单价比B种书架的单价高20元,用600元购买A种书架的个数与用480元购买B种书架的个数相同.
(1)求A,B两种书架的单价分别是多少元.
(2)学校准备购买A,B两种书架共15个,且购买的总费用不超过1 400元,求最多可以购买多少个A种书架.
25.(10分)如图是学习分式方程应用时,老师板书的问题和两名同学所列的方程.
根据以上信息,解答下列问题.
(1)冰冰同学所列方程中的x表示　　　　　　　,庆庆同学所列方程中的y表示　　　　　　　;
(2)两个方程中任选一个,并写出它的等量关系;
(3)解(2)中你所选择的方程,并回答老师提出的问题.
26.(11分)阅读材料,解答下列问题:
当a≠b时,一般来说会有a2+b≠a+b2,然而当a和b是特殊的分数时,这个等式却是成立的.例如:()2++()2,()2++()2,()2++()2, ,()2++()2, .
(1)特例验证
请再写出一个具有上述特征的等式:　　　　　　　　　　　　.
(2)猜想结论
用n(n为正整数)表示分数的分母,上述等式可表示为　　　　　　　　　　　　.
(3)证明推广
①(2)中得到的等式一定成立吗 若成立,请证明;若不成立,说明理由.
②等式()2++()2(m,n为任意数,且n≠0)成立吗 请说明理由.
参考答案
一、选择题
1.D　【解析】　根据分式的概念可知,,,,是分式,共4个.故选D.
2.A　【解析】　要使分式有意义,则x+1≠0,即x≠-1.故选A.
3.A　【解析】　由题意可得,x-2=0,且x≠0,所以x=2.故选A.
4.D
5.B　【解析】　=1.故选B.
6.B　【解析】　方程的两边同乘(x-3)(x+1),得(x-2)(x+1)=x(x-3),解得x=1.经检验,x=1是原分式方程的解.故选B.
7.D　【解析】　将运算符号放入原式进行计算.若添加“+”,则;若添加“”,则=x;若添加“×”,则;若添加“÷”,则·=x.故选D.
8.A　【解析】　(a+)(-1)=()()=··=-(a+2)=-a-2.故选A.
9.C　【解析】　-1=,方程两边同乘x-2,得3x-x+2=m+3,∴x=.∵原分式方程有增根,∴x-2=0,解得x=2,当x=2时,m=3.故选C.
10.B　【解析】　·,∴a=1.故选B.
11.A　【解析】　题中所给三个分式的分母分别为a2-2a+1=(a-1)2,a-1,a2+2a+1=(a+1)2,由此可得此三个分式的最简公分母为(a-1)2(a+1)2=(a2-1)2.故选A.
12.D　【解析】　由题意,得=-3.去分母,得3+x=-3(x-2),解得x=.经检验,x=是分式方程的根.故选D.
13.C　【解析】　①(+a-2)÷=[]··,故①正确.②·(a2-16)=·(a+4)(a-4)=a+4,故②错误.③≠1,故③错误.④(a+b)÷(a+b)·=1·,故④错误.故选C.
14.C　【解析】　(-1)÷=()÷·.∵x2+x-3=0,∴x2+x=3,∴原式=.故选C.
15.A　【解析】　原来平均每亩产量为x万千克,则改良后平均每亩产量为1.5x万千克,原计划需要种植 亩,改良后总产量增加6万千克,则需要种植 亩.因为改良后种植亩数减少了10亩,所以可列方程为=10.故选A.
16.B　【解析】　解不等式x-(4a-2)≤,得x≤a;解不等式二、填空题
17.-　【解析】　=-=-.
18.20　【解析】　设学生骑自行车的速度为x km/h.根据题意,得,解得x=20.经检验,x=20是原分式方程的解,且符合题意.所以学生骑自行车的速度是20 km/h.
19.分式的基本性质(或分式的分子与分母乘(或除以)同一个不等于0的整式,分式的值不变)　五　 -　
【解析】　(2)=-.所以第五步开始出现错误,该分式化简后的正确结果为-.
三、解答题
20.【解析】　(1)
=
=
=.
(2)÷()
=
=·
=ab.
(3)()÷
=·
=·
=a.
(4)÷(2x-)
=
=·
=.
21.【解析】　(1)方程两边同乘(x-1)(x+2),
得x(x-1)=2(x+2)+(x-1)(x+2),
解得x=-.
检验:当x=-时,(x-1)(x+2)≠0,
∴原分式方程的解为x=-.
(2)方程两边同乘(x-1)(x+1),
得4+x2-1=x2-2x+1,
解得x=-1.
检验:当x=-1时,(x-1)(x+1)=0,
∴原分式方程无解.
22.【解析】　(1)(1-)÷
=·
=x+2.
将x=-1代入,得原式=-1+2=1.
(2)()÷
=·
=·
=ab.
∵|a-2|+(b+5)2=0,
∴a-2=0,b+5=0,解得a=2,b=-5.
当a=2,b=-5时,原式=2×(-5)=-10.
23.【解析】　(1)∵(A-)÷,
∴[A-]·,
∴(A-)·,
∴A-,
∴A=·,
∴A=,
∴A=.
(2)原代数式的值不能等于-1.理由如下:
若原代数式的值等于-1,
则=-1,得x=0.
当x=0时,原代数式中的除式等于0,原代数式无意义,
∴原代数式的值不能等于-1.
24. 【解析】　(1)设B种书架的单价为x元,则A种书架的单价为(x+20)元.
根据题意,得,解得x=80.
经检验,x=80是原分式方程的解,且符合题意.
x+20=100.
答:A种书架的单价为100元,B种书架的单价为80元.
(2)设准备购买m个A种书架,则购买(15-m)个B种书架.
根据题意,得100m+80(15-m)≤1 400,解得m≤10.
答:最多可购买10个A种书架.
25.【解析】　(1)甲队每天修路的长度　甲队修路400米所需时间或乙队修路600米所需时间
(2)选冰冰用的方程,所用的等量关系:甲队修路400米所用时间=乙队修路600米所用时间.
选庆庆用的方程,所用的等量关系:乙队每天修路的长度-甲队每天修路的长度=20米.(选择一个即可)
(3)选冰冰的方程:,
去分母,得400x+8 000=600x,
移项,x的系数化为1,得x=40.
检验:当x=40时,x,x+20均不为零,
∴x=40.
答:甲队每天修路的长度为40米.
选庆庆的方程:=20,
去分母,得600-400=20y,
将y的系数化为1,得y=10.
检验:当y=10时,分母y不为0,
∴y=10,∴=40.
答:甲队每天修路的长度为40米.
26.【解析】　(1)()2++()2(答案不唯一)
(2)()2++()2
(3)①成立.证明如下:
左边:()2+.
右边:+()2=.
左边=右边,
∴()2++()2.
②成立.理由如下:
左边:()2+.
右边:+()2=.
左边=右边,
∴()2++()2.