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对数函数的图像与性质
知识归纳
一、对数式的运算
1、对数的定义：一般地，如果且，那么数叫做以为底的对数，记作，读作以为底的对数，其中叫做对数的底数，叫做真数．
2、常见对数：
①一般对数：以且为底，记为，读作以为底的对数；
②常用对数：以为底，记为；
③自然对数：以为底，记为；
3、对数的性质和运算法则：
①特殊对数：；；其中且
②对数恒等式：(其中且，)
③对数换底公式： 如：．
4、对数的运算法则：
①外和内乘原理：；
②外差内除原理：；
③提公次方法：，；
④指中有对，没心没肺：和 如：，．
5、换底公式和对数运算的一些方法：
①常用换底： 如：．
②倒数原理： 如：．
③约分法则： 如： ；．
④归一法则：．
二、对数函数的定义及图像
1、对数函数的定义：函数 且叫做对数函数。
2、对数函数的图象：
图象
性质 定义域：
值域：
过定点，即时，
在上增函数 在上是减函数
当时，，当时， 当时，，当时，
3、底数变化与图象变化的规律
在同一坐标系内，当时，随的增大，对数函数的图象愈靠近轴；当时，对数函数的图象随的增大而远离轴．(见下图)
典例分析
题型一、对数的运算
【例1-1】计算：
(1)_________．
(2)_________．
(3)=_________．
(4)lg－lg＋lg=_________．
(5)_________．
(6)_________．
(7)_________．
【例1-2】已知，，则（ ）
A． B． C． D．
【例1-3】已知，，则（ ）
A．1 B．2 C．5 D．4
【例1-4】若均为不等于1的正数，且满足,则 .
【例1-5】已知，若，则___________.
【例1-6】若a，b是方程2(lg x)2－lg x4＋1＝0的两个实根，求lg(ab)·(logab＋logba)的值．
题型二、对数函数的概念
【例2】已知函数①；②；③；④；⑤；⑥.其中是对数函数的是（ ）
A．①②③ B．③④⑤
C．③④ D．②④⑥
题型三、对数函数的定义域
【例3-1】函数的定义域为（ ）.
A． B． C． D．
【例3-2】已知函数的定义域是，则函数的定义域是
A． B． C． D．
【例3-3】（1）若函数的定义域为，则实数的取值范围是___________；
（2）若函数的值域为，则实数的取值范围是___________.
题型四、对数函数的定点问题
【例4-1】函数（，且）的图象一定经过的点是（ ）
A． B． C． D．
题型五、对数函数的值域
【例5-1】已知函数（，且）在上的值域为，则实数a的值是（ ）
A． B． C． D．
【例5-2】函数的值域是________.
【例5-3】已知函数，则函数的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【例5-4】函数的最小值是（ ）．
A．10 B．1 C．11 D．
【例5-5】已知的值域为R，那么a的取值范围是( )
A．(﹣∞，﹣1] B．(﹣1，) C．[﹣1，) D．(0，1)
【例5-6】已知函数的定义域是，值域为，则下列四个函数①；②；③；④，其中值域也为的函数个数是（ ）
A． B． C． D．
【例5-7】已知的值域为R，那么a的取值范围是( )
A．(﹣∞，﹣1] B．(﹣1，) C．[﹣1，) D．(0，1)
【例5-8】已知函数，，则下列说法正确的是（ ）
A．若函数的定义域为，则实数的取值范围是
B．若函数的值域为，则实数
C．若函数在区间上为增函数，则实数的取值范围是
D．若，则不等式的解集为
题型六、对数函数的图象问题
【例6-1】如图所示的曲线是对数函数，，，的图象，则a，b，c，d，1的大小关系为（ ）
A．b>a>1>c>d B．a>b>1>c>d C．b>a>1>d>c D．a>b>1>d>c
【例6-2】作出下列函数的图象：
(1)； (2).
【例6-3】已知函数（且，，为常数）的图象如图，则下列结论正确的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【例6-4】若，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【例6-5】已知函数，则函数的图象是（ ）
A．B．C．D．
【例6-6】已知函数，若，则（ ）
A． B．
C． D．以上选项均有可能
【例6-7】已知，则满足的的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【例6-8】若函数（且）在R上既是奇函数，又是减函数，则的大致图象是（ ）
A．B．C． D．
题型七、对数函数的奇偶性
【例7-1】判断下列函数的奇偶性：
（1） （2）
【例7-2】设为偶函数，且当时，，则当时，（ ）
A． B． C． D．
【例7-3】已知函数，若定义在上的奇函数，有，则
A．2 B．0 C． D．
【例7-4】函数为奇函数，则实数__________．
【例7-5】关于函数说法正确的是（ ）
A．定义域为 B．图象关于轴对称
C．图象关于原点对称 D．在内单调递增
【例7-6】函数，则（ ）
A．0 B． C．4 D．1
【例7-7】已知函数，则_______；
【例7-8】已知函数，则=（ ）
A. -1 B. 0 C. 1 D. 2
题型八、对数函数的单调性
【例8-1】函数的单调递减区间为（ ）
A． B． C． D．
【例8-2】若函数在区间内单调递增，则实数的取值范围为__________．
【例8-3】已知函数在上为增函数，则实数的取值范围为_____．
【例8-4】设函数，则使得成立的的取值范围是
（A） （B）（C）（D）
【例8-5】已知定义在R上的函数在区间上单调递增，且的图象关于对称，若实数a满足，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【例8-6】已知函数，当，，且时，，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【例8-7】设函数f（x）＝|2x+1|﹣|2x﹣1|，则f（x）（ ）
A．是偶函数，且在 单调递增
B．是奇函数，且在 单调递增
C．是偶函数，且在单调递增
D．是奇函数，且在 单调递增
【例8-8】已知函数，下列结论中正确的是（ ）
A．当时，的定义域为
B．一定有最小值
C．当时，的值域为R
D．若在区间上单调递增，则实数a的取值范围是
【例8-9】已知函数在上单调递减，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【例8-10】已知定义在上的函数单调递增，且对任意，恒有，则的值为_______．
【例8-11】已知定义在上函数为单调函数,且对任意的实数 ,都有,则 ( )
A. B. C. D.
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对数函数的图像与性质
知识归纳
一、对数式的运算
1、对数的定义：一般地，如果且，那么数叫做以为底的对数，记作，读作以为底的对数，其中叫做对数的底数，叫做真数．
2、常见对数：
①一般对数：以且为底，记为，读作以为底的对数；
②常用对数：以为底，记为；
③自然对数：以为底，记为；
3、对数的性质和运算法则：
①特殊对数：；；其中且
②对数恒等式：(其中且，)
③对数换底公式： 如：．
4、对数的运算法则：
①外和内乘原理：；
②外差内除原理：；
③提公次方法：，；
④指中有对，没心没肺：和 如：，．
5、换底公式和对数运算的一些方法：
①常用换底： 如：．
②倒数原理： 如：．
③约分法则： 如： ；．
④归一法则：．
二、对数函数的定义及图像
1、对数函数的定义：函数 且叫做对数函数。
2、对数函数的图象：
图象
性质 定义域：
值域：
过定点，即时，
在上增函数 在上是减函数
当时，，当时， 当时，，当时，
3、底数变化与图象变化的规律
在同一坐标系内，当时，随的增大，对数函数的图象愈靠近轴；当时，对数函数的图象随的增大而远离轴．(见下图)
典例分析
题型一、对数的运算
【例1-1】计算：
(1)_________．
(2)_________．
(3).
(4)lg－lg＋lg；
(5)____.
(6)；
(7)；
【答案】(1)0.25；(2)-12；(3)1；(4)0.5；(5)1；(6)0.5；(7)-0.25.
【解析】(1)原式
(2)原式
(3)原式＝
＝
＝＝＝＝1.
(4)原式＝×(lg32－lg49)－＋lg245＝×(lg25－lg72)－×lg2＋lg(5×72)
＝×(5lg2－2lg7)－2lg2＋×(lg5＋2lg7)＝lg2－lg7－2lg2＋lg5＋lg7
＝lg2＋lg5＝lg(2×5)＝.
(5)原式
(6)原式＝＝＝＝.
(7)原式
【例1-2】已知，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】因为，，所以．
【例1-3】已知，，则（ ）
A．1 B．2 C．5 D．4
【答案】A
【详解】∵，，∴，，
．
【例1-4】若均为不等于1的正数，且满足,则 .
【答案】3
【详解】因，所以，因，所以，
所以，
因为，所以
【例1-5】已知，若，则___________.
【答案】8
【详解】由，且
所以是方程的两根，解得或，
又，所以，即，又
从而，且，则，．
所以.
【例1-6】若a，b是方程2(lg x)2－lg x4＋1＝0的两个实根，求lg(ab)·(logab＋logba)的值．
【答案】12
【详解】原方程可化为2(lg x)2－4lg x＋1＝0.设t＝lg x，则方程化为2t2－4t＋1＝0，
∴t1＋t2＝2，t1·t2＝.又∵a，b是方程2(lg x)2－lg x4＋1＝0的两个实根，∴t1＝lg a，t2＝lg b，
即lg a＋lg b＝2，lg a·lg b＝.
∴lg(ab)·(logab＋logba)＝(lg a＋lg b)·＝(lg a＋lg b)·
＝(lg a＋lg b)·＝2×＝12，
即lg(ab)·(logab＋logba )＝12.
题型二、对数函数的概念
【例2】已知函数①；②；③；④；⑤；⑥.其中是对数函数的是（ ）
A．①②③ B．③④⑤
C．③④ D．②④⑥
【答案】C
【详解】根据对数函数的定义，只有符合（且）形式的函数才是对数函数，其中x是自变量，a是常数.易知，①是指数函数；②中的自变量在对数的底数的位置，不是对数函数；③中，是对数函数；④中，是对数函数；⑤⑥中函数显然不是对数函数，由此可知只有③④是对数函数.
题型三、对数函数的定义域
【例3-1】函数的定义域为（ ）.
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由题意知，得，所以，所以．
【例3-2】已知函数的定义域是，则函数的定义域是
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】由，得，所以，所以．故选：D.
【例3-3】（1）若函数的定义域为，则实数的取值范围是___________；
（2）若函数的值域为，则实数的取值范围是___________.
【答案】
【详解】（1）当时，符合题意；
当时，欲使在上恒成立，则,解得，
综上，实数a的取值范围是；
（2）当时，，不符合题意；
当时，欲使取遍所有正数，只须使，解得，
综上，实数a的取值范围是.
故答案为：；.
题型四、对数函数的定点问题
【例4-1】函数（，且）的图象一定经过的点是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】令，，则，即函数图象过定点．故选：B．
题型五、对数函数的值域
【例5-1】已知函数（，且）在上的值域为，则实数a的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】分类讨论最值，当时，当时，分别求出最值解方程，即可得解.
【详解】若，则在上单调递减，则，不符合题意；
若，则在上单调递增，则，
又因为的值域为，所以，解得．
【例5-2】函数的值域是________.
【答案】
【详解】令，则，
因为，所以的值域为，
因为在是减函数，所以，
所以的值域为.
【例5-3】已知函数，则函数的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】由，则得，所以的定义域为，
令，故，
，
即，，当时，的最小值为
函数的最小值为.
【例5-4】函数的最小值是（ ）．
A．10 B．1 C．11 D．
【答案】B
【分析】利用换元法，令，则，先求出的范围，从而可求出函数的最小值
【详解】设，则，
因为，
所以，所以的最小值为1，
【例5-5】已知的值域为R，那么a的取值范围是( )
A．(﹣∞，﹣1] B．(﹣1，) C．[﹣1，) D．(0，1)
【答案】C
【详解】当x≥1时，f(x)=lnx，其值域为[0，+∞)，那么当x<1时，f(x)=(1﹣2a)x+3a的值域包括(﹣∞，0)，
∴1﹣2a>0，且f(1)=(1﹣2a)+3a≥0，解得：，且a≥﹣1.
【例5-6】已知函数的定义域是，值域为，则下列四个函数①；②；③；④，其中值域也为的函数个数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】对于①，因为，则，①不满足条件；
对于②，对于函数，，则函数的值域为，②满足条件；
对于③，因为，则，③满足条件；
对于④，因为，，则，④满足条件.
【例5-7】已知的值域为R，那么a的取值范围是( )
A．(﹣∞，﹣1] B．(﹣1，) C．[﹣1，) D．(0，1)
【答案】C
【详解】当x≥1时，f(x)=lnx，其值域为[0，+∞)，那么当x<1时，f(x)=(1﹣2a)x+3a的值域包括(﹣∞，0)，
∴1﹣2a>0，且f(1)=(1﹣2a)+3a≥0，解得：，且a≥﹣1.
已知函数，，则下列说法正确的是（ ）
A．若函数的定义域为，则实数的取值范围是
B．若函数的值域为，则实数
C．若函数在区间上为增函数，则实数的取值范围是
D．若，则不等式的解集为
【答案】AC
【详解】对于A，因为的定义域为，所以恒成立，
则，解得，故A正确；
对于B，因为的值域为，所以的最小值为，
所以，解得，故B错误；
对于C，因为函数在区间上为增函数，所以，解得，故C正确；
对于D，当m=0时，，由，可得，解得，故D错误.
题型六、对数函数的图象问题
【例6-1】如图所示的曲线是对数函数，，，的图象，则a，b，c，d，1的大小关系为（ ）
A．b>a>1>c>d B．a>b>1>c>d C．b>a>1>d>c D．a>b>1>d>c
【答案】C
【详解】由图可知a>1，b>1，0a>1>d>c．
【例6-2】作出下列函数的图象：
(1)； (2).
【答案】(1)，(2)
【例6-3】已知函数（且，，为常数）的图象如图，则下列结论正确的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】D
【详解】因为函数为减函数，所以
又因为函数图象与轴的交点在正半轴，所以，即
又因为函数图象与轴有交点，所以，所以.
【例6-4】若，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】作出，，的图象，根据图象可得结果.
【详解】在同一平面直角坐标系中作出函数
，，的图象如下图所示，
数形结合可知：当时，，的取值范围为.
【例6-5】已知函数，则函数的图象是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】当时，，故排除A、D选项；当时，，则，排除B选项．
【例6-6】已知函数，若，则（ ）
A． B．
C． D．以上选项均有可能
【答案】C
【详解】作出函数的图象，如图：
由题意可知，，且由图象可知，，
所以即，
所以，即，，
即.
【例6-7】已知，则满足的的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：图像如图所示:
根据图象得：的解为，
将换成得.
【例6-8】若函数（且）在R上既是奇函数，又是减函数，则的大致图象是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】因为函数在R上是奇函数，
所以，所以，经检验，满足题意，
又因为为减函数，所以，则（）
由
可知的图象关于直线轴对称，排除选项CD ；
又，可知选项A错误.所以的大致图象为B．
题型七、对数函数的奇偶性
【例7-1】判断下列函数的奇偶性：
（1） （2）
【解析】（1）由题意知定义域为
，所以，
所以，所以为奇函数。
（2）由题意知定义域为
，所以
，所以，所以为奇函数
注：形如类型的函数均为奇函数
【例7-2】设为偶函数，且当时，，则当时，（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】因为偶函数，且当时，，
因此，当时，，，所以.
【例7-3】已知函数，若定义在上的奇函数，有，则
A．2 B．0 C． D．
【答案】A
【详解】因为为奇函数，也为奇函数，设，则为奇函数，所以，所以，，因
，又因为奇函数，所以
【例7-4】函数为奇函数，则实数__________．
【答案】
【详解】因为为奇函数，所以，
所以，即，
所以，所以，所以，所以，经检验知均满足题意
【例7-5】关于函数说法正确的是（ ）
A．定义域为 B．图象关于轴对称
C．图象关于原点对称 D．在内单调递增
【答案】ACD
【详解】因为,所以，
所以定义域为，故A正确；
因为，所以图象关于原点对称，故B错误，C正确;
又在上单调递减，所以在上单调递增，
又在上单调递增，所以在上单调递增，故D正确.
【例7-6】函数，则（ ）
A．0 B． C．4 D．1
【答案】C
【详解】设，则为奇函数，所以，
所以，，因，
所以
【例7-7】已知函数，则_______；
【答案】
【详解】设，则为奇函数，所以，所以，，因，所以
【例7-8】已知函数，则=（ ）
A. -1 B. 0 C. 1 D. 2
【答案】D
【详解】，设，则为奇函数，所以，所以，，
因，所以
题型八、对数函数的单调性
【例8-1】函数的单调递减区间为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由得：，即定义域为；
令，则在上单调递增，在上单调递减；
又在上单调递减，的单调递减区间为.
【例8-2】若函数在区间内单调递增，则实数的取值范围为__________．
【答案】
【解析】由可得，解得，
函数是由和复合而成，
又对称轴为，开口向下，
所以 在上单调递增，在上单调递减，
因为为减函数，所以的单调增区间为，
因为在区间内单调递增，所以，解得，
所以实数的取值范围为，故答案为：．
【例8-3】已知函数在上为增函数，则实数的取值范围为_____．
【答案】
【解析】令，则，因为的对称轴为，且在上为增函数，所以，解得
由题意知在内递增，所以．又在上恒大于0，
所以，即．
综上，实数a的取值范围是：．故答案为：.
【例8-4】设函数，则使得成立的的取值范围是
（A） （B）（C）（D）
【答案】A
【解析】因为函数，所以是定义在上的偶函数，在上是单调递增的，，又因在上递增，所以，解得
【例8-5】已知定义在R上的函数在区间上单调递增，且的图象关于对称，若实数a满足，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为的图象关于对称，向左平移1个单位得到，所以关于对称，所以是定义在上的偶函数，在上是单调递增的，，又因在上递增，所以，即，所以解得
【例8-6】已知函数，当，，且时，，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为当，，且时，，
所以在定义域内为单调减函数，因此，解得：，
所以实数的取值范围是.
【例8-7】设函数f（x）＝|2x+1|﹣|2x﹣1|，则f（x）（ ）
A．是偶函数，且在 单调递增 B．是奇函数，且在 单调递增
C．是偶函数，且在单调递增 D．是奇函数，且在 单调递增
【答案】B
【详解】解：由，得x≠±．
又f（﹣x）＝|﹣2x+1|﹣|﹣2x﹣1|＝﹣（|2x+1|﹣|2x﹣1|）＝﹣f（x），∴f（x）为奇函数，
由f（x）＝|2x+1|﹣|2x﹣1|＝||，∵11．
可得内层函数t＝||的图象如图，
在（﹣∞，），（，+∞）上单调递减，在（，）上单调递增，
又对数式y＝是定义域内的增函数，
由复合函数的单调性可得，f（x）在（，）上单调递增，
在（﹣∞，），（，+∞）上单调递减．
【例8-8】已知函数，下列结论中正确的是（ ）
A．当时，的定义域为
B．一定有最小值
C．当时，的值域为R
D．若在区间上单调递增，则实数a的取值范围是
【答案】AC
【详解】对于A，当时，，令，解得或，
则的定义域为，故A正确；
对于B、C，当时，的值域为R，无最小值，故B错误，C正确；
对于D，若在区间上单调递增，则在上单调递增，
且当时，，则，解得，故D错误．
【例8-9】已知函数在上单调递减，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【详解】令，则，由题意知在内递减，
所以在上为增函数，所以且，解得，
又在上恒大于0，所以，即．
综上，实数a的取值范围是：．故答案为：.
【例8-10】已知定义在上的函数单调递增，且对任意，恒有，则的值为_______．
【答案】2
【详解】因函数单调递增，所以为定值，设，
由题意知，又因，令，得，所以，
所以，所以
【例8-10】已知定义在上函数为单调函数,且对任意的实数 ,都有,则 ( )
A. B. C. D.
【答案】B
【详解】因是定义在上得单调函数，所以为定值，
设，由题意知，又因，令，
得，所以，所以，所以
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