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指数函数的图像与性质
知识归纳
1.指数函数的定义及图像
图象
性质 ①定义域，值域
②，即时，，图象都经过点
③，即时，等于底数
④在定义域上是单调减函数 在定义域上是单调增函数
⑤时，；时， 时，；时，
⑥ 既不是奇函数，也不是偶函数
(1)当底数大小不定时，必须分“”和“”两种情形讨论．
(2)当时，，；的值越小，图象越靠近轴，递减的速度越快．
当时，；的值越大，图象越靠近轴，递增速度越快．
(3)指数函数与的图象关于轴对称．
函数①；②；③；④的图象如图2-3-1所示，则；
即，(底大幂大)；时，．
图2-3-1 图2-3-2
(4)特殊函数：函数，，，的图象如图2-3-2所示．
2.指数式大小比较方法
①单调性法：化为同底数指数式，利用指数函数的单调性进行比较．
②中间量法：当指数式的底数和指数各不相同时，需要借助中间量“0”和“1”作比较．
③分类讨论法：指数式的底数不定时，需要分类讨论底数的情况，在利用指数函数的单调性进行比较．
④比较法：有作差比较与作商比较两种，其原理分别为：
1)若；若；若；
2)当两个式子均为正值的情况下，可用作商法，判断，或即可．
典例分析
题型一、指数函数的概念
【例1-1】若函数(，且)是指数函数，则______，______.
【例1-2】指出下列函数哪些是指数函数？
（1）；（2）；（3）；（4）；
（5）；（6）．
题型二、指数函数的图像
【例2-1】在同一直角坐标系中，函数，且的图象可能是（ ）
A．B．C．D．
【例2-2】函数的部分图象大致为（ ）
A． B． C． D．
【例2-3】下图中的函数图象所对应的解析式可能是（ ）
A． B． C． D．
【例2-4】函数的图象的大致形状是（ ）
A．B．C． D．
【例2-5】（多选题）已知函数，实数，满足，则（ ）
A． B．，，使得
C． D．
题型三、指数函数的定点
【例3-1】当且时，函数必过定点 .
【例3-2】已知函数（且）的图象恒过定点A，若点A在一次函数的图象上，其中实数m，n满足，则的最小值为______．
题型四、指数函数的奇偶性、单调性
【例4-1】判断函数的奇偶性
【例4-2】已知函数，下面说法正确的有（ ）
A．的图象关于原点对称
B．的图象关于y轴对称
C．的值域为
D．，且，
【例4-3】已知定义域为R的函数则关于t的不等式的解集为________.
【例4-4】设函数是偶函数，则实数a的值为________．
【例4-5】已知，则下列正确的是（ ）
A．奇函数，在R上为增函数 B．偶函数，在R上为增函数
C．奇函数，在R上为减函数 D．偶函数，在R上为减函数
【例4-6】函数的单调递增区间是（ ）
A． B． C． D．
【例4-7】若函数是R上的增函数，则实数a的取值范围为
A．(1，＋∞) B．(1,8) C．(4,8) D．[4,8)
【例4-8】已知函数,则使得不等式成立的实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
题型五、利用指数函数性质比较大小
【例5-1】判断下列各数的大小关系：
(1)1.8a与1.8a+1； (2) (3)，(2.5)0，
【例5-2】已知a= 0.80.7,b= 0.80.9,c= 1.20.8，则a、b、c的大小关系是
【例5-3】已知，，，，则（ ）
A． B．
C． D．
【例5-4】若实数，满足，则（ ）
A． B．
C． D．
题型六、解指数函数不等式
【例6-1】若满足不等式，则函数的值域是（ ）
A． B． C． D．
【例6-2】已知函数，若，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
题型七、指数函数的值域问题
【例7-1】已知，求的最小值与最大值。
【例7-2】若关于的不等式在区间上恒成立，则的取值范围为____________
【例7-3】已知实数且,若函数值域为,则的取值范围是( )
A. B. C D.
【例7-4】函数的最小值为（ ）
A． B．1 C．2 D．
【例7-5】高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美誉，用其名字命名的“高斯函数": 设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，也称取整函数，例如: ，已知，则函数 的值域为（ ）
A． B． C． D．
【例7-6】（多选题）已知函数，则（ ）
A．函数的定义域为R B．函数的值域为
C．函数在上单调递增 D．函数在上单调递减
题型八、指数函数解答题
【例8-1】已知定义域为R函数是奇函数．
（1）求实数a，b：
（2）定义证明f（x）在(-∞，+∞)上的单调性，
（3）若不等式对有解，求t的范围．
【例8-2】已知函数在区间上的最大值为，最小值为
（1）求实数，的值
（2）若方程在上有两个不同的实数解，求的取值范围
【例8-3】双曲函数是一类与常见的三角函数类似的函数，最基本的双曲函数是双曲正弦函数和双曲余弦函数（历史上著名的“悬链线问题”与之相关）．记双曲正弦函数为，双曲余弦函数为，已知这两个最基本的双曲函数具有如下性质：
①定义域均为，且在上是增函数；
②为奇函数，为偶函数；
③（常数是自然对数的底数，）．
利用上述性质，解决以下问题：
(1)求双曲正弦函数和双曲余弦函数的解析式；
(2)证明：对任意实数，为定值；
(3)已知，记函数，的最小值为，求．
【例8-4】设函数（且）是定义域为的奇函数．
(1)求实数k的值；
(2)若，，且当时，恒成立，求实数m的取值范围．
【例8-5】已知定义在上的函数是偶函数．
(1)求a的值；
(2)判断函数在上的单调性并证明；
(3)解不等式：．
【例8-6】已知函数．
(1)若对任意的，恒成立，求实数m的取值范围；
(2)若的最大值为2，求实数m的值；
(3)若对任意的，，，均存在以，，为三边长的三角形，求实数m的取值范围．
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指数函数的图像与性质
知识归纳
1.指数函数的定义及图像
图象
性质 ①定义域，值域
②，即时，，图象都经过点
③，即时，等于底数
④在定义域上是单调减函数 在定义域上是单调增函数
⑤时，；时， 时，；时，
⑥ 既不是奇函数，也不是偶函数
(1)当底数大小不定时，必须分“”和“”两种情形讨论．
(2)当时，，；的值越小，图象越靠近轴，递减的速度越快．
当时，；的值越大，图象越靠近轴，递增速度越快．
(3)指数函数与的图象关于轴对称．
函数①；②；③；④的图象如图2-3-1所示，则；
即，(底大幂大)；时，．
图2-3-1 图2-3-2
(4)特殊函数：函数，，，的图象如图2-3-2所示．
2.指数式大小比较方法
①单调性法：化为同底数指数式，利用指数函数的单调性进行比较．
②中间量法：当指数式的底数和指数各不相同时，需要借助中间量“0”和“1”作比较．
③分类讨论法：指数式的底数不定时，需要分类讨论底数的情况，在利用指数函数的单调性进行比较．
④比较法：有作差比较与作商比较两种，其原理分别为：
1)若；若；若；
2)当两个式子均为正值的情况下，可用作商法，判断，或即可．
典例分析
题型一、指数函数的概念
【例1-1】若函数(，且)是指数函数，则______，______.
【答案】；2．
【详解】根据指数函数的定义，得解得故答案为：；2．
【例1-2】指出下列函数哪些是指数函数？
（1）；（2）；（3）；（4）；
（5）；（6）．
【答案】（1）（5）（6）
【解析】由指数函数的定义可知
题型二、指数函数的图像
【例2-1】在同一直角坐标系中，函数，且的图象可能是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】当时，为指数函数，且递减，
为幂函数，且在时递增，递增的幅度随x的增大而增加的更快，故A错误，B正确；
当时，为指数函数，且递增，
为幂函数，且在时递增，递增的幅度越往后越平缓，故C,D错误,
【例2-2】函数的部分图象大致为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：因为定义域为，又，
所以为奇函数，函数图象关于原点对称，故排除B；
当时，，，所以，所以，故排除D；
当时，因为，所以，即，故排除C；
【例2-3】下图中的函数图象所对应的解析式可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：根据图象可知，函数关于对称，且当时，，故排除B、D两项；
当时，函数图象单调递增，无限接近于0，对于C项，当时，单调递减，故排除C项.
【例2-4】函数的图象的大致形状是（ ）
A．B．C． D．
【答案】C
【分析】分和去掉绝对值化简函数解析式，即可判断函数图像.
【详解】∵，又，
∴根据指数函数图像即可判断选项C符合.
故选：C.
【例2-5】（多选题）已知函数，实数，满足，则（ ）
A． B．，，使得
C． D．
【答案】CD
【详解】画出函数的图象，如图所示．由图知，则，故A错，C对．
由基本不等式可得，所以，则，故B错，D对．
题型三、指数函数的定点
【例3-1】当且时，函数必过定点 .
【答案】
【详解】法一：必过定点，将向右平移2个单位得到，所以必过定点，将向下平移3个单位得到，所以函数必过定点
法二：令，得到，所以，所以函数必过定点
【例3-2】已知函数（且）的图象恒过定点A，若点A在一次函数的图象上，其中实数m，n满足，则的最小值为______．
【答案】4
【详解】∵函数且的图象恒过定点，可得 ，∵点在一次函数的图象上，∴，∵，所以 ，当且仅当时取得等号；
题型四、指数函数的奇偶性、单调性
【例4-1】判断函数的奇偶性
【答案】奇函数
【详解】的定义域为，因，所以为奇函数
【例4-2】已知函数，下面说法正确的有（ ）
A．的图象关于原点对称
B．的图象关于y轴对称
C．的值域为
D．，且，
【答案】AC
【详解】对于A中，由，可得函数为奇函数，函数的图象关于原点对称，故选项A正确，选项B错误；
对于C中，设，可得，所以，即，解得，
即函数的值域为，所以C正确；
对于D中，对，且，，可得函数为减函数，
而为单调递增函数，所以D错误.
故选：AC.
【例4-3】已知定义域为R的函数则关于t的不等式的解集为________.
【答案】.
【详解】函数的定义域为R.
因为，所以，所以，
即是奇函数.
因为为增函数，所以为减函数，所以在R上为减函数.
所以可化为.
所以，解得：或.
【例4-4】设函数是偶函数，则实数a的值为________．
【答案】
【详解】因为为偶函数，所以为奇函数，所以，解得
【例4-5】已知，则下列正确的是（ ）
A．奇函数，在R上为增函数 B．偶函数，在R上为增函数
C．奇函数，在R上为减函数 D．偶函数，在R上为减函数
【答案】A
【详解】因，所以为奇函数，因为增函数，为减函数，所以为增函数，所以在R上为增函数
【例4-6】函数的单调递增区间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】函数的定义域为，解得，设，此函数为减函数，，对称轴为，所以在为增函数，在为减函数，所以原函数在为减函数，在为增函数（符合函数单调性：同增异减）
【例4-7】若函数是R上的增函数，则实数a的取值范围为
A．(1，＋∞) B．(1,8) C．(4,8) D．[4,8)
【答案】D
【详解】当时，为增函数，所以，当时，为增函数，所以，解得，因为在上为增函数，所以，解得，综上可知。
【例4-8】已知函数,则使得不等式成立的实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】A
【详解】因，设，则在上为偶函数，并且为增函数，所以，因为为增函数，所以，，即，解得。
题型五、利用指数函数性质比较大小
【例5-1】判断下列各数的大小关系：
(1)1.8a与1.8a+1； (2) (3)，(2.5)0，
【详解】
（1）因为在上为增函数，且，所以
（2）因为，且在上为减函数，且，所以
（3）因为，，，所以
【例5-2】已知a= 0.80.7,b= 0.80.9,c= 1.20.8，则a、b、c的大小关系是
【答案】C
【详解】因为在上为减函数，且，所以，又因，，所以
【例5-3】已知，，，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】由题得，，，，因为函数在上单调递增，所以．又因为指数函数在上单调递增，所以．
故选:D．
【例5-4】若实数，满足，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】令，由于，均为上的增函数，所以是上的增函数．
因为，所以，即，所以，所以．
故选：C．
题型六、解指数函数不等式
【例6-1】若满足不等式，则函数的值域是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由可得，
因为在上单调递增，所以即，解得：，
所以，即函数的值域是，故选：B.
【例6-2】已知函数，若，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】因为，当时单调递减，且，当时，单调递减，且，所以函数在定义域上单调递减，因为，所以，解得，即不等式的解集为故选：A
题型七、指数函数的值域问题
【例7-1】已知，求的最小值与最大值。
【答案】
【详解】设，则原题即化为在上的最大值与最小值，对称轴，所以当，，当，。
【例7-2】若关于的不等式在区间上恒成立，则的取值范围为____________
【答案】
【详解】，设，则原题即化为在上恒成立，所以，因在上为增函数，所以，所以
【例7-3】已知实数且,若函数值域为,则的取值范围是( )
A. B. C D.
【答案】D
【详解】当时，为减函数，可得，由函数的值域为可知，当时，为增函数，即，且，解得
【例7-4】函数的最小值为（ ）
A． B．1 C．2 D．
【答案】D
【解析】令，则，
故原函数化为，
当时，可得最小值为．
故选：D．
【例7-5】高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美誉，用其名字命名的“高斯函数": 设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，也称取整函数，例如: ，已知，则函数 的值域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：因为，所以，则，所以函数的值域为，故的值域为-1或0.
【例7-6】（多选题）已知函数，则（ ）
A．函数的定义域为R B．函数的值域为
C．函数在上单调递增 D．函数在上单调递减
【答案】ABD
【分析】由函数的表达式可得函数的定义域可判断A；令，则，，结合指数函数的单调性得到函数的值域，可判断B；根据复合函数单调性的判断方法可得函数的单调性可判断C、D.
【详解】令，则．
对于A，的定义域与的定义域相同，为R，故A正确；
对于B，，的值域为，所以函数的值域为，故B正确；
对于C、D，因为在上单调递增，且，在定义域上单调递减，所以根据复合函数单调性法则，得函数在上单调递减，所以C不正确，D正确.
故选：ABD.
题型八、指数函数解答题
【例8-1】已知定义域为R函数是奇函数．
（1）求实数a，b：
（2）定义证明f（x）在(-∞，+∞)上的单调性，
（3）若不等式对有解，求t的范围．
解析：（1）因为函数是上的奇函数，所以，解得，所以，又因为奇函数，所以，即，所以，化简可得，即，所以，解得，所以
（2）由（1）知，所以在上为减函数，证明略
（3），由（2）知所以在上为减函数，所以对有解，即对有解，所以，因，所以，所以
【例8-2】已知函数在区间上的最大值为，最小值为
（1）求实数，的值
（2）若方程在上有两个不同的实数解，求的取值范围
解析：（1）设，则原题即化为，因，对称轴为，所以当，①，当，②，由①②解得，
（2）设，则原题即化为，即，由于函数在单调递减，在上单调递增，当时，，当时，，当时，，所以要使方程有两个不同的实数解，则
【例8-3】双曲函数是一类与常见的三角函数类似的函数，最基本的双曲函数是双曲正弦函数和双曲余弦函数（历史上著名的“悬链线问题”与之相关）．记双曲正弦函数为，双曲余弦函数为，已知这两个最基本的双曲函数具有如下性质：
①定义域均为，且在上是增函数；
②为奇函数，为偶函数；
③（常数是自然对数的底数，）．
利用上述性质，解决以下问题：
(1)求双曲正弦函数和双曲余弦函数的解析式；
(2)证明：对任意实数，为定值；
(3)已知，记函数，的最小值为，求．
【答案】(1)，；(2)证明见解析；(3)
(1)解：由性质③知，所以，
由性质②知，，，所以，
即，解得，.
因为函数、均为上的增函数，故函数为上的增函数，合乎题意.
(2)证明：由（1）可得：
.
(3)函数，设，
由性质①，在是增函数知，当时，，
所以原函数即，，
设，，
当时，在上单调递减，此时．
当时，函数的对称轴为，
当时，则，在上单调递减，此时，
当时，即时，在上单调递减，在上单调递增，
此时．
当时，即时，在上单调递减，此时．
综上所述，.
【例8-4】设函数（且）是定义域为的奇函数．
(1)求实数k的值；
(2)若，，且当时，恒成立，求实数m的取值范围．
【答案】(1)；(2)
【解析】(1)函数（且）是定义域为的奇函数,
则，
所以，
又时，，对任意的，都有成立，
满足题意，所以；
(2)由（1）知，，且，
所以，，
所以，或（舍），
令，则，
由当时，恒成立，得在时恒成立，
则在时恒成立，又在上单调递增，
所以，，
所以，.
【例8-5】（2022·辽宁·辽阳市第一高级中学高二期末）已知定义在上的函数是偶函数．
(1)求a的值；
(2)判断函数在上的单调性并证明；
(3)解不等式：．
【答案】(1)1；(2)单调递减，理由见解析；(3).
【解析】(1)依题意，函数，因是R上的偶函数，即，，
因此，，，
而当时，，于是得，
所以a的值是1.
(2)由（1）知，，函数在上单调递减，
，，，
因，则，，，因此，，即，
所以函数在上单调递减.
(3)依题意，，
而，，
由（2）知，，解得，
所以原不等式的解集是.
【例8-6】已知函数．
(1)若对任意的，恒成立，求实数m的取值范围；
(2)若的最大值为2，求实数m的值；
(3)若对任意的，，，均存在以，，为三边长的三角形，求实数m的取值范围．
【答案】(1)；(2)4；(3)
【解析】（1）因为对任意的，恒成立，
所以恒成立，
因为，所以，当且仅当时取等号，所以，
所以.
（2）
因为，所以,
当时：，不符合题意,
当时：，不符合题意,
当时：，即,
所以.
（3）由题意知：对任意的，，恒成立，
当时，，且，
所以；
当时：，符合题意；
当时：，且，
所以;
综上所述：实数m的取值范围为
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