人教版八年级上册11.2.1 《三角形的内角》教案
文档属性
| 名称 | 人教版八年级上册11.2.1 《三角形的内角》教案 |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 127.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-11-20 11:17:31 | ||
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文档简介
第十一章三角形
11.2与三角形有关的角
11.2.1三角形的内角
一、教学目标
1.能运用平行线的性质证明三角形的内角和定理．
2.熟练利用三角形的内角和及直角三角形两锐角互余、有两个角互余的三角形是直角三角形的结论解决问题．
二、教学重点、难点
重点：三角形的内角和定理及其运用，直角三角形两锐角的互余关系
难点：证明三角形内角和定理
三、教学用具
两个相同的三角形硬纸片、直尺、三角板
四、相关资源
《拼接法验证三角形内角和》动画、《三角形的内角和定理》微课
五、教学过程
（一）动手操作
提问：三角形的内角和是多少？
由于学生在小学学过这样的知识，所以很轻松地就可以答出．然后让学生分小组讨论：有什么办法可以验证得出这样的结论．学生会提出通过度量或剪图、拼图等实验的方法，然后让每个学生画出一个三角形，并将它的内角剪下，试着拼拼看．通过小组合作交流有几种拼合方法．最后师生总结出几种拼图方法．
设计意图：让学生从丰富的拼图活动中发展思维的灵活性、创造性，为下一环节“说理”证明作好准备，使学生体会到数学来源于实践，同时对新知识的学习有了期待．
（二）实践证明
教师设问：从刚才拼角的过程中，你能说出证明“三角形内角和等于180°”这个结论的正确方法吗？
（1）把你的想法与同伴交流．（2）各小组派代表展示说理方法．（3）请同学们归纳上述各种不同的方法．教师从中挑选几种方法进行讲解．
已知△ABC，求证：∠A＋∠B＋∠C＝180°.
证法１
过A作EF∥BC，
∴∠B＝∠2（两直线平行，内错角相等）．
∠C＝∠1（两直线平行，内错角相等）．
又∵∠2＋∠1＋∠BAC＝180°，
∴∠B＋∠C＋∠BAC＝180°．
在这里，为了证明的需要，在原来的图形上添画的线叫做辅助线．在平面几何里，辅助线通常画成虚线．
思路总结：为了证明三个角的内角和为180°，转化为一个平角或同旁内角互补，这种转化思想是数学中的常用方法．
证法2
延长BC到D，过C作CE∥BA，
∴∠A＝∠1（两直线平行，内错角相等）．
∠B＝∠2（两直线平行，同位角相等）．
又∵∠1＋∠2＋∠ACB＝180°，
∴∠A＋∠B＋∠ACB＝180°．
证法3：
过A作AE∥BC，
∴∠B＝∠BAE（两直线平行，内错角相等），
∠EAB＋∠BAC＋∠C＝180°（两直线平行，同旁内角互补）．
∴∠B＋∠C＋∠BAC＝180°．
以上我们证明了任意一个三角形的内角和都等于180°，所以得到：
三角形内角和定理: 三角形三个内角的和为180°．
设计意图：通过小组讨论，让学生各抒已见，畅所欲言，鼓励学生倾听他人的方法，从中获益，增加了学生的合作探究精神，有意识地培养学生的说理能力、逻辑推理能力，增强了语言表达能力，培养学生的一题多思、一题多解的创新精神，让学生体会数学辅助线的桥梁作用，在潜移默化中渗透了转化思想，为学好初中数学打下坚实的基础．
（三）拓展新知
1．在直角三角形ABC中，∠C＝90°，由三角形内角和定理，得，
∠A＋∠B＋∠C＝180°，
即∠A＋∠B＋90°＝180°，
所以∠A＋∠B＝90°．
也就是说，直角三角形的两个锐角互余．
直角三角形可以用符号“Rt△”表示，直角三角形ABC也可以写成Rt△ABC．
2．在三角形ABC中，∠A＋∠B＝90°，由三角形内角和定理，得，
∠A＋∠B＋∠C＝180°，
即90°＋∠C＝180°，
所以∠C＝90°．
也就是说，有两个角互余的三角形是直角三角形．
设计意图：由三角形的内角和定理推出“直角三角形的两锐角互余”和“有两个角互余的三角形是直角三角形”两个结论，巩固三角形内角和知识，培养学生思维的广阔性．
（四）例题解析
【例1】如图，在△ABC中，∠BAC＝40°，∠B＝75°，AD是△ABC的角平分线．求∠ADB的度数．
分析：要想求出∠ADB的度数，根据三角形内角和定理，只要求出∠DAB的度数即可．由于∠BAC＝40°，AD是△ABC的角平分线，所以很容易得出∠DAB＝20°．
解：∵AD平分∠CAB，∠BAC＝40°，
∴∠DAB＝∠BAC＝20°，
∵∠B＝75°，
∴∠ADB＝180°－∠DAB－∠B＝180°－20°－75°＝85°．
设计意图：运用三角形内角和定理求相关角的度数，促进学生进一步巩固定理内容．
【例2】如图，是A，B，C三岛的平面图，C岛在A岛的北偏东50°方向，B岛在A岛的北偏东80°方向，C岛在B岛的北偏西40°方向，从B岛看A，C两岛的视角∠ABC是多少度？从C岛看A，B两岛的视角∠ACB是多少度？
分析：怎样求出∠ACB的度数？根据三角形内角和定理，只需求出∠CAB和∠ABC的度数即可．∠CAB等于多少度？怎样求∠ABC的度数？
解：∠CAB＝∠BAD－∠CAD＝80°－50°＝30°．
∵AD∥BE，
∴∠BAD＋∠ABE＝180°．
∴∠ABE＝180°－∠BAD＝180°－80°＝100°．
∴∠ABC＝∠ABE－∠EBC＝100°－40°＝60°．
∴∠ACB＝180°－∠ABC－∠CAB＝180°－60°－30°＝90°．
答：从B岛看A，C两岛的视角∠ABC是60°，从C岛看AB两岛的视角∠ACB＝90°．
教师鼓励学生尝试用其他的方法求∠ACB的度数．
如：过点C作CF∥AD，
∴∠1＝∠DAC＝50°，
∵CF∥AD，AD∥BE，
∴CF∥BE．
∴∠2＝∠CBE＝40°
∴∠ACB＝∠1＋∠2＝50°＋40°＝90°．
设计意图：让学生体会分析问题的基本方法，渗透数形结合思想，使学生巩固概念加深认识，初步具备解决相关问题的能力，然后让小组交流不同的解法，培养学生思维广阔的空间．
（五）课堂练习
1．已知三角形三个内角的度数之比为1∶3∶5，求这三个内角的度数．
解：设三个内角度数分别为：x，3x，5x．
列出方程，得x＋3x＋5x＝180°．
解得：x＝20°
答：三个内角度数分别为20°，60°，100°
设计意图：考查学生对三角形内角和定理的理解．
2．如图，从A处观测C处时仰角∠CAD＝30°，从B处观测C处时仰角∠CBD＝45°．从C处观测A，B两处时视角∠ACB是多少度？
解：在Rt△ACD中，∠CAD＝30°，∠D＝90°，
∴∠ACD＝90°－30°＝60°．
在Rt△BCD中，∠CBD＝45°，∠D＝90°，
∴∠BCD＝90°－45°＝45°．
∴∠ACB＝∠ACD－∠BCD＝60°－45°＝15°．
答：从C处观测A，B两处时视角∠ACB是15°．
六、课堂小结
1．三角形的内角和定理：三角形的三个内角之和为180°
2．由三角形内角和等于180°，可得出
（1）直角三角形两锐角互余；
（2）一个三角形最多有一个直角或钝角；
（3）任意一个三角形中，最多有三个锐角，最少有两个锐角；
（4）一个三角形中至少有一个角小于或等于60°．
3．证明三角形内角和定理时添加辅助线进行转化．
设计意图：通过小结，使学生梳理本节所学内容，充分发挥学生的主体意识，培养学生的语言概括能力．
七、板书设计
11.2.1 三角形的内角
三角形的内角和定理：三角形的内角和等于180°
三角形内角和定理得到的两个结论：直角三角形的两个锐角互余
有两个锐角互余的三角形是直角三角形
11.2与三角形有关的角
11.2.1三角形的内角
一、教学目标
1.能运用平行线的性质证明三角形的内角和定理．
2.熟练利用三角形的内角和及直角三角形两锐角互余、有两个角互余的三角形是直角三角形的结论解决问题．
二、教学重点、难点
重点：三角形的内角和定理及其运用，直角三角形两锐角的互余关系
难点：证明三角形内角和定理
三、教学用具
两个相同的三角形硬纸片、直尺、三角板
四、相关资源
《拼接法验证三角形内角和》动画、《三角形的内角和定理》微课
五、教学过程
（一）动手操作
提问：三角形的内角和是多少？
由于学生在小学学过这样的知识，所以很轻松地就可以答出．然后让学生分小组讨论：有什么办法可以验证得出这样的结论．学生会提出通过度量或剪图、拼图等实验的方法，然后让每个学生画出一个三角形，并将它的内角剪下，试着拼拼看．通过小组合作交流有几种拼合方法．最后师生总结出几种拼图方法．
设计意图：让学生从丰富的拼图活动中发展思维的灵活性、创造性，为下一环节“说理”证明作好准备，使学生体会到数学来源于实践，同时对新知识的学习有了期待．
（二）实践证明
教师设问：从刚才拼角的过程中，你能说出证明“三角形内角和等于180°”这个结论的正确方法吗？
（1）把你的想法与同伴交流．（2）各小组派代表展示说理方法．（3）请同学们归纳上述各种不同的方法．教师从中挑选几种方法进行讲解．
已知△ABC，求证：∠A＋∠B＋∠C＝180°.
证法１
过A作EF∥BC，
∴∠B＝∠2（两直线平行，内错角相等）．
∠C＝∠1（两直线平行，内错角相等）．
又∵∠2＋∠1＋∠BAC＝180°，
∴∠B＋∠C＋∠BAC＝180°．
在这里，为了证明的需要，在原来的图形上添画的线叫做辅助线．在平面几何里，辅助线通常画成虚线．
思路总结：为了证明三个角的内角和为180°，转化为一个平角或同旁内角互补，这种转化思想是数学中的常用方法．
证法2
延长BC到D，过C作CE∥BA，
∴∠A＝∠1（两直线平行，内错角相等）．
∠B＝∠2（两直线平行，同位角相等）．
又∵∠1＋∠2＋∠ACB＝180°，
∴∠A＋∠B＋∠ACB＝180°．
证法3：
过A作AE∥BC，
∴∠B＝∠BAE（两直线平行，内错角相等），
∠EAB＋∠BAC＋∠C＝180°（两直线平行，同旁内角互补）．
∴∠B＋∠C＋∠BAC＝180°．
以上我们证明了任意一个三角形的内角和都等于180°，所以得到：
三角形内角和定理: 三角形三个内角的和为180°．
设计意图：通过小组讨论，让学生各抒已见，畅所欲言，鼓励学生倾听他人的方法，从中获益，增加了学生的合作探究精神，有意识地培养学生的说理能力、逻辑推理能力，增强了语言表达能力，培养学生的一题多思、一题多解的创新精神，让学生体会数学辅助线的桥梁作用，在潜移默化中渗透了转化思想，为学好初中数学打下坚实的基础．
（三）拓展新知
1．在直角三角形ABC中，∠C＝90°，由三角形内角和定理，得，
∠A＋∠B＋∠C＝180°，
即∠A＋∠B＋90°＝180°，
所以∠A＋∠B＝90°．
也就是说，直角三角形的两个锐角互余．
直角三角形可以用符号“Rt△”表示，直角三角形ABC也可以写成Rt△ABC．
2．在三角形ABC中，∠A＋∠B＝90°，由三角形内角和定理，得，
∠A＋∠B＋∠C＝180°，
即90°＋∠C＝180°，
所以∠C＝90°．
也就是说，有两个角互余的三角形是直角三角形．
设计意图：由三角形的内角和定理推出“直角三角形的两锐角互余”和“有两个角互余的三角形是直角三角形”两个结论，巩固三角形内角和知识，培养学生思维的广阔性．
（四）例题解析
【例1】如图，在△ABC中，∠BAC＝40°，∠B＝75°，AD是△ABC的角平分线．求∠ADB的度数．
分析：要想求出∠ADB的度数，根据三角形内角和定理，只要求出∠DAB的度数即可．由于∠BAC＝40°，AD是△ABC的角平分线，所以很容易得出∠DAB＝20°．
解：∵AD平分∠CAB，∠BAC＝40°，
∴∠DAB＝∠BAC＝20°，
∵∠B＝75°，
∴∠ADB＝180°－∠DAB－∠B＝180°－20°－75°＝85°．
设计意图：运用三角形内角和定理求相关角的度数，促进学生进一步巩固定理内容．
【例2】如图，是A，B，C三岛的平面图，C岛在A岛的北偏东50°方向，B岛在A岛的北偏东80°方向，C岛在B岛的北偏西40°方向，从B岛看A，C两岛的视角∠ABC是多少度？从C岛看A，B两岛的视角∠ACB是多少度？
分析：怎样求出∠ACB的度数？根据三角形内角和定理，只需求出∠CAB和∠ABC的度数即可．∠CAB等于多少度？怎样求∠ABC的度数？
解：∠CAB＝∠BAD－∠CAD＝80°－50°＝30°．
∵AD∥BE，
∴∠BAD＋∠ABE＝180°．
∴∠ABE＝180°－∠BAD＝180°－80°＝100°．
∴∠ABC＝∠ABE－∠EBC＝100°－40°＝60°．
∴∠ACB＝180°－∠ABC－∠CAB＝180°－60°－30°＝90°．
答：从B岛看A，C两岛的视角∠ABC是60°，从C岛看AB两岛的视角∠ACB＝90°．
教师鼓励学生尝试用其他的方法求∠ACB的度数．
如：过点C作CF∥AD，
∴∠1＝∠DAC＝50°，
∵CF∥AD，AD∥BE，
∴CF∥BE．
∴∠2＝∠CBE＝40°
∴∠ACB＝∠1＋∠2＝50°＋40°＝90°．
设计意图：让学生体会分析问题的基本方法，渗透数形结合思想，使学生巩固概念加深认识，初步具备解决相关问题的能力，然后让小组交流不同的解法，培养学生思维广阔的空间．
（五）课堂练习
1．已知三角形三个内角的度数之比为1∶3∶5，求这三个内角的度数．
解：设三个内角度数分别为：x，3x，5x．
列出方程，得x＋3x＋5x＝180°．
解得：x＝20°
答：三个内角度数分别为20°，60°，100°
设计意图：考查学生对三角形内角和定理的理解．
2．如图，从A处观测C处时仰角∠CAD＝30°，从B处观测C处时仰角∠CBD＝45°．从C处观测A，B两处时视角∠ACB是多少度？
解：在Rt△ACD中，∠CAD＝30°，∠D＝90°，
∴∠ACD＝90°－30°＝60°．
在Rt△BCD中，∠CBD＝45°，∠D＝90°，
∴∠BCD＝90°－45°＝45°．
∴∠ACB＝∠ACD－∠BCD＝60°－45°＝15°．
答：从C处观测A，B两处时视角∠ACB是15°．
六、课堂小结
1．三角形的内角和定理：三角形的三个内角之和为180°
2．由三角形内角和等于180°，可得出
（1）直角三角形两锐角互余；
（2）一个三角形最多有一个直角或钝角；
（3）任意一个三角形中，最多有三个锐角，最少有两个锐角；
（4）一个三角形中至少有一个角小于或等于60°．
3．证明三角形内角和定理时添加辅助线进行转化．
设计意图：通过小结，使学生梳理本节所学内容，充分发挥学生的主体意识，培养学生的语言概括能力．
七、板书设计
11.2.1 三角形的内角
三角形的内角和定理：三角形的内角和等于180°
三角形内角和定理得到的两个结论：直角三角形的两个锐角互余
有两个锐角互余的三角形是直角三角形