陕西省汉中市城固县2023-2024学年高二上学期期中考试数学试题（含答案）

城固县2023-2024学年高二上学期期中考试
数学
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．
1. 圆心坐标为，半径长为2的圆的标准方程是（ ）
A. B.
C. D.
2．已知直线：，：，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．直线过圆的圆心，并且与直线垂直，则直线的方程为（ ）
A． B． C． D．
4．已知点分别是椭圆的左、右焦点，点在此椭圆上，则的周长等于（ ）
A．20 B．16 C．18 D．14
5．已知双曲线的中心在坐标原点，一个焦点在抛物线的准线上，且双曲线的离心率等于，则双曲线的标准方程为（ ）
A． B． C． D．
6．直线与圆的位置关系是（ ）
A．相交 B．相离 C．相切 D．无法确定
7．如图所示，空间四边形OABC中，，，，点M在OA上，且，M为OA中点，N为BC中点，则等于（ ）
A． B．
C． D．
8．已知,分别为双曲线的左,右焦点，双曲线上的点
满足，且的中点在轴上，则双曲线的离心率为( )
A． B． C． D．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．已知直线l的倾斜角等于120°，且l经过点，则下列结论中正确的是（ ）
A．l的一个方向向量为 B．l在x轴上的截距等于
C．l与直线垂直 D．点到直线l上的点的最短距离是1
10. 若椭圆上的一个焦点坐标为，则下列结论中正确的是（ ）
A. B. 的长轴长为
C. 的长轴长为4 D. 的离心率为
11．下列关于抛物线的说法正确的是（ ）
A．焦点在x轴上
B．焦点到准线的距离等于10
C．抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于
D．由原点向过焦点的某直线作垂线，垂足坐标可能为
12．点在圆：上，点在圆：上，则（ ）
A．的最小值为 B．的最大值为
C．两个圆心所在的直线斜率为 D．两个圆公共弦所在直线的方程为
第Ⅱ卷
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．两平行直线，之间的距离为 ．
15．设双曲线的一条渐近线为，则的离心率为 ．
16．19世纪法国著名数学家加斯帕尔 蒙日，创立了画法几何学，推动了空间几何学的独立发展，提出了著名的蒙日圆定理：椭圆的两条切线互相垂直，则切线的交点位于一个与椭圆同心的圆上，称为蒙日圆，椭圆的蒙日圆方程为.若圆（b>0）与椭圆的蒙日圆有且仅有一个公共点，则b的值为 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17.（10分） 设直线的方程为.
(1)已知直线在x轴上的截距为，求的值；
(2)已知直线的斜率为1，求的值．
18．（12分）已知在中，, ,
（1）求边的垂直平分线的方程；
（2）求的外接圆的方程．
19．（12分）已知圆C的圆心为原点，且与直线相切，直线过点．
(1)求圆C的标准方程；
(2)若直线与圆C相切，求直线的方程．
(3)若直线被圆C所截得的弦长为，求直线的方程．
20. （12分）已知点，，动点满足．
（Ⅰ）求动点的轨迹方程；
（Ⅱ）直线与点的轨迹交于两点，若弦的中点坐标为，求直线的方程．
21.(12分）已知抛物线的焦点为.
(1)求的值；
(2)过点的直线与抛物线交于，两个不同点，若的中点为，求的面积.
（12分）已知椭圆经过点和．
（1）求椭圆的方程；
（2）经过点的直线与相交于,两点（不经过点），设直线的斜率分别为，试问是否为定值？若是，求出该定值；否则，请说明理由。
城固县2023-2024学年高二上学期期中考试
参考答案
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．
1 2 3 4 5 6 7 8
C C D C B A A B
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．ACD 10．AB 11．ACD 12．AC
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13． 14．2 15．或 16．4
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17、10分
【详解】（1）令得，，由题意得，解得------------------------------5分
因为直线的斜率存在，所以直线的方程可化为由题意得，解得---------------------------------------------------------------------------------------10分
18
(
5
) (
10
)
19.（12分）
【解析】（1）圆心到直线的距离，……………………1分
所以圆的半径为，……………………………………………1分
所以；…………………………………………………1分
（2）当直线斜率不存在时，圆心到直线的距离为，不相切．………………………1分
直线斜率存在，设直线，……………………………………………1分
由，得,所以切线方程为，或．…………………2分
（3）当直线斜率不存在时，，直线被圆所截得的弦长为，符合题意；……………1分
当直线斜率存在时，设直线，………………………………………………………1分
由，解得：，……………………………………………………………1分
故的方程是，即，………………………………………………1分
综上所述，直线的方程为或………………………………………………1分
20、（12分）
21、(1)2；
(2).
【分析】（1）解，即可得出答案；
（2）点差法求出直线的斜率，得到直线的方程，根据抛物线的定义求出，根据点到直线的距离公式求出点到直线的距离，即可求出面积.
【详解】（1）由已知可得，，所以.……………………………………………4分
（2）由（1）知，抛物线的方程为.……………………………………………1分
设，，则有，，显然，
两式作差可得，，即.
因为的中点为，所以，则，
即，所以直线斜率为，此时直线方程为，即.
联立与抛物线的方程可得，，………………………………………2分
，直线与抛物线有两个交点，满足.
所以，直线方程为.
又，根据抛物线的定义可知.………………………………2分
点到直线的距离，……………………………………………2分
所以的面积.……………………………………………1分