辽宁省抚顺市六校协作体2023-2024学年高三上学期期中考试数学试题（含解析）

抚顺市六校协作体2023-2024学年高三上学期期中考试
数学试卷
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4.本试卷主要考试内容：集合与常用逻辑用语，函数与导数，不等式，三角函数与解三角形，平面向量，复数，数列。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合，，且，则
A. B.1 C. D.3
2.命题“，”的否定为
A.， B.，
C.， D.，
3.已知平面向量，，若，则
A. B. C. D.5
4.已知数列的前项和，则
A.5 B.6 C.7 D.8
5.函数在区间上的图象大致为
A. B. C. D.
6.若：，：，则是的
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
7.当强度为的声音对应的等级为分贝时，有（其中为常数），某挖掘机的声音约为90分贝，普通室内谈话的声音约为50分贝，则该挖掘机的声音强度与普通室内谈话的声音强度的比值为
A. B. C. D.
8.已知函数，，，则实数的取值范围是
A. B. C. D.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.已知，则下列说法正确的是
A.在复平面内对应的点的坐标为
B.
C.在复平面内对应的点与点关于原点对称
D.
10.如图，这是函数的部分图象，则
A. B.
C. D.
11.已知，，且，则
A. B.
C. D.
12.意大利数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现了这样一个数列：1，1，2，3，5，8，….这个数列的前两项均是1，从第三项开始，每一项都等于前两项之和.人们把这样的一列数组成的数列称为斐波那契数列.现将数列中的各项除以3所得余数按原顺序构成的数列记为，则下列说法正确的是
A. B.
C. D.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.
13.已知向量，的夹角为，且，，则______.
14.若，则______.
15.已知正项等比数列的前和为，若，且，则满足的的最大值为______.
16.已知函数的定义域为，且满足，，，则______.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.（10分）
已知函数.
（1）若，，求的取值集合；
（2）若，求在区间上的值域.
18.（12分）
设函数.
（1）求在上的最大值；
（2）设函数，关于的方程有3个不同的根，求的取值范围.
19.（12分）
记的内角的，，的对边分别为，，，已知.
（1）求；
（2）若，，求的面积.
20.（12分）
已知数列的前项和为，且，数列为等差数列，，.
（1）求，的通项公式；
（2）求数列的前项和.
21.（12分）
近期随着某种国产中高端品牌手机的上市，我国的芯片技术迎来了重大突破.某企业原有1000名技术人员，年人均投入万元，现为加强技术研发，该企业把原有技术人员分成技术人员和研发人员，其中技术人员名（且），调整后研发人员的年人均投入增加，技术人员的年人均投入调整为万元.
（1）若要使调整后研发人员的年总投入不低于调整前1000名技术人员的年总投入，则调整后的研发人员的人数最少为多少？
（2）为了激发研发人员的工作热情和保持技术人员的工作积极性，企业决定在投入方面要同时满足以下两个条件：①研发人员的年总投入始终不低于技术人员的年总投入；②技术人员的年人均投入始终不减少.请问是否存在这样的实数，满足以上两个条件？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由.
22.（12分）
已知函数.
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）当时，若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围.
高三数学试卷参考答案
1.D【解析】本题考查集合间的基本关系，考查数学运算的核心素养.
若，则，此时，不满足互异性；若，则解得或，显然，符合题意，而当时，，不满足互异性.
2.B【解析】本题考查常用逻辑用语，考查逻辑推理的核心素养.
全称量词命题的否定为存在量词命题，故原命题的否定为，.
3.A【解析】本题考查平面向量的垂直，考查数学运算的核心素养.
因为，所以，解得.
4.B【解析】本题考查数列求和，考查数学运算的核心素养.
因为，所以.
5.C【解析】本题考查函数的图象与性质，考查直观想象与逻辑推理的核心素养.
因为，所以为奇函数，A，B错误.又当时，，所以，，从而，C正确，D错误.
6.B【解析】本题考查常用逻辑用语，考查逻辑推理的核心素养.
由，得，由，得，所以是的必要不充分条件.
7.B【解析】本题考查函数的应用，考查数学建模的核心素养.
设该挖掘机的声音强度为，普通室内谈话的声音强度为，由题意知化简得所以.
8.C【解析】本题考查导数在研究函数中的应用，考查逻辑推理的核心素养.
，等价于.记，即在上恒成立..
当，即时，，在上单调递减，所以当时，，即恒成立；
当时，记，则，存在，使得，当时，，单调递增，所以，即，所以当时，，即，不符合题意；
当时，，不符合题意.
综上，的取值范围是.
9.BCD【解析】本题考查复数的运算与几何意义，考查数学运算的核心素养.
由题可得，即在复平面内对应的点的坐标为，与点关于原点对称，A错误，C正确；，B正确；，D正确.
10.BC【解析】本题考查三角函数的图象与性质，考查直观想象与数学运算的核心素养.
因为所以又，所以，则，故.将点的坐标代入，得，则，B正确；若，则，A错误；而，C正确；若，则，D错误.
11.ABC【解析】本题考查不等式，考查数学运算与逻辑推理的核心素养.
因为，所以，当且仅当时，等号成立，A正确；易知，即，所以，，故，B正确；
因为，，所以，，因为，所以，当且仅当，时，等号成立，C正确；，D错误.
12.ACD【解析】本题考查数学文化与数列的求和，考查数学抽象与数学运算的核心素养.
对于A，因为，所以，，，…，，上式两边分别相加得，又，所以，A正确.
对于B，因为，所以，所以，，，…，，上式两边分别相加得，所以，B错误.
对于C，由题意知，，，，，，，，，，…，
所以数列是最小正周期为8的数列，故，C正确.
对于D，，D正确.
13.3【解析】本题考查平面向量的夹角与模，考查数学运算的核心素养.
因为，所以.
14.【解析】本题考查三角恒等变换，考查数学运算的核心素养.
因为，所以.
15.5【解析】本题考查等比数列的性质与求和，考查数学运算的核心素养.
设公比为，因为，所以，解得.又由，即，解得，所以.由，得，因为，，所以的最大值为5.
16.2024【解析】本题考查抽象函数，考查数学抽象与逻辑推理的核心素养.
由可知的图象关于直线对称，从而.又，令，得，则.由，得，可推出，故的最小正周期为8，则，.因为，所以.
17.解：
.
（1）因为，，所以直线为曲线的一条对称轴，
所以，
解得，
又，所以，，的取值集合为.
（2）当时，.
因为，所以，
所以，
所以，即在区间上的值域为
评分细则：
【1】第一问中，的取值集合写成或，扣1分，即累计得5分.
【2】第二问，求出，累计得9分，最后求出正确答案，累计得10分.
18.解：（1）因为，所以.
令，解得，令，解得或，
所以在上单调递增，在上单调递减.
所以在上的最大值为.
（2），它的定义域是，且，
当时，，
当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.
因为方程有3个不同的根，，，
所以，解得，即的取值范围为.
评分细则：
【1】第一问，写出，得2分，正确写出单调区间，累计得4分，第一问都正确，累计得5分.
【2】第二问，写出，累计得7分，正确写出单调区间，累计得9分，正确计算出两个极值，累计得10分，直至求出正确答案，累计得12分.
【3】采用其他方法，参照本评分标准依步骤给分.
19.解：（1）因为，所以，
整理得，
所以，
又因为，所以.
（2）因为，，，
所以，即，
解得.
所以的面积.
评分细则：
第一问另解：
因为，所以.
由正弦定理得，
整理得.
因为，所以.
又因为，所以.
20.解：（1）当时，，解得.
当时，，
两式相减得，即，
所以是以2为首项，2为公比的等比数列，故.
设等差数列的公差为，由，可得，
又，所以，解得，故.
（2）令，则由（1）可知，
则，①
，②
①②，得，
所以.
评分细则：
【1】第一问，写出，得1分，写出，累计得4分，写出，累计得5分，求出，累计得6分.
【2】第二问，求出，累计得7分，求出，累计得11分，直到给出正确结论得12分.
21.解：（1）依题意可得调整后研发人员的年人均投入为万元，
则.
因为，所以，解得，
因为且，所以，
故，
即要使这名研发人员的年总投入不低于调整前1000名技术人员的年总投入，则调整后的研发人员的人数最少为500.
（2）由条件①研发人员的年总投入始终不低于技术人员的年总投入，得
上式两边同除以，得，整理得
由条件②技术人员年人均投入不减少，得，解得
假设存在这样的实数，使得技术人员在已知范围内调整后，满足以上两个条件，
即恒成立
设，易知在上单调递减，
因为且，所以在上单调递减，
则，
当时，等号成立，所以.
又因为，当时，，
所以
所以，即存在这样的满足条件，的取值范围为
评分细则：
【1】第一问，写出调整后研发人员的年人均投入为万元，得1分，写出，累计得3分，写出调整后的研发人员的人数最少为500，累计得5分.
【2】第二问，求出，累计得6分，求出，累计得8分，写出恒成立，累计得9分，直到给出正确结论得12分.
22.解：（1）当时，，所以，
，，所以切线方程为，
即.
（2）的定义域为，，即.
设，则.
因为，所以在上为增函数，当时，，当时，，所以存在唯一的，使，
且当时，，当时，.
由，得，则.
所以.
因为，所以.
设，易知它在上为减函数，
注意到，所以.
又，设，
则，
可知在上单调递增，则，
即实数的取值范围是.
评分细则：
【1】第一问，写出，得2分，正确求出曲线的切线方程，累计得4分.
【2】第二问，写出，累计得6分，推导出，累计得8分，推出，累计得9分.证出，累计得11分，求出实数的取值范围是，累计得12分.
【3】采用其他方法，参照本评分标准依步骤给分.