安徽省A10联盟2023-2024学年高二上学期11月期中考试数学试题（含解析）
文档属性
| 名称 | 安徽省A10联盟2023-2024学年高二上学期11月期中考试数学试题（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 1.1MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 北师大版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-11-20 16:18:24 | ||
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文档简介
安徽省A10联盟2023-2024学年高二上学期11月期中考试
数学（人教A版）试题
本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分.满分150分，考试时间120分钟.请在答题卷上作答.
一 选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1.已知直线的方程为，则直线的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
2.若双曲线的焦点与椭圆的焦点重合，则的值为（ ）
A.2 B.3 C.6 D.7
3.以两点为直径的两个端点的圆的方程为（ ）
A. B.
C. D.
4.堑堵指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱.如图，在堑堵中，，若，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
5.已知椭圆的左 右焦点分别为两点都在上，且关于坐标原点对称，下列说法错误的是（ ）
A.的最大值为10 B.为定值
C.的焦距是短轴长的 D.存在点，使得
6.已知在中，顶点，点在直线上，点在轴上，则的周长的最小值为（ ）
A. B. C. D.
7.《九章算术》是我国古代的数学名著，书中将底面为矩形，且有一条侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马.如图，在阳马中，平面，底面是正方形，与交于点分别为的中点，点满足，若平面，则（ ）
A. B. C. D.
8.已知底边长为2的等腰直角三角形是平面内一点，且满足，则面积的最大值是（ ）
A. B. C. D.
二 多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）
9.直线的方向向量为，平面的法向量分别为，则下列命题为真命题的是（ ）
A.若，则
B.若，则
C.若，则直线与平面所成角的大小为
D.若，则平面的夹角大小为
10.若方程所表示的曲线为，则（ ）
A.曲线可能是圆
B.若，则为椭圆
C.若为椭圆，且焦点在轴上，则
D.若为双曲线，且焦点在轴上，则
11.下列有关直线与圆的结论正确的是（ ）
A.过点且在轴上的截距相等的直线方程为
B.若直线和以为端点的线段相交，则实数的取值范围为
C.若点是圆外一点，直线的方程是，则直线与圆相离
D.若圆上恰有3个点到直线的距离等于1，则实数
12.已知为坐标原点，分别为双曲线的左 右焦点，的一条渐近线的方程为，且到的距离为为在第一象限上的一点，点的坐标为为的平分线，则（ ）
A.双曲线的方程为
B.双曲线的离心率为2
C.
D.点到轴的距离为
第II卷（非选择题共90分）
三 填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分.）
13.已知圆，过点的直线被圆截得弦长最短时，直线的方程为__________.
14.在长方体中，底面是边长为1的正方形，为的中点，为上靠近点的三等分点，则点到平面的距离为__________.
15.已知双曲线的离心率是分别为双曲线的左 右焦点，过点且垂直于轴的垂线在轴上方交双曲线于点，则的值为__________.
16.过直线上任意点作圆的两条切线，切点分别为，直线过定点__________；记线段的中点为，则点到直线的距离的最小值为__________.
四 解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.）
17.（本小题满分10分）
已知的三个顶点分别是.
（1）求边的高所在的直线方程；
（2）求平分的面积且过点的直线的方程.
18.（本小题满分12分）
已知双曲线的一条渐近线与直线垂直，且右顶点到该条渐近线的距离为.
（1）求双曲线的方程；
（2）若直线与双曲线交于两点，线段的中点为，求直线的斜率.
19.（本小题满分12分）
已知点，圆的圆心在直线上，且圆与轴切于点.
（1）求圆的方程；
（2）若直线过点且被圆截得的弦长为，求直线的方程.
20.（本小题满分12分）
一动圆与圆外切，同时与圆内切，动圆圆心的轨迹为曲线.
（1）求曲线的方程；
（2）点为上一动点，点为坐标原点，曲线的右焦点为，求的最小值.
21.（本小题满分12分）
如图，在三棱锥中，是边长为2的等边三角形，平面分别是的中点.
（1）求证：平面；
（2）若，求平面与平面夹角的余弦值.
22.（本小题满分12分）
已知椭圆的左 右焦点分别为，该椭圆的离心率为，且椭圆上动点与点的最大距离为3.
（1）求椭圆的方程；
（2）如图，若直线与轴 椭圆顺次交于（点在椭圆左顶点的左侧），且，求面积的最大值.
安徽省A10联盟2023-2024学年高二上学期11月期中考试
数学（人教A版）参考答案
一 选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C B D A D B B A
1.C 因为直线的方程为，即，所以直线的斜率为，所以直线的倾斜角为，故选C.
2.B 因为椭圆的焦点为，所以双曲线的焦点为，故，解得.故选B.
3.D 由题意得，圆心坐标为中点，即，半径为，所以圆的方程为.故选D.
4.A 由题意得，平面以为坐标原点，分别为轴，建立空间直角坐标系如图所示，则，，所以.设异面直线与所成的角为，则.故选A.
5.D 由题意得，，所以，而，
，故选项A，C正确；由椭圆的对称性知，，故选项B正确；当在轴上时，，则最大角为锐角，所以不存在点，使得，故选项D错误.故选D.
6.B 设点关于直线的对称点为，点关于轴的对称点为，连接交于，交轴于，则此时的周长取最小值，且最小值为与关于直线对称，，解得，易求得，，即周长的最小值为.故选.
7.B 因为平面平面，所以，又底面是正方形，所以，则两两垂直，以点为坐标原点，的方向分别
为轴的正方向建立空间直角坐标系，则，
，所以.设平面
的法向量为，则，
令，得.设，因为
平面，所以，即，解得
，故，所以.故选B.
8.A 以的中点为原点，以所在直线为轴，的垂直平分线为轴，建立直角坐标系，则.设，因为，
所以，得，所以点的轨迹为以为圆心，以为半径的圆.当点与直线距离最大时，面积最大，直线的方程为，，点到直线的最大距离为，所以面积的最大值为.故选A.
二 多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）
题号 9 10 11 12
答案 ABD AC BD ABD
9.ABD 若，则，故A正确；若，则，故B正确；因为直线与平面所成角的范围为，若，则与的夹角为，所以直线与平面所成角的大小为，故C错误；因为两平面夹角的范围为，若，则平面的夹角大小为，故D正确.故选ABD.
10.AC 当，即时，方程为，表示圆心为原点，半径为的圆，故选项正确，选项错误；若为椭圆，且焦点在轴上，则，解得，故选项正确；若为双曲线，且焦点在轴上，方程即，则，解得，故选项D错误.故选AC.
11.BD 过点且在轴截距相等的直线方程为或，故错误；已知直线过定点，且，则，故B正确；因为点
是圆外一点，所以，所以圆心到直线的距离，所以直线与圆相交，故C错误；由圆的方程，得圆心为，半径为2，若圆上恰有3个点到直线的距离等于1，则圆心到直线的距离等于1，则，解得，故D正确.故选BD.
12.ABD 由到渐近线的距离为，得，解得，由渐近线方程为，得，结合可得，则双曲线的方程为，故A正确；离心率，故B正确；因为为的平分线，所以，故C错误；由双曲线定义可得，又，所以，在中，，所以.设点到轴的距离为，则，即，解得，故D正确.故选ABD.
三 填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分.）
13.（填也给分）
过点且弦长最短的弦应是垂直于直线的弦.又直线的斜率为1，所以所求直线的斜率为-1，故所求直线的方程为，即.
14.
以为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，则，
，
.设平面的法向量为
，则，令，则，
点到平面的距离.
15.
由题意得，，点的横坐标为，将代入双曲线的方程，得，所以，又，所以，所以.
16.（2分）（3分
设，因为是直线上一点，所以，以为直径的圆的方程为，即，所以，即直线的方程为，又直线的方程为，故直线过定点.
设，直线过定点为，则，由，得，整理得点的轨迹方程为，则点到直线的距离的最小值为.
四 解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.）
17.（本小题满分10分）
（1）由题意得，，
则边的高所在的直线方程为，
即，亦即.
（2）设线段的中点为，
则，
所以直线的方程为，即.
18.（本小题满分12分）
（1）因为双曲线的一条渐近线与直线垂直，且双曲线的渐近线为，所以该条渐近线为.
因为右顶点到该条渐近线的距离为，所以，
解得，所以，所以双曲线的方程为.
（2）设，则，
所以，
化简得.
因为线段的中点为，所以，
所以，解得，即直线的斜率为6.
（注：直接用公式计算，且计算正确也给分）
19.（本小题满分12分）
（1）设圆心坐标为，
圆的圆心在直线上，且圆与轴切于点，
，
解得，半径，
圆的方程为.
（2）由题意得，圆心到直线的距离为.
若直线的斜率存在，设直线的方程为，
则，
解得或.
当直线的斜率不存在，的方程为，
此时圆心到直线的距离为2，不满足题意，舍去.
综上，直线的方程为或.
20.（本小题满分12分）
（1）设动圆圆心为，半径为，
将圆的方程分别配方得：圆，圆，
当动圆与圆外切时，，
当动圆与圆内切时，，
所以，
所以点的轨迹是焦点为，且长轴长等于12的椭圆.
设该椭圆的长轴为，短轴为，焦距为，
所以，所以，所以，
所以动圆圆心轨迹方程为.
（2）由（1）得，，设，
所以.
因为点在椭圆上，所以，
所以，
所以当时，，
故的最小值为45.
21.（本小题满分12分）
（1）连接交于点，连接.
因为分别为的中点，
所以为的重心，所以.
因为为的中点，为的中点，所以，
所以，所以.
又因为平面平面，所以平面.
（2）如图所示，以为坐标原点，分别以为轴 轴的正方向建立空间直角坐标系，
则，
所以.
设平面的法向量为，则，
即，取.
设平面的法向量为，则，
即，取.
设平面与平面夹角为，则，
所以平面与平面夹角的余弦值为.
22.（本小题满分12分）
（1）椭圆的离心率为，即.
椭圆上动点与点的最大距离为，
椭圆的方程为.
（2）设，由（1）知，，
，
，化简整理，得.
设直线的方程为，
联立，得，
.
，
，
，
直线的方程为.
点到直线的距离，
.
，即.
令，则，
，
当且仅当时，等号成立，此时，直线存在.
综上，面积的最大值为.
数学（人教A版）试题
本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分.满分150分，考试时间120分钟.请在答题卷上作答.
一 选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1.已知直线的方程为，则直线的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
2.若双曲线的焦点与椭圆的焦点重合，则的值为（ ）
A.2 B.3 C.6 D.7
3.以两点为直径的两个端点的圆的方程为（ ）
A. B.
C. D.
4.堑堵指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱.如图，在堑堵中，，若，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
5.已知椭圆的左 右焦点分别为两点都在上，且关于坐标原点对称，下列说法错误的是（ ）
A.的最大值为10 B.为定值
C.的焦距是短轴长的 D.存在点，使得
6.已知在中，顶点，点在直线上，点在轴上，则的周长的最小值为（ ）
A. B. C. D.
7.《九章算术》是我国古代的数学名著，书中将底面为矩形，且有一条侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马.如图，在阳马中，平面，底面是正方形，与交于点分别为的中点，点满足，若平面，则（ ）
A. B. C. D.
8.已知底边长为2的等腰直角三角形是平面内一点，且满足，则面积的最大值是（ ）
A. B. C. D.
二 多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）
9.直线的方向向量为，平面的法向量分别为，则下列命题为真命题的是（ ）
A.若，则
B.若，则
C.若，则直线与平面所成角的大小为
D.若，则平面的夹角大小为
10.若方程所表示的曲线为，则（ ）
A.曲线可能是圆
B.若，则为椭圆
C.若为椭圆，且焦点在轴上，则
D.若为双曲线，且焦点在轴上，则
11.下列有关直线与圆的结论正确的是（ ）
A.过点且在轴上的截距相等的直线方程为
B.若直线和以为端点的线段相交，则实数的取值范围为
C.若点是圆外一点，直线的方程是，则直线与圆相离
D.若圆上恰有3个点到直线的距离等于1，则实数
12.已知为坐标原点，分别为双曲线的左 右焦点，的一条渐近线的方程为，且到的距离为为在第一象限上的一点，点的坐标为为的平分线，则（ ）
A.双曲线的方程为
B.双曲线的离心率为2
C.
D.点到轴的距离为
第II卷（非选择题共90分）
三 填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分.）
13.已知圆，过点的直线被圆截得弦长最短时，直线的方程为__________.
14.在长方体中，底面是边长为1的正方形，为的中点，为上靠近点的三等分点，则点到平面的距离为__________.
15.已知双曲线的离心率是分别为双曲线的左 右焦点，过点且垂直于轴的垂线在轴上方交双曲线于点，则的值为__________.
16.过直线上任意点作圆的两条切线，切点分别为，直线过定点__________；记线段的中点为，则点到直线的距离的最小值为__________.
四 解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.）
17.（本小题满分10分）
已知的三个顶点分别是.
（1）求边的高所在的直线方程；
（2）求平分的面积且过点的直线的方程.
18.（本小题满分12分）
已知双曲线的一条渐近线与直线垂直，且右顶点到该条渐近线的距离为.
（1）求双曲线的方程；
（2）若直线与双曲线交于两点，线段的中点为，求直线的斜率.
19.（本小题满分12分）
已知点，圆的圆心在直线上，且圆与轴切于点.
（1）求圆的方程；
（2）若直线过点且被圆截得的弦长为，求直线的方程.
20.（本小题满分12分）
一动圆与圆外切，同时与圆内切，动圆圆心的轨迹为曲线.
（1）求曲线的方程；
（2）点为上一动点，点为坐标原点，曲线的右焦点为，求的最小值.
21.（本小题满分12分）
如图，在三棱锥中，是边长为2的等边三角形，平面分别是的中点.
（1）求证：平面；
（2）若，求平面与平面夹角的余弦值.
22.（本小题满分12分）
已知椭圆的左 右焦点分别为，该椭圆的离心率为，且椭圆上动点与点的最大距离为3.
（1）求椭圆的方程；
（2）如图，若直线与轴 椭圆顺次交于（点在椭圆左顶点的左侧），且，求面积的最大值.
安徽省A10联盟2023-2024学年高二上学期11月期中考试
数学（人教A版）参考答案
一 选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C B D A D B B A
1.C 因为直线的方程为，即，所以直线的斜率为，所以直线的倾斜角为，故选C.
2.B 因为椭圆的焦点为，所以双曲线的焦点为，故，解得.故选B.
3.D 由题意得，圆心坐标为中点，即，半径为，所以圆的方程为.故选D.
4.A 由题意得，平面以为坐标原点，分别为轴，建立空间直角坐标系如图所示，则，，所以.设异面直线与所成的角为，则.故选A.
5.D 由题意得，，所以，而，
，故选项A，C正确；由椭圆的对称性知，，故选项B正确；当在轴上时，，则最大角为锐角，所以不存在点，使得，故选项D错误.故选D.
6.B 设点关于直线的对称点为，点关于轴的对称点为，连接交于，交轴于，则此时的周长取最小值，且最小值为与关于直线对称，，解得，易求得，，即周长的最小值为.故选.
7.B 因为平面平面，所以，又底面是正方形，所以，则两两垂直，以点为坐标原点，的方向分别
为轴的正方向建立空间直角坐标系，则，
，所以.设平面
的法向量为，则，
令，得.设，因为
平面，所以，即，解得
，故，所以.故选B.
8.A 以的中点为原点，以所在直线为轴，的垂直平分线为轴，建立直角坐标系，则.设，因为，
所以，得，所以点的轨迹为以为圆心，以为半径的圆.当点与直线距离最大时，面积最大，直线的方程为，，点到直线的最大距离为，所以面积的最大值为.故选A.
二 多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）
题号 9 10 11 12
答案 ABD AC BD ABD
9.ABD 若，则，故A正确；若，则，故B正确；因为直线与平面所成角的范围为，若，则与的夹角为，所以直线与平面所成角的大小为，故C错误；因为两平面夹角的范围为，若，则平面的夹角大小为，故D正确.故选ABD.
10.AC 当，即时，方程为，表示圆心为原点，半径为的圆，故选项正确，选项错误；若为椭圆，且焦点在轴上，则，解得，故选项正确；若为双曲线，且焦点在轴上，方程即，则，解得，故选项D错误.故选AC.
11.BD 过点且在轴截距相等的直线方程为或，故错误；已知直线过定点，且，则，故B正确；因为点
是圆外一点，所以，所以圆心到直线的距离，所以直线与圆相交，故C错误；由圆的方程，得圆心为，半径为2，若圆上恰有3个点到直线的距离等于1，则圆心到直线的距离等于1，则，解得，故D正确.故选BD.
12.ABD 由到渐近线的距离为，得，解得，由渐近线方程为，得，结合可得，则双曲线的方程为，故A正确；离心率，故B正确；因为为的平分线，所以，故C错误；由双曲线定义可得，又，所以，在中，，所以.设点到轴的距离为，则，即，解得，故D正确.故选ABD.
三 填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分.）
13.（填也给分）
过点且弦长最短的弦应是垂直于直线的弦.又直线的斜率为1，所以所求直线的斜率为-1，故所求直线的方程为，即.
14.
以为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，则，
，
.设平面的法向量为
，则，令，则，
点到平面的距离.
15.
由题意得，，点的横坐标为，将代入双曲线的方程，得，所以，又，所以，所以.
16.（2分）（3分
设，因为是直线上一点，所以，以为直径的圆的方程为，即，所以，即直线的方程为，又直线的方程为，故直线过定点.
设，直线过定点为，则，由，得，整理得点的轨迹方程为，则点到直线的距离的最小值为.
四 解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.）
17.（本小题满分10分）
（1）由题意得，，
则边的高所在的直线方程为，
即，亦即.
（2）设线段的中点为，
则，
所以直线的方程为，即.
18.（本小题满分12分）
（1）因为双曲线的一条渐近线与直线垂直，且双曲线的渐近线为，所以该条渐近线为.
因为右顶点到该条渐近线的距离为，所以，
解得，所以，所以双曲线的方程为.
（2）设，则，
所以，
化简得.
因为线段的中点为，所以，
所以，解得，即直线的斜率为6.
（注：直接用公式计算，且计算正确也给分）
19.（本小题满分12分）
（1）设圆心坐标为，
圆的圆心在直线上，且圆与轴切于点，
，
解得，半径，
圆的方程为.
（2）由题意得，圆心到直线的距离为.
若直线的斜率存在，设直线的方程为，
则，
解得或.
当直线的斜率不存在，的方程为，
此时圆心到直线的距离为2，不满足题意，舍去.
综上，直线的方程为或.
20.（本小题满分12分）
（1）设动圆圆心为，半径为，
将圆的方程分别配方得：圆，圆，
当动圆与圆外切时，，
当动圆与圆内切时，，
所以，
所以点的轨迹是焦点为，且长轴长等于12的椭圆.
设该椭圆的长轴为，短轴为，焦距为，
所以，所以，所以，
所以动圆圆心轨迹方程为.
（2）由（1）得，，设，
所以.
因为点在椭圆上，所以，
所以，
所以当时，，
故的最小值为45.
21.（本小题满分12分）
（1）连接交于点，连接.
因为分别为的中点，
所以为的重心，所以.
因为为的中点，为的中点，所以，
所以，所以.
又因为平面平面，所以平面.
（2）如图所示，以为坐标原点，分别以为轴 轴的正方向建立空间直角坐标系，
则，
所以.
设平面的法向量为，则，
即，取.
设平面的法向量为，则，
即，取.
设平面与平面夹角为，则，
所以平面与平面夹角的余弦值为.
22.（本小题满分12分）
（1）椭圆的离心率为，即.
椭圆上动点与点的最大距离为，
椭圆的方程为.
（2）设，由（1）知，，
，
，化简整理，得.
设直线的方程为，
联立，得，
.
，
，
，
直线的方程为.
点到直线的距离，
.
，即.
令，则，
，
当且仅当时，等号成立，此时，直线存在.
综上，面积的最大值为.
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