安徽省滁州市九校2023-2024学年高二上学期期中考试数学试卷（含解析）

滁州市九校2023-2024学年高二上学期期中考试
数学
考生注意：
1．本试卷分选择题和非选择题两部分。满分150分，考试时间120分钟。
2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。
3．考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。
4．本卷命题范围：人教A版选择性必修第一册。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．直线，，，的图象如图所示，则斜率最小的直线是（ ）
A． B． C． D．
2．已知双曲线的左，右焦点分别是，，点在双曲线上，且，则双曲线的方程是（ ）
A． B． C． D．
3．如图所示，在平行六面体中，为与的交点，为的中点，若，，，则（ ）
A． B．
C． D．
4．在空间直角坐标系中，已知平行四边形的三个顶点的坐标分别为，，，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
5．已知直线与，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
6．已知，分别是双曲线的左、右焦点，点是双曲线上一点，且，则点到轴的距离为（ ）
A． B． C． D．
7．当直线被圆截得的弦长最短时，实数（ ）
A． B．1 C． D．-1
8．已知椭圆的焦距为，为椭圆的右焦点，过点在轴上方作两条斜率分别为1和-1的射线，与分别交于，两点，且的面积为，则（ ）
A．或2 B．2或3 C．2 D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．已知椭圆以坐标轴为对称轴，经过点，且长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的标准方程可以是（ ）
A． B． C． D．
10．已知直线与直线平行，且与间的距离为，则的方程可以是（ ）
A． B． C． D．
11．已知圆和圆相交于，两点，则下列说法正确的是（ ）
A． B．直线的方程为
C．线段的长为 D．到直线的距离与到直线的距离之比为
12．在平行六面体中，，，若，其中，，，则下列结论正确的为（ ）
A．若点在平面内，则 B．若，则
C．当时，三棱锥的体积为 D．当时，长度的最小值为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．以点为圆心，且与轴相切的圆的标准方程为______．
14．已知抛物线的焦点为，是抛物线上的一点，若，则______．
15．已知椭圆的左、右焦点分别为，，若上存在点满足：，则的离心率的最小值是______．
16．某公园有一个坐落在地面上的大型石雕，如图是该石雕的直观图．已知该石雕是正方体截去一个三棱锥后剩余部分，是该石雕与地面的接触面，其中是该石雕所在正方体的一个顶点．某兴趣小组通过测量的三边长，来计算该正方体石雕的相关数据．已知测得，，，则该石雕所在正方体的棱长为______；该石雕最高点______到地面的距离为______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（本小题满分10分）
已知的三个顶点分别为，，．
（1）求边上的高所在直线的方程；
（2）求边上的中线所在直线的方程．
18．（本小题满分12分）
在空间直角坐标系中，已知点，，，设，．
（1）若与互相垂直，求的值；
（2）求点到直线的距离．
19．（本小题满分12分）
已知圆，圆．
（1）讨论圆与圆的位置关系；
（2）当时，求圆与圆的公切线的方程．
20．（本小题满分12分）
已知双曲线的左、右焦点分别为，．
（1）若点的坐标是，且的面积为，求双曲线的渐近线方程；
（2）若以为直径的圆与的渐近线在第一象限的交点为，且（为原点），求双曲线的离心率．
21．（本小题满分12分）
如图；在四棱锥中，底面是矩形，平面，，，点，分别为，的中点，且．
（1）求的长；
（2）求直线与平面所成角的正弦值．
22．（本小题满分12分）
已知椭圆的左、右焦点分别为，，长轴的左、右端点分别为，，短轴的上、下端点分别为，，设四边形的面积为，且．
（1）求，的值；
（2）过点作直线与交于，两点（点在轴上方），求证：直线与直线的交点在一条定直线上．
滁州市九校2023-2024学年高二上学期期中考试
数学
参考答案、提示及评分细则
1．B设直线，，，的斜率分别为，，，，由图可得直线，的斜率为负值，直线，的斜率为正值，因为直线越陡峭，斜率的绝对值越大，所以，，所以，所以斜率最小的直线是．故选B．
2．D由题意，得，，解得，，所以双曲线的方程是．故选D．
3．B因为为与的交点，所以，故．故选B．
4．A不妨设，由题意可知，所以，所以解得所以点D的坐标为．故选A．
5．C当时，直线的方程为，直线的方程为，即，所以与平行，故充分性成立；若，则解得，所以必要性成立．所以“”是“”的充要条件．故选C．
6．C在双曲线中，，，，，，设，因为，所以，又，所以，即点到轴的距离为．故选C．
7．D将直线的方程变形为，由可得所以直线经过顶点 ，圆的标准方程为，圆心为，因为，所以点在圆内，故当时，圆心到直线的距离取最大值，此时直线被圆截得的弦长最短，因为，直线的斜率为，所以，解得，故选D．
8．C由焦距为2知，，设直线与的另外一个交点为，，，则，关于轴对称，即，由的面积为，得，即，将直线代入的方程整理，得，显然判别式大于0，，，因为，所以，即，所以，解得或（舍去），所以．故选C．
9．BC当椭圆的焦点在轴上时，已知椭圆过点，故，，所以椭圆的方程为；当椭圆的焦点在轴上时，，，所以椭圆的方程为．故选BC．
10．AD设所求直线的方程为，由题意可得，解得或-2．故所求直线的方程为或．故选AD．
11．ABC对于A项，若两个圆相交，则圆心，所在直线垂直平分两圆的公共弦，故A正确；对于B项，因为圆和圆相交于，两点，所以两圆相减得到，即，故B正确；对于C项，圆化为标准方程是，圆心到直线的距离为，所以，故C正确；对于D项，因为圆化为标准方程是，圆心到直线的距离为，所以到直线的距离与到直线的距离之比为，故D错误．故选ABC．
12．ABD对于选项A，若点在平面内，易知有，所以，又，则，故A正确；对于选项B，由题意易知，，且，又，即，故，解得，故B正确；对于选项C，由题易知四面体为正四面体，设在平面内的射影为点，则为的中心，不难求得，．当时，到平面的距离为，所以，故C错误；对于选项D，，又，由基本不等式可知，所以，即，当且仅当时等号成立，所以长度的最小值为，故D正确．故选ABD．
13．以点为圆心，且与轴相切的圆的半径为1，故圆的标准方程是．
14．6由题意，知抛物线的准线为，由抛物线的定义可得，解得．
15．设椭圆的上顶点为，则，所以，又，所以，即的离心率的最小值是．
16．6（2分）（3分）如图，补齐为正方体，设，，，则为正交基底建系，所以，，，，，，易求得平面的一个法向量为，所以点到平面的距离．
17．解：（1）直线的斜率．
因为，所以直线的斜率．
因为直线过点，由点斜式方程可得边上的高所在直线的方程为，
即．
（2）因为，，所以的中点的坐标为．
因为，由两点式方程可得边上的中线所在直线的方程为，即．
18．解：（1）由题意知，
所以，
．
又与互相垂直，
所以，
解得．
（2）由（1）知，，
所以，
所以点到直线的距离．
19．解：（1），两圆的半径分别为和4，
①当，即或时，圆与圆内含；
②当，即或时，圆与圆内切；
③当，即时，圆与圆相交；
④当时，，即圆与圆不可能外切也不可能外离．
（2）当时，由（1）得圆与圆相交，再图可知公切线的斜率存在，故设圆，圆的公切线的方程为，则所以，
所以或，代入，得或所以公切线的方程为或．
20．解：（1）因为，的面积为，所以，
即，所以，
解得或（舍去），所以，所以双曲线的渐近线方程是．
（2）解法一：因为以为直径的圆与的渐近线在第一象限的交点为，所以解得，
又，所以，
又，所以，，即双曲线的离心率为2．
解法二：因为以为直径的圆与的渐近线在第一象限的交点为，如图，，所以，在中，由余弦定理可得，所以，则，
所以，，，所以，，所以双曲线的离心率为2．
21．解：（1）因为平面，，平面，所以，．
又底面是矩形，所以．
以为坐标原点，，，所在的直线分別为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，如图所示．
设，所以，，，，，所以，所以，．又，所以，解得，即．
（2）由（1）知，，设平面的一个法向量，所以令，解得，所以平面的一个法向量，又，设直线与平面所成角的大小为，
所以，
即直线与平面所成角的正弦值为．
22．（1）解：由已知，得，，，
因为，所以，
解得．
（2）证明：由已知可设直线的方程为，
与的方程联立，得消去可得，
显然成立，
设，则，，
即，
直线，直线，
联立上述两方程，消去可得，
，
．
，
，
由，得，即，
若，则由，得，，又，所以，即，不成立，
故，由，解得，
综上所述，动点在定直线上．