安徽省名校联盟2023-2024学年高二上学期期中考试数学试卷（含解析）

安徽省名校联盟2023-2024学年高二上学期期中考试
数学
满分：150分 考试时间：120分钟
注意事项：
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹签字笔书写，字体工整、笔迹清晰。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。
1．点到直线的距离为（ ）
A． B． C． D．1
2．已知椭圆的焦距为4，则（ ）
A． B．4 C．或2 D．或4
3．在空间直角坐标系中，已知点，，若与方向相反，且，则（ ）
A． B． C． D．
4．已知椭圆的左焦点为，若点P在椭圆C上，则的最大值为（ ）
A．1 B．5 C．7 D．
5．已知直线与圆交于M，N两点，若，则（ ）
A．4 B．2 C． D．
6．在空间直角坐标系中，已知点，，，则（ ）
A． B． C． D．
7．如图，已知某光线从点射出，经过直线上的点B后第一次反射，此反射光线经过直线上的点C后再次反射，该反射光线经过点，则直线的斜率为（ ）
A． B． C． D．2
8．已知M，N，P，Q四点均在椭圆上，其中轴，轴，且，，，若点D在第一象限，则椭圆C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
二、选择题：共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．已知直线，其中，，的图象如图所示，直线，的斜率分别为，，纵截距分别为，，则下列说法正确的是（ ）
A． B． C． D．
10．已知集合，若，则N可能是（ ）
A． B．
C． D．
11．已知正方体中，，，，下列说法正确的是（ ）
A．若，，则直线与平面所成角的正弦值为
B．若，，则点到直线的距离为
C．若平面，则
D．若，则
12．已知圆C过点、、，A为圆C上的动点，点，，O为坐标原点，，分别为线段，的中点，则（ ）
A． B．面积的最小值为8
C． D．的最小值为
三、填空题：共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知圆，圆，其中．若圆，仅有2条公切线，则a的值可能是________（给出满足条件的一个值即可）．
14．在空间直角坐标系中，已知点，，，则点到平面的距离为________．
15．若直线过点且与椭圆仅有1个交点，则直线的斜率为________．
16．已知直线（m为任意实数）过定点P，则点P的坐标为________；若直线与直线，分别交于M点，N点，则的最小值为________．
四、解答题：共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（10分）
已知点在直线上，且________．
（1）在“①直线与直线平行；
②直线与直线垂直；
③直线的倾斜角为45°，直线的斜率是直线的斜率的2倍．”
三个条件中任选一个，填在横线上，求直线的方程；
（2）在（1）的条件下，若直线与直线的距离为，求实数m的值．
18．（12分）
已知椭圆的上、下焦点分别为，，O为坐标原点．
（1）若点P在椭圆C上，且，求的余弦值；
（2）若直线与椭圆C交于A，B两点，记M为线段的中点，求直线的斜率．
19．（12分）
已知正三棱锥如图所示，其中，，点D在平面内的投影为点E，点F为线段上靠近B的三等分点．
（1）若，求x，y，z的值；
（2）求的值．
20．（12分）
已知菱形如图①所示，其中，现沿进行翻折，使得平面平面，再过点B作平面，且，所得图形如图②所示．
图① 图②
（1）若点P满足，且平面，求的值；
（2）求平面与平面夹角的余弦值．
21．（12分）
一般地，平面内到两个定点P，Q的距离之比为常数（且）的动点F的轨迹是圆，此圆便是数学史上著名的“阿波罗尼斯圆”．基于上述事实，完成如下问题：
（1）已知点，，若，求动点M的轨迹方程；
（2）已知点N在圆上运动，点，探究：是否存在定点，使得？若存在，求出定点的坐标；若不存在，请说明理由．
22．（12分）
已知椭圆的左、右焦点分别为，，O为坐标原点，点在椭圆C上，且，直线过点且与椭圆C交于A，B两点．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）已知，，若直线，交于点D，探究：点D是否在某定直线上？若是，求出该直线的方程；若不是，请说明理由．
高二数学参考答案
1．【答案】A
【解析】点P到直线的距离．
2．【答案】C
【解析】依题意，，则，
故或，解得或．
3．【答案】B
【解析】依题意，，设，
则，解得，则．
4．【答案】C
【解析】依题意，，，则，
故．
5．【答案】D
【解析】易知圆，
故到直线的距离；
而，解得（舍去）．
6．【答案】A
【解析】依题意，，，
故，，，
．
7．【答案】D
【解析】如图，易知点关于的对称点为，
点关于的对称点为，
故．
8．【答案】B
【解析】设直线，直线，则，
联立解得，
则，
故；①
联立解得，
则，
故；②
而，故；③
联立①②，得，，
代入③中，得，则．
9．【答案】AC
【解析】由图可知，，，观察可知A，C正确．
10．【答案】ABD
【解析】作出方程所表示的曲线图，如图所示，
曲线内部以及曲线上的点构成集合M，而，
故集合N表示的平面区域应该在集合M表示的平面区域的内部，
观察可知ABD正确．
11．【答案】ABC
【解析】作出图形如图所示，以D为坐标原点，，，所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
，若，，
则，，则，
而平面的一个法向量，
故所求正弦值，故A正确；
∵，，
故点到直线的距离，故B正确；
∵，，
故，，
故，故，
而为平面的一个法向量，故，故C正确；
而，则，故D错误．
12．【答案】ACD
【解析】设圆，
则，，
则，
故圆，
则，故A正确；
，故B错误；
当取得最小值时，
直线与圆相切且在第一象限靠近轴一侧，
此时，故C正确；
，故D正确．
13．【答案】5（答案不唯一，填写5，6，7，8，9均可）
【解析】依题意，，，
则，
故，即，
∵，则，故横线上填写5，6，7，8，9均可．
14．【答案】
【解析】设为平面的法向量，
则
则为平面的法向量，
而，则所求距离．
15．【答案】
【解析】设直线，
联立
化简得，
则，解得．
16．【答案】（2分） 42（3分）
【解析】直线，
联立
解得，，故；
易知直线的斜率存在且不为0，
设直线，
令，得；
令，得，
则，，
故，
当且仅当，即时等号成立．
17．【解析】（1）若选①：
依题意，设直线， 2分
将代入可得，， 4分
故直线的方程为； 5分
若选②：
依题意，设直线， 2分
将代入可得，， 4分
故直线的方程为； 5分
若选③：
依题意，直线的斜率， 1分
故直线的斜率， 2分
故直线的方程为， 4分
即； 5分
（2）由（1）可得，直线， 6分
故直线、之间的距离， 8分
则，解得或． 10分
18．【解析】（1）依题意，， 1分
则， 3分
而， 4分
故； 6分
（2）设，，则 7分
两式相减可得，， 8分
则，即，
即， 10分
而直线的斜率，
故． 12分
19．【解析】（1）
， 4分
∴，，； 5分
（2）易知； 7分
故 8分
， 10分
∴． 12分
20．【解析】（1）如图，取中点O，连接，；
由图①可知，、是正三角形，
所以，．
又因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面． （2分）
又平面，所以．
以为正交基底建立空间直角坐标系．
设平面的一个法向量．
因为平面等价于． （3分）
不妨设，则，，，，，
因为，，，，
故，．
因为平面的一个法向量，
所以则
令，则，，
所以． （5分）
由，
解得； （6分）
（2）因为，，
设平面的一个法向量，
所以即
令，则，，
所以． （8分）
平面的一个法向量， （9分）
所以平面与平面夹角的余弦值． （12分）
21．【解析】（1）设，则，，
故， 2分
故，
化简得； 5分
（2）设，，
故，，
∵，故， 8分
即， 9分
而点N在圆上，即，
对照可知， 10分
解得
故存在定点，使得． 12分
22．【解析】（1）设，，，
则，
则，解得（舍去）， 2分
则；①
而；②
联立①②，解得，；
故椭圆C的标准方程为； 4分
（2）依题意，，，
设直线，联立
整理得， 5分
；
设，，
则，， 6分
直线，直线， 8分
法一：联立
得
，
故点D在直线上． 12分
法二：故，
解得，
故点D在直线上． 12分