合肥六校联盟 023-2024 学年第一学期期中联考
高二年级数学试卷参考答案
一、单选题
1. ；2. ；3. ；4.B；5. ；6. ； 7. ； 8. .
二、多选题（每题 5 分，部分对给 2 分，有选错误答案的 0 分）
9. ；10. ；11. ；12. ；
三、填空题（每题 5分）
13.( 2, 4) ；14.4 5 15.2 3 16. 1 3； ； , .5 4 4
四、解答题
17. 10 2 + 4 = 0 = 1（本题 分）解：联立 + 5 = 0 ,解得 = 6，可得交点 (1,6)．………2 分
(1) 1若直线平行于直线 2 1 = 0，则斜率为2，
故可得方程为 6 = 12 ( 1)，即 2 + 11 = 0. ………………………………… 6 分
(2)若直线垂直于直线 + 3 + 1 = 0，则斜率为 3，
故可得方程为 6 = 3( 1)，即 3 + 3 = 0． ………………………………… 10 分
→
18.（本题 12分）(Ⅰ → →) 1 = + + 1 = + + 1 = + + ，………2 分
→
∵
→
= · = 0，
→ → 1
1 = · = 1 × 2 × ( 2 ) = 1，
→
→
1 = · = 1 × 2 × (
1 ) = 1， ………………………………………………5 分2
→ → → →
∴ | 2
→ → → → → → → →
1| = ( + + )2 = 2 + 2 + 2 +2( + + )
= 1 + 1 + 4 + 2(0 1 1) = 2， 即有| 1 | = 2. ………………………………………8 分
→ → → → →
(Ⅱ) 1 = 1
→ →
= · = · · = 1 ( 1) = 0 … … 12 分
19.（本题 12分）解：(1) = 2 1 1因为 2 ( 7) = 3，则 边上的高的斜率为 3， ……2 分
又经过 点，故方程为 3 = 3( 3)，化简得 3 6 = 0． …………………… 4 分
(2)| | = (2 + 7)2 + ( 2 1)2 = 3 10， ………………………………………6 分
直线 方程为 + 2 = 13 ( 2)，整理得 + 3 + 4 = 0， …………………………… 8 分
高二年级数学参考答案 第 1页 共 3页
{#{QQABKQCEogCgAhBAABgCAwkQCAEQkBAAACoGgFAAIAAAQRNABCA=}#}
|3+3×3+4| 16
则 到 的距离为 =2 2 10， ……………………………………………………… 10 分1 +3
△ 1则 的面积为2 × 3 10 ×
16
10 = 24． …………………………… 12 分
20.（本题 12分）(1)证明：在正方体 1 1 1 1中，因为 ， ， 1两两垂直，
故以 为原点， , , 1 为 ， ， 轴的正方向建立空间直角坐标系如图：…………1 分
不妨设正方体的棱长为 1，则 ( 12 ,
1
2 , 1),
1 1
1(0,1,1)，故 = ( 2 , 2 , 1)， 1 = (0,1,1)，
→
设平面 1的一个法向量为 = ( , , )，
· = 0 1 + 1
由 得 2 2
+ = 0 ,令 = 1，则 = 1, = 1，
· 1 = 0 + = 0
→
所以 = (1,1, 1)． ………………………………… 4 分
又 1(1,1,1)， (0,1,0)，所以 1 = ( 1,0, 1)， ………………………………… 5 分
从而 · 1 = 0，所以 1 / /平面 1 . …………………………………6 分
→ →
(2)解：设 、 分别为直线 1 与 的方向向量，则由 = ( 1,0, 1)， 1 1 = (
1 , 12 2 , 1)
得 cos 1 , =
3． ……………………………………………………… 10 分
2
所以两异面直线B1C与 OD的夹角θ的大小为 ． ………………………………12分6
21. 12 = 1（本题 分）解：(1)由 = 3 7，得： (3,2)，
所以圆 ：( 3)2 + ( 2)2 = 1， ………………………………2分
当切线的斜率存在时，设切线方程为 4 = ( 4)，
= |2 |由 = 1 3
2
，解得： = ， ………………………………………………………4 分
+1 4
当切线的斜率不存在时，切线方程为 = 4，满足题意.………………………………5分
所以切线的方程为： = 4 或 3 4 + 4 = 0． ………………………………6分
(2)由圆心 在直线 ： = 1上，设 ( , 1)，
设点 ( , )，由| | = 2| |，
得： 2 + ( 3)2 = 2 2 + 2，化简得： 2 + ( + 1)2 = 4， ………………………9分
所以点 在以 (0, 1)为圆心，2为半径的圆上．
又点 在圆 上，所以圆 与圆 有交点，
则 1 ≤ | | ≤ 3，即 1 2 + 2 3，解得： 3 2 2或 2 3 2．………12 分2 2 2 2
高二年级数学参考答案 第 2页 共 3页
{#{QQABKQCEogCgAhBAABgCAwkQCAEQkBAAACoGgFAAIAAAQRNABCA=}#}
22（本题 12分.解：(1)在△ 中， = ， 为 中点，所以 ⊥ ，
又侧面 ⊥底面 ，
平面 ∩平面 = ， 平面 ，
所以 ⊥平面 ． ………………………………………………………2 分
又在直角梯形 中，易得 ⊥ ，
所以以 为坐标原点， 为 轴， 为 轴， 为 轴建立空间直角坐标系． …………3 分
则 (0,0,1)， (0, 1,0)， (1, 1,0)， (1,0,0)， (0,1,0)；
∴ = (1, 1, 1)，∵ ⊥ ， ⊥ ，且 ∩ = ， ， 平面 ，
故 ⊥平面 ，所以 = (0, 1,0)是平面 的一个法向量，
设 与平面 所成角为 ，
∴ sin = cos < ,
> =
3
| |·|
= 3 ， ………………………5分|
所以 与平面 所成角的余弦值为 1 ( 3 )2 = 6．…………6 分3 3
(2)假设存在，且设 = (0 1)．
因为 = (0,1, 1)，∴ = = (0, , )，
∴ = (0, , 1 )，所以 (0, , 1 )．
= + = 0
设平面 的法向量中 = ( , , )，则
,
= ( + 1) + (1 ) = 0
取 = 1 + ，得 = (1 , 1, + 1)． ……………………………………………9分
平面 的一个法向量为 = (0,0,1)， …………………………………………10分
6 |cos < , > | = | | 6要使二面角 的余弦值为 ，需使
3 |
．
|| | = 3
整理化简得：3 2 10 + 3 = 0，得 = 13或 = 3(舍去)
1
，所以存在，且 = 2．……12分
高二年级数学参考答案 第 3页 共 3页
{#{QQABKQCEogCgAhBAABgCAwkQCAEQkBAAACoGgFAAIAAAQRNABCA=}#}
高二年级数学参考答案 第 3页 共 3页
{#{QQABKQCEogCgAhBAABgCAwkQCAEQkBAAACoGgFAAIAAAQRNABCA=}#}合肥六校联盟 2023-2024 学年第一学期期中联考
高二年级数学试卷
（考试时间：120 分钟 满分：150 分）
一、单选题（本大题共 8 小题，共 40 分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1.直线 + 3 1 = 0 的倾斜角为 ( )
A. B. C. 2 5 3 6 3 D. 6
2.如右图，直三棱柱 ABC – 1 1 1中，若C A = ，C B = ， 1 = ，则 1 等于 ( )
A. + B. + C. D. +
3.已知圆的方程 2 + 2 + 2 + 9 = 0 圆心坐标为(5,0)，则它的半径为( )
A. 3 B. 5 C. 5 D. 4
4.如果向量 = (2, 1,3)， = ( 1,4,2)， = (1, 1, )共面，则实数 的值是 ( )
A. 1 B. 1 C. 5 D. 5
5.已知圆 经过两点 (0,2)， (4,6)，且圆心 在直线 : 2 3 = 0 上，则圆 的方程为 ( )
A. 2 + 2 6 16 = 0 B. 2 + 2 2 + 2 8 = 0
C. 2 + 2 6 6 + 8 = 0 D. 2 + 2 2 + 2 56 = 0
6.如右图，已知点 在正方体 ′ ′ ′ ′的对角线 ′上，∠ = 60 .
设 ′ = ′ ，则 的值为 ( )
A. 12 B.
2 C. 2 1 D.2 3 2 2
7.从直线 + 3 = 0 上的点向圆 2 + 2 4 4 + 7 = 0 引切线，则切线长的最小值为( )
A. 3 2 B. 14 C. 3 2 D. 3 2
2 2 4 2 1
8.在正方体 1 1 1 1中，若棱长为 1， ， 分别为线段 1 1， 1上的动点，则下列结论错误的
是 ( )
A. 1 ⊥平面 1 B.
1
直线 与平面 1 1 所成角的正弦值为定值3
C. 平面 1 1 //平面 1 D. 点 到平面 1的距离为定值
3
3
高二年级数学试卷 第 1页 共 4页
{#{QQABKQCEogCgAhBAABgCAwkQCAEQkBAAACoGgFAAIAAAQRNABCA=}#}
二、多选题（本大题共 4 小题，共 20.0 分。在每小题有多项符合题目要求）
9.正方体 1 1 1 1的棱长为 1，体对角线 1与 1，相交于点 ，则 ( )
A. 1 1 = 1 B. 1 = 2 C. =
1 D. 2 1 = 1
10.下列说法中，正确的有( )
A. 点斜式 1 = 1 可以表示任何直线
B. 直线 = 4 2在 轴上的截距为 2
C. 点 2,1 到直线的 + 1 + + 3 = 0 的最大距离为 2 10
D. 直线 2 + 3 = 0 关于 = 0对称的直线方程是 2 + 3 = 0
11.已知 = (1,0,1)， = ( 1,2, 3)， = (2, 4,6)，则下列结论正确的是( )
A. ⊥ B. //
C. < , >为钝角 D. 在 方向上的投影向量为(4,0,4)
12.以下四个命题表述正确的是 ( )
A. 直线 3 + + 4 3 + 3 = 0 ∈ 恒过定点 3, 3
B. 已知圆 : 2 + 2 = 4 ，点 为直线4+
2 = 1 上一动点，过点 向圆 引两条切线 、 ， 、 为切点，
则直线 经过定点 1,2
C. 曲线 2 2 2 21: + + 2 = 0 与曲线 2: + 4 8 + = 0 恰有三条公切线，则 = 4
D. 圆 2 + 2 = 4 上存在 4个点到直线 : + 2 = 0 的距离都等于 1
三、填空题（本大题共 4 小题，共 20 分）
13.已知 ∈ ，方程 2 2 + ( + 2) 2 + 4 + 8 + 5 = 0表示圆，圆心为 ．
14.已知正方体 1 1 1 1的棱长为 2，点 是 1 1的中点，则点 到直线 的距离是 ．
15.若圆 2 + 2 = 4，与圆 ： 2 + 2 + 2 6 = 0 相交于 ， ，则公共弦 的长为__________．
16.如图，把边长为 2的正方形纸片 沿对角线 折起，设二面角 的大小为 ，异面直线
与 ∈ [ 2 所成角为 ，当 3 , 3 ]时，cos 的取值范围是 ．
四、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.(本小题 10分)求经过直线 1：2 + 4 = 0 与直线 2： + 5 = 0 的交点 ，且满足下列条件的直
线方程．
(1)与直线 2 1 = 0 平行；
(2)与直线 + 3 + 1 = 0 垂直．
高二年级数学试卷 第 2页 共 4页
{#{QQABKQCEogCgAhBAABgCAwkQCAEQkBAAACoGgFAAIAAAQRNABCA=}#}
18.(本小题 12分)如图，已知平行六面体 1 1 1 1中，底面 是边长为 1的正方形， 1 = 2，
∠ 1 = ∠ 1 = 120°，设 = ， = ， 1 = ．
(1)求 1 的值；
(2)求 1 的值．
19.(本小题 12分)已知三角形△ 的三个顶点的坐标为 (3,3)、 (2, 2)、 ( 7,1)试求：
(1) 边上的高所在的直线方程;
(2)三角形△ 的面积．
20.(本小题 12分)在正方体中 1 1 1 1，已知 为 1 1中点，如图所示．
(1)求证： 1 //平面 1;
(2)求异面直线 1 与 夹角大小．
高二年级数学试卷 第 3页 共 4页
{#{QQABKQCEogCgAhBAABgCAwkQCAEQkBAAACoGgFAAIAAAQRNABCA=}#}
21.(本小题 12分)已知点 (4,4)， (0,3)，直线 ： = 1，设圆 的半径为 1，圆心 在直线 上．
(1)若圆心 也在直线 = 3 7上，过点 作圆 的切线，求切线的方程；
(2)若圆 上存在点 ，使 = 2 ， 为坐标原点，求圆心 的横坐标 的取值范围．
22.(本小题 12分)如图，在四棱锥 中，侧面 ⊥底面 ，侧棱 = = 2， ⊥ ，
底面 为直角梯形，其中 // ， ⊥ ， = = 1， 为 中点．
(1)求直线 与平面 所成角的余弦值；
(2) 线段 上是否存在一点 ，使得二面角 的余弦值为 6 若存在，求出3 的值；若不存在，请
说明理.
高二年级数学试卷 第 4页 共 4页
{#{QQABKQCEogCgAhBAABgCAwkQCAEQkBAAACoGgFAAIAAAQRNABCA=}#}
