2023年八年级上册数学人教版单元分层测试 第十三章 轴对称 A卷
一、选择题
1．（2021八上·沙坪坝期末）下列说法错误的是（ ）
A．有两边相等的三角形是等腰三角形
B．直角三角形不可能是等腰三角形
C．有两个角为60°的三角形是等边三角形
D．有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形
【答案】B
【知识点】等腰三角形的判定；等边三角形的判定
【解析】【解答】解：A、有两边相等的三角形是等腰三角形，所以A选项正确；
B、等腰直角三角形就是等腰三角形，故B选项错误；
C、有两个角为60°的三角形是等边三角形，所以C选项正确；
D、有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形，所以D选项正确.
故答案为：B.
【分析】根据等腰三角形的判定定理对A作判断；等腰三角形包含等腰直角三角形；根据等边三角形的判定定理对CD作判断.
2．（2020八上·乐陵期末）如图，明明和乐乐下棋，明明执圆形棋子，乐乐执方形棋子，若棋盘中心的圆形棋子位置用 表示，乐乐将第4枚方形棋子放入棋盘后，所有棋子构成轴对称图形，则乐乐放方形棋子的位置可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：如图：正确的点为(-1，2)，
故答案为：D．
【分析】根据轴对称图形的定义进行放棋即可.
3．（2020八上·北京期中）点M（2，3）关于x轴对称的点的坐标为（ ）
A．（- 2，- 3） B．（2，- 3）
C．（- 2，3） D．（3，- 2）
【答案】B
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：点M（2，3）关于x轴对称的点的坐标为B．（2，- 3）
【分析】关于x轴对称的两点的横坐标相等，纵坐标互为相反数.
4．（2018八上·天台月考）一个等腰三角形一边长为4cm，另一边长为5cm，那么这个等腰三角形的周长是（ ）
A．13cm B．14cm C．13cm或14cm D．以上都不对
【答案】C
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：当腰长为4cm时，
则等腰三角形的三边长分别为4cm，4cm，5cm，
能组成三角形，
则周长为4+4+5=13cm；
当腰长为5cm时，则等腰三角形的三边长分别为4cm，5cm，5cm，
能组成三角形，
则周长为4+5+5=14cm.
故等腰三角形的周长为13cm或14cm。
故答案为：C.
【分析】由等腰三角形的性质可知，两腰相等，则腰长可能是4cm或5cm，分类讨论腰长为4cm和5cm时，三角形能否组成，再求出三角形的周长。
5．已知等腰三角形的顶角为40°，则这个等腰三角形的底角为（ ）
A．40° B．70° C．100° D．140°
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵等腰三角形的顶角为50°，
∴这个等腰三角形的底角为：（180°﹣40°）÷2=70°，
故答案为：B．
【分析】根据“等腰三角形两底角相等”和”三角形内角和定理”易得底角度数。
6．下列四个图案中，不是轴对称图案的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A、是轴对称图形，故本选项不符合题意；
B、不是轴对称图形，故本选项符合题意；
C、是轴对称图形，故本选项不符合题意；
D、是轴对称图形，故本选项不符合题意．
故答案为：B．
【分析】根据轴对称的定义，可得A、C、D均符合题意。
7．（2021八上·嘉兴期末）如图，在 中， 是BC边上的高，点 在AD上，且 ，则△ABC的面积为s，则是△ABE的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】三角形的面积；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解： ∵△ABC 中， ∠ACB=90° ， AB=AC，AD是BC边上的高，
∴AD是BC边上的中线，即BD=DC，
又∵△ABC的面积为S，
∴△ABD面积为，
∵AE=，
∴△ABE 的面积为，
故答案为：D.
【分析】先利用等腰三角形三线合一性质求出△ABD面积，再根据AE=求出△ABE的面积 即可.
8．（2021八上·东城期末）如图，在中，AE的垂直平分线MN交BE于点C，连接AC．若，，，则的周长等于（ ）
A．11 B．16 C．17 D．18
【答案】B
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：垂直平分AE，
，
，
，
，
的周长=AB+AC+BC=5+5+6=16，
故答案为：B．
【分析】根据垂直平分线的性质可得AC=CE=5，再利用三角形的周长公式列出算式AB+AC+BC计算即可。
二、填空题
9．（2020八上·丹徒期中）△ABC中，AB=AC，且∠A=80°，则∠B= °.
【答案】50
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵AB=AC，
∴∠B=∠C =(180°－∠A)÷2=（180°－80°)÷2=50°.
故答案为：50°.
【分析】根据等边对等角可得∠B=∠C，利用三角形内角和求解即可.
10．（2020八上·南丹月考）已知等腰三角形的一个底角为70°，则它的顶角为 .
【答案】40°
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵等腰三角形的一个底角为70°
∴顶角=180° 70°×2=40°.
故答案为：40°.
【分析】根据等腰三角形的性质“等腰三角形的两个底角相等”和三角形的内角和等于180°可求解.
11．（2019八上·恩施期中）若点M(﹣3，b)与点N(a，2)关于x轴对称，则a+b= .
【答案】-5
【知识点】坐标与图形变化﹣对称
【解析】【解答】解：∵点M(﹣3，b)与点N(a，2)关于x轴对称，
∴a=﹣3，b=﹣2，
则a+b=﹣3﹣2=﹣5.
故答案为：﹣5.
【分析】根据关于x轴对称的点，其横坐标不变，纵坐标互为相反数即可得出答案.
12．如果两个图形成轴对称那么这两个图形一定是全等图形而两个全等图形 成轴对称(填“一定”“一定不”或“不一定”）
【答案】不一定
【知识点】轴对称的性质
【解析】【解答】全等的两个图形不一定关于某条直线对称，即不一定成轴对称.
故答案为：不一定.
【分析】轴对称是指两个图形沿着某条直线对折，两个图形能完全重合，而全等的两个图形不一定关于某条直线对称。
13．（2021八上·南京期末）如图，在 ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，点D在AC上，且BD＝BC，则∠BDC＝ .
【答案】72°
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵AB＝AC，∠A＝36°，
∴ ，
∵BD＝BC，
∴∠BDC＝∠ACB＝72°，
故答案为：72°.
【分析】根据等腰三角形的性质及三角形的内角和求出，由等边对等角可得∠BDC＝∠ACB＝72°.
三、作图题
14．（2021八上·凤县期末）如图，在直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（1，4），B（4，2），C（3，5），请回答下列问题：
（1）画出△ABC关于x轴的对称图形ΔA1B1C1；直接写出A1、B1、C1的坐标；
（2）如图，在直线 上找一点M，使得AM+BM的值最小.（保留作图痕迹）
【答案】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求，
A1（1，-4），B1（4，-2），C1（3，-5）；
（2）如图，点M即为所求.
【知识点】作图﹣轴对称；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【分析】（1）利用关于x轴对称的点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数可得到点 A1、B1、C1的坐标，再画出△A1B1C1；
（2）利用轴对称的应用-最短问题，作出点A关于直线L的对称点N，连接BN交直线L于点M.
15．（2021八上·金昌期末）如图所示，校园里有两条路，在交叉口附近有两块宣传牌，学校准备在这里（内部）安装一盏路灯，要求灯柱离两块宣传牌一样远，并且到两条路的距离也一样远，请你帮助画出灯柱的位置.（不写过程，保留作图痕迹）
【答案】解：连结CD，作CD的垂直平分线，和∠AOB的平分线，两线交于P，
如图，点P为所作.
【知识点】角平分线的性质；线段垂直平分线的性质；作图-角的平分线；作图-线段垂直平分线
【解析】【分析】根据角平分线的性质“角平分线上的点到角两边的距离相等”和线段的垂直平分线的性质“线段的垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等”可知点P应该在线段CD的垂直平分线及∠AOB的角平分线的交点处，进而根据作垂直平分线及角平分线的方法作出图形.
四、解答题
16．（2021八上·鼓楼期末）如图，和是顶角相等的等腰三角形，BC，DE分别是这两个等腰三角形的底边.求证.
【答案】证明：和是顶角相等的等腰三角形，得出，
，，，
在和中，
，
，
.
【知识点】等腰三角形的性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】利用等腰三角形的性质得AB=AC，AD=AE，由∠BAC=∠DAE可推出∠BAD=∠CAE，再利用SAS证明△ABD≌△ACE，利用全等三角形的对应边相等，可证得结论.
17．（22021八上·东莞期末）已知：如图，AD是等腰三角形ABC的底边BC上的中线，DE∥AB，交AC于点E．求证：△AED是等腰三角形．
【答案】证明：∵△ABC是等腰三角形，AB=AC，AD是底边BC上的中线，
∴∠BAD=∠CAD，
∵DE∥AB，
∴∠ADE=∠BAD，
∴∠ADE=∠CAD，
∴AE=ED，
∴△AED是等腰三角形．
【知识点】等腰三角形的判定与性质
【解析】【分析】根据等腰三角形的判定与性质即可得出结论。
18．（2021八上·营口期末）如图，在等腰△ABC和等腰△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE且C、E、D三点共线，作AM⊥CD于M．若BD＝5，DE＝4，求CM．
【答案】解：∵∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC﹣∠BAE＝∠DAE﹣∠BAE，
∴∠BAD＝∠CAE，
在△AEC和△ADB中，
，
∴△AEC≌△ADB（SAS），
又∵BD＝5，
∴CE＝BD＝5，
∵AD＝AE，AM⊥CD，DE＝4，
∴，
∴CM＝CE+EM＝5+2＝7．
【知识点】等腰三角形的性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】根据SAS证出△AEC≌△ADB，再根据BD＝5，AD＝AE，AM⊥CD，DE＝4，代入计算即可。
五、综合题
19．（2021八上·南京期末）如图，AB＝AD，AC＝AE，BC＝DE，点E在BC上.
（1）求证：∠EAC＝∠BAD；
（2）若∠EAC＝42°，求∠DEB的度数.
【答案】（1）证明：∵AB＝AD，AC＝AE，BC＝DE，
∴△ABC≌△ADE.
∴∠BAC＝∠DAE.
∴∠BAC－∠BAE＝∠DAE－∠BAE.
即∠EAC＝∠BAD；
（2）解：∵AC＝AE，∠EAC=42°，
∴∠AEC＝∠C＝ ×(180°－∠EAC)＝ ×(180°－42°)＝69°.
∵△ABC≌△ADE，
∴∠AED＝∠C＝69°，
∴∠DEB＝180°－∠AED－∠C＝180°－69°－69°＝42°.
【知识点】等腰三角形的性质；三角形全等的判定（SSS）
【解析】【分析】（1）证明△ABC≌△ADE，可得∠BAC＝∠DAE，进而根据等式的性质得∠EAC＝∠BAD；
（2）由等腰三角形的性质求出∠AEC＝∠C＝69°，由△ABC≌△ADE可得∠AED＝∠C＝69°，利用平角的定义即可求解.
20．（2021八上·伊通期末）如图，在△ABC中，AB的垂直平分线l1交AB于点M，交BC于点D，AC的垂直平分线l2交AC于点N，交BC于点E，l1与l2相交于点O，△ADE的周长为10．请你解答下列问题：
（1）求BC的长；
（2）试判断点O是否在边BC的垂直平分线上，并说明理由．
【答案】（1）解：∵MD是AB的垂直平分线，NE是AC的垂直平分线，
∴AD=BD，AE=CE，
∵△ADE的周长为10，
∴AD+AE+DE=10，
∴BC=BD+DE+CE=AD+AE+DE=10．
（2）解：点O在边BC的垂直平分线上，理由如下：
如图，连接OA、OB、OC，
∵MO是AB的垂直平分线，NO是AC的垂直平分线，
∴OA=OB，OA=OC，
∴OB=OC，
∴点O在边BC的垂直平分线上．
【知识点】线段垂直平分线的性质；线段垂直平分线的判定
【解析】【分析】（1）根据MD是AB的垂直平分线，NE是AC的垂直平分线，得出AD=BD，AE=CE，再根据△ADE的周长为10，代入计算即可；
（2）连接OA、OB、OC，根据MO是AB的垂直平分线，NO是AC的垂直平分线，得出OA=OB，OA=OC，得出OB=OC，由此得出结论。
21．（2021八上·淳安期末）如图，在△ABC中，AB＝BC，BE平分∠ABC，AD为BC边上的高，且AD＝BD．
（1）求证：∠ABE=∠CAD
（2）试判断线段AB与BD，DH之间有何数量关系，并说明理由．
【答案】（1）证明：∵AB＝BC，BE平分∠ABC，
∴BE⊥AC，
∴∠BEA＝90°＝∠ADB，
∵∠CAD+∠BEA+∠AHE＝180°，∠HBD+∠ADB+∠BHD＝180°，∠AHE＝∠BHD，
∴∠HBD＝∠CAD，
∵∠HBD＝∠ABE，
∴∠ABE=∠CAD
（2）解：AB＝BD+DH
理由是：∵在△BDH和△ADC中
∴△BDH≌△ADC（ASA），
∴DH＝DC，
∴BC＝BD+DC＝BD+DH，
∵AB＝BC，
∴AB＝BD+DH．
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【分析】（1）利用等腰三角形三线合一，可证得BE⊥AC，∠ABE=∠HBD；利用垂直的定义和三角形的内角和定理可证得∠HBD＝∠CAD，由此可证得结论.、
（2）利用ASA可证得△BDH≌△ADC，利用全等三角形的对应边相等可推出DH＝DC；然后根据BC=BD+DC，代入可证得结论.
1 / 12023年八年级上册数学人教版单元分层测试 第十三章 轴对称 A卷
一、选择题
1．（2021八上·沙坪坝期末）下列说法错误的是（ ）
A．有两边相等的三角形是等腰三角形
B．直角三角形不可能是等腰三角形
C．有两个角为60°的三角形是等边三角形
D．有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形
2．（2020八上·乐陵期末）如图，明明和乐乐下棋，明明执圆形棋子，乐乐执方形棋子，若棋盘中心的圆形棋子位置用 表示，乐乐将第4枚方形棋子放入棋盘后，所有棋子构成轴对称图形，则乐乐放方形棋子的位置可能是（ ）
A． B． C． D．
3．（2020八上·北京期中）点M（2，3）关于x轴对称的点的坐标为（ ）
A．（- 2，- 3） B．（2，- 3）
C．（- 2，3） D．（3，- 2）
4．（2018八上·天台月考）一个等腰三角形一边长为4cm，另一边长为5cm，那么这个等腰三角形的周长是（ ）
A．13cm B．14cm C．13cm或14cm D．以上都不对
5．已知等腰三角形的顶角为40°，则这个等腰三角形的底角为（ ）
A．40° B．70° C．100° D．140°
6．下列四个图案中，不是轴对称图案的是（ ）
A． B．
C． D．
7．（2021八上·嘉兴期末）如图，在 中， 是BC边上的高，点 在AD上，且 ，则△ABC的面积为s，则是△ABE的面积是（ ）
A． B． C． D．
8．（2021八上·东城期末）如图，在中，AE的垂直平分线MN交BE于点C，连接AC．若，，，则的周长等于（ ）
A．11 B．16 C．17 D．18
二、填空题
9．（2020八上·丹徒期中）△ABC中，AB=AC，且∠A=80°，则∠B= °.
10．（2020八上·南丹月考）已知等腰三角形的一个底角为70°，则它的顶角为 .
11．（2019八上·恩施期中）若点M(﹣3，b)与点N(a，2)关于x轴对称，则a+b= .
12．如果两个图形成轴对称那么这两个图形一定是全等图形而两个全等图形 成轴对称(填“一定”“一定不”或“不一定”）
13．（2021八上·南京期末）如图，在 ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，点D在AC上，且BD＝BC，则∠BDC＝ .
三、作图题
14．（2021八上·凤县期末）如图，在直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（1，4），B（4，2），C（3，5），请回答下列问题：
（1）画出△ABC关于x轴的对称图形ΔA1B1C1；直接写出A1、B1、C1的坐标；
（2）如图，在直线 上找一点M，使得AM+BM的值最小.（保留作图痕迹）
15．（2021八上·金昌期末）如图所示，校园里有两条路，在交叉口附近有两块宣传牌，学校准备在这里（内部）安装一盏路灯，要求灯柱离两块宣传牌一样远，并且到两条路的距离也一样远，请你帮助画出灯柱的位置.（不写过程，保留作图痕迹）
四、解答题
16．（2021八上·鼓楼期末）如图，和是顶角相等的等腰三角形，BC，DE分别是这两个等腰三角形的底边.求证.
17．（22021八上·东莞期末）已知：如图，AD是等腰三角形ABC的底边BC上的中线，DE∥AB，交AC于点E．求证：△AED是等腰三角形．
18．（2021八上·营口期末）如图，在等腰△ABC和等腰△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE且C、E、D三点共线，作AM⊥CD于M．若BD＝5，DE＝4，求CM．
五、综合题
19．（2021八上·南京期末）如图，AB＝AD，AC＝AE，BC＝DE，点E在BC上.
（1）求证：∠EAC＝∠BAD；
（2）若∠EAC＝42°，求∠DEB的度数.
20．（2021八上·伊通期末）如图，在△ABC中，AB的垂直平分线l1交AB于点M，交BC于点D，AC的垂直平分线l2交AC于点N，交BC于点E，l1与l2相交于点O，△ADE的周长为10．请你解答下列问题：
（1）求BC的长；
（2）试判断点O是否在边BC的垂直平分线上，并说明理由．
21．（2021八上·淳安期末）如图，在△ABC中，AB＝BC，BE平分∠ABC，AD为BC边上的高，且AD＝BD．
（1）求证：∠ABE=∠CAD
（2）试判断线段AB与BD，DH之间有何数量关系，并说明理由．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】等腰三角形的判定；等边三角形的判定
【解析】【解答】解：A、有两边相等的三角形是等腰三角形，所以A选项正确；
B、等腰直角三角形就是等腰三角形，故B选项错误；
C、有两个角为60°的三角形是等边三角形，所以C选项正确；
D、有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形，所以D选项正确.
故答案为：B.
【分析】根据等腰三角形的判定定理对A作判断；等腰三角形包含等腰直角三角形；根据等边三角形的判定定理对CD作判断.
2．【答案】D
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：如图：正确的点为(-1，2)，
故答案为：D．
【分析】根据轴对称图形的定义进行放棋即可.
3．【答案】B
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：点M（2，3）关于x轴对称的点的坐标为B．（2，- 3）
【分析】关于x轴对称的两点的横坐标相等，纵坐标互为相反数.
4．【答案】C
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：当腰长为4cm时，
则等腰三角形的三边长分别为4cm，4cm，5cm，
能组成三角形，
则周长为4+4+5=13cm；
当腰长为5cm时，则等腰三角形的三边长分别为4cm，5cm，5cm，
能组成三角形，
则周长为4+5+5=14cm.
故等腰三角形的周长为13cm或14cm。
故答案为：C.
【分析】由等腰三角形的性质可知，两腰相等，则腰长可能是4cm或5cm，分类讨论腰长为4cm和5cm时，三角形能否组成，再求出三角形的周长。
5．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵等腰三角形的顶角为50°，
∴这个等腰三角形的底角为：（180°﹣40°）÷2=70°，
故答案为：B．
【分析】根据“等腰三角形两底角相等”和”三角形内角和定理”易得底角度数。
6．【答案】B
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A、是轴对称图形，故本选项不符合题意；
B、不是轴对称图形，故本选项符合题意；
C、是轴对称图形，故本选项不符合题意；
D、是轴对称图形，故本选项不符合题意．
故答案为：B．
【分析】根据轴对称的定义，可得A、C、D均符合题意。
7．【答案】D
【知识点】三角形的面积；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解： ∵△ABC 中， ∠ACB=90° ， AB=AC，AD是BC边上的高，
∴AD是BC边上的中线，即BD=DC，
又∵△ABC的面积为S，
∴△ABD面积为，
∵AE=，
∴△ABE 的面积为，
故答案为：D.
【分析】先利用等腰三角形三线合一性质求出△ABD面积，再根据AE=求出△ABE的面积 即可.
8．【答案】B
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：垂直平分AE，
，
，
，
，
的周长=AB+AC+BC=5+5+6=16，
故答案为：B．
【分析】根据垂直平分线的性质可得AC=CE=5，再利用三角形的周长公式列出算式AB+AC+BC计算即可。
9．【答案】50
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵AB=AC，
∴∠B=∠C =(180°－∠A)÷2=（180°－80°)÷2=50°.
故答案为：50°.
【分析】根据等边对等角可得∠B=∠C，利用三角形内角和求解即可.
10．【答案】40°
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵等腰三角形的一个底角为70°
∴顶角=180° 70°×2=40°.
故答案为：40°.
【分析】根据等腰三角形的性质“等腰三角形的两个底角相等”和三角形的内角和等于180°可求解.
11．【答案】-5
【知识点】坐标与图形变化﹣对称
【解析】【解答】解：∵点M(﹣3，b)与点N(a，2)关于x轴对称，
∴a=﹣3，b=﹣2，
则a+b=﹣3﹣2=﹣5.
故答案为：﹣5.
【分析】根据关于x轴对称的点，其横坐标不变，纵坐标互为相反数即可得出答案.
12．【答案】不一定
【知识点】轴对称的性质
【解析】【解答】全等的两个图形不一定关于某条直线对称，即不一定成轴对称.
故答案为：不一定.
【分析】轴对称是指两个图形沿着某条直线对折，两个图形能完全重合，而全等的两个图形不一定关于某条直线对称。
13．【答案】72°
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵AB＝AC，∠A＝36°，
∴ ，
∵BD＝BC，
∴∠BDC＝∠ACB＝72°，
故答案为：72°.
【分析】根据等腰三角形的性质及三角形的内角和求出，由等边对等角可得∠BDC＝∠ACB＝72°.
14．【答案】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求，
A1（1，-4），B1（4，-2），C1（3，-5）；
（2）如图，点M即为所求.
【知识点】作图﹣轴对称；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【分析】（1）利用关于x轴对称的点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数可得到点 A1、B1、C1的坐标，再画出△A1B1C1；
（2）利用轴对称的应用-最短问题，作出点A关于直线L的对称点N，连接BN交直线L于点M.
15．【答案】解：连结CD，作CD的垂直平分线，和∠AOB的平分线，两线交于P，
如图，点P为所作.
【知识点】角平分线的性质；线段垂直平分线的性质；作图-角的平分线；作图-线段垂直平分线
【解析】【分析】根据角平分线的性质“角平分线上的点到角两边的距离相等”和线段的垂直平分线的性质“线段的垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等”可知点P应该在线段CD的垂直平分线及∠AOB的角平分线的交点处，进而根据作垂直平分线及角平分线的方法作出图形.
16．【答案】证明：和是顶角相等的等腰三角形，得出，
，，，
在和中，
，
，
.
【知识点】等腰三角形的性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】利用等腰三角形的性质得AB=AC，AD=AE，由∠BAC=∠DAE可推出∠BAD=∠CAE，再利用SAS证明△ABD≌△ACE，利用全等三角形的对应边相等，可证得结论.
17．【答案】证明：∵△ABC是等腰三角形，AB=AC，AD是底边BC上的中线，
∴∠BAD=∠CAD，
∵DE∥AB，
∴∠ADE=∠BAD，
∴∠ADE=∠CAD，
∴AE=ED，
∴△AED是等腰三角形．
【知识点】等腰三角形的判定与性质
【解析】【分析】根据等腰三角形的判定与性质即可得出结论。
18．【答案】解：∵∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC﹣∠BAE＝∠DAE﹣∠BAE，
∴∠BAD＝∠CAE，
在△AEC和△ADB中，
，
∴△AEC≌△ADB（SAS），
又∵BD＝5，
∴CE＝BD＝5，
∵AD＝AE，AM⊥CD，DE＝4，
∴，
∴CM＝CE+EM＝5+2＝7．
【知识点】等腰三角形的性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】根据SAS证出△AEC≌△ADB，再根据BD＝5，AD＝AE，AM⊥CD，DE＝4，代入计算即可。
19．【答案】（1）证明：∵AB＝AD，AC＝AE，BC＝DE，
∴△ABC≌△ADE.
∴∠BAC＝∠DAE.
∴∠BAC－∠BAE＝∠DAE－∠BAE.
即∠EAC＝∠BAD；
（2）解：∵AC＝AE，∠EAC=42°，
∴∠AEC＝∠C＝ ×(180°－∠EAC)＝ ×(180°－42°)＝69°.
∵△ABC≌△ADE，
∴∠AED＝∠C＝69°，
∴∠DEB＝180°－∠AED－∠C＝180°－69°－69°＝42°.
【知识点】等腰三角形的性质；三角形全等的判定（SSS）
【解析】【分析】（1）证明△ABC≌△ADE，可得∠BAC＝∠DAE，进而根据等式的性质得∠EAC＝∠BAD；
（2）由等腰三角形的性质求出∠AEC＝∠C＝69°，由△ABC≌△ADE可得∠AED＝∠C＝69°，利用平角的定义即可求解.
20．【答案】（1）解：∵MD是AB的垂直平分线，NE是AC的垂直平分线，
∴AD=BD，AE=CE，
∵△ADE的周长为10，
∴AD+AE+DE=10，
∴BC=BD+DE+CE=AD+AE+DE=10．
（2）解：点O在边BC的垂直平分线上，理由如下：
如图，连接OA、OB、OC，
∵MO是AB的垂直平分线，NO是AC的垂直平分线，
∴OA=OB，OA=OC，
∴OB=OC，
∴点O在边BC的垂直平分线上．
【知识点】线段垂直平分线的性质；线段垂直平分线的判定
【解析】【分析】（1）根据MD是AB的垂直平分线，NE是AC的垂直平分线，得出AD=BD，AE=CE，再根据△ADE的周长为10，代入计算即可；
（2）连接OA、OB、OC，根据MO是AB的垂直平分线，NO是AC的垂直平分线，得出OA=OB，OA=OC，得出OB=OC，由此得出结论。
21．【答案】（1）证明：∵AB＝BC，BE平分∠ABC，
∴BE⊥AC，
∴∠BEA＝90°＝∠ADB，
∵∠CAD+∠BEA+∠AHE＝180°，∠HBD+∠ADB+∠BHD＝180°，∠AHE＝∠BHD，
∴∠HBD＝∠CAD，
∵∠HBD＝∠ABE，
∴∠ABE=∠CAD
（2）解：AB＝BD+DH
理由是：∵在△BDH和△ADC中
∴△BDH≌△ADC（ASA），
∴DH＝DC，
∴BC＝BD+DC＝BD+DH，
∵AB＝BC，
∴AB＝BD+DH．
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【分析】（1）利用等腰三角形三线合一，可证得BE⊥AC，∠ABE=∠HBD；利用垂直的定义和三角形的内角和定理可证得∠HBD＝∠CAD，由此可证得结论.、
（2）利用ASA可证得△BDH≌△ADC，利用全等三角形的对应边相等可推出DH＝DC；然后根据BC=BD+DC，代入可证得结论.
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