2023年八年级上册数学人教版单元分层测试 第十三章 轴对称 B卷
一、选择题
1．如图，在 的正方形网格中两个小正方形被涂黑，再将图中其余小正方形任意一个涂黑，使得整个图形（包括网格）构成一个轴对称图形，那么涂法共有（ ）
A．4种 B．5种 C．6种 D．7种
2．（2021八上·遂宁期末）若等腰三角形的一个外角是70°，则它的底角的度数是（ ）
A．110° B．70° C．35° D．55°
3．（2021八上·海曙期末）如图，CD是等腰三角形 △ABC底边上的中线，BE平分∠ABC，交CD于点E，AC＝8，DE＝2，则 △ BCE的面积是（ ）
A．4 B．6 C．8 D．12
4．（2021八上·玉林期末）如图，在
中，
，
，观察图中尺规作图的痕迹，可知
的度数为（ ）
A．40° B．50° C．55° D．60°
5．（2021八上·丰台期末）如图，在平面直角坐标系中，可以看作是经过若干次图形的变化（平移、轴对称）得到的，下列由得到的变化过程错误的是（ ）
A．将沿轴翻折得到
B．将沿直线翻折，再向下平移个单位得到
C．将向下平移个单位，再沿直线翻折得到
D．将向下平移个单位，再沿直线翻折得到
6．（2021八上·遵义期末）点D、E分别是等边三角形 的边 、 的中点， ，F是AD上一动点，则 的最小值是（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
7．（2021八上·温州期中）如图，在等边△ABC中，D、E分别是BC、AC上的点，且AE=CD，AD、BE相交于F， BH⊥AD于H点，FH=3，EF=0.5，则AD的长为（ ）
A．6 B．6.5 C．7 D．7.5
8．（2021八上·长沙月考）如图，在Rt△ABC中，∠CBA＝90°，∠CAB的角平分线AP和∠MCB的平分线CF相交于点D，AD交CB于点P，CF交AB的延长线于点F，过点D作DE⊥CF交CB的延长线于点G，交AB的延长线于点E，连接CE并延长交FG于点H，则下列结论：①∠CDA＝45°；②AF﹣CG＝CA；③DE＝DC；④CF＝2CD+EG；其中正确的有（ ）
A．②③ B．②④ C．①②③④ D．①③④
二、填空题
9．如图，在平面直角坐标系xOy中，△OCD可以看作是△ABO经过若干次图形的变化（平移、轴对称、旋转）得到的，写出一种由△ABO得到△OCD的过程： .
10．（2021八上·岳阳期末）如图，在 中， ， ，线段AB的垂直平分线MN与AB交于点E，与BC交于点D，连接AD，则 度.
11．（2021八上·句容期末）如图， ，点P在 的边 上，以点P为圆心， 为半径画弧，交 于点A，连接 ，则 .
12．（2021八上·南京期末）如图，上午9时，一艘船从小岛A出发，以12海里的速度向正北方向航行，10时40分到达小岛B处，若从灯塔C处分别测得小岛A、B在南偏东34°、68°方向，则小岛B处到灯塔C的距离是 海里.
13．（2021八上·松桃期末）如图，在等边三角形ABC中，
的平分线与
的平分线相交于D，过点D作
交AB于E，交AC于F，
，则BC的长为 .
14．（2021八上·宜兴月考）四边形ABCD中，∠BAD＝125°，∠B＝∠D＝90°，在BC、CD上分别找一点M、N，当三角形AMN周长最小时，∠MAN的度数为 .
三、作图题
15．某居民小区要在一块矩形空地（如图）上建花坛，现征集设计方案，要求设计的图案由圆和正方形组成（圆和正方形的个数不限），并且使整个矩形场地为轴对称图形.请给出你的设计方案.
16．（2021八上·铁西期末）已知点A（1，﹣1），B（﹣1，4），C（﹣3，1）．
⑴请在如图所示的平面直角坐标系中（每个小正方形的边长都为1）画出△ABC；
⑵作△ABC关于x轴对称的△DEF，其中点A，B，C的对应点分别为点D，E，F；
⑶连接CE，CF，请直接写出△CEF的面积．
四、解答题
17．（2021八上·泗洪期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，高BD、CE相于点O.证明OB＝OC.
18．（2021八上·盐池期末）如图， 是等边三角形， 是中线，延长 至E，使 ．求证： ．
19．（2021八上·济宁月考）在中为直角，，为外一点，且，交延长线于点，探求，，之间有何数量关系．
20．（2020八上·南靖月考）如图，已知在△ABC中，AD是BC边上的中线，F是AD上一点，延长BF交AC于E，且AE＝EF，求证：BF＝AC.
五、综合题
21．（2022八下·泾阳月考）2021年12月13日是第八个南京大屠杀死难者国家公祭日，南京大屠杀死难者国家公祭日是为了纪念在南京大屠杀中被日军杀害的30万无辜军民，它的设立表明中国人民反对侵略战争、捍卫人类尊严、维护世界和平的坚定立场已知表示“勿”、“忘”、“历”、“史”的点的坐标分别为（3，4）、（2，0）、（-3，2）、（-2，2）．
（1）请在平面直角坐标系中标出这些点；
（2）表示“吾”“辈”的这两个点关于 轴对称；
（3）已知表示“自”、“强”的点分别与“史”、“勿”关于x轴对称，请在图中标出这两个点．
22．（2021八上·汉阴期末）如图， 和 中， ， 与 交于点P（不与点B，C重合），点B，E在 异侧， 、 的平分线相交于点I.
（1）当 时，求 的长；
（2）求证： ；
（3）当 时， 的取值范围为 ，求m，n的值.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】利用轴对称设计图案
【解析】【解答】解：如图所示：所标数字之处都可以构成轴对称图形.
故有5种不同的方法.
故答案为：B.
【分析】此题主要考查了利用轴对称设计图案，根据轴对称图形的概念：平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形为轴对称图形进行解答.
2．【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解： 等腰三角形的一个外角是 ，
与这个外角相邻的内角的度数为 ，
这个等腰三角形的顶角的度数为 ，底角的度数为 ，
故答案为：C.
【分析】利用等腰三角形的一个外角是70°，可求出与这个外角相邻的内角的度数，由于这个角是钝角，只能做顶角，然后根据三角形的内角和定理及等腰三角形的性质求出它的底角的度数即可.
3．【答案】C
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：过点E作EF⊥BC于F，
∵AC＝BC＝8，CD是等腰三角形△ABC底边上的中线，
∴CD⊥AB，
∵BE平分∠ABC，ED⊥AB，EF⊥BC，
∴EF＝DE＝2，
∴△BCE的面积＝×BC×EF＝×8×2=8.
故答案为：C.
【分析】过点E作EF⊥BC于F，利用等腰三角形的性质可证得CD⊥AB，利用角平分线上的点到角两边的距离相等，可求出EF的长；再利用三角形的面积公式可求出△BCE的面积.
4．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；作图-垂线
【解析】【解答】解：∵AC=BC
∴∠B=∠A=40°
∴∠ACB=180°－2∠A=100°
由尺规作图知，CF是AB的垂线，
根据等腰三角形的三线合一得∠BCG=
故答案为：B.
【分析】由等边对等角可得∠B=∠A=40°，利用三角形内角和可得∠ACB的度数，由尺规作图知，CF是AB的垂线，从而根据等腰三角形的三线合一得出答案.
5．【答案】C
【知识点】轴对称图形；图形的平移
【解析】【解答】解：A、根据图象可得：将沿x轴翻折得到，作图符合题意；
B、作图过程如图所示，作图符合题意；
C、如下图所示为作图过程，作图不符合题意；
D、如图所示为作图过程，作图符合题意；
故答案为：C．
【分析】根据翻折的性质逐一进行判断即可。
6．【答案】A
【知识点】等边三角形的性质；轴对称的应用-最短距离问题；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：连接CE ，交AD于F，连接BF，则BF+EF最小（根据两点之间线段最短；点到直线垂直距离最短），
∵E是AB的中点，△ABC是等边三角形，
由于C和B关于AD对称，则BF+EF=CF，
∵等边△ABC中，BD=CD，
∴AD⊥BC，
∴AD是BC的垂直平分线（三线合一），
∴C和B关于直线AD对称，
∴CF=BF，
即BF+EF=CF+EF=CE，
∵AD⊥BC，CE⊥AB，
∴∠ADB=∠CEB=90°，
在△ADB和△CEB中，
，
∴△ADB≌△CEB（AAS），
∴CE=AD=6，
即BF+EF=6.
故答案为：A.
【分析】连接CE ，交AD于F，连接BF，则BF+EF最小，根据等边三角形的性质可得CE⊥AB，根据轴对称的性质可得BF+EF=CF，推出AD是BC的垂直平分线，得到CF=BF，则BF+EF=CF+EF=CE，证明△ADB≌△CEB，得到CE=AD=6，据此解答.
7．【答案】B
【知识点】三角形的外角性质；等边三角形的性质；含30°角的直角三角形；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，∠BAE=∠DCA=60°，
在△ABE和△CAD中，
，
∴△ABE≌△CAD（SAS），
∴BE=AD，∠CAD=∠ABE，
∴∠BFH=∠ABF+∠BAF=∠CAD+∠BAF=60°，
∴∠FBH=90°-∠BFH=30°，
∴BF=2FH=6，
∴BE=BF+EF=6+0.5=6.5，
∴AD=BE=6.5.
故答案为：B.
【分析】根据等边三角形的性质得出AB=AC，∠BAE=∠DCA，然后利用SAS证明△ABE≌△CAD，得出BE=AD，∠CAD=∠ABE，然后利用三角形外角的性质求出∠BFH=60°，则可根据含30°角的直角三角形的性质求出BF，然后利用全等三角形的性质即可得出AD的长 .
8．【答案】C
【知识点】三角形的外角性质；三角形全等的判定；线段垂直平分线的性质；角平分线的定义
【解析】【解答】解：设∠GCD＝x，∠DAC＝y，根据三角形外角的性质可得：
，
∴ ，故①正确；
延长GD与AC相交于点P，
∵DE⊥CF，
∴∠CDG＝∠CDP＝90°，
∵CF平分∠GCP，
∴∠GCD＝∠PCD，
在△GCD和△PCD中，
，
∴△GCD≌△PCD（ASA），
∴CG＝CP，
∵∠ADC＝45°，
∴∠ADP＝∠ADF，
在△AFD和△APD中，
，
∴△AFD≌△APD（ASA），
∴AF＝AP，
∴AF﹣CG＝CA，故②正确；
同理△ACD≌△AED（ASA），
∴CD＝DE，故③正确；
在DF上截取DM＝CD，则DE是CM的垂直平分线，
∴CE＝EM，
∵∠ECG＝∠GCD﹣45°，∠MEF＝∠DEF﹣45°，
∴∠ECG＝∠FEM，
∵EF＝CP，CP＝CG，
∴EF＝CG，
在△EMF和△CEG中，
，
∴ （SAS），
∴FM＝GE，
∴CF＝2CD+EG，故④正确；
故答案为：C.
【分析】设∠GCD＝x，∠DAC＝y，根据三角形外角的性质可得∠ADC=45°，据此判断①；延长GD与AC相交于点P，根据角平分线的概念可得∠GCD＝∠PCD，证明△GCD≌△PCD，得到CG＝CP，进而证明△AFD≌△APD，得到AF＝AP，据此判断②；同理△ACD≌△AED，据此判断③；在DF上截取DM=CD，则DE是CM的垂直平分线，CE＝EM，易得∠ECG＝∠FEM，证明△EMF≌△CEG，得到FM＝GE，据此判断④.
9．【答案】将△ABO沿x轴向下翻折，在沿x轴向左平移2个单位长度得到△OCD
【知识点】利用轴对称设计图案；利用平移设计图案
【解析】【解答】解：将△ABO沿x轴向下翻折，再沿x轴向左平移2个单位长度得到△OCD.(答案不唯一).
故答案为：将△ABO沿x轴向下翻折，再沿x轴向左平移2个单位长度得到△OCD.
【分析】本题考查了坐标与图形变化-旋转、对称与平移，观察得出由△ABO得到△OCD的过程是解题的关键.
10．【答案】20
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵∠B=35°，∠C=90°，
∴∠CAB=55°，
∵MN是线段AB的垂直平分线，
∴AD=BD，
∴∠B=∠BAD=35°，
∴∠DAC=20°，
故答案为：20.
【分析】利用三角形内角和定理求出∠CAB=55°，由线段垂直平分线的性质得AD=BD，利用等边对等角得∠B=∠BAD=35°，根据∠DAC=∠CAB-∠BAD即可求解.
11．【答案】70
【知识点】三角形的外角性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：由作图可知，PO=PA，
∴∠PAO=∠O=35°，
∴∠APN=∠O+∠PAO=70°.
故答案为：70.
【分析】由作图可知：PO=PA，根据等边对等角得∠PAO=∠O=35°，由三角形的任意一个外角等于与之不相邻的两个内角的和可得∠APN=∠O+∠PAO，据此计算.
12．【答案】20
【知识点】三角形的外角性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：据题意得，.
∵，即，
∴，
∴.
由题意可知这艘船行驶的时间为（小时）.
∴（海里），
∴（海里）.
故答案为：20.
【分析】利用三角形外角的性质可求出∠C的度数，由此可证得∠A=∠C，利用等角对等边可证得AB=BC，利用船的运动速度和时间，可求出AB的长，即可得到BC的长.
13．【答案】6
【知识点】等腰三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；角平分线的定义
【解析】【解答】解：∵等边三角形ABC中，EF∥BC，
∴∠AEF=∠ABC=∠AFE=∠ACB=60°，AB=AC=BC，
∴△AEF也是等边三角形，
∴AE=EF=FA=4，
∴EB=FC，
∵∠ABC的平分线与∠ACB的平分线相交于D，且EF∥BC，
∴∠EBD=∠DBC=∠EDB=∠FCD=∠FDC=∠DCB=30°，
∴EB=ED=DF=FC，
∵EF=4，
∴EB=ED=DF=FC=2，
∴AB=AC=BC=AE+EB=6，
故答案为：6.
【分析】证得△AEF也是等边三角形，由等边三角形的性质可得AE=EF=FA=4，AB=AC=BC，从而得EB=FC，由角平分定义及平行线的性质得∠EBD=∠DBC=∠EDB=∠FCD=∠FDC=∠DCB=30°，利用等角对等边可得EB=ED=DF=FC=2，从而求出BC=AB=AE+EB=6.
14．【答案】70°
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；等腰三角形的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：延长AB到A′使得BA′=AB，延长AD到A″使得DA″=AD，连接A′A″与BC、CD分别交于点M、N.
∵∠ABC=∠ADC=90°，
∴A、A′关于BC对称，A、A″关于CD对称，
此时△AMN的周长最小，
∵BA=BA′，MB⊥AB，
∴MA=MA′，同理：NA=NA″，
∴∠A′=∠MAB，∠A″=∠NAD，
∵∠AMN=∠A′+∠MAB=2∠A′，∠ANM=∠A″+∠NAD=2∠A″，
∴∠AMN+∠ANM=2(∠A′+∠A″)，
∵∠BAD=125°，
∴∠A′+∠A″=180°﹣∠BAD=55°，
∴∠AMN+∠ANM=2×55°=110°.
∴∠MAN=180°﹣110°=70°.
故答案为：70°.
【分析】延长AB到A′使得BA′=AB，延长AD到A″使得DA″=AD，连接A′A″与BC、CD分别交于点M、N，此时△AMN的周长最小，易得MA=MA′，NA=NA″，由等腰三角形的性质可得∠A′=∠MAB，∠A″=∠NAD，结合外角的性质可得∠AMN=2∠A′，∠ANM=2∠A″，由内角和定理求出∠A′+∠A″的度数，进而得到∠AMN+∠ANM的度数，据此求解.
15．【答案】解：如图，
或如图，
【知识点】利用轴对称设计图案
【解析】【分析】此题主要考查了利用轴对称设计图案，根据轴对称图形的概念：平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形为轴对称图形进行解答.
16．【答案】解：⑴如图所示，即为所求；
⑵A、B、C三点关于x轴对称的点的坐标分别为：，，，
然后描点、连线，
∴即为所求；
⑶的面积为2．
【知识点】三角形的面积；作图﹣轴对称；平面直角坐标系的构成
【解析】【解答】（3）由图可得：，
∴的面积为2．
【分析】（1）根据点坐标直接画出三角形ABC即可；
（2）根据关于x轴对称的点坐标的特征找出点D、E、F，再连接即可；
（3）利用三角形面积公式求解即可。
17．【答案】证明：∵ ，
∴ ，
又∵ 是 的高，
∴ ，
∴ 在 和 中，
，
∴ （ ），
∴ ，
∴ .
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；等腰三角形的判定与性质；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【分析】根据等腰三角形的性质可得∠ABC=∠ACB，根据高线的概念可得∠CEB=∠BDC=90°，然后用AAS证明△BEC≌△CDB，得到∠ECB=∠DBC，最后根据等角对等边进行证明.
18．【答案】证明：
∵ 是等边三角形，
∴ ， ．
∵ 是中线，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∴ ．
∴ ．
【知识点】三角形的外角性质；等腰三角形的判定与性质；等边三角形的性质
【解析】【分析】对图形进行角标注，由等边三角形的性质可得∠ABC=∠1=60°，∠2=∠ABC=30°，由等腰三角形的性质得∠E=∠3，由外角的性质得∠1=∠E+∠3=60°，故∠E=∠3=30°，则∠E=∠2=30°，据此证明.
19．【答案】解：猜想：，理由如下：
连接，
∵，，
∴在的垂直平分线上，在的垂直平分线上，
∴是的垂直平分线，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
即
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【分析】首先连接CD，由AC=BC，AD=BD，可得CD是AB的垂直平分线，又由∠ACB=90°，易得三角形CDE是等腰直角三角形，继而证得结论。
20．【答案】证明：如图，延长FD到G，使DG＝DF，连结CG.
∵AD是BC边的中线，
∴BD＝CD.
在△BDF和△CDG中
，
∴△BDF≌△CDG（SAS），
∴BF＝CG，∠BFD＝∠G.
∵AE＝EF，
∴∠EAF＝∠EFA＝∠BFD，
∴∠G＝∠CAG，
∴AC＝CG，
∴BF＝AC.
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；等腰三角形的判定与性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】 如图，延长FD到G，使DG＝DF，连结CG，利用SAS证明△BDF≌△CDG，可得BF＝CG，∠BFD＝∠G，由等腰三角形性质及对顶角相等可得∠EAF＝∠EFA＝∠BFD，即得∠G＝∠CAG，由等角对等边可得AC＝CG，即得 BF＝AC.
21．【答案】解：（1）（3）如图所示，
（2）y.
【知识点】点的坐标；关于坐标轴对称的点的坐标特征
【解析】【分析】（1）利用点的坐标，在平面直角坐标系中分别描出（3，4）、（2，0）、（-3，2）、（-2，2）即可.
（2）利用平面直角坐标系可知“吾”的坐标为（5，-2）“辈”的坐标为（-5，-2），这两个点的纵坐标不变，横坐标互为相反数，可得到是关于y轴对称.
（3）利用关于x轴对称的点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数，可得到表示“自”、“强”的坐标，然后分别描出这两个点.
22．【答案】（1）解：∵ ，
∴△ABP为直角三角形，
∵∠B=30°，AB=6，
∴AP=3，
∴PD=AD-AP=3；
（2）证明：在△ABC和△ADE中，
，
∴△ABC≌△ADE（SAS），
∴∠BAC=∠DAE，
∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC，即∠BAD=∠CAE；
（3）解：设∠BAP=α，则∠PAC=90°-α，
∵∠B=30°，∠BAC=90°，
∴∠BCA=180°-30°-90°=60°，
∵AI、CI分别平分∠PAC，∠PCA，
∴∠IAC= ∠PAC= （90°-α）=45°- α，∠ICA= ∠PCA=30°，
∴∠AIC=180°-（∠IAC+∠ICA）
=180°-（45°- α+30°）
=105°+ α，
∵0°＜α＜90°，
∴105°＜ α+105°＜150°，即105°＜∠AIC＜150°，
∴m=105，n=150.
【知识点】三角形内角和定理；含30°角的直角三角形；三角形全等的判定（SAS）；角平分线的定义
【解析】【分析】（1）利用垂直的定义可推出△ABP是直角三角形，利用30°角所对的直角边等于斜边的一半，可求出AP的长；然后根据PD=AD-AP，可求出PD的长；
（2）利用SAS证明△ABC≌△ADE，利用全等三角形的对应角相等，可证得∠BAC=∠DAE，由此可推出结论；
（3）设∠BAP=α，则∠PAC=90°-α， 利用三角形的内角和定理求出∠BCA=60°，再利用角平分线的定义可得到∠IAC和∠ICA的度数；再根据∠AIC=180°-（∠IAC+∠ICA），可表示出∠AIC的度数，然后根据0°＜α＜90°，可得到m，n的值.
1 / 12023年八年级上册数学人教版单元分层测试 第十三章 轴对称 B卷
一、选择题
1．如图，在 的正方形网格中两个小正方形被涂黑，再将图中其余小正方形任意一个涂黑，使得整个图形（包括网格）构成一个轴对称图形，那么涂法共有（ ）
A．4种 B．5种 C．6种 D．7种
【答案】B
【知识点】利用轴对称设计图案
【解析】【解答】解：如图所示：所标数字之处都可以构成轴对称图形.
故有5种不同的方法.
故答案为：B.
【分析】此题主要考查了利用轴对称设计图案，根据轴对称图形的概念：平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形为轴对称图形进行解答.
2．（2021八上·遂宁期末）若等腰三角形的一个外角是70°，则它的底角的度数是（ ）
A．110° B．70° C．35° D．55°
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解： 等腰三角形的一个外角是 ，
与这个外角相邻的内角的度数为 ，
这个等腰三角形的顶角的度数为 ，底角的度数为 ，
故答案为：C.
【分析】利用等腰三角形的一个外角是70°，可求出与这个外角相邻的内角的度数，由于这个角是钝角，只能做顶角，然后根据三角形的内角和定理及等腰三角形的性质求出它的底角的度数即可.
3．（2021八上·海曙期末）如图，CD是等腰三角形 △ABC底边上的中线，BE平分∠ABC，交CD于点E，AC＝8，DE＝2，则 △ BCE的面积是（ ）
A．4 B．6 C．8 D．12
【答案】C
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：过点E作EF⊥BC于F，
∵AC＝BC＝8，CD是等腰三角形△ABC底边上的中线，
∴CD⊥AB，
∵BE平分∠ABC，ED⊥AB，EF⊥BC，
∴EF＝DE＝2，
∴△BCE的面积＝×BC×EF＝×8×2=8.
故答案为：C.
【分析】过点E作EF⊥BC于F，利用等腰三角形的性质可证得CD⊥AB，利用角平分线上的点到角两边的距离相等，可求出EF的长；再利用三角形的面积公式可求出△BCE的面积.
4．（2021八上·玉林期末）如图，在
中，
，
，观察图中尺规作图的痕迹，可知
的度数为（ ）
A．40° B．50° C．55° D．60°
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；作图-垂线
【解析】【解答】解：∵AC=BC
∴∠B=∠A=40°
∴∠ACB=180°－2∠A=100°
由尺规作图知，CF是AB的垂线，
根据等腰三角形的三线合一得∠BCG=
故答案为：B.
【分析】由等边对等角可得∠B=∠A=40°，利用三角形内角和可得∠ACB的度数，由尺规作图知，CF是AB的垂线，从而根据等腰三角形的三线合一得出答案.
5．（2021八上·丰台期末）如图，在平面直角坐标系中，可以看作是经过若干次图形的变化（平移、轴对称）得到的，下列由得到的变化过程错误的是（ ）
A．将沿轴翻折得到
B．将沿直线翻折，再向下平移个单位得到
C．将向下平移个单位，再沿直线翻折得到
D．将向下平移个单位，再沿直线翻折得到
【答案】C
【知识点】轴对称图形；图形的平移
【解析】【解答】解：A、根据图象可得：将沿x轴翻折得到，作图符合题意；
B、作图过程如图所示，作图符合题意；
C、如下图所示为作图过程，作图不符合题意；
D、如图所示为作图过程，作图符合题意；
故答案为：C．
【分析】根据翻折的性质逐一进行判断即可。
6．（2021八上·遵义期末）点D、E分别是等边三角形 的边 、 的中点， ，F是AD上一动点，则 的最小值是（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】A
【知识点】等边三角形的性质；轴对称的应用-最短距离问题；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：连接CE ，交AD于F，连接BF，则BF+EF最小（根据两点之间线段最短；点到直线垂直距离最短），
∵E是AB的中点，△ABC是等边三角形，
由于C和B关于AD对称，则BF+EF=CF，
∵等边△ABC中，BD=CD，
∴AD⊥BC，
∴AD是BC的垂直平分线（三线合一），
∴C和B关于直线AD对称，
∴CF=BF，
即BF+EF=CF+EF=CE，
∵AD⊥BC，CE⊥AB，
∴∠ADB=∠CEB=90°，
在△ADB和△CEB中，
，
∴△ADB≌△CEB（AAS），
∴CE=AD=6，
即BF+EF=6.
故答案为：A.
【分析】连接CE ，交AD于F，连接BF，则BF+EF最小，根据等边三角形的性质可得CE⊥AB，根据轴对称的性质可得BF+EF=CF，推出AD是BC的垂直平分线，得到CF=BF，则BF+EF=CF+EF=CE，证明△ADB≌△CEB，得到CE=AD=6，据此解答.
7．（2021八上·温州期中）如图，在等边△ABC中，D、E分别是BC、AC上的点，且AE=CD，AD、BE相交于F， BH⊥AD于H点，FH=3，EF=0.5，则AD的长为（ ）
A．6 B．6.5 C．7 D．7.5
【答案】B
【知识点】三角形的外角性质；等边三角形的性质；含30°角的直角三角形；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，∠BAE=∠DCA=60°，
在△ABE和△CAD中，
，
∴△ABE≌△CAD（SAS），
∴BE=AD，∠CAD=∠ABE，
∴∠BFH=∠ABF+∠BAF=∠CAD+∠BAF=60°，
∴∠FBH=90°-∠BFH=30°，
∴BF=2FH=6，
∴BE=BF+EF=6+0.5=6.5，
∴AD=BE=6.5.
故答案为：B.
【分析】根据等边三角形的性质得出AB=AC，∠BAE=∠DCA，然后利用SAS证明△ABE≌△CAD，得出BE=AD，∠CAD=∠ABE，然后利用三角形外角的性质求出∠BFH=60°，则可根据含30°角的直角三角形的性质求出BF，然后利用全等三角形的性质即可得出AD的长 .
8．（2021八上·长沙月考）如图，在Rt△ABC中，∠CBA＝90°，∠CAB的角平分线AP和∠MCB的平分线CF相交于点D，AD交CB于点P，CF交AB的延长线于点F，过点D作DE⊥CF交CB的延长线于点G，交AB的延长线于点E，连接CE并延长交FG于点H，则下列结论：①∠CDA＝45°；②AF﹣CG＝CA；③DE＝DC；④CF＝2CD+EG；其中正确的有（ ）
A．②③ B．②④ C．①②③④ D．①③④
【答案】C
【知识点】三角形的外角性质；三角形全等的判定；线段垂直平分线的性质；角平分线的定义
【解析】【解答】解：设∠GCD＝x，∠DAC＝y，根据三角形外角的性质可得：
，
∴ ，故①正确；
延长GD与AC相交于点P，
∵DE⊥CF，
∴∠CDG＝∠CDP＝90°，
∵CF平分∠GCP，
∴∠GCD＝∠PCD，
在△GCD和△PCD中，
，
∴△GCD≌△PCD（ASA），
∴CG＝CP，
∵∠ADC＝45°，
∴∠ADP＝∠ADF，
在△AFD和△APD中，
，
∴△AFD≌△APD（ASA），
∴AF＝AP，
∴AF﹣CG＝CA，故②正确；
同理△ACD≌△AED（ASA），
∴CD＝DE，故③正确；
在DF上截取DM＝CD，则DE是CM的垂直平分线，
∴CE＝EM，
∵∠ECG＝∠GCD﹣45°，∠MEF＝∠DEF﹣45°，
∴∠ECG＝∠FEM，
∵EF＝CP，CP＝CG，
∴EF＝CG，
在△EMF和△CEG中，
，
∴ （SAS），
∴FM＝GE，
∴CF＝2CD+EG，故④正确；
故答案为：C.
【分析】设∠GCD＝x，∠DAC＝y，根据三角形外角的性质可得∠ADC=45°，据此判断①；延长GD与AC相交于点P，根据角平分线的概念可得∠GCD＝∠PCD，证明△GCD≌△PCD，得到CG＝CP，进而证明△AFD≌△APD，得到AF＝AP，据此判断②；同理△ACD≌△AED，据此判断③；在DF上截取DM=CD，则DE是CM的垂直平分线，CE＝EM，易得∠ECG＝∠FEM，证明△EMF≌△CEG，得到FM＝GE，据此判断④.
二、填空题
9．如图，在平面直角坐标系xOy中，△OCD可以看作是△ABO经过若干次图形的变化（平移、轴对称、旋转）得到的，写出一种由△ABO得到△OCD的过程： .
【答案】将△ABO沿x轴向下翻折，在沿x轴向左平移2个单位长度得到△OCD
【知识点】利用轴对称设计图案；利用平移设计图案
【解析】【解答】解：将△ABO沿x轴向下翻折，再沿x轴向左平移2个单位长度得到△OCD.(答案不唯一).
故答案为：将△ABO沿x轴向下翻折，再沿x轴向左平移2个单位长度得到△OCD.
【分析】本题考查了坐标与图形变化-旋转、对称与平移，观察得出由△ABO得到△OCD的过程是解题的关键.
10．（2021八上·岳阳期末）如图，在 中， ， ，线段AB的垂直平分线MN与AB交于点E，与BC交于点D，连接AD，则 度.
【答案】20
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵∠B=35°，∠C=90°，
∴∠CAB=55°，
∵MN是线段AB的垂直平分线，
∴AD=BD，
∴∠B=∠BAD=35°，
∴∠DAC=20°，
故答案为：20.
【分析】利用三角形内角和定理求出∠CAB=55°，由线段垂直平分线的性质得AD=BD，利用等边对等角得∠B=∠BAD=35°，根据∠DAC=∠CAB-∠BAD即可求解.
11．（2021八上·句容期末）如图， ，点P在 的边 上，以点P为圆心， 为半径画弧，交 于点A，连接 ，则 .
【答案】70
【知识点】三角形的外角性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：由作图可知，PO=PA，
∴∠PAO=∠O=35°，
∴∠APN=∠O+∠PAO=70°.
故答案为：70.
【分析】由作图可知：PO=PA，根据等边对等角得∠PAO=∠O=35°，由三角形的任意一个外角等于与之不相邻的两个内角的和可得∠APN=∠O+∠PAO，据此计算.
12．（2021八上·南京期末）如图，上午9时，一艘船从小岛A出发，以12海里的速度向正北方向航行，10时40分到达小岛B处，若从灯塔C处分别测得小岛A、B在南偏东34°、68°方向，则小岛B处到灯塔C的距离是 海里.
【答案】20
【知识点】三角形的外角性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：据题意得，.
∵，即，
∴，
∴.
由题意可知这艘船行驶的时间为（小时）.
∴（海里），
∴（海里）.
故答案为：20.
【分析】利用三角形外角的性质可求出∠C的度数，由此可证得∠A=∠C，利用等角对等边可证得AB=BC，利用船的运动速度和时间，可求出AB的长，即可得到BC的长.
13．（2021八上·松桃期末）如图，在等边三角形ABC中，
的平分线与
的平分线相交于D，过点D作
交AB于E，交AC于F，
，则BC的长为 .
【答案】6
【知识点】等腰三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；角平分线的定义
【解析】【解答】解：∵等边三角形ABC中，EF∥BC，
∴∠AEF=∠ABC=∠AFE=∠ACB=60°，AB=AC=BC，
∴△AEF也是等边三角形，
∴AE=EF=FA=4，
∴EB=FC，
∵∠ABC的平分线与∠ACB的平分线相交于D，且EF∥BC，
∴∠EBD=∠DBC=∠EDB=∠FCD=∠FDC=∠DCB=30°，
∴EB=ED=DF=FC，
∵EF=4，
∴EB=ED=DF=FC=2，
∴AB=AC=BC=AE+EB=6，
故答案为：6.
【分析】证得△AEF也是等边三角形，由等边三角形的性质可得AE=EF=FA=4，AB=AC=BC，从而得EB=FC，由角平分定义及平行线的性质得∠EBD=∠DBC=∠EDB=∠FCD=∠FDC=∠DCB=30°，利用等角对等边可得EB=ED=DF=FC=2，从而求出BC=AB=AE+EB=6.
14．（2021八上·宜兴月考）四边形ABCD中，∠BAD＝125°，∠B＝∠D＝90°，在BC、CD上分别找一点M、N，当三角形AMN周长最小时，∠MAN的度数为 .
【答案】70°
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；等腰三角形的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：延长AB到A′使得BA′=AB，延长AD到A″使得DA″=AD，连接A′A″与BC、CD分别交于点M、N.
∵∠ABC=∠ADC=90°，
∴A、A′关于BC对称，A、A″关于CD对称，
此时△AMN的周长最小，
∵BA=BA′，MB⊥AB，
∴MA=MA′，同理：NA=NA″，
∴∠A′=∠MAB，∠A″=∠NAD，
∵∠AMN=∠A′+∠MAB=2∠A′，∠ANM=∠A″+∠NAD=2∠A″，
∴∠AMN+∠ANM=2(∠A′+∠A″)，
∵∠BAD=125°，
∴∠A′+∠A″=180°﹣∠BAD=55°，
∴∠AMN+∠ANM=2×55°=110°.
∴∠MAN=180°﹣110°=70°.
故答案为：70°.
【分析】延长AB到A′使得BA′=AB，延长AD到A″使得DA″=AD，连接A′A″与BC、CD分别交于点M、N，此时△AMN的周长最小，易得MA=MA′，NA=NA″，由等腰三角形的性质可得∠A′=∠MAB，∠A″=∠NAD，结合外角的性质可得∠AMN=2∠A′，∠ANM=2∠A″，由内角和定理求出∠A′+∠A″的度数，进而得到∠AMN+∠ANM的度数，据此求解.
三、作图题
15．某居民小区要在一块矩形空地（如图）上建花坛，现征集设计方案，要求设计的图案由圆和正方形组成（圆和正方形的个数不限），并且使整个矩形场地为轴对称图形.请给出你的设计方案.
【答案】解：如图，
或如图，
【知识点】利用轴对称设计图案
【解析】【分析】此题主要考查了利用轴对称设计图案，根据轴对称图形的概念：平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形为轴对称图形进行解答.
16．（2021八上·铁西期末）已知点A（1，﹣1），B（﹣1，4），C（﹣3，1）．
⑴请在如图所示的平面直角坐标系中（每个小正方形的边长都为1）画出△ABC；
⑵作△ABC关于x轴对称的△DEF，其中点A，B，C的对应点分别为点D，E，F；
⑶连接CE，CF，请直接写出△CEF的面积．
【答案】解：⑴如图所示，即为所求；
⑵A、B、C三点关于x轴对称的点的坐标分别为：，，，
然后描点、连线，
∴即为所求；
⑶的面积为2．
【知识点】三角形的面积；作图﹣轴对称；平面直角坐标系的构成
【解析】【解答】（3）由图可得：，
∴的面积为2．
【分析】（1）根据点坐标直接画出三角形ABC即可；
（2）根据关于x轴对称的点坐标的特征找出点D、E、F，再连接即可；
（3）利用三角形面积公式求解即可。
四、解答题
17．（2021八上·泗洪期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，高BD、CE相于点O.证明OB＝OC.
【答案】证明：∵ ，
∴ ，
又∵ 是 的高，
∴ ，
∴ 在 和 中，
，
∴ （ ），
∴ ，
∴ .
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；等腰三角形的判定与性质；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【分析】根据等腰三角形的性质可得∠ABC=∠ACB，根据高线的概念可得∠CEB=∠BDC=90°，然后用AAS证明△BEC≌△CDB，得到∠ECB=∠DBC，最后根据等角对等边进行证明.
18．（2021八上·盐池期末）如图， 是等边三角形， 是中线，延长 至E，使 ．求证： ．
【答案】证明：
∵ 是等边三角形，
∴ ， ．
∵ 是中线，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∴ ．
∴ ．
【知识点】三角形的外角性质；等腰三角形的判定与性质；等边三角形的性质
【解析】【分析】对图形进行角标注，由等边三角形的性质可得∠ABC=∠1=60°，∠2=∠ABC=30°，由等腰三角形的性质得∠E=∠3，由外角的性质得∠1=∠E+∠3=60°，故∠E=∠3=30°，则∠E=∠2=30°，据此证明.
19．（2021八上·济宁月考）在中为直角，，为外一点，且，交延长线于点，探求，，之间有何数量关系．
【答案】解：猜想：，理由如下：
连接，
∵，，
∴在的垂直平分线上，在的垂直平分线上，
∴是的垂直平分线，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
即
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【分析】首先连接CD，由AC=BC，AD=BD，可得CD是AB的垂直平分线，又由∠ACB=90°，易得三角形CDE是等腰直角三角形，继而证得结论。
20．（2020八上·南靖月考）如图，已知在△ABC中，AD是BC边上的中线，F是AD上一点，延长BF交AC于E，且AE＝EF，求证：BF＝AC.
【答案】证明：如图，延长FD到G，使DG＝DF，连结CG.
∵AD是BC边的中线，
∴BD＝CD.
在△BDF和△CDG中
，
∴△BDF≌△CDG（SAS），
∴BF＝CG，∠BFD＝∠G.
∵AE＝EF，
∴∠EAF＝∠EFA＝∠BFD，
∴∠G＝∠CAG，
∴AC＝CG，
∴BF＝AC.
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；等腰三角形的判定与性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】 如图，延长FD到G，使DG＝DF，连结CG，利用SAS证明△BDF≌△CDG，可得BF＝CG，∠BFD＝∠G，由等腰三角形性质及对顶角相等可得∠EAF＝∠EFA＝∠BFD，即得∠G＝∠CAG，由等角对等边可得AC＝CG，即得 BF＝AC.
五、综合题
21．（2022八下·泾阳月考）2021年12月13日是第八个南京大屠杀死难者国家公祭日，南京大屠杀死难者国家公祭日是为了纪念在南京大屠杀中被日军杀害的30万无辜军民，它的设立表明中国人民反对侵略战争、捍卫人类尊严、维护世界和平的坚定立场已知表示“勿”、“忘”、“历”、“史”的点的坐标分别为（3，4）、（2，0）、（-3，2）、（-2，2）．
（1）请在平面直角坐标系中标出这些点；
（2）表示“吾”“辈”的这两个点关于 轴对称；
（3）已知表示“自”、“强”的点分别与“史”、“勿”关于x轴对称，请在图中标出这两个点．
【答案】解：（1）（3）如图所示，
（2）y.
【知识点】点的坐标；关于坐标轴对称的点的坐标特征
【解析】【分析】（1）利用点的坐标，在平面直角坐标系中分别描出（3，4）、（2，0）、（-3，2）、（-2，2）即可.
（2）利用平面直角坐标系可知“吾”的坐标为（5，-2）“辈”的坐标为（-5，-2），这两个点的纵坐标不变，横坐标互为相反数，可得到是关于y轴对称.
（3）利用关于x轴对称的点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数，可得到表示“自”、“强”的坐标，然后分别描出这两个点.
22．（2021八上·汉阴期末）如图， 和 中， ， 与 交于点P（不与点B，C重合），点B，E在 异侧， 、 的平分线相交于点I.
（1）当 时，求 的长；
（2）求证： ；
（3）当 时， 的取值范围为 ，求m，n的值.
【答案】（1）解：∵ ，
∴△ABP为直角三角形，
∵∠B=30°，AB=6，
∴AP=3，
∴PD=AD-AP=3；
（2）证明：在△ABC和△ADE中，
，
∴△ABC≌△ADE（SAS），
∴∠BAC=∠DAE，
∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC，即∠BAD=∠CAE；
（3）解：设∠BAP=α，则∠PAC=90°-α，
∵∠B=30°，∠BAC=90°，
∴∠BCA=180°-30°-90°=60°，
∵AI、CI分别平分∠PAC，∠PCA，
∴∠IAC= ∠PAC= （90°-α）=45°- α，∠ICA= ∠PCA=30°，
∴∠AIC=180°-（∠IAC+∠ICA）
=180°-（45°- α+30°）
=105°+ α，
∵0°＜α＜90°，
∴105°＜ α+105°＜150°，即105°＜∠AIC＜150°，
∴m=105，n=150.
【知识点】三角形内角和定理；含30°角的直角三角形；三角形全等的判定（SAS）；角平分线的定义
【解析】【分析】（1）利用垂直的定义可推出△ABP是直角三角形，利用30°角所对的直角边等于斜边的一半，可求出AP的长；然后根据PD=AD-AP，可求出PD的长；
（2）利用SAS证明△ABC≌△ADE，利用全等三角形的对应角相等，可证得∠BAC=∠DAE，由此可推出结论；
（3）设∠BAP=α，则∠PAC=90°-α， 利用三角形的内角和定理求出∠BCA=60°，再利用角平分线的定义可得到∠IAC和∠ICA的度数；再根据∠AIC=180°-（∠IAC+∠ICA），可表示出∠AIC的度数，然后根据0°＜α＜90°，可得到m，n的值.
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