2023年八年级上册数学人教版单元分层测试 第十四章 整式的乘法与因式分解 B卷
一、选择题
1．（2021八上·遂宁期末）利用乘法公式计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用
【解析】【解答】解：A、 ，此项错误；
B、 ，此项错误；
C、 ，此项错误；
D、 ，此项正确.
故答案为：D.
【分析】利用完全平方公式（a±b）2=a2±2ab+b2，可对A，C，D作出判断；再利用平方差公式：（a+b）（a-b）=a2-b2，可对B作出判断.
2．（2021八上·遂宁期末）如果 ，则 （ ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】B
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解： ，
∴（x+y）2=9
，
而 ，
，
.
故答案为： B .
【分析】将x+y=3的两边同时平方，然后整体代入，可求出xy的值.
3．（2021八上·凉山期末）如图，给出了正方形ABCD的面积的四个表达式，其中错误的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【知识点】整式的混合运算
【解析】【解答】解：A、
，不是正方形的面积，故此选项符合题意；
B、
，是正方形的面积，故此选项不符合题意；
C、
，是正方形的面积，故此选项不符合题意；
D、
，是正方形的面积，故此选项不符合题意；
故答案为：A.
【分析】根据正方形的面积和等于四个部分的面积之和可判断B；根据图形可得正方形ABCD的边长为(x+a)，结合正方形的面积公式可判断C；对D中的式子变形可得(x+a)(x+a)，据此判断D.
4．（2021八上·遂宁期末）设 ，则 的值为（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】A
【知识点】单项式乘单项式
【解析】【解答】解： ，
，
解得 ，
则 ，
故答案为：A.
【分析】利用单项式乘以单项式的法则，先求出等式的左边，由此可得到m，n的值；再将m，n的值代入代数式进行计算可求出结果.
5．（2021八上·遵义期末）若 ，则 的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：∵ ，
∴ ，即
，
∴ ，
.
故答案为：C.
【分析】根据完全平方公式可得(a+
)2=a2+2+
=9，则a2+
=7，对待求式的分子、分母同时除以a2可得
，据此计算.
6．（2021八上·南昌期末）已知是自然数，且满足，则的取值不可能是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解：原式=
∵式中有乘数3的倍数
∴
∵不能被3整除
∴原式中只能有1个3
∴原式化为
∴
∴
∵是自然数
∴
解得
当时，，得；
当时，，得；
当时，，得；
当时，，得；
故答案为：D．
【分析】将原方程化为，得出，再根据是自然数，求出a、c的值，进而求出答案。
7．（2020八上·泉州月考） 的计算结果的个位数字是（ ）
A．8 B．6 C．2 D．0
【答案】D
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：
， ， ， ， ， ， ， ，
的个位是以指数1到4为一个周期，幂的个位数字重复出现，
，故 与 的个位数字相同即为1，
∴ 的个位数字为0，
∴ 的个位数字是0．
故答案为：D．
【分析】先将2变形为 （3-1） ，再根据平方差公式求出结果，根据规律得出答案即可．
8．（2021八上·隆昌期中）有两个正方形A，B.现将B放在A的内部得图甲，将A，B构造新的正方形得图乙.若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为1和12，若三个正方形A和两个正方形B得图丙，则阴影部分的面积为（ ）
A．28 B．29 C．30 D．31
【答案】B
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：设正方形 A、B的边长分别为 （ ），由图甲可得
由图乙可得：
即
，
，
图丙的阴影部分面积为：
.
故答案为：B.
【分析】设正方形A、B的边长分别为 （ ），由图甲可得 ，由图乙可得： ，从而求出，，，图丙的阴影部分面积为，然后整体代入计算即可.
二、填空题
9．（2021八上·汉阴期末）引入新数i，新数i满足分配律、结合律、交换律，已知 ，则 .
【答案】2
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解： .
故答案为：2.
【分析】首先利用平方差公式将待求式子展开，再将i2=-1代入计算，可求出结果.
10．（2021八上·川汇期末）因式定理：对于多项式，若，则是的一个因式，并且可以通过添减单项式从中分离出来.例如，由于，所以是的一个因式.于是.则 .
【答案】
【知识点】因式分解的应用
【解析】【解答】解：
=
=
=
故答案为：.
【分析】将多项式2x3-3x+1添项折项可得原式=2x3-2x2+2x2-2x-x+1，依次两两分组分解即可求解.
11．（2021八上·铁西期中）（x2﹣mx+6）（4x﹣2）的积中不含x的二次项，则m的值是 ．
【答案】
【知识点】多项式乘多项式；多项式的项、系数与次数
【解析】【解答】 （x2﹣mx+6）（4x﹣2）
不含x的二次项，
解得
故答案为：
【分析】利用多项式乘多项式的计算法则展开，再根据 不含x的二次项，可得2+4m=0，即可求出m的值。
12．（2019八上·黄梅月考）将边长分别为1、2、3、4……19、20的正方形置于直角坐标系第一象限，如图中方式叠放，则按图示规律排列的所有阴影部分的面积之和为 .
【答案】210
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：由图可知：第一个阴影部分的面积=22－12，第二个阴影部分的面积=42－32，第三个图形的面积=62－52由此类推，第十个阴影部分的面积=202-192，因此，图中阴影部分的面积为：
（22－1）＋（42－32）＋…＋（202－192）
=（2＋1）（2－1）＋（4＋3）（4－3）+…+（20＋19）（20－19）
=1＋2＋3＋4＋…＋19＋20
=210.
故答案为：210.
【分析】根据正方形面积公式分别列出每个阴影部分的面积，然后根据平方差公式把每个阴影部分面积关系式分解因式将原式化简，最后求和即可.
三、计算题
13．把下列各式分解因式.
（1） ；
（2）
【答案】（1）解：
（2）解：
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【分析】（1）利用完全平方公式进形因式分解即可求解；
（2）利用平方差公式进行因式分解即可求解；
四、解答题
14．（2021八上·庄浪期末）若
的三边长分别为a、b、c，且
，判断
的形状.
【答案】解：∵，
∴，
∵的三边长分别为a、b、c，
∴，
∴，
∴是等腰三角形.
【知识点】因式分解的应用；等腰三角形的判定
【解析】【分析】将已知等式转化为（b-c）（b+c+2a）=0，由此可证得b=c，即可判断出△ABC的形状.
15．（2021八上·东平月考）求证：对于任意自然数n，（n+7）2-（n-5）2都能被24整除.
【答案】解：
=24（n+1），
∴能被24整除.
【知识点】因式分解的应用
【解析】【分析】利用平方差公式将代数式（n+7）2-（n-5）2因式分解可以得到（n+7）2-（n-5）2=24（n+1），即可得到答案。
16．问题再现：
数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助这种方法可将抽象的数学知识变得直观起来并且具有可操作性，从而可以帮助我们快速解题．初中数学里的一些代数公式，很多都可以通过表示几何图形面积的方法进行直观推导和解释．
例如：利用图形的几何意义证明完全平方公式．
证明：将一个边长为a的正方形的边长增加b，形成两个矩形和两个正方形，如图1：
这个图形的面积可以表示成：
（a+b）2或 a2+2ab+b2
∴（a+b）2 =a2+2ab+b2
这就验证了两数和的完全平方公式．
类比解决：
①请你类比上述方法，利用图形的几何意义证明平方差公式．（要求画出图形并写出推理过程）
问题提出：如何利用图形几何意义的方法证明：13+23=32？
如图2，A表示1个1×1的正方形，即：1×1×1=13
B表示1个2×2的正方形，C与D恰好可以拼成1个2×2的正方形，因此：B、C、D就可以表示2个2×2的正方形，即：2×2×2=23
而A、B、C、D恰好可以拼成一个（1+2）×（1+2）的大正方形．
由此可得：13+23=（1+2）2=32
尝试解决：
②请你类比上述推导过程，利用图形的几何意义确定：13+23+33= ▲ ．（要求写出结论并构造图形写出推证过程）．
问题拓广：
③请用上面的表示几何图形面积的方法探究：13+23+33+…+n3= ▲ ．（直接写出结论即可，不必写出解题过程）
【答案】①解：∵如图，左图的阴影部分的面积是a2﹣b2，
右图的阴影部分的面积是（a+b）（a﹣b），
∴a2﹣b2=（a+b）（a﹣b），
这就验证了平方差公式；
②62；
③[ n（n+1）]2
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：②如图，
A表示1个1×1的正方形，即1×1×1=13；
B表示1个2×2的正方形，C与D恰好可以拼成1个2×2的正方形，
因此：B、C、D就可以表示2个2×2的正方形，即：2×2×2=23；
G与H，E与F和I可以表示3个3×3的正方形，即3×3×3=33；
而整个图形恰好可以拼成一个（1+2+3）×（1+2+3）的大正方形，
由此可得：13+23+33=（1+2+3）2=62；
故答案为：62；
③由上面表示几何图形的面积探究可知，13+23+33+…+n3=（1+2+3+…+n）2，
又∵1+2+3+…+n= n（n+1），
∴13+23+33+…+n3=[ n（n+1）]2．
故答案为：[ n（n+1）]2．
【分析】①从大正方形减去小正方形，阴影部分为a2﹣b2，第二个图阴影部分的面积为（a+b）（a-b），可以推证平方差公式。
②如图，A表示面积为1×1的正方形，B、C、D就可以表示2个2×2的正方形，G与H，E与F和I可以表示3个3×3的正方形，表示出总和即等于大正方形的面积即62。
③由②的推断可知，13+23+33+…+n3=（1+2+3+4+...+n）2，然后化简求出结果即可。
五、综合题
17．（2021八上·玉林期末）已知 ， .
（1）当 时，求 的值；
（2）求 的值.
【答案】（1）解：∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴原式= ；
（2）解：∵ ， ，
∴ ，
∴
=
=
=7.
【知识点】同底数幂的乘法；完全平方公式及运用；幂的乘方
【解析】【分析】（1）根据同底数幂的乘法及幂的乘方将待求式子化简 ，然后整体代入计算即可；
（2）根据完全平方公式可得，利用平方差公式将第二项化简，然后整体代入计算即可.
18．（2021八上·二道期末）例如：若a+b＝3，ab＝1，求a2+b2的值．
解：因为a+b＝3，所以（a+b）2＝9，即：a2+2ab+b2＝9，
又因为ab＝1，所以a2+b2＝7．
根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：
（1）若x+y＝8，x2+y2＝40，求xy的值；
（2）填空：若（4﹣x）x＝5，则（4﹣x）2+x2＝ ；
（3）如图所示，已知正方形ABCD的边长为x，E，F分别是AD、DC上的点，CF＝2，长方形EMFD的面积是12，则x的值为 ．
【答案】（1）解：∵x+y=8，
∴，即，
又∵，
∴2xy=24，
∴xy=12；
（2）6
（3）5
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：(2)
=16-2×5
=6，
故答案为：6；
(3)由题意得(x-1)(x-2)=12，
设x-1=a，x-2=b，则ab=12，
∴a-b=(x-1)-(x-2)=1，
又∵，
∴，
∴，
∴2x-3=±7，
∴x=5或x=-2(舍)．
故答案为：5．
【分析】（1）根据，代入计算即可；
（2）利用转化的思想，代入计算即可；
（3）根据面积公式得出(x-1)(x-2)=12，设x-1=a，x-2=b，则ab=12，再根据，代入得出，进而得出x的值即可。
19．（2021八上·吉林期末）有若干张正方形和长方形卡片如图①所示，其中A型、B型卡片分别是边长为a、b的正方形．C型卡片是长为a、宽为b的长方形．
（1）【操作一】若用图①中的卡片拼成一个边长为a+3b的正方形，则需要A型卡片 张，B型卡片 张，C型卡片 张；
（2）【操作二】将C型卡片沿如图①所示虚线剪开后，拼成如图②所示的正方形，则选取C型卡片 张，阴影部分图形的面积可表示为 ；
（3）【操作三】如图③，将2张A型卡片和2张B型卡片无叠合的置于长为2a+b，宽为a+2b的长方形中．若图②中阴影部分的面积为4，图③中阴影部分面积为15，记每张A型、B型、C型卡片的面积分别为SA、SB、SC，求SA+SB+SC的值．
【答案】（1）1；9；6
（2）2；(a-b)2
（3）解：由②，得（a-b）2=4，即a2-2ab+b2=4①，
由③，得（2a+b）（a+2b）-2a2-2b2=15，化简，得ab=3②，
将②代入①，得a2+b2=10，
∴SA+SB+SC=a2+b2+ab=13．
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】解：(1)∵（a+3b）2=a2+6ab+9b2，
故需要A型卡片1张，B型卡片9张，C型卡片6张；
故答案为：1；9；6；
(2)图②阴影部分图形的面积可表示为：
()2 4×ab=a2-2ab+b2=(a-b)2，
故答案为：取C型卡片2张，阴影部分图形的面积可表示为(a-b)2；
故答案为：2；(a-b)2；
【分析】（1）根据完全平方公式化简即可；
（2）求出阴影部分图形的面积即可；
（3）利用三种图形的面积分别表示图二和图三的阴影部分的面积构建二元一次方程组，利用整体代入法，进而求得答案。
1 / 12023年八年级上册数学人教版单元分层测试 第十四章 整式的乘法与因式分解 B卷
一、选择题
1．（2021八上·遂宁期末）利用乘法公式计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2021八上·遂宁期末）如果 ，则 （ ）
A．1 B． C．2 D．
3．（2021八上·凉山期末）如图，给出了正方形ABCD的面积的四个表达式，其中错误的是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2021八上·遂宁期末）设 ，则 的值为（ ）
A． B． C．1 D．
5．（2021八上·遵义期末）若 ，则 的值是（ ）
A． B． C． D．
6．（2021八上·南昌期末）已知是自然数，且满足，则的取值不可能是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
7．（2020八上·泉州月考） 的计算结果的个位数字是（ ）
A．8 B．6 C．2 D．0
8．（2021八上·隆昌期中）有两个正方形A，B.现将B放在A的内部得图甲，将A，B构造新的正方形得图乙.若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为1和12，若三个正方形A和两个正方形B得图丙，则阴影部分的面积为（ ）
A．28 B．29 C．30 D．31
二、填空题
9．（2021八上·汉阴期末）引入新数i，新数i满足分配律、结合律、交换律，已知 ，则 .
10．（2021八上·川汇期末）因式定理：对于多项式，若，则是的一个因式，并且可以通过添减单项式从中分离出来.例如，由于，所以是的一个因式.于是.则 .
11．（2021八上·铁西期中）（x2﹣mx+6）（4x﹣2）的积中不含x的二次项，则m的值是 ．
12．（2019八上·黄梅月考）将边长分别为1、2、3、4……19、20的正方形置于直角坐标系第一象限，如图中方式叠放，则按图示规律排列的所有阴影部分的面积之和为 .
三、计算题
13．把下列各式分解因式.
（1） ；
（2）
四、解答题
14．（2021八上·庄浪期末）若
的三边长分别为a、b、c，且
，判断
的形状.
15．（2021八上·东平月考）求证：对于任意自然数n，（n+7）2-（n-5）2都能被24整除.
16．问题再现：
数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助这种方法可将抽象的数学知识变得直观起来并且具有可操作性，从而可以帮助我们快速解题．初中数学里的一些代数公式，很多都可以通过表示几何图形面积的方法进行直观推导和解释．
例如：利用图形的几何意义证明完全平方公式．
证明：将一个边长为a的正方形的边长增加b，形成两个矩形和两个正方形，如图1：
这个图形的面积可以表示成：
（a+b）2或 a2+2ab+b2
∴（a+b）2 =a2+2ab+b2
这就验证了两数和的完全平方公式．
类比解决：
①请你类比上述方法，利用图形的几何意义证明平方差公式．（要求画出图形并写出推理过程）
问题提出：如何利用图形几何意义的方法证明：13+23=32？
如图2，A表示1个1×1的正方形，即：1×1×1=13
B表示1个2×2的正方形，C与D恰好可以拼成1个2×2的正方形，因此：B、C、D就可以表示2个2×2的正方形，即：2×2×2=23
而A、B、C、D恰好可以拼成一个（1+2）×（1+2）的大正方形．
由此可得：13+23=（1+2）2=32
尝试解决：
②请你类比上述推导过程，利用图形的几何意义确定：13+23+33= ▲ ．（要求写出结论并构造图形写出推证过程）．
问题拓广：
③请用上面的表示几何图形面积的方法探究：13+23+33+…+n3= ▲ ．（直接写出结论即可，不必写出解题过程）
五、综合题
17．（2021八上·玉林期末）已知 ， .
（1）当 时，求 的值；
（2）求 的值.
18．（2021八上·二道期末）例如：若a+b＝3，ab＝1，求a2+b2的值．
解：因为a+b＝3，所以（a+b）2＝9，即：a2+2ab+b2＝9，
又因为ab＝1，所以a2+b2＝7．
根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：
（1）若x+y＝8，x2+y2＝40，求xy的值；
（2）填空：若（4﹣x）x＝5，则（4﹣x）2+x2＝ ；
（3）如图所示，已知正方形ABCD的边长为x，E，F分别是AD、DC上的点，CF＝2，长方形EMFD的面积是12，则x的值为 ．
19．（2021八上·吉林期末）有若干张正方形和长方形卡片如图①所示，其中A型、B型卡片分别是边长为a、b的正方形．C型卡片是长为a、宽为b的长方形．
（1）【操作一】若用图①中的卡片拼成一个边长为a+3b的正方形，则需要A型卡片 张，B型卡片 张，C型卡片 张；
（2）【操作二】将C型卡片沿如图①所示虚线剪开后，拼成如图②所示的正方形，则选取C型卡片 张，阴影部分图形的面积可表示为 ；
（3）【操作三】如图③，将2张A型卡片和2张B型卡片无叠合的置于长为2a+b，宽为a+2b的长方形中．若图②中阴影部分的面积为4，图③中阴影部分面积为15，记每张A型、B型、C型卡片的面积分别为SA、SB、SC，求SA+SB+SC的值．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用
【解析】【解答】解：A、 ，此项错误；
B、 ，此项错误；
C、 ，此项错误；
D、 ，此项正确.
故答案为：D.
【分析】利用完全平方公式（a±b）2=a2±2ab+b2，可对A，C，D作出判断；再利用平方差公式：（a+b）（a-b）=a2-b2，可对B作出判断.
2．【答案】B
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解： ，
∴（x+y）2=9
，
而 ，
，
.
故答案为： B .
【分析】将x+y=3的两边同时平方，然后整体代入，可求出xy的值.
3．【答案】A
【知识点】整式的混合运算
【解析】【解答】解：A、
，不是正方形的面积，故此选项符合题意；
B、
，是正方形的面积，故此选项不符合题意；
C、
，是正方形的面积，故此选项不符合题意；
D、
，是正方形的面积，故此选项不符合题意；
故答案为：A.
【分析】根据正方形的面积和等于四个部分的面积之和可判断B；根据图形可得正方形ABCD的边长为(x+a)，结合正方形的面积公式可判断C；对D中的式子变形可得(x+a)(x+a)，据此判断D.
4．【答案】A
【知识点】单项式乘单项式
【解析】【解答】解： ，
，
解得 ，
则 ，
故答案为：A.
【分析】利用单项式乘以单项式的法则，先求出等式的左边，由此可得到m，n的值；再将m，n的值代入代数式进行计算可求出结果.
5．【答案】C
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：∵ ，
∴ ，即
，
∴ ，
.
故答案为：C.
【分析】根据完全平方公式可得(a+
)2=a2+2+
=9，则a2+
=7，对待求式的分子、分母同时除以a2可得
，据此计算.
6．【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解：原式=
∵式中有乘数3的倍数
∴
∵不能被3整除
∴原式中只能有1个3
∴原式化为
∴
∴
∵是自然数
∴
解得
当时，，得；
当时，，得；
当时，，得；
当时，，得；
故答案为：D．
【分析】将原方程化为，得出，再根据是自然数，求出a、c的值，进而求出答案。
7．【答案】D
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：
， ， ， ， ， ， ， ，
的个位是以指数1到4为一个周期，幂的个位数字重复出现，
，故 与 的个位数字相同即为1，
∴ 的个位数字为0，
∴ 的个位数字是0．
故答案为：D．
【分析】先将2变形为 （3-1） ，再根据平方差公式求出结果，根据规律得出答案即可．
8．【答案】B
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：设正方形 A、B的边长分别为 （ ），由图甲可得
由图乙可得：
即
，
，
图丙的阴影部分面积为：
.
故答案为：B.
【分析】设正方形A、B的边长分别为 （ ），由图甲可得 ，由图乙可得： ，从而求出，，，图丙的阴影部分面积为，然后整体代入计算即可.
9．【答案】2
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解： .
故答案为：2.
【分析】首先利用平方差公式将待求式子展开，再将i2=-1代入计算，可求出结果.
10．【答案】
【知识点】因式分解的应用
【解析】【解答】解：
=
=
=
故答案为：.
【分析】将多项式2x3-3x+1添项折项可得原式=2x3-2x2+2x2-2x-x+1，依次两两分组分解即可求解.
11．【答案】
【知识点】多项式乘多项式；多项式的项、系数与次数
【解析】【解答】 （x2﹣mx+6）（4x﹣2）
不含x的二次项，
解得
故答案为：
【分析】利用多项式乘多项式的计算法则展开，再根据 不含x的二次项，可得2+4m=0，即可求出m的值。
12．【答案】210
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：由图可知：第一个阴影部分的面积=22－12，第二个阴影部分的面积=42－32，第三个图形的面积=62－52由此类推，第十个阴影部分的面积=202-192，因此，图中阴影部分的面积为：
（22－1）＋（42－32）＋…＋（202－192）
=（2＋1）（2－1）＋（4＋3）（4－3）+…+（20＋19）（20－19）
=1＋2＋3＋4＋…＋19＋20
=210.
故答案为：210.
【分析】根据正方形面积公式分别列出每个阴影部分的面积，然后根据平方差公式把每个阴影部分面积关系式分解因式将原式化简，最后求和即可.
13．【答案】（1）解：
（2）解：
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【分析】（1）利用完全平方公式进形因式分解即可求解；
（2）利用平方差公式进行因式分解即可求解；
14．【答案】解：∵，
∴，
∵的三边长分别为a、b、c，
∴，
∴，
∴是等腰三角形.
【知识点】因式分解的应用；等腰三角形的判定
【解析】【分析】将已知等式转化为（b-c）（b+c+2a）=0，由此可证得b=c，即可判断出△ABC的形状.
15．【答案】解：
=24（n+1），
∴能被24整除.
【知识点】因式分解的应用
【解析】【分析】利用平方差公式将代数式（n+7）2-（n-5）2因式分解可以得到（n+7）2-（n-5）2=24（n+1），即可得到答案。
16．【答案】①解：∵如图，左图的阴影部分的面积是a2﹣b2，
右图的阴影部分的面积是（a+b）（a﹣b），
∴a2﹣b2=（a+b）（a﹣b），
这就验证了平方差公式；
②62；
③[ n（n+1）]2
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：②如图，
A表示1个1×1的正方形，即1×1×1=13；
B表示1个2×2的正方形，C与D恰好可以拼成1个2×2的正方形，
因此：B、C、D就可以表示2个2×2的正方形，即：2×2×2=23；
G与H，E与F和I可以表示3个3×3的正方形，即3×3×3=33；
而整个图形恰好可以拼成一个（1+2+3）×（1+2+3）的大正方形，
由此可得：13+23+33=（1+2+3）2=62；
故答案为：62；
③由上面表示几何图形的面积探究可知，13+23+33+…+n3=（1+2+3+…+n）2，
又∵1+2+3+…+n= n（n+1），
∴13+23+33+…+n3=[ n（n+1）]2．
故答案为：[ n（n+1）]2．
【分析】①从大正方形减去小正方形，阴影部分为a2﹣b2，第二个图阴影部分的面积为（a+b）（a-b），可以推证平方差公式。
②如图，A表示面积为1×1的正方形，B、C、D就可以表示2个2×2的正方形，G与H，E与F和I可以表示3个3×3的正方形，表示出总和即等于大正方形的面积即62。
③由②的推断可知，13+23+33+…+n3=（1+2+3+4+...+n）2，然后化简求出结果即可。
17．【答案】（1）解：∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴原式= ；
（2）解：∵ ， ，
∴ ，
∴
=
=
=7.
【知识点】同底数幂的乘法；完全平方公式及运用；幂的乘方
【解析】【分析】（1）根据同底数幂的乘法及幂的乘方将待求式子化简 ，然后整体代入计算即可；
（2）根据完全平方公式可得，利用平方差公式将第二项化简，然后整体代入计算即可.
18．【答案】（1）解：∵x+y=8，
∴，即，
又∵，
∴2xy=24，
∴xy=12；
（2）6
（3）5
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：(2)
=16-2×5
=6，
故答案为：6；
(3)由题意得(x-1)(x-2)=12，
设x-1=a，x-2=b，则ab=12，
∴a-b=(x-1)-(x-2)=1，
又∵，
∴，
∴，
∴2x-3=±7，
∴x=5或x=-2(舍)．
故答案为：5．
【分析】（1）根据，代入计算即可；
（2）利用转化的思想，代入计算即可；
（3）根据面积公式得出(x-1)(x-2)=12，设x-1=a，x-2=b，则ab=12，再根据，代入得出，进而得出x的值即可。
19．【答案】（1）1；9；6
（2）2；(a-b)2
（3）解：由②，得（a-b）2=4，即a2-2ab+b2=4①，
由③，得（2a+b）（a+2b）-2a2-2b2=15，化简，得ab=3②，
将②代入①，得a2+b2=10，
∴SA+SB+SC=a2+b2+ab=13．
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】解：(1)∵（a+3b）2=a2+6ab+9b2，
故需要A型卡片1张，B型卡片9张，C型卡片6张；
故答案为：1；9；6；
(2)图②阴影部分图形的面积可表示为：
()2 4×ab=a2-2ab+b2=(a-b)2，
故答案为：取C型卡片2张，阴影部分图形的面积可表示为(a-b)2；
故答案为：2；(a-b)2；
【分析】（1）根据完全平方公式化简即可；
（2）求出阴影部分图形的面积即可；
（3）利用三种图形的面积分别表示图二和图三的阴影部分的面积构建二元一次方程组，利用整体代入法，进而求得答案。
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