2023年八年级上册数学人教版单元分层测试 第十五章 分式 A卷
一、选择题
1．（2021八上·石景山期末）下列各式从左到右变形正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2021八上·东城期末）下列分式中是最简分式的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2021八上·永州月考）要使分式无意义的x的值是（ ）
A．； B．； C．； D．；
4．（2021八上·覃塘期中）如果分式 的值等于0，那么m的值为（ ）
A．±4 B．4 C．﹣4 D．不存在
5．（2019八上·永年期中）已知M表示一个整式，若 是最简分式，则M可以是（ ）
A． B． C． D．
6．在式子 ， ， ， ， ，10xy﹣2， 中，分式的个数是（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
7．若分式 在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是（ ）
A．x＞－2 B．x＜－2 C．x＝－2 D．x≠－2
8．（2021八上·南充期末）若代数式 运算结果为x，则在“○”处的运算符号应该是（ ）
A．除号“÷” B．除号“÷”或减号“-”
C．减号“-” D．乘号“×”或减号“-”
9．（2021八上·如皋月考）在创建文明城市的进程中，某市为美化城市环境，计划种植树木50万棵，由于志愿者的加入，实际每天植树比原计划多30%，结果提前2天完成任务，设原计划每天植树万棵，由题意得到的方程是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
10．计算： ＝
11．若分式 无意义，且 ，那么 ＝ ．
12．（2021八上·汨罗期中）已知关于 的方程 会产生增根，则k的值为 .
13．（2021八上·伊通期末）斑马线前“车让人”，不仅体现着一座城市对生命的尊重，也直接反映着城市的文明程 度．如图，某路口的斑马线路段横穿双向行驶车道，其中米，在绿 灯亮时，小敏共用秒通过，其中通过的速度是通过速度的倍，求小敏通过时的速度．设小敏通过时的速度是米/秒， 根据题意列方程为 ．
14．在小学阶段，我们知道可以将一个分数拆分成两个分数的和（差）的形式，例如 ， = ．类似地，我们也可以把一个较复杂的分式拆分成两个较简单，并且分子次数小于分母次数的分式的和或者差的形式．例如 = ，仿照上述方法，若分式 可以拆分成 的形式，那么（B+1）-（A+1）= ．
三、计算题
15．（2021八上·汉阴期末）解分式方程：
（1） ；
（2）
16．（2021八上·南充期末）先化简，再求值： ，其中 .
四、解答题
17．（2021八上·海淀期末）已知，求代数式的值．
18．（2021八上·陇县期末）先化简： ，再从 ，0，1，2中选取一个合适的 的值代入求值.
19．（2021八上·芜湖期末）为积极创建全国文明城市，甲、乙两工程队承包了我市某街道路面改造工程．若由甲、乙两工程队合做20天可以完成；若甲工程队先单独施工40天，再由乙工程队单独施工10天也可以完成．求甲、乙两工程队单独完成此项工程各需要多少天？
五、综合题
20．（2020八上·新疆期末）某中学有库存1800套旧桌凳，修理后捐助贫困山区学校.现有甲，乙两个木工组都想承揽这项业务.经协商后得知：甲木工组每天修理的桌凳套数是乙木工组每天修理桌凳套数的 ，甲木工组单独修理这批桌凳的天数比乙木工组单独修理这批桌凳的天数多10天，甲木工组每天的修理费用是600元，乙木工组每天的修理费用是800元.
（1）求甲，乙两木工组单独修理这批桌凳的天数；
（2）现有三种修理方案供选择：方案一，由甲木工组单独修理这批桌凳；方案二，由乙木工组单独修理这批桌凳；方案三，由甲，乙两个木工组共同合作修理这批桌凳.请计算说明哪种方案学校付的修理费最少.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】分式的基本性质
【解析】【解答】解：．，符合题意；
．，不符合题意；
．，不符合题意；
．，例如，，不符合题意；
故答案为：A．
【分析】利用分式的基本性质求解即可。
2．【答案】B
【知识点】最简分式
【解析】【解答】解：A. ，故A不是；
B.，B是最简分式；
C.= ， 故C不是；
D.=x+1， 故D不是
故答案为：B
【分析】根据最简分式的定义逐项判断即可。
3．【答案】A
【知识点】分式有意义的条件
【解析】【解答】解：根据题意，得
2x 1=0，解得，x=.
故答案为：A.
【分析】由分式无意义的条件：分母为0，建立方程，解答即可.
4．【答案】C
【知识点】分式的值为零的条件
【解析】【解答】解：根据题意得： ，
解得：m=-4.
故答案为：C.
【分析】根据分式值为0的条件可得|m|-4=0且|m-4|≠0，求解可得m的值.
5．【答案】D
【知识点】最简分式
【解析】【解答】解：∵M表示一个整式，若 是最简分式，
∴当M=7时， 是整式，故A不符合题意；
当M 时， 的分子与分母可以约分，故B不符合题意；
当M 时， 的分子与分母可以约分，故C不符合题意；
当M 时， 的分子与分母不可以约分，故D符合题意；
故答案为：D．
【分析】直接利用最简分式的定义进而分析得出答案．
6．【答案】B
【知识点】分式的定义
【解析】【解答】解： ， ，10xy﹣2， 这4个式子分母中含有字母，因此是分式．
其它式子分母中均不含有字母，是整式，而不是分式．
故答案为：B
【分析】根据分式的概念可知，分式是两个整式相除，分母中必须含有字母，且分母的值不为0，根据这个条件就可以判定题目中分式的个数。
7．【答案】D
【知识点】分式有意义的条件
【解析】【解答】解：∵代数式 在实数范围内有意义，
∴x＋2≠0，
解得：x≠－2．
故答案为：D．
【分析】根据分式有意义的条件为分母不为0，据此解答即可。
8．【答案】B
【知识点】分式的乘除法；分式的加减法
【解析】【解答】解： ，
，
，
，
故答案为：B.
【分析】在里分别填上加、减、乘、除符号，然后分别根据分式的加减法法则和乘除法法则分别进行计算，可得答案.
9．【答案】A
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【解答】解：设原计划每天植树x万棵，需要天完成，
∴实际每天植树（x+0.3x）万棵，需要天完成，
∵提前2天完成任务，
∴-=2，
故答案为：A.
【分析】利用工作时间=工作总量÷工作效率，可求出植树50万棵所需的时间；再表示出实际植树50万棵所需的时间，然后根据结果提前2天完成任务，建立关于x的方程.
10．【答案】x－1
【知识点】分式的加减法
【解析】【解答】解：
故答案为：x－1
【分析】根据分式加减法则即可计算，结果要化简。
11．【答案】
【知识点】分式有意义的条件；分式的值为零的条件
【解析】【解答】解：∵分式 无意义，
∴a＋2＝0，
解得a＝－2；
∵ ，
∴b－4＝0，
解得b＝4，
∴ ．
故答案为：
【分析】根据分式无意义和分式值为零的条件即可解答。
12．【答案】8
【知识点】分式方程的增根
【解析】【解答】解：方程两边都乘（x-4），得
2x=k
∵原方程增根为x=4，
∴把x=4代入整式方程，得k=8，
故答案为：8.
【分析】分式方程若有增根，则此增根必是使分母等于零，可得增根是x=4，则先去分母把分式方程化为整式方程，然后代入增根得到关于k的方程求解即可.
13．【答案】
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：设小敏通过AB时的速度是x米/秒，根据题意得：
故答案为.
【分析】设小敏通过AB时的速度是x米/秒，根据题意列出方程即可。
14．【答案】
【知识点】分式的通分；分式的化简求值
【解析】【解答】解：
= +
=
= ，
∵ = ，
∴ = ，
则 ，
解得： ，
所以（B+1）-（A+1）=3-2= ，
故答案为：
【分析】将+进行通分化简，因为+=，所以化简后，前式的分子分母与后式的分子分母也相同，即可得出关于A和B的二元一次方程，解出A和B的数值代入式子求值即可。
15．【答案】（1）解：
两边同时乘以 得：
解得
经检验 是原方程的解；
（2）解：
即
两边同时乘以 得：
解得
当 时，
是原方程的增根
原方程无解
【知识点】解分式方程
【解析】【分析】（1） 方程两边同时乘以x（x+3）先去分母，将分式方程转化为整式方程，再求出整式方程的解，然后检验，可得方程的根；
（2）方程两边同时乘以（x+1）（x-2）先去分母（左边的1不能漏乘），将分式方程转化为整式方程，再求出整式方程的解，然后检验即可.
16．【答案】解：原式 ，
，
.
当 时.原式 .
【知识点】分式的化简求值
【解析】【分析】先将各个分式的分子、分母能分解因式的分别分解因式，同时将分式的除法转化为乘法运算，约分化简，再将分式通分计算，然后将x的值代入化简后的代数式进行计算，可求出结果.
17．【答案】解：
，
∵，
∴，
∴原式=1．
【知识点】分式的化简求值
【解析】【分析】先化简分式，再求出 ， 最后代入求解即可。
18．【答案】解：
，
，2， ，
当 时，原式 .
【知识点】分式的化简求值
【解析】【分析】根据分式的混合运算的法则和步骤，先把括号内的部分通分计算，然后把除法化为乘法，因式分解后约分即可化简，然后选取一个使分式有意义的x的值代入进行计算.
19．【答案】解：设甲工程队单独完成此项工程需要x天，
依题意，可得，
解得：x＝60，.
经检验，x＝60是原方程的解，且符合题意，
∴乙工程队单独完成此项工程需要的天数为1÷（）＝30，
答：甲工程队单独完成此项工程需要60天，乙工程队单独完成此项工程需要30天．
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【分析】根据题意先求出 ， 再解方程求解即可。
20．【答案】（1）解：设甲木工组单独修理这批桌凳的天数为x天，则乙木工组单独修理这批桌凳的天数为（x﹣10）天；
根据题意得，
＝ × ，
解得：x＝30，
经检验：x＝30是原方程的解.
∴x﹣10＝20.
答：甲，乙两木工组单独修理这批桌凳的天数分别为30天，20天；
（2）解：方案一：甲木工组单独修理这批桌凳的总费用：600×30＝18000（元）.
方案二，乙小组单独修理，则需总费用：800×20＝16000（元）.
方案三，甲，乙两个木工组共同合作修理需12（天）
总费用：（600+800）×12＝16800（元）
通过比较看出：选择第二种方案学校付的修理费最少.
【知识点】分式方程的实际应用；运用有理数的运算解决简单问题
【解析】【分析】（1）关键描述语为：“甲小组单独修理这批桌凳比乙小组多用20天”；等量关系为：甲小组单独修理这批桌凳的时间＝乙小组单独修理这批桌凳的时间+20.（2）必须每种情况都考虑到，求出每种情况下实际花费，进行比较.
1 / 12023年八年级上册数学人教版单元分层测试 第十五章 分式 A卷
一、选择题
1．（2021八上·石景山期末）下列各式从左到右变形正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】分式的基本性质
【解析】【解答】解：．，符合题意；
．，不符合题意；
．，不符合题意；
．，例如，，不符合题意；
故答案为：A．
【分析】利用分式的基本性质求解即可。
2．（2021八上·东城期末）下列分式中是最简分式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】最简分式
【解析】【解答】解：A. ，故A不是；
B.，B是最简分式；
C.= ， 故C不是；
D.=x+1， 故D不是
故答案为：B
【分析】根据最简分式的定义逐项判断即可。
3．（2021八上·永州月考）要使分式无意义的x的值是（ ）
A．； B．； C．； D．；
【答案】A
【知识点】分式有意义的条件
【解析】【解答】解：根据题意，得
2x 1=0，解得，x=.
故答案为：A.
【分析】由分式无意义的条件：分母为0，建立方程，解答即可.
4．（2021八上·覃塘期中）如果分式 的值等于0，那么m的值为（ ）
A．±4 B．4 C．﹣4 D．不存在
【答案】C
【知识点】分式的值为零的条件
【解析】【解答】解：根据题意得： ，
解得：m=-4.
故答案为：C.
【分析】根据分式值为0的条件可得|m|-4=0且|m-4|≠0，求解可得m的值.
5．（2019八上·永年期中）已知M表示一个整式，若 是最简分式，则M可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】最简分式
【解析】【解答】解：∵M表示一个整式，若 是最简分式，
∴当M=7时， 是整式，故A不符合题意；
当M 时， 的分子与分母可以约分，故B不符合题意；
当M 时， 的分子与分母可以约分，故C不符合题意；
当M 时， 的分子与分母不可以约分，故D符合题意；
故答案为：D．
【分析】直接利用最简分式的定义进而分析得出答案．
6．在式子 ， ， ， ， ，10xy﹣2， 中，分式的个数是（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
【答案】B
【知识点】分式的定义
【解析】【解答】解： ， ，10xy﹣2， 这4个式子分母中含有字母，因此是分式．
其它式子分母中均不含有字母，是整式，而不是分式．
故答案为：B
【分析】根据分式的概念可知，分式是两个整式相除，分母中必须含有字母，且分母的值不为0，根据这个条件就可以判定题目中分式的个数。
7．若分式 在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是（ ）
A．x＞－2 B．x＜－2 C．x＝－2 D．x≠－2
【答案】D
【知识点】分式有意义的条件
【解析】【解答】解：∵代数式 在实数范围内有意义，
∴x＋2≠0，
解得：x≠－2．
故答案为：D．
【分析】根据分式有意义的条件为分母不为0，据此解答即可。
8．（2021八上·南充期末）若代数式 运算结果为x，则在“○”处的运算符号应该是（ ）
A．除号“÷” B．除号“÷”或减号“-”
C．减号“-” D．乘号“×”或减号“-”
【答案】B
【知识点】分式的乘除法；分式的加减法
【解析】【解答】解： ，
，
，
，
故答案为：B.
【分析】在里分别填上加、减、乘、除符号，然后分别根据分式的加减法法则和乘除法法则分别进行计算，可得答案.
9．（2021八上·如皋月考）在创建文明城市的进程中，某市为美化城市环境，计划种植树木50万棵，由于志愿者的加入，实际每天植树比原计划多30%，结果提前2天完成任务，设原计划每天植树万棵，由题意得到的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【解答】解：设原计划每天植树x万棵，需要天完成，
∴实际每天植树（x+0.3x）万棵，需要天完成，
∵提前2天完成任务，
∴-=2，
故答案为：A.
【分析】利用工作时间=工作总量÷工作效率，可求出植树50万棵所需的时间；再表示出实际植树50万棵所需的时间，然后根据结果提前2天完成任务，建立关于x的方程.
二、填空题
10．计算： ＝
【答案】x－1
【知识点】分式的加减法
【解析】【解答】解：
故答案为：x－1
【分析】根据分式加减法则即可计算，结果要化简。
11．若分式 无意义，且 ，那么 ＝ ．
【答案】
【知识点】分式有意义的条件；分式的值为零的条件
【解析】【解答】解：∵分式 无意义，
∴a＋2＝0，
解得a＝－2；
∵ ，
∴b－4＝0，
解得b＝4，
∴ ．
故答案为：
【分析】根据分式无意义和分式值为零的条件即可解答。
12．（2021八上·汨罗期中）已知关于 的方程 会产生增根，则k的值为 .
【答案】8
【知识点】分式方程的增根
【解析】【解答】解：方程两边都乘（x-4），得
2x=k
∵原方程增根为x=4，
∴把x=4代入整式方程，得k=8，
故答案为：8.
【分析】分式方程若有增根，则此增根必是使分母等于零，可得增根是x=4，则先去分母把分式方程化为整式方程，然后代入增根得到关于k的方程求解即可.
13．（2021八上·伊通期末）斑马线前“车让人”，不仅体现着一座城市对生命的尊重，也直接反映着城市的文明程 度．如图，某路口的斑马线路段横穿双向行驶车道，其中米，在绿 灯亮时，小敏共用秒通过，其中通过的速度是通过速度的倍，求小敏通过时的速度．设小敏通过时的速度是米/秒， 根据题意列方程为 ．
【答案】
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：设小敏通过AB时的速度是x米/秒，根据题意得：
故答案为.
【分析】设小敏通过AB时的速度是x米/秒，根据题意列出方程即可。
14．在小学阶段，我们知道可以将一个分数拆分成两个分数的和（差）的形式，例如 ， = ．类似地，我们也可以把一个较复杂的分式拆分成两个较简单，并且分子次数小于分母次数的分式的和或者差的形式．例如 = ，仿照上述方法，若分式 可以拆分成 的形式，那么（B+1）-（A+1）= ．
【答案】
【知识点】分式的通分；分式的化简求值
【解析】【解答】解：
= +
=
= ，
∵ = ，
∴ = ，
则 ，
解得： ，
所以（B+1）-（A+1）=3-2= ，
故答案为：
【分析】将+进行通分化简，因为+=，所以化简后，前式的分子分母与后式的分子分母也相同，即可得出关于A和B的二元一次方程，解出A和B的数值代入式子求值即可。
三、计算题
15．（2021八上·汉阴期末）解分式方程：
（1） ；
（2）
【答案】（1）解：
两边同时乘以 得：
解得
经检验 是原方程的解；
（2）解：
即
两边同时乘以 得：
解得
当 时，
是原方程的增根
原方程无解
【知识点】解分式方程
【解析】【分析】（1） 方程两边同时乘以x（x+3）先去分母，将分式方程转化为整式方程，再求出整式方程的解，然后检验，可得方程的根；
（2）方程两边同时乘以（x+1）（x-2）先去分母（左边的1不能漏乘），将分式方程转化为整式方程，再求出整式方程的解，然后检验即可.
16．（2021八上·南充期末）先化简，再求值： ，其中 .
【答案】解：原式 ，
，
.
当 时.原式 .
【知识点】分式的化简求值
【解析】【分析】先将各个分式的分子、分母能分解因式的分别分解因式，同时将分式的除法转化为乘法运算，约分化简，再将分式通分计算，然后将x的值代入化简后的代数式进行计算，可求出结果.
四、解答题
17．（2021八上·海淀期末）已知，求代数式的值．
【答案】解：
，
∵，
∴，
∴原式=1．
【知识点】分式的化简求值
【解析】【分析】先化简分式，再求出 ， 最后代入求解即可。
18．（2021八上·陇县期末）先化简： ，再从 ，0，1，2中选取一个合适的 的值代入求值.
【答案】解：
，
，2， ，
当 时，原式 .
【知识点】分式的化简求值
【解析】【分析】根据分式的混合运算的法则和步骤，先把括号内的部分通分计算，然后把除法化为乘法，因式分解后约分即可化简，然后选取一个使分式有意义的x的值代入进行计算.
19．（2021八上·芜湖期末）为积极创建全国文明城市，甲、乙两工程队承包了我市某街道路面改造工程．若由甲、乙两工程队合做20天可以完成；若甲工程队先单独施工40天，再由乙工程队单独施工10天也可以完成．求甲、乙两工程队单独完成此项工程各需要多少天？
【答案】解：设甲工程队单独完成此项工程需要x天，
依题意，可得，
解得：x＝60，.
经检验，x＝60是原方程的解，且符合题意，
∴乙工程队单独完成此项工程需要的天数为1÷（）＝30，
答：甲工程队单独完成此项工程需要60天，乙工程队单独完成此项工程需要30天．
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【分析】根据题意先求出 ， 再解方程求解即可。
五、综合题
20．（2020八上·新疆期末）某中学有库存1800套旧桌凳，修理后捐助贫困山区学校.现有甲，乙两个木工组都想承揽这项业务.经协商后得知：甲木工组每天修理的桌凳套数是乙木工组每天修理桌凳套数的 ，甲木工组单独修理这批桌凳的天数比乙木工组单独修理这批桌凳的天数多10天，甲木工组每天的修理费用是600元，乙木工组每天的修理费用是800元.
（1）求甲，乙两木工组单独修理这批桌凳的天数；
（2）现有三种修理方案供选择：方案一，由甲木工组单独修理这批桌凳；方案二，由乙木工组单独修理这批桌凳；方案三，由甲，乙两个木工组共同合作修理这批桌凳.请计算说明哪种方案学校付的修理费最少.
【答案】（1）解：设甲木工组单独修理这批桌凳的天数为x天，则乙木工组单独修理这批桌凳的天数为（x﹣10）天；
根据题意得，
＝ × ，
解得：x＝30，
经检验：x＝30是原方程的解.
∴x﹣10＝20.
答：甲，乙两木工组单独修理这批桌凳的天数分别为30天，20天；
（2）解：方案一：甲木工组单独修理这批桌凳的总费用：600×30＝18000（元）.
方案二，乙小组单独修理，则需总费用：800×20＝16000（元）.
方案三，甲，乙两个木工组共同合作修理需12（天）
总费用：（600+800）×12＝16800（元）
通过比较看出：选择第二种方案学校付的修理费最少.
【知识点】分式方程的实际应用；运用有理数的运算解决简单问题
【解析】【分析】（1）关键描述语为：“甲小组单独修理这批桌凳比乙小组多用20天”；等量关系为：甲小组单独修理这批桌凳的时间＝乙小组单独修理这批桌凳的时间+20.（2）必须每种情况都考虑到，求出每种情况下实际花费，进行比较.
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