2023年八年级上册数学人教版单元分层测试 第十五章 分式 B卷
一、选择题
1．（2021八上·海丰期末）下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2021八上·松桃期末）若关于x的分式方程 产生增根，则m的值为（ ）
A． B． C．1 D．2
3．（2021八上·海丰期末）已知，，则的值为（ ）
A．6 B． C． D．8
4．（2021八上·章贡期末）将分式中的x，y的值同时扩大为原来的3倍，则分式的值（ ）
A．扩大6倍 B．扩大9倍 C．不变 D．扩大3倍
5．（2021八上·怀柔期末）2021年6月，怀柔区政府和内蒙古自治区四子王旗政府签订了《2021年东西部协作协议》，在乡村振兴、产业合作、消费帮扶、就业帮扶、教育和健康帮扶方面，按计划推动工作落实．在产业合作过程中，怀柔区为四子王旗提供设备和技术支持．运送设备使用大货车，技术人员乘坐面包车．已知怀柔区与四子王旗相距600千米，若面包车的速度是大货车的1.2倍，两车同时从怀柔区出发，大货车到达四子王旗比面包车多用小时．求大货车和面包车的速度．设大货车速度为x 千米/小时，下面是四位同学所列的方程：①国国：； ②佳佳：；③富富：；④强强：．其中，正确的序号是（ ）
A．①② B．①③ C．①④ D．②③
6．（2021八上·开福月考）小王乘公共汽车从甲地到相距40千米的乙地办事，然后乘出租车返回，出租车的平均速度比公共汽车快20千米/时，回来时路上所花时间比去时节省了 .设公共汽车的平均速度为x千米/时，则下面列出的方程中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
7．（2021八上·新泰期中）为有效解决交通拥堵问题，营造路网微循环，某市决定对一条长 的道路进行改造拓宽．为了尽量减轻施工对城市交通造成的影响，实际施工时，每天改造道路的长度比原计划增加10%，结果提前6天完成任务，求实际每天改造道路的长度与实际施工天数．嘉琪同学根据题意列出方程 ，则方程中未知数 所表示的量是（ ）
A．实际每天改造道路的长度 B．原计划每天改造道路的长度
C．原计划施工的天数 D．实际施工的天数
8．将甲、乙、丙三个正分数化为最简分数后，其分子分别为6、15、10，其分母的最小公倍数为360．判断甲、乙、丙三数的大小关系为何？（ ）
A．乙＞甲＞丙 B．乙＞丙＞甲 C．甲＞乙＞丙 D．甲＞丙＞乙
二、填空题
9．（2021八上·南沙期末）化简：的计算结果是 ．
10．（2021八上·滨城期末）若关于x的方程﹣5＝无解，则m的值为 ．
11．若分式 的值为零，则x的值为 ．
12．（2020八上·新疆期末）“复兴号”是我国具有完全自主知识产权、达到世界先进水平的动车组列车.“复兴号”的速度比原来列车的速度每小时快40千米，提速后从北京到上海运行时间缩短了30分钟，已知从北京到上海全程约1320千米，求“复兴号”的速度.设“复兴号”的速度为x千米/时，依题意，可列方程为 .
13．（2022七下·绍兴期中）某段高速公路全长280公里，交警部门在高速公路上距入口3千米处设立了限速标志牌，并在以后每隔5公里处设置一块限速标志牌；此外交警部门还在距离入口10千米处设置了摄像头，并在以后每隔16千米处都设置一个摄像头（如图），则在此段高速公路上，离入口 千米处刚好同时设置有标志牌和摄像头．
14．（2022八上·丰台期末）欧拉是18世纪瑞士著名的数学家，他的贡献不仅遍及高等数学的各个领域，在初等数学中也留下了他的足迹．下面是关于分式的欧拉公式：
（其中a，b，c均不为零，且两两互不相等）．
（1）当时，常数p的值为 ．
（2）利用欧拉公式计算： ．
三、计算题
15．（2023八上·大名月考） 计算下列各小题
（1）；
（2）；
（3）
16．（2023八上·大名月考） 解下列分式方程
（1）；
（2）．
四、解答题
17．（2023七下·六安期末）先化简，再在的范围内选取一个你喜欢的整数a代入，求出化简后分式的值．
18．（2021八上·拉萨期末）扎西与卓玛共同清点一批图书，已知扎西清点完300本图书所用的时间与卓玛清点完200本所用的时间相同，扎西平均每分钟比卓玛多清点10本，求卓玛平均每分清点图书的数量
五、综合题
19．（2023七下·滨江期末）已知是常数， ．
（1）若，，求；
（2）试将等式变形成“”形式，其中，表示关于，，的整式；
（3）若的取值与无关，请说明．
20．（2023七下·金东期末）阅读以下微信群聊，完成任务．
任务一：该“旅行团”有几种打车方案？哪种方案比较划算？ 任务二：小胡家的两间“亲子家庭房”共花费多少钱？ 任务三：该“旅行团”分别购买了“380”和“580”这两种票价的门票各多少张？
21．（2023七下·全椒期末）某商场准备购进甲、乙两种商品进行销售，若每个甲商品的进价比每个乙商品的进价少2元，且用80元购进甲商品的数量与用100元购进乙商品的数量相同．
（1）甲、乙两种商品每个的进价分别是多少元？
（2）若该商场购进甲商品的数量比购进乙商品的数量的3倍还少5个，且购进甲、乙两种商品的总数量不超过95个，则商场最多购进乙商品多少个？
（3）在（2）的条件下，如果甲、乙两种商品的售价分别是12元/个和15元/个，且将购进的甲、乙两种商品全部售出后，可使销售两种商品的总利润超过380元，那么该商场购进甲、乙两种商品有哪几种方案？
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】完全平方公式及运用；负整数指数幂；合并同类项法则及应用；幂的乘方
【解析】【解答】解：A. ，本选项运算不符合题意；
B. ，本选项运算符合题意；
C. ，本选项运算不符合题意；
D. ，本选项运算不符合题意.
故答案为：B.
【分析】利用合并同类项法则，积的乘方，负整数指数幂，完全平方公式计算求解即可。
2．【答案】B
【知识点】分式方程的增根
【解析】【解答】解：去分母，得：x-3＝m+2（x 1），
由分式方程有增根，得到x 1＝0，即x＝1，
把x＝1代入整式方程，可得：m＝ 2.
故答案为：B.
【分析】所谓分式方程的增根，就是使分式方程的最简公分母为0的根，据此由分式方程有增根，可求出增根为x＝1；再根据分式方程的增根是将分式方程去分母转化为的整式方程的根，于是将分式方程化为整式方程，再将x=1代入整式方程，求出m即可.
3．【答案】B
【知识点】分式的化简求值
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
故答案为：B．
【分析】根据，，利用完全平方公式计算求解即可。
4．【答案】D
【知识点】分式的基本性质
【解析】【解答】解：分式中的x，y的值同时扩大为原来的3倍可得：，所以分式的值扩大了3倍，
故答案为：D.
【分析】根据分式的基本性质求解即可。
5．【答案】C
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【解答】解：设大货车速度为x 千米/小时，则面包车的速度为1.2x 千米/小时，总路程均为600千米，
根据题意可得：，
变形为： ，，
∴①④符合题意，
故答案为：C．
【分析】先求出，再变形求解即可。
6．【答案】A
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【解答】解：设公共汽车的平均速度为x千米/时，则出租车的平均速度为（x+20）千米/时，
根据回来时路上所花时间比去时节省了
，得出回来时所用时间为：
×
，
根据题意得出：
=
×
.
故答案为：A.
【分析】设公共汽车的平均速度为x千米/时，则出租车的平均速度为（x+20）千米/时，然后表示出出租车、公共汽车所用的时间，结合回来时路上所花时间比去时节省了
就可列出方程.
7．【答案】B
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【解答】设原计划每天铺设管道x米，则实际每天改造管道（1+10%）x，
根据题意，可列方程：
所以嘉琪所列方程中未知数x所表示的量是原计划每天改造管道的长度，
故答案为：B．
【分析】设原计划每天铺设管道x米，则实际每天改造管道（1+10%）x，根据题意列出方程即可。
8．【答案】A
【知识点】最简分式
【解析】【解答】解：360=2×2×2×3×3×5；
因为6=2×3，
所以化简后的甲的分母中不含有因数2、3，只能为5，
即化简后的甲为 ；
因为15=3×5，
所以化简后的乙的分母中不含有因数3、5，只能为2，4或8；
因为10=2×5，
所以化简后的丙的分母中不含有因数2、5，只能为3或9；
因为化简后的三个数的分母的最小公倍数为360，甲的分母为5，
所以乙、丙的最小公倍数是360÷5=72，
⑴当乙的分母是2时，丙的分母是9时，
乙、丙的最小公倍数是：2×9=18，
它不满足乙、丙的最小公倍数是72；
⑵当乙的分母是4时，丙的分母是9时，
乙、丙的最小公倍数是：4×9=36，
它不满足乙、丙的最小公倍数是72；
所以乙的分母只能是8，丙的分母只能是9，
此时乙、丙的最小公倍数是：8×9=72，
所以化简后的乙是 ，丙是 ，
因为 ，
所以乙＞甲＞丙．
故答案为：A．
【分析】首先将360分解质因数，根据甲，乙和丙化为最简分数后的分子，可以对他们的分母情况进行假设排除，即甲的分母只能为5；乙为2，4或8；丙为3和9。根据化简之后的乙和丙的分母情况进行分来讨论，从而得出三个数的具体数值，进行大小的比较即可。
9．【答案】
【知识点】分式的加减法
【解析】【解答】解：
=
=
=
故答案为：．
【分析】利用分式的加减法则计算求解即可。
10．【答案】﹣4或1
【知识点】解分式方程；分式方程的增根
【解析】【解答】解：∵﹣5＝
去分母得，
去括号得，
移项，合并同类项得，
∵关于x的方程﹣5＝无解，
∴当时，整式方程无解，即；
当时，此时方程有增根，增根为，
∴代入得，，解得：，
∴m的值为或．
故答案为：﹣4或1．
【分析】先去分母，再去括号，然后移项、合并同类项，再根据方程无解可得，求出m的值，再将x=2代入方程求出m的值即可。
11．【答案】3
【知识点】分式的值为零的条件
【解析】【解答】解：依题意得：3﹣|x|=0且x+3≠0，
解得x=3．
故答案为：3
【分析】分式的值为0，所以分子等于0，分母不等于0，根据两个条件，解出x的值即可。
12．【答案】
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【解答】设“复兴号”的速度为x千米/时，则原来列车的速度为（x﹣40）千米/时，
根据题意得： .
故答案为： .
【分析】设“复兴号”的速度为x千米/时，则原来列车的速度为（x-40）千米/时，根据提速后从北京到上海运行时间缩短了30分钟列出方程即可.
13．【答案】58，138，218
【知识点】分式的值
【解析】【解答】解：设第n个限速标志牌和第m个摄像头刚好在同一位置，
∴3+5n=10+16m，得
∵m、n为正整数，且
∴m为3，8或13，则10+16m=58，138或218
故答案为：58，138，218
【分析】分别用式子表示限速标志牌距入口的距离，以及摄像头距入口的距离，构成等式，利用分式来求解正整数问题，即可.
14．【答案】（1）0
（2）6063
【知识点】分式的化简求值
【解析】【解答】解：（1）当时，
，
故答案为0
（2）令，则
故答案为∶ 6063．
【分析】（1）将r=0代入可得，再通分化简即可；
（2）根据所求式子的特点，可知，再结合公式求解即可.
15．【答案】（1）解：原式
（2）解：原式
（3）解：原式．
【知识点】分式的乘除法；分式的加减法；分式的混合运算
【解析】【解答】（1） 原式=；
（2）；
（3）
【分析】（1）根据分式的乘法法则，先约分，再把分子，分母分别相乘即可；
（2）根据分式的减法运算法则，正确运算即可得出答案；
（3）根据分式的混合运算，先算括号里面的分式的加减，再与外边的分式相乘即可。
16．【答案】（1）解：（1）
去分母，得：2=1+x+x-2
移项合并同类项，得：2x=3，
∴x=，
经检验，x=是分式方程的解；
（2）解：
去分母，得：2x+9-3(4x-7)=6(x-3)
解整式方程，得：x=3，
经检验为分式方程的增根，
∴原分式方程无解．
【知识点】解分式方程
【解析】【分析】（1）先去分母，化分式方程为整式方程2=1+x+x-2，解整式方程，求得方程的解，并进行检验，即可得出分式方程的解；
（2）先去分母，化分式方程为整式方程2x+9-3(4x-7)=6(x-3)，解整式方程得x=3，当x=3时，最简公分母为0，所以x=3是 分式方程的增根，故而得到原分式方程无解。
17．【答案】解：
，
∵分式要有意义，
∴，
∴且，
又∵，且a是整数，
∴，
∴原式．
【知识点】完全平方公式及运用；分式有意义的条件
【解析】【分析】会运用分式除法法则及完全平方公式，不忽视分式有意义的条件。
18．【答案】解：设卓玛平均每分钟清点图书的数量为x本
由题意列方程，得
解得 x=20，
经检验x=20是方程的解.
答：卓玛平均每分钟清点图书的数量为20本
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【分析】设卓玛平均每分钟清点图书的数量为x本，则扎西平均每分钟清点图书的数量为（x+10）本，根据卓玛清点完200本图书所用的时间与扎西清点完300本图书所用的时间相等这个条件可列分式方程，求解即可.
19．【答案】（1）解：当，时，
；
（2）解：将两边都乘以得，
，
去括号得，，
移项得，，
两边都乘以得，，
即，
∴，；
（3）解：∵的取值与无关，
∴，即，
∴，即，
∴．
【知识点】分式的约分；等式的性质
【解析】【分析】（1）将a=-2与b=代入 计算并约分可得答案；
（2）将两边都乘以都乘以（x+a）约去分母后，再去括号、移项、合并同类项即可得出答案；
（3）由t的取值与x无关可得（2）中的A=0，可得b=t，进而ta+1=0，即ab+1=0，从而即可得出答案.
20．【答案】解：任务一：设5座出租车x辆，7座出租车y辆，
由题意得， ，
∴ ，
∴ ，
∵x、y都是非负整数，
∴ 是非负整数，
∴当 时， ；
当 时， ；
∴一共有2种打车方案，
当5座出租车5辆，7座出租车1辆时，需要 元，
当5座出租车2辆，7座出租车3辆时，需要 元，
∵ ，
∴当5座出租车5辆，7座出租车1辆时比较划算；
任务二：设每间“精选双人房”的价格为m元，则每间“亲子家庭房”的价格为1.25m元.
由题意得：
解得：m=400
经检验：m=400是原方程的根，且符合题意
1.25×400×2=1000（元）
答：小胡家的两间“亲子家庭房”共花费1000元.
任务三：设该“旅行团”分别购买了“380”和“580”这两种票价的门票各m张，n张，
∵ ， ，
∴该旅行团的票价一定在 元到 元之间，
∵ ，
∴朋友家6人购买的票价只能是1880元，
∴ ，
解得 ，
∴该“旅行团”分别购买了“380”和“580”这两种票价的门票各19张，7张．
【知识点】二元一次方程组的其他应用；分式方程的实际应用
【解析】【分析】（1）先设5座出租车x辆，7座出租车y辆，根据每辆车都刚好坐满，说明出租车上的总人数就等于司机的人数加上这五家人的总人数，列出方程，然后用y表示x，再根据x、y都是非负整数求出满足题意的x、y，然后计算符合题意的方案的费用，并进行比较，从而得出最划算的方案；
（2）先设每间“精选双人房”的价格为m元，则每间“亲子家庭房”的价格为1.25m元，根据两种房型刚好住满，没有床位空余可得精选双人房的房间数乘以2加上亲子家庭房的房间数乘以3就等于五家人的总人数，列出方程，求解并检验，最后即可求出小胡家的两间“亲子家庭房”花费的钱数；
（3）先设该“旅行团”分别购买了“380”和“580”这两种票价的门票各m张，n张，然后计算这五家人总票价的范围，来确定朋友家6人购买的票价，再根据一共买了26张门票以及朋友家6人购买的总票价等于这五家人总票价列二元一次方程组，然后解方程即可得出答案.
21．【答案】（1）解：设每件乙种商品的进价为x元，则每件甲种商品的进价为（x-2）元，
根据题意，得，
解得：x=10，
经检验，x=10是原方程的根，
每件甲种商品的进价为：10-2=8（元）．
答：每件甲种商品的进价为8元，每件乙种商品件的进价为10元．
（2）解：设购进乙种商品y个，则购进甲种商品（3y-5）个．
由题意得：3y-5+y≤95．
解得y≤25．
答：商场最多购进乙商品25个；
（3）解：由（2）知，（12-8）（3y-5）+（15-10）y＞380，
解得：y＞．
∵y为整数，y≤25，
∴y=24或25．
∴共有2种方案．
方案一：购进甲种商品67个，乙商品件24个；
方案二：购进甲种商品70个，乙种商品25个．
【知识点】分式方程的实际应用；一元一次不等式的应用
【解析】【分析】（1） 设每件乙种商品的进价为x元，则每件甲种商品的进价为（x-2）元， 根据用80元购进甲商品的数量与用100元购进乙商品的数量相同可列方程：，解方程并检验，同时求出x-2的值，最后作答即可；
（2） 设购进乙种商品y个，则购进甲种商品（3y-5）个 ，根据购进甲、乙两种商品的总数量不超过95个 ，可列不等式 ：3y-5+y≤95 ，解不等式求出解集，取它的最大整数解即可；
（3）设购进乙种商品y个，则购进甲种商品（3y-5）个，根据销售两种商品的总利润超过380元 ，可得不等式 （12-8）（3y-5）+（15-10）y＞380， 解得：，由（2）知 y≤25 ，所以，然后取符合条件的整数解为24，25，可得商场购进甲、乙两种商品有 2种方案，进一步写出具体方案即可。
1 / 12023年八年级上册数学人教版单元分层测试 第十五章 分式 B卷
一、选择题
1．（2021八上·海丰期末）下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】完全平方公式及运用；负整数指数幂；合并同类项法则及应用；幂的乘方
【解析】【解答】解：A. ，本选项运算不符合题意；
B. ，本选项运算符合题意；
C. ，本选项运算不符合题意；
D. ，本选项运算不符合题意.
故答案为：B.
【分析】利用合并同类项法则，积的乘方，负整数指数幂，完全平方公式计算求解即可。
2．（2021八上·松桃期末）若关于x的分式方程 产生增根，则m的值为（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】B
【知识点】分式方程的增根
【解析】【解答】解：去分母，得：x-3＝m+2（x 1），
由分式方程有增根，得到x 1＝0，即x＝1，
把x＝1代入整式方程，可得：m＝ 2.
故答案为：B.
【分析】所谓分式方程的增根，就是使分式方程的最简公分母为0的根，据此由分式方程有增根，可求出增根为x＝1；再根据分式方程的增根是将分式方程去分母转化为的整式方程的根，于是将分式方程化为整式方程，再将x=1代入整式方程，求出m即可.
3．（2021八上·海丰期末）已知，，则的值为（ ）
A．6 B． C． D．8
【答案】B
【知识点】分式的化简求值
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
故答案为：B．
【分析】根据，，利用完全平方公式计算求解即可。
4．（2021八上·章贡期末）将分式中的x，y的值同时扩大为原来的3倍，则分式的值（ ）
A．扩大6倍 B．扩大9倍 C．不变 D．扩大3倍
【答案】D
【知识点】分式的基本性质
【解析】【解答】解：分式中的x，y的值同时扩大为原来的3倍可得：，所以分式的值扩大了3倍，
故答案为：D.
【分析】根据分式的基本性质求解即可。
5．（2021八上·怀柔期末）2021年6月，怀柔区政府和内蒙古自治区四子王旗政府签订了《2021年东西部协作协议》，在乡村振兴、产业合作、消费帮扶、就业帮扶、教育和健康帮扶方面，按计划推动工作落实．在产业合作过程中，怀柔区为四子王旗提供设备和技术支持．运送设备使用大货车，技术人员乘坐面包车．已知怀柔区与四子王旗相距600千米，若面包车的速度是大货车的1.2倍，两车同时从怀柔区出发，大货车到达四子王旗比面包车多用小时．求大货车和面包车的速度．设大货车速度为x 千米/小时，下面是四位同学所列的方程：①国国：； ②佳佳：；③富富：；④强强：．其中，正确的序号是（ ）
A．①② B．①③ C．①④ D．②③
【答案】C
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【解答】解：设大货车速度为x 千米/小时，则面包车的速度为1.2x 千米/小时，总路程均为600千米，
根据题意可得：，
变形为： ，，
∴①④符合题意，
故答案为：C．
【分析】先求出，再变形求解即可。
6．（2021八上·开福月考）小王乘公共汽车从甲地到相距40千米的乙地办事，然后乘出租车返回，出租车的平均速度比公共汽车快20千米/时，回来时路上所花时间比去时节省了 .设公共汽车的平均速度为x千米/时，则下面列出的方程中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【解答】解：设公共汽车的平均速度为x千米/时，则出租车的平均速度为（x+20）千米/时，
根据回来时路上所花时间比去时节省了
，得出回来时所用时间为：
×
，
根据题意得出：
=
×
.
故答案为：A.
【分析】设公共汽车的平均速度为x千米/时，则出租车的平均速度为（x+20）千米/时，然后表示出出租车、公共汽车所用的时间，结合回来时路上所花时间比去时节省了
就可列出方程.
7．（2021八上·新泰期中）为有效解决交通拥堵问题，营造路网微循环，某市决定对一条长 的道路进行改造拓宽．为了尽量减轻施工对城市交通造成的影响，实际施工时，每天改造道路的长度比原计划增加10%，结果提前6天完成任务，求实际每天改造道路的长度与实际施工天数．嘉琪同学根据题意列出方程 ，则方程中未知数 所表示的量是（ ）
A．实际每天改造道路的长度 B．原计划每天改造道路的长度
C．原计划施工的天数 D．实际施工的天数
【答案】B
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【解答】设原计划每天铺设管道x米，则实际每天改造管道（1+10%）x，
根据题意，可列方程：
所以嘉琪所列方程中未知数x所表示的量是原计划每天改造管道的长度，
故答案为：B．
【分析】设原计划每天铺设管道x米，则实际每天改造管道（1+10%）x，根据题意列出方程即可。
8．将甲、乙、丙三个正分数化为最简分数后，其分子分别为6、15、10，其分母的最小公倍数为360．判断甲、乙、丙三数的大小关系为何？（ ）
A．乙＞甲＞丙 B．乙＞丙＞甲 C．甲＞乙＞丙 D．甲＞丙＞乙
【答案】A
【知识点】最简分式
【解析】【解答】解：360=2×2×2×3×3×5；
因为6=2×3，
所以化简后的甲的分母中不含有因数2、3，只能为5，
即化简后的甲为 ；
因为15=3×5，
所以化简后的乙的分母中不含有因数3、5，只能为2，4或8；
因为10=2×5，
所以化简后的丙的分母中不含有因数2、5，只能为3或9；
因为化简后的三个数的分母的最小公倍数为360，甲的分母为5，
所以乙、丙的最小公倍数是360÷5=72，
⑴当乙的分母是2时，丙的分母是9时，
乙、丙的最小公倍数是：2×9=18，
它不满足乙、丙的最小公倍数是72；
⑵当乙的分母是4时，丙的分母是9时，
乙、丙的最小公倍数是：4×9=36，
它不满足乙、丙的最小公倍数是72；
所以乙的分母只能是8，丙的分母只能是9，
此时乙、丙的最小公倍数是：8×9=72，
所以化简后的乙是 ，丙是 ，
因为 ，
所以乙＞甲＞丙．
故答案为：A．
【分析】首先将360分解质因数，根据甲，乙和丙化为最简分数后的分子，可以对他们的分母情况进行假设排除，即甲的分母只能为5；乙为2，4或8；丙为3和9。根据化简之后的乙和丙的分母情况进行分来讨论，从而得出三个数的具体数值，进行大小的比较即可。
二、填空题
9．（2021八上·南沙期末）化简：的计算结果是 ．
【答案】
【知识点】分式的加减法
【解析】【解答】解：
=
=
=
故答案为：．
【分析】利用分式的加减法则计算求解即可。
10．（2021八上·滨城期末）若关于x的方程﹣5＝无解，则m的值为 ．
【答案】﹣4或1
【知识点】解分式方程；分式方程的增根
【解析】【解答】解：∵﹣5＝
去分母得，
去括号得，
移项，合并同类项得，
∵关于x的方程﹣5＝无解，
∴当时，整式方程无解，即；
当时，此时方程有增根，增根为，
∴代入得，，解得：，
∴m的值为或．
故答案为：﹣4或1．
【分析】先去分母，再去括号，然后移项、合并同类项，再根据方程无解可得，求出m的值，再将x=2代入方程求出m的值即可。
11．若分式 的值为零，则x的值为 ．
【答案】3
【知识点】分式的值为零的条件
【解析】【解答】解：依题意得：3﹣|x|=0且x+3≠0，
解得x=3．
故答案为：3
【分析】分式的值为0，所以分子等于0，分母不等于0，根据两个条件，解出x的值即可。
12．（2020八上·新疆期末）“复兴号”是我国具有完全自主知识产权、达到世界先进水平的动车组列车.“复兴号”的速度比原来列车的速度每小时快40千米，提速后从北京到上海运行时间缩短了30分钟，已知从北京到上海全程约1320千米，求“复兴号”的速度.设“复兴号”的速度为x千米/时，依题意，可列方程为 .
【答案】
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【解答】设“复兴号”的速度为x千米/时，则原来列车的速度为（x﹣40）千米/时，
根据题意得： .
故答案为： .
【分析】设“复兴号”的速度为x千米/时，则原来列车的速度为（x-40）千米/时，根据提速后从北京到上海运行时间缩短了30分钟列出方程即可.
13．（2022七下·绍兴期中）某段高速公路全长280公里，交警部门在高速公路上距入口3千米处设立了限速标志牌，并在以后每隔5公里处设置一块限速标志牌；此外交警部门还在距离入口10千米处设置了摄像头，并在以后每隔16千米处都设置一个摄像头（如图），则在此段高速公路上，离入口 千米处刚好同时设置有标志牌和摄像头．
【答案】58，138，218
【知识点】分式的值
【解析】【解答】解：设第n个限速标志牌和第m个摄像头刚好在同一位置，
∴3+5n=10+16m，得
∵m、n为正整数，且
∴m为3，8或13，则10+16m=58，138或218
故答案为：58，138，218
【分析】分别用式子表示限速标志牌距入口的距离，以及摄像头距入口的距离，构成等式，利用分式来求解正整数问题，即可.
14．（2022八上·丰台期末）欧拉是18世纪瑞士著名的数学家，他的贡献不仅遍及高等数学的各个领域，在初等数学中也留下了他的足迹．下面是关于分式的欧拉公式：
（其中a，b，c均不为零，且两两互不相等）．
（1）当时，常数p的值为 ．
（2）利用欧拉公式计算： ．
【答案】（1）0
（2）6063
【知识点】分式的化简求值
【解析】【解答】解：（1）当时，
，
故答案为0
（2）令，则
故答案为∶ 6063．
【分析】（1）将r=0代入可得，再通分化简即可；
（2）根据所求式子的特点，可知，再结合公式求解即可.
三、计算题
15．（2023八上·大名月考） 计算下列各小题
（1）；
（2）；
（3）
【答案】（1）解：原式
（2）解：原式
（3）解：原式．
【知识点】分式的乘除法；分式的加减法；分式的混合运算
【解析】【解答】（1） 原式=；
（2）；
（3）
【分析】（1）根据分式的乘法法则，先约分，再把分子，分母分别相乘即可；
（2）根据分式的减法运算法则，正确运算即可得出答案；
（3）根据分式的混合运算，先算括号里面的分式的加减，再与外边的分式相乘即可。
16．（2023八上·大名月考） 解下列分式方程
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：（1）
去分母，得：2=1+x+x-2
移项合并同类项，得：2x=3，
∴x=，
经检验，x=是分式方程的解；
（2）解：
去分母，得：2x+9-3(4x-7)=6(x-3)
解整式方程，得：x=3，
经检验为分式方程的增根，
∴原分式方程无解．
【知识点】解分式方程
【解析】【分析】（1）先去分母，化分式方程为整式方程2=1+x+x-2，解整式方程，求得方程的解，并进行检验，即可得出分式方程的解；
（2）先去分母，化分式方程为整式方程2x+9-3(4x-7)=6(x-3)，解整式方程得x=3，当x=3时，最简公分母为0，所以x=3是 分式方程的增根，故而得到原分式方程无解。
四、解答题
17．（2023七下·六安期末）先化简，再在的范围内选取一个你喜欢的整数a代入，求出化简后分式的值．
【答案】解：
，
∵分式要有意义，
∴，
∴且，
又∵，且a是整数，
∴，
∴原式．
【知识点】完全平方公式及运用；分式有意义的条件
【解析】【分析】会运用分式除法法则及完全平方公式，不忽视分式有意义的条件。
18．（2021八上·拉萨期末）扎西与卓玛共同清点一批图书，已知扎西清点完300本图书所用的时间与卓玛清点完200本所用的时间相同，扎西平均每分钟比卓玛多清点10本，求卓玛平均每分清点图书的数量
【答案】解：设卓玛平均每分钟清点图书的数量为x本
由题意列方程，得
解得 x=20，
经检验x=20是方程的解.
答：卓玛平均每分钟清点图书的数量为20本
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【分析】设卓玛平均每分钟清点图书的数量为x本，则扎西平均每分钟清点图书的数量为（x+10）本，根据卓玛清点完200本图书所用的时间与扎西清点完300本图书所用的时间相等这个条件可列分式方程，求解即可.
五、综合题
19．（2023七下·滨江期末）已知是常数， ．
（1）若，，求；
（2）试将等式变形成“”形式，其中，表示关于，，的整式；
（3）若的取值与无关，请说明．
【答案】（1）解：当，时，
；
（2）解：将两边都乘以得，
，
去括号得，，
移项得，，
两边都乘以得，，
即，
∴，；
（3）解：∵的取值与无关，
∴，即，
∴，即，
∴．
【知识点】分式的约分；等式的性质
【解析】【分析】（1）将a=-2与b=代入 计算并约分可得答案；
（2）将两边都乘以都乘以（x+a）约去分母后，再去括号、移项、合并同类项即可得出答案；
（3）由t的取值与x无关可得（2）中的A=0，可得b=t，进而ta+1=0，即ab+1=0，从而即可得出答案.
20．（2023七下·金东期末）阅读以下微信群聊，完成任务．
任务一：该“旅行团”有几种打车方案？哪种方案比较划算？ 任务二：小胡家的两间“亲子家庭房”共花费多少钱？ 任务三：该“旅行团”分别购买了“380”和“580”这两种票价的门票各多少张？
【答案】解：任务一：设5座出租车x辆，7座出租车y辆，
由题意得， ，
∴ ，
∴ ，
∵x、y都是非负整数，
∴ 是非负整数，
∴当 时， ；
当 时， ；
∴一共有2种打车方案，
当5座出租车5辆，7座出租车1辆时，需要 元，
当5座出租车2辆，7座出租车3辆时，需要 元，
∵ ，
∴当5座出租车5辆，7座出租车1辆时比较划算；
任务二：设每间“精选双人房”的价格为m元，则每间“亲子家庭房”的价格为1.25m元.
由题意得：
解得：m=400
经检验：m=400是原方程的根，且符合题意
1.25×400×2=1000（元）
答：小胡家的两间“亲子家庭房”共花费1000元.
任务三：设该“旅行团”分别购买了“380”和“580”这两种票价的门票各m张，n张，
∵ ， ，
∴该旅行团的票价一定在 元到 元之间，
∵ ，
∴朋友家6人购买的票价只能是1880元，
∴ ，
解得 ，
∴该“旅行团”分别购买了“380”和“580”这两种票价的门票各19张，7张．
【知识点】二元一次方程组的其他应用；分式方程的实际应用
【解析】【分析】（1）先设5座出租车x辆，7座出租车y辆，根据每辆车都刚好坐满，说明出租车上的总人数就等于司机的人数加上这五家人的总人数，列出方程，然后用y表示x，再根据x、y都是非负整数求出满足题意的x、y，然后计算符合题意的方案的费用，并进行比较，从而得出最划算的方案；
（2）先设每间“精选双人房”的价格为m元，则每间“亲子家庭房”的价格为1.25m元，根据两种房型刚好住满，没有床位空余可得精选双人房的房间数乘以2加上亲子家庭房的房间数乘以3就等于五家人的总人数，列出方程，求解并检验，最后即可求出小胡家的两间“亲子家庭房”花费的钱数；
（3）先设该“旅行团”分别购买了“380”和“580”这两种票价的门票各m张，n张，然后计算这五家人总票价的范围，来确定朋友家6人购买的票价，再根据一共买了26张门票以及朋友家6人购买的总票价等于这五家人总票价列二元一次方程组，然后解方程即可得出答案.
21．（2023七下·全椒期末）某商场准备购进甲、乙两种商品进行销售，若每个甲商品的进价比每个乙商品的进价少2元，且用80元购进甲商品的数量与用100元购进乙商品的数量相同．
（1）甲、乙两种商品每个的进价分别是多少元？
（2）若该商场购进甲商品的数量比购进乙商品的数量的3倍还少5个，且购进甲、乙两种商品的总数量不超过95个，则商场最多购进乙商品多少个？
（3）在（2）的条件下，如果甲、乙两种商品的售价分别是12元/个和15元/个，且将购进的甲、乙两种商品全部售出后，可使销售两种商品的总利润超过380元，那么该商场购进甲、乙两种商品有哪几种方案？
【答案】（1）解：设每件乙种商品的进价为x元，则每件甲种商品的进价为（x-2）元，
根据题意，得，
解得：x=10，
经检验，x=10是原方程的根，
每件甲种商品的进价为：10-2=8（元）．
答：每件甲种商品的进价为8元，每件乙种商品件的进价为10元．
（2）解：设购进乙种商品y个，则购进甲种商品（3y-5）个．
由题意得：3y-5+y≤95．
解得y≤25．
答：商场最多购进乙商品25个；
（3）解：由（2）知，（12-8）（3y-5）+（15-10）y＞380，
解得：y＞．
∵y为整数，y≤25，
∴y=24或25．
∴共有2种方案．
方案一：购进甲种商品67个，乙商品件24个；
方案二：购进甲种商品70个，乙种商品25个．
【知识点】分式方程的实际应用；一元一次不等式的应用
【解析】【分析】（1） 设每件乙种商品的进价为x元，则每件甲种商品的进价为（x-2）元， 根据用80元购进甲商品的数量与用100元购进乙商品的数量相同可列方程：，解方程并检验，同时求出x-2的值，最后作答即可；
（2） 设购进乙种商品y个，则购进甲种商品（3y-5）个 ，根据购进甲、乙两种商品的总数量不超过95个 ，可列不等式 ：3y-5+y≤95 ，解不等式求出解集，取它的最大整数解即可；
（3）设购进乙种商品y个，则购进甲种商品（3y-5）个，根据销售两种商品的总利润超过380元 ，可得不等式 （12-8）（3y-5）+（15-10）y＞380， 解得：，由（2）知 y≤25 ，所以，然后取符合条件的整数解为24，25，可得商场购进甲、乙两种商品有 2种方案，进一步写出具体方案即可。
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