2023年九年级上册数学人教版单元分层测试 第二十四章 圆 A卷
一、选择题
1．（2023九上·乐清期中）已知圆O的半径为5，同一平面内有一点P，且OP=4，则点P与圆O的关系是（ ）
A．点P在圆内 B．点P在圆外 C．点P在圆上 D．无法确定
2．下列命题为真命题的是（ ）．
A．三点确定一个圆
B．度数相等的弧相等
C．90°的圆周角所对的弦是直径
D．相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等
3．已知扇形的面积为30πcm2，它的半径为4cm，则扇形的弧长为（ ）．
A．10π cm B．15πcm C．20πcm D．25πcm
4．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E．若OC=5 cm，CD=6 cm，则AE=（ ）．
A．4cm B．3cm C．9cm D．8cm
5．如图，点A，B，C是⊙O上的点，且∠ACB=40°，阴影部分的面积为2π，则此扇形的半径为（ ）．
A．2 B．3 C．4 D．5
6．如图，四边形ABCD内接于⊙O，四边形ABCO是平行四边形，则∠ADC的度数是（ ）．
A．45° B．50° C．60° D．75°
7．年北京冬奥会开幕式为世界奉献了一场精彩、简约、唯美、浪漫的中国文化盛宴，其中主火炬台的雪花状创意令人惊叹．如图是一个正六边形雪花状饰品，则它的每一个内角是（ ）
A． B． C． D．
8．一块等边三角形木板，边长为1，现将木板沿水平线翻滚(如图)，那么点B从开始至结束所经过的路径长为（ ）．
A． B． C．4 D．2+
9．如图，BC是半圆O的直径，D，E是上两点，连结BD，CE并延长，交于点A，连结OD，OE．若∠A=70° ，则∠DOE的度数为（ ）．
A．35° B．38° C．40° D．42°
10．如图，以AD为直径的半圆O经过Rt△ABC的斜边AB的两个端点，交直角边AC于点E，且B，E是半圆弧的三等分点．若的长为，则图中阴影部分的面积为（ ）．
A． B． C． D．
二、填空题
11．与圆有关的角有哪些？ 。同弧所对的圆周角等于圆心角的 。
12．将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上，使点C在半圆上，点A，B的读数分别为86°，30°，则∠ACB的大小为
13．（2023九上·乐清期中）如图，边长为2的等边△ABC，将边BC不改变长度，变为，得到以A为圆心，AB为半径的扇形ABC，则此扇形的面积为
14． 如图，是的内接三角形，是的直径，，的平分线交于点，则的度数是 ．
15．如图，将△ABC放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，B，C均落在格点上．用一个圆面去覆盖△ABC，能够完全覆盖这个三角形的最小圆面的半径是
16．如图，⊙O是△ABC的外接圆，BC是⊙O的直径，AB=AC．∠ABC的平分线交AC于点D，交⊙O于点E，连结CE．若CE= ，则BD的长为
三、作图题
17．如图，已知⊙O，用直尺和圆规作⊙O的内接正三角形．
18． 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，．
⑴画出关于轴对称的；
⑵画出绕点顺时针旋转后的；
⑶在的条件下，求线段扫过的面积结果保留．
四、解答题
19．（2023九上·期末）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AD是⊙O的直径．若∠ABC=50°，求∠CAD的度数．
20．（2023九上·期末）如图，⊙O的直径AB和弦CD相交于点E．已知AE=1，EB=5，∠DEB=60°，求CD 的长．
21．已知：如图，OA=OB，AB交⊙O于点C，D．
求证：AC=BD．
22．（2023九上·乐清期中）如图，半圆ACB中，点D是的中点，点E在直径AB上，且AE=AC，半径OD交CE于点F．
（1）求证：OF=OE：
（2）若OF=6，DF=4，求CF的长．
五、综合题
23．（2022九上·宁波月考）如图，⊙O经过△ABC的顶点A，B，与边AC，BC分别交于点D，E，连接BD，AE，且∠ADB=∠CDE．
（1）求证：△ABE是等腰三角形；
（2）若AB=10，BE=12，求⊙O的半径r．
24．（2020九上·香洲期末）如图， 是 的直径，点 是劣弧 中点， 与 相交于点 ．连接 与 的延长线相交于点 ．
（1）求证： 是 的切线；
（2）求证： ；
（3）若 ，求 的长．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】点与圆的位置关系
【解析】【解答】解：∵OP=4，圆O的半径为5，
，
点P在圆O内.
故答案为：A.
【分析】用r表示圆的半径，d表示同一平面内点到圆心的距离，当d>r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上；当d2．【答案】C
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理；确定圆的条件；真命题与假命题
【解析】【解答】解： A、不在一条直线上的三点确定一个圆 ，故不符合题意；
B、 能够互相重合的弧叫做等弧，故不符合题意；
C、 90°的圆周角所对的弦是直径 ，故符合题意；
D、 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等，故不符合题意．
故答案为：C.
【分析】根据确定圆的条件，圆周角定理、弧弦圆心角的关系、等弧的定义逐项判断即可.
3．【答案】B
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】解：由S=lR，S= 30πcm2， R= 4cm，
∴30π=l×4，
∴l=15πcm，
故答案为：B.
【分析】利用S=lR直接计算即可.
4．【答案】C
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，
∴
在中，
∴.
故答案为：C.
【分析】根据垂径定理求出CE的长，结合勾股定理即可得到OE的长，最后根据线段间的数量关系即可求解.
5．【答案】B
【知识点】圆周角定理；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：∵∠ACB=40° ，
∴∠AOB=2∠ACB=80°，
∵S==2π，
∴R=3，
故答案为：B.
【分析】利用圆周角定理先求出∠AOB的度数，再利用扇形面积公式即可求解.
6．【答案】C
【知识点】平行四边形的性质；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCO是平行四边形，
∴∠AOC=∠ABC，
∵四边形ABCD是圆的内接四边形，
∴∠ADC+∠ABC=180°，
而∠ADC=∠AOC，
∴2∠ADC+∠ADC=180°，解得：∠ADC=60°.
故答案为：C.
【分析】由平行四边形的对角相等可得∠AOC=∠ABC，由圆圆内接四边形的对角互补可得∠ADC+∠ABC=180°然后根据圆周角定理可得关于∠ADC的方程，解方程可求解.
7．【答案】C
【知识点】正多边形的性质
【解析】【解答】根据题意可得：
正六边形的外角=360°÷6=60°，
∴正六边形的一个内角=180°-60°=120°，
故答案为：C.
【分析】先利用多边形的外角=外角和÷边数求出一个外角，再利用邻补角求出一个内角即可.
8．【答案】B
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】解：由图形可知：点B以边长1为半径旋转了2个120°即240°，
∴ 点B从开始至结束所经过的路径长 ，
故答案为：B.
【分析】由图形可知：点B以边长1为半径旋转了240°，利用弧长公式计算即可.
9．【答案】C
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：如图，连接CD，
∵BC是半圆O的直径
∴∠BDC=90°，
∴∠ADC=90°，
∴∠ACD=90°-∠A=90°-70°=20°，
∴∠DOE-2∠ACD=2×20°=40°.
故答案为：C.
【分析】连接CD，由直径所对的圆周角是直角可得∠BDC=90°，进而可得∠ADC、∠ACD，再由圆周角定理可得∠DOE-2∠ACD即可求解.
10．【答案】C
【知识点】三角形的面积；圆周角定理；弧长的计算；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：如图，连接OB、OE、BE，
∵ B，E是半圆弧的三等分点 ，
∴∠BOD=∠BOE=∠AOE=60°，OE垂直平分AB，
∵OE=OA=OB，
∴△BOE、△AOE是等边三角形，
∴∠BEO=∠EOA=60°，∠BAC=30°，
∴BE∥AO，
∴△BOE的面积=△ABE的面积，
∵的长为 ，
∴，
∴R=2，
∴AB=，BC=，
∴AC=BC=3，
∴△ABC的面积=，
∴ 图中阴影部分的面积为△ABC的面积-扇形BOE的面积=-= ；
故答案为：C.
【分析】连接OB、OE、BE，△BOE、△AOE是等边三角形，可得∠BEO=∠EOA=60°，∠BAC=30°，从而得出BE∥AO，根据同底等高可得△BOE的面积=△ABE的面积，由的长为可求出R=2，根据图中阴影部分的面积为△ABC的面积-扇形BOE的面积进行计算即可.
11．【答案】圆心角，圆周角；一半
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理
【解析】【解答】解：与圆有关的角有：圆心角、圆周角，
同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，
故答案为：圆心角、圆周角，一半.
【分析】根据圆的相关性质和圆周角性质及其推论，即可求解.
12．【答案】28°
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：如图，连接OA、OB，则∠AOB= 86°-30° =56°，
∴∠ACB=∠AOB=28°，
故答案为：28°，
【分析】连接OA、OB，可得∠AOB= 86°-30° =56°，再利用圆周角定理即可求解.
13．【答案】2
【知识点】等边三角形的性质；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：由题意可得，，
.
故答案为：2.
【分析】 根据扇形面积计算公式：计算可得答案.
14．【答案】
【知识点】三角形内角和定理；圆周角定理
【解析】【解答】解：
∵AC是直径，∴∠ABC＝90°，
∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝45°，
又∵∠D＝∠C＝50°
∴∠BAD＝180°-∠ABD-∠D＝180°-45°-50°＝85°。
故答案为：85°
【分析】直径所对的圆周角是90°，同弧所对的圆周角相等，由此可得出∠ABC和∠D的度数，再根据内角和定理求出∠BAD。
15．【答案】
【知识点】勾股定理；三角形的外接圆与外心
【解析】【解答】解：如图，点O为△ABC外接圆的圆心，则OA即为外接圆半径，
能够完全覆盖这个三角形的最小圆即为△ABC外接圆的圆心，
∴OA=，
故答案为：.
【分析】△ABC的外接圆即是能够完全覆盖这个三角形的最小圆，求出此圆的半径即可.
16．【答案】
【知识点】圆周角定理；三角形的外接圆与外心；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【解答】解：如图，延长BA，CE，交于点M．
∵BC是⊙O的直径，
∴∠BAD=∠CAM=90°，∠BEC=∠BEM=90°，
又AB=AC，∠ABD=∠ACM，
∴△ABD≌△ACM，
∴BD=CM．
由∠EBM=∠EBC，BE= BE，∠BEC=∠BEM，得△BEC≌△BEM，
∴EC=EM，
∴BD=CM=2CE=．
【分析】延长BA，CE，交于点M，证明△ABD≌△ACM（ASA），可得BD=CM．再证△BEC≌△BEM（ASA），可得EC=EM，根据BD=CM=2CE即可求解.
17．【答案】解：如图
∴△ABC就是所求作的三角形.
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【分析】利用圆的正六边形的性质，正六边形的边长和半径相等，因此先将圆六等分，然后作出⊙O的内接正三角形即可.
18．【答案】解：⑴如图所示，即为所求；
⑵如图所示，即为所求；
⑶，
旋转时线段扫过的面积．
【知识点】扇形面积的计算；作图﹣轴对称；作图﹣旋转
【解析】【分析】（1）利用轴对称的性质找出点A、B、C的对应点，再连接即可；
（2）利用旋转的性质找出点A、B、C的对应点，再连接即可；
（3）先利用勾股定理求出BC的长，再利用扇形面积公式求解即可.
19．【答案】解：连结CD，
由题意得∠ADC=∠ABC=50°．
由AD是⊙O的直径，
得∠ACD= 90°．
∴∠CAD=90°-∠ADC=90°- 50°=40°．
【知识点】圆周角定理
【解析】【分析】利用圆周角定理，得到 ∠ADC=∠ABC=50° 和∠ADC=90°，再根据三角形的内角和定理求解即可.
20．【答案】解：作OF⊥CD于点F ，连结OD，
AB=AE+ BE =6，即⊙O的半径为3．
在Rt△OEF中，OE=OA-AE=3-1=2，∠DEB=60° ，则∠EOF=30° ，OF= ，
在Rt△ODF中，DF= ，
∴CD=2DF= ．
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【分析】作OF⊥CD于点F ， 连结OD， 先求出 ⊙O 的半径，再根据勾股定理求出OF和DF的长，最后利用垂径定理求出CD的长.
21．【答案】如图，过点O作OE⊥CD于点E，则E为CD的中点，即CE= DE．
∵OA=OB，OE⊥AB，
∴E为AB的中点，即AE= BE．
∴AE-CE=BE- DE，即AC= BD．
【知识点】垂径定理
【解析】【分析】过点O作OE⊥CD于点E，则CE= DE，由等腰三角形三线合一的性质可得AE= BE，从而得出AE-CE=BE- DE，继而得解.
22．【答案】（1）证明：连接BC，交OD于点G
∵AB是半圆O的直径
∴∠ACB= 90°
∴AC⊥BC
∵D是BC的中点，OD是半径
∴OD⊥BC
∴OD∥AC
∴∠OFE=∠ACE
∵AE=AC
∴∠OEF=∠ACE
∴∠OFE=∠OEF
∴OF=OE；
（2）解：若OF=6，DF=4，则OE=OF=6，OA=OB=OD=OF+DF=10
∴AC=AE=AO+OE=16，AB=20
在Rt△ACB中，BC==12
∵OD是半径且OD⊥BC
∴BG=CG=6
在Rt△OBG中，OG==8
∴FG=OG-OF= 2
∴在Rt△CFG中，CF=-
【知识点】平行线的判定与性质；等腰三角形的判定与性质；勾股定理；垂径定理；圆周角定理
【解析】【分析】（1）利用圆周角定理和垂径定理得AC⊥BC、OD⊥BC，由同一平面内垂直同一直线的两条直线互相平行得OD∥AC，再通过平行线的性质证得∠OFE=∠ACE，然后由AE=AC证得∠OEF=∠ACE=∠OFE，进而得到OF=OE；
（2）通过线段的等量关系得到AB、AC的长度，再利用勾股定理计算出BC的长度，接着通过垂径定理求得OG的长度后，得到FG长，然后利用勾股定理计算出CF的长度.
23．【答案】（1）证明：∵四边形ABED为圆内接四边形，
∴∠ABE=∠CDE，
∵，
∴∠ADB=∠AEB，
又∵∠ADB=∠CDE，
∴∠ABE=∠AEB，
∴AB=AE，
∴△ABE为等腰三角形．
（2）解：如图所示，连接AO并延长交BE于H点，连接OB，OE，
∵AB=AE，OB=OE，
∴点A、O在BE的垂直平分线上，即AH垂直平分BE，
∴AO⊥BE于点H，BH=BE，
∵AB=10，BE=12，
∴，，
∴在Rt△OBH中，，
解得：.
【知识点】等腰三角形的判定；勾股定理；圆的综合题
【解析】【分析】（1）根据圆内接四边形性质可得∠ABE=∠CDE，由弧和圆周角关系可得∠ADB=∠AEB，再通过角等量代换可得∠ABE=∠AEB，从而得出AB=AE，即可证明△ABE为等腰三角形；
（2）如图所示，连接AO并延长交BE于H点，连接OB，OE，由AB=AE，OB=OE，易得点A、O在BE的垂直平分线上，即AH垂直平分BE，根据垂径定理得到AO⊥BE于点H，BH=BE=6，根据勾股定理求得AH=8，最后在Rt△OBH中，利用勾股定理得到关于半径r的方程，解之即可.
24．【答案】（1）证明：连接OC，
∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠ACO＋∠OCB＝90°，
∵OA＝OC，
∴∠BAC＝∠ACO，
∵ ，
∴∠BCF＋∠OCB＝90°，
∴∠OCF＝90°，
∴OC⊥CF，
∴DF是⊙O的切线
（2）证明：∵点 是劣弧 中点，
∴OC⊥BD，
∵OC⊥CF，
∴BD∥CF，
∴∠F=∠ABD，
∵∠ABD=∠ACD，
∴
（3）证明：设OC交BD于点M，
∵ ，AC⊥BC，
∴ ，
∵点 是劣弧 中点，
∴ ，OC⊥BD，
∴∠CAB=∠CBD，
∴sin∠CAB=sin∠CBD，即 ，
∴CM= ，
∴OM=5- = ，
∵OM是 ABD的中位线，
∴AD=2OM= ．
【知识点】切线的判定；圆的综合题
【解析】【分析】（1）根据题意先求出 ∠BAC＝∠ACO， 再求出 OC⊥CF， 最后证明求解即可；
（2）先求出 BD∥CF， 再根据平行线的性质求出 ∠F=∠ABD， 最后证明求解即可；
（3）利用勾股定理求出AC=8，再求出 ， 最后计算求解即可。
1 / 12023年九年级上册数学人教版单元分层测试 第二十四章 圆 A卷
一、选择题
1．（2023九上·乐清期中）已知圆O的半径为5，同一平面内有一点P，且OP=4，则点P与圆O的关系是（ ）
A．点P在圆内 B．点P在圆外 C．点P在圆上 D．无法确定
【答案】A
【知识点】点与圆的位置关系
【解析】【解答】解：∵OP=4，圆O的半径为5，
，
点P在圆O内.
故答案为：A.
【分析】用r表示圆的半径，d表示同一平面内点到圆心的距离，当d>r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上；当d2．下列命题为真命题的是（ ）．
A．三点确定一个圆
B．度数相等的弧相等
C．90°的圆周角所对的弦是直径
D．相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等
【答案】C
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理；确定圆的条件；真命题与假命题
【解析】【解答】解： A、不在一条直线上的三点确定一个圆 ，故不符合题意；
B、 能够互相重合的弧叫做等弧，故不符合题意；
C、 90°的圆周角所对的弦是直径 ，故符合题意；
D、 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等，故不符合题意．
故答案为：C.
【分析】根据确定圆的条件，圆周角定理、弧弦圆心角的关系、等弧的定义逐项判断即可.
3．已知扇形的面积为30πcm2，它的半径为4cm，则扇形的弧长为（ ）．
A．10π cm B．15πcm C．20πcm D．25πcm
【答案】B
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】解：由S=lR，S= 30πcm2， R= 4cm，
∴30π=l×4，
∴l=15πcm，
故答案为：B.
【分析】利用S=lR直接计算即可.
4．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E．若OC=5 cm，CD=6 cm，则AE=（ ）．
A．4cm B．3cm C．9cm D．8cm
【答案】C
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，
∴
在中，
∴.
故答案为：C.
【分析】根据垂径定理求出CE的长，结合勾股定理即可得到OE的长，最后根据线段间的数量关系即可求解.
5．如图，点A，B，C是⊙O上的点，且∠ACB=40°，阴影部分的面积为2π，则此扇形的半径为（ ）．
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【知识点】圆周角定理；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：∵∠ACB=40° ，
∴∠AOB=2∠ACB=80°，
∵S==2π，
∴R=3，
故答案为：B.
【分析】利用圆周角定理先求出∠AOB的度数，再利用扇形面积公式即可求解.
6．如图，四边形ABCD内接于⊙O，四边形ABCO是平行四边形，则∠ADC的度数是（ ）．
A．45° B．50° C．60° D．75°
【答案】C
【知识点】平行四边形的性质；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCO是平行四边形，
∴∠AOC=∠ABC，
∵四边形ABCD是圆的内接四边形，
∴∠ADC+∠ABC=180°，
而∠ADC=∠AOC，
∴2∠ADC+∠ADC=180°，解得：∠ADC=60°.
故答案为：C.
【分析】由平行四边形的对角相等可得∠AOC=∠ABC，由圆圆内接四边形的对角互补可得∠ADC+∠ABC=180°然后根据圆周角定理可得关于∠ADC的方程，解方程可求解.
7．年北京冬奥会开幕式为世界奉献了一场精彩、简约、唯美、浪漫的中国文化盛宴，其中主火炬台的雪花状创意令人惊叹．如图是一个正六边形雪花状饰品，则它的每一个内角是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】正多边形的性质
【解析】【解答】根据题意可得：
正六边形的外角=360°÷6=60°，
∴正六边形的一个内角=180°-60°=120°，
故答案为：C.
【分析】先利用多边形的外角=外角和÷边数求出一个外角，再利用邻补角求出一个内角即可.
8．一块等边三角形木板，边长为1，现将木板沿水平线翻滚(如图)，那么点B从开始至结束所经过的路径长为（ ）．
A． B． C．4 D．2+
【答案】B
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】解：由图形可知：点B以边长1为半径旋转了2个120°即240°，
∴ 点B从开始至结束所经过的路径长 ，
故答案为：B.
【分析】由图形可知：点B以边长1为半径旋转了240°，利用弧长公式计算即可.
9．如图，BC是半圆O的直径，D，E是上两点，连结BD，CE并延长，交于点A，连结OD，OE．若∠A=70° ，则∠DOE的度数为（ ）．
A．35° B．38° C．40° D．42°
【答案】C
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：如图，连接CD，
∵BC是半圆O的直径
∴∠BDC=90°，
∴∠ADC=90°，
∴∠ACD=90°-∠A=90°-70°=20°，
∴∠DOE-2∠ACD=2×20°=40°.
故答案为：C.
【分析】连接CD，由直径所对的圆周角是直角可得∠BDC=90°，进而可得∠ADC、∠ACD，再由圆周角定理可得∠DOE-2∠ACD即可求解.
10．如图，以AD为直径的半圆O经过Rt△ABC的斜边AB的两个端点，交直角边AC于点E，且B，E是半圆弧的三等分点．若的长为，则图中阴影部分的面积为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】三角形的面积；圆周角定理；弧长的计算；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：如图，连接OB、OE、BE，
∵ B，E是半圆弧的三等分点 ，
∴∠BOD=∠BOE=∠AOE=60°，OE垂直平分AB，
∵OE=OA=OB，
∴△BOE、△AOE是等边三角形，
∴∠BEO=∠EOA=60°，∠BAC=30°，
∴BE∥AO，
∴△BOE的面积=△ABE的面积，
∵的长为 ，
∴，
∴R=2，
∴AB=，BC=，
∴AC=BC=3，
∴△ABC的面积=，
∴ 图中阴影部分的面积为△ABC的面积-扇形BOE的面积=-= ；
故答案为：C.
【分析】连接OB、OE、BE，△BOE、△AOE是等边三角形，可得∠BEO=∠EOA=60°，∠BAC=30°，从而得出BE∥AO，根据同底等高可得△BOE的面积=△ABE的面积，由的长为可求出R=2，根据图中阴影部分的面积为△ABC的面积-扇形BOE的面积进行计算即可.
二、填空题
11．与圆有关的角有哪些？ 。同弧所对的圆周角等于圆心角的 。
【答案】圆心角，圆周角；一半
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理
【解析】【解答】解：与圆有关的角有：圆心角、圆周角，
同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，
故答案为：圆心角、圆周角，一半.
【分析】根据圆的相关性质和圆周角性质及其推论，即可求解.
12．将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上，使点C在半圆上，点A，B的读数分别为86°，30°，则∠ACB的大小为
【答案】28°
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：如图，连接OA、OB，则∠AOB= 86°-30° =56°，
∴∠ACB=∠AOB=28°，
故答案为：28°，
【分析】连接OA、OB，可得∠AOB= 86°-30° =56°，再利用圆周角定理即可求解.
13．（2023九上·乐清期中）如图，边长为2的等边△ABC，将边BC不改变长度，变为，得到以A为圆心，AB为半径的扇形ABC，则此扇形的面积为
【答案】2
【知识点】等边三角形的性质；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：由题意可得，，
.
故答案为：2.
【分析】 根据扇形面积计算公式：计算可得答案.
14． 如图，是的内接三角形，是的直径，，的平分线交于点，则的度数是 ．
【答案】
【知识点】三角形内角和定理；圆周角定理
【解析】【解答】解：
∵AC是直径，∴∠ABC＝90°，
∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝45°，
又∵∠D＝∠C＝50°
∴∠BAD＝180°-∠ABD-∠D＝180°-45°-50°＝85°。
故答案为：85°
【分析】直径所对的圆周角是90°，同弧所对的圆周角相等，由此可得出∠ABC和∠D的度数，再根据内角和定理求出∠BAD。
15．如图，将△ABC放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，B，C均落在格点上．用一个圆面去覆盖△ABC，能够完全覆盖这个三角形的最小圆面的半径是
【答案】
【知识点】勾股定理；三角形的外接圆与外心
【解析】【解答】解：如图，点O为△ABC外接圆的圆心，则OA即为外接圆半径，
能够完全覆盖这个三角形的最小圆即为△ABC外接圆的圆心，
∴OA=，
故答案为：.
【分析】△ABC的外接圆即是能够完全覆盖这个三角形的最小圆，求出此圆的半径即可.
16．如图，⊙O是△ABC的外接圆，BC是⊙O的直径，AB=AC．∠ABC的平分线交AC于点D，交⊙O于点E，连结CE．若CE= ，则BD的长为
【答案】
【知识点】圆周角定理；三角形的外接圆与外心；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【解答】解：如图，延长BA，CE，交于点M．
∵BC是⊙O的直径，
∴∠BAD=∠CAM=90°，∠BEC=∠BEM=90°，
又AB=AC，∠ABD=∠ACM，
∴△ABD≌△ACM，
∴BD=CM．
由∠EBM=∠EBC，BE= BE，∠BEC=∠BEM，得△BEC≌△BEM，
∴EC=EM，
∴BD=CM=2CE=．
【分析】延长BA，CE，交于点M，证明△ABD≌△ACM（ASA），可得BD=CM．再证△BEC≌△BEM（ASA），可得EC=EM，根据BD=CM=2CE即可求解.
三、作图题
17．如图，已知⊙O，用直尺和圆规作⊙O的内接正三角形．
【答案】解：如图
∴△ABC就是所求作的三角形.
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【分析】利用圆的正六边形的性质，正六边形的边长和半径相等，因此先将圆六等分，然后作出⊙O的内接正三角形即可.
18． 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，．
⑴画出关于轴对称的；
⑵画出绕点顺时针旋转后的；
⑶在的条件下，求线段扫过的面积结果保留．
【答案】解：⑴如图所示，即为所求；
⑵如图所示，即为所求；
⑶，
旋转时线段扫过的面积．
【知识点】扇形面积的计算；作图﹣轴对称；作图﹣旋转
【解析】【分析】（1）利用轴对称的性质找出点A、B、C的对应点，再连接即可；
（2）利用旋转的性质找出点A、B、C的对应点，再连接即可；
（3）先利用勾股定理求出BC的长，再利用扇形面积公式求解即可.
四、解答题
19．（2023九上·期末）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AD是⊙O的直径．若∠ABC=50°，求∠CAD的度数．
【答案】解：连结CD，
由题意得∠ADC=∠ABC=50°．
由AD是⊙O的直径，
得∠ACD= 90°．
∴∠CAD=90°-∠ADC=90°- 50°=40°．
【知识点】圆周角定理
【解析】【分析】利用圆周角定理，得到 ∠ADC=∠ABC=50° 和∠ADC=90°，再根据三角形的内角和定理求解即可.
20．（2023九上·期末）如图，⊙O的直径AB和弦CD相交于点E．已知AE=1，EB=5，∠DEB=60°，求CD 的长．
【答案】解：作OF⊥CD于点F ，连结OD，
AB=AE+ BE =6，即⊙O的半径为3．
在Rt△OEF中，OE=OA-AE=3-1=2，∠DEB=60° ，则∠EOF=30° ，OF= ，
在Rt△ODF中，DF= ，
∴CD=2DF= ．
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【分析】作OF⊥CD于点F ， 连结OD， 先求出 ⊙O 的半径，再根据勾股定理求出OF和DF的长，最后利用垂径定理求出CD的长.
21．已知：如图，OA=OB，AB交⊙O于点C，D．
求证：AC=BD．
【答案】如图，过点O作OE⊥CD于点E，则E为CD的中点，即CE= DE．
∵OA=OB，OE⊥AB，
∴E为AB的中点，即AE= BE．
∴AE-CE=BE- DE，即AC= BD．
【知识点】垂径定理
【解析】【分析】过点O作OE⊥CD于点E，则CE= DE，由等腰三角形三线合一的性质可得AE= BE，从而得出AE-CE=BE- DE，继而得解.
22．（2023九上·乐清期中）如图，半圆ACB中，点D是的中点，点E在直径AB上，且AE=AC，半径OD交CE于点F．
（1）求证：OF=OE：
（2）若OF=6，DF=4，求CF的长．
【答案】（1）证明：连接BC，交OD于点G
∵AB是半圆O的直径
∴∠ACB= 90°
∴AC⊥BC
∵D是BC的中点，OD是半径
∴OD⊥BC
∴OD∥AC
∴∠OFE=∠ACE
∵AE=AC
∴∠OEF=∠ACE
∴∠OFE=∠OEF
∴OF=OE；
（2）解：若OF=6，DF=4，则OE=OF=6，OA=OB=OD=OF+DF=10
∴AC=AE=AO+OE=16，AB=20
在Rt△ACB中，BC==12
∵OD是半径且OD⊥BC
∴BG=CG=6
在Rt△OBG中，OG==8
∴FG=OG-OF= 2
∴在Rt△CFG中，CF=-
【知识点】平行线的判定与性质；等腰三角形的判定与性质；勾股定理；垂径定理；圆周角定理
【解析】【分析】（1）利用圆周角定理和垂径定理得AC⊥BC、OD⊥BC，由同一平面内垂直同一直线的两条直线互相平行得OD∥AC，再通过平行线的性质证得∠OFE=∠ACE，然后由AE=AC证得∠OEF=∠ACE=∠OFE，进而得到OF=OE；
（2）通过线段的等量关系得到AB、AC的长度，再利用勾股定理计算出BC的长度，接着通过垂径定理求得OG的长度后，得到FG长，然后利用勾股定理计算出CF的长度.
五、综合题
23．（2022九上·宁波月考）如图，⊙O经过△ABC的顶点A，B，与边AC，BC分别交于点D，E，连接BD，AE，且∠ADB=∠CDE．
（1）求证：△ABE是等腰三角形；
（2）若AB=10，BE=12，求⊙O的半径r．
【答案】（1）证明：∵四边形ABED为圆内接四边形，
∴∠ABE=∠CDE，
∵，
∴∠ADB=∠AEB，
又∵∠ADB=∠CDE，
∴∠ABE=∠AEB，
∴AB=AE，
∴△ABE为等腰三角形．
（2）解：如图所示，连接AO并延长交BE于H点，连接OB，OE，
∵AB=AE，OB=OE，
∴点A、O在BE的垂直平分线上，即AH垂直平分BE，
∴AO⊥BE于点H，BH=BE，
∵AB=10，BE=12，
∴，，
∴在Rt△OBH中，，
解得：.
【知识点】等腰三角形的判定；勾股定理；圆的综合题
【解析】【分析】（1）根据圆内接四边形性质可得∠ABE=∠CDE，由弧和圆周角关系可得∠ADB=∠AEB，再通过角等量代换可得∠ABE=∠AEB，从而得出AB=AE，即可证明△ABE为等腰三角形；
（2）如图所示，连接AO并延长交BE于H点，连接OB，OE，由AB=AE，OB=OE，易得点A、O在BE的垂直平分线上，即AH垂直平分BE，根据垂径定理得到AO⊥BE于点H，BH=BE=6，根据勾股定理求得AH=8，最后在Rt△OBH中，利用勾股定理得到关于半径r的方程，解之即可.
24．（2020九上·香洲期末）如图， 是 的直径，点 是劣弧 中点， 与 相交于点 ．连接 与 的延长线相交于点 ．
（1）求证： 是 的切线；
（2）求证： ；
（3）若 ，求 的长．
【答案】（1）证明：连接OC，
∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠ACO＋∠OCB＝90°，
∵OA＝OC，
∴∠BAC＝∠ACO，
∵ ，
∴∠BCF＋∠OCB＝90°，
∴∠OCF＝90°，
∴OC⊥CF，
∴DF是⊙O的切线
（2）证明：∵点 是劣弧 中点，
∴OC⊥BD，
∵OC⊥CF，
∴BD∥CF，
∴∠F=∠ABD，
∵∠ABD=∠ACD，
∴
（3）证明：设OC交BD于点M，
∵ ，AC⊥BC，
∴ ，
∵点 是劣弧 中点，
∴ ，OC⊥BD，
∴∠CAB=∠CBD，
∴sin∠CAB=sin∠CBD，即 ，
∴CM= ，
∴OM=5- = ，
∵OM是 ABD的中位线，
∴AD=2OM= ．
【知识点】切线的判定；圆的综合题
【解析】【分析】（1）根据题意先求出 ∠BAC＝∠ACO， 再求出 OC⊥CF， 最后证明求解即可；
（2）先求出 BD∥CF， 再根据平行线的性质求出 ∠F=∠ABD， 最后证明求解即可；
（3）利用勾股定理求出AC=8，再求出 ， 最后计算求解即可。
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