2023年九年级上册数学人教版单元分层测试 第二十四章 圆 B卷
一、选择题
1．（2020九上·乌兰察布期中）⊙O的半径为2，则它的内接正六边形的边长为（ ）
A．2 B．2 C． D．2
【答案】A
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】如图，AB为⊙O的内接正六边形的边长；∵∠AOB==60°，OA=OB，∴△OAB为等边三角形，∴AB=OA=2，故选A．
【分析】如图，首先求出∠AOB=60°，结合OA=OB，得到△OAB为等边三角形，即可解决问题．
2．如图，小华从一个圆形场地的A点出发，沿着与半径OA夹角为α的方向行走，走到场地边缘B后，再沿着与半径OB夹角为α的方向折向行走．按照这种方式，小华第五次走到场地边缘时位于弧AB上，此时∠AOE=56°，则α的度数是（ ）．
A．52° B．60° C．72° D．76°
【答案】A
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：连接OD，
∵∠BAO=∠CBO=α，
∴∠AOB=∠COB=∠COD=∠DOE，
∵ ∠AOE=56° ，
∴∠AOB=（360°-56°）÷4=76°，
∴α=∠BAO=（180°-∠AOB）=52°，
故答案为：A.
【分析】可通过求出∠AOB的度数进而求出α，由已知条件，可知∠AOB=∠COB=∠COD=∠DOE，进而可求解.
3．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，则它的外心与直角顶点的距离是（ ）．
A．2 B．2.5 C．3 D．4
【答案】B
【知识点】三角形的外接圆与外心；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解： 在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4 ，
∴AB==5，
∵直角三角形的外心是斜边的中点，
∴ 它的外心与直角顶点的距离为AB=2.5，
故答案为：B.
【分析】由勾股定理求出AB的长， 直角三角形它的外心与直角顶点的距离为斜边的一半.
4．数学课上，老师让学生用尺规作图作Rt△ABC，使其斜边AB=c，一条直角边BC=a．小明的作法如图所示，你认为这种作法能判断∠ACB是直角的依据是（ ）．
A．勾股定理 B．直径所对的圆周角是直角
C．勾股定理的逆定理 D．90°的圆周角所对的弦是直径
【答案】B
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：由作图知，点O为AB的中点，以点O为圆心，AB为直径作圆O，再以点B为圆心，BC的长为半径画弧交圆O于一点，即为点C，连接BC、AC，则∠ACB=90°，理论依据： 直径所对的圆周角是直角 .
故答案为： 直径所对的圆周角是直角 ；
【分析】由作图痕迹可知：AB是直径，利用直径所对的圆周角是直角即可判断.
5．如图，在网格(每个小正方形的边长均为1)中选取9个格点(格线的交点称为格点)．以A为圆心，r为半径作图．选取的格点中，若除A外恰好有3个在圆内，则r的取值范围为（ ）．
A．【答案】B
【知识点】勾股定理；点与圆的位置关系
【解析】【解答】解：如图，
由勾股定理可得AB=，AC=AD=，AE=，AF=，AG=AM= AN=．
∴当【分析】利用勾股定理分别求AB、AC、AD、AF、AE、AG、AM、AN的长，再根据点与圆的位置关系判断即可.
6．如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB，交⊙O于点C，连结OA，OB，BC．若∠ABC= 20°，则∠AOB的度数是（ ）．
A．40° B．50° C．70° D．80°
【答案】D
【知识点】垂径定理；圆周角定理
【解析】【解答】解：∵ ∠ABC= 20°，
∴∠AOB=2∠ABC= 40°，
∵ OC⊥AB ，
∴，
∴∠BOC=∠AOC= 40°，
∴∠AOB= 80°
故答案为：D.
【分析】根据圆周角定理可得∠AOB=2∠ABC= 40°， 由垂径定理可得∠BOC=∠AOC= 40°，从而得解.
7．如图，BC是⊙O的直径，A是⊙O上的一点．若∠OAC=32°，则∠B的度数是（ ）．
A．58° B．60° C．64° D．68°
【答案】A
【知识点】等腰三角形的性质；圆周角定理
【解析】【解答】解：∵BC是⊙O的直径，
∴
∴
∵
∴
故答案为：A.
【分析】根据直径所对的圆周角为直角得：进而求出，结合圆半径相等和等腰三角形的性质，即可求出度数.
8．（2023九上·乐清期中）已知点A，B，C在⊙O上，∠ABC=30°，把劣弧沿着直线CB折叠交弦AB于点D．若BD=9，AD=6，则的长为（ ）
A．π B．3π C．π D．π
【答案】C
【知识点】等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；圆周角定理；弧长的计算
【解析】【解答】解：如图，作，连接、、、，
，
，，
，，
，，
，
，
，
，
，，
，
.
故答案为：C.
【分析】由圆周角定理可得AC=CD，，证得是等边三角形，作，通过等腰三角形的性质求得AE、DE的长度，再利用直角三角形的性质计算出CE的长度，进而通过勾股定理求得AC长，得到半径长度，然后利用弧长计算公式求得的长.
9．（2023九上·期末）如图，四边形ABCD是⊙O的内接正方形，正方形PQRS的顶点S，R在⊙O上，则S正方形PQRS：S正方形ABCD等于( )．
A．1 ：2 B．1：3 C．2：3 D．2：5
【答案】D
【知识点】勾股定理；圆内接正多边形
【解析】【解答】解：如图，过点O作OF⊥SR，连接OD，OR.
∵四边形ABCD是⊙O的内接正方形，正方形PQRS的顶点S，R在⊙O上，
∴OD = OR，DE =OE =CD，OF= RS = 2FR.
在Rt△ODE中，OD2=DE2 +OE2=2DE2 =CD2，即CD2=2OD2；
在Rt△OFR中，OR2=FR2 +OF2=OF2 +OF2=OF2，即OF2=OR2.
∴S正方形PQRS：S正方形ABCD =OF2：CD2=OR2：2OD2=2：5.
故答案为：D.
【分析】以圆的半径为突破点，并利用勾股定理，将S正方形PQRS和S正方形ABCD表示为关于圆的半径的关系式即可得到答案.
10．（2022九上·宁波期中）如图，AB＝4，以O为圆心，AB为直径作半圆，点C是半圆一动点，若BC＝2BD，∠CBD＝60°，则线段AD的最大值为（ ）
A．2+2 B．+1 C．3 D．2+1
【答案】B
【知识点】三角形三边关系；等边三角形的判定与性质；勾股定理；圆周角定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：取BC的中点为E，连接DE，连接CD交圆O于点F，连接AF、BF，取BF的中点G，连接AG、DG，则，如下图：
∵
∴
∵ ，
∴是等边三角形，
∴
∴，
∴，
又∵
∴ ，
∴
∵G为BF的中点，
∴
∵AB为圆O的直径，
∴，
∵，
∴，
∴
∴
∴
∴
∵AG+DG≥AD (当且仅当点G在线段AD上时等号成立)，
∴，
∴AD的最大值为：.
故答案为：B.
【分析】取BC的中点为E，连接DE，连接CD交圆O于点F，连接AF、BF，取BF的中点G，连接AG、DG，则，根据等边三角形的性质得到，进而证明再根据勾股定理求出AF和AG的长，最后根据AG+DG≥AD (当且仅当点G在线段AD上时等号成立)，求出AD的最大值.
二、填空题
11．如图，正五边形ABCDE和正三角形AMN都是⊙O的内接多边形，则∠BOM的度数是
【答案】48°
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】解：连接OA，如图，
∵五边形ABCDE为正五边形，
∴
∵三角形AMN为正三角形，
∴
∴
故答案为：48°.
【分析】连接OA，根据正多边形中心角定义分别求出∠AOB和∠AOM的度数，最后根据角之间的数量关系即可求解.
12．如图，四边形ABDC是⊙O的内接四边形，∠BOC=110°，则∠BDC的大小为
【答案】125°
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：∵ ∠BOC=110° ，
∴∠A=∠BOC=55° ，
∵ 四边形ABDC是⊙O的内接四边形，
∴∠BDC=180°-∠A=125° ，
故答案为：125° .
【分析】由圆周角定理求出∠A的度数，再利用圆内接四边形的对角互补即可求解.
13．如图，EF是⊙O的直径，把∠A为45°的直角三角尺ABC的一条直角边BC放在直线EF上，斜边AB所在直线与⊙O交于点P，点B，O重合，且AC大于OE．将三角尺ABC沿OE方向平移，使得点B与点E重合为止．设∠POF=x°，则x的取值范围是
【答案】45≤x≤90
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：当点B和点O重合时，此时x最小，
∴
当点B和点E重合，此时x最大，
∴
∴
∴
综上所述，则x的取值范围是：
故答案为：.
【分析】根据题意可知：x取最小值时，点B和点O重合，x取最大值时，点B和点E重合，根据圆周角定理即可求出其值.
14．（2023九上·期末）已知正六边形的边长为4cm，分别以它的三个不相邻的顶点为圆心，边长为半径作弧(如图)，则所得到的三条弧的长度之和为 cm．(结果保留π)
【答案】8π
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】解：正六边形的每一个外角为360°÷6=60°，则正六边形的每一个内角为180° -60°=120° .
∴三条弧所对的圆心角为120° .
∴三条弧的长度之和为（cm).
故答案为： 8π
【分析】先求出正六边形的每一个内角，然后根据弧长公式，即可得到三条弧的长度之和.
15．如图所示，在中，是线段BC上的一个动点，以AD为直径画分别交AB，AC于E，F，连结EF，则EF的最小值为 .
【答案】
【知识点】垂线段最短；含30°角的直角三角形；勾股定理；垂径定理；圆周角定理
【解析】【解答】解：如图，连接OE、OF，过点O作OM⊥EF于点M，则EM=FM，
∵∠ACB=75°，∠ABC=45°，
∴∠BAC=60°，
∴∠EOF=120°，
∵OE=OF，
∴∠OEF=∠OFE=30°，
∴OM=OE，
∴，
当OE最小时，EF的值就最小，
∵点D是BC上的动点，AD为直径，
∴当AD⊥BC时，AD最小，即OE的值最小，
过点A作AH⊥BC于点H，
∴∠AHB=90°，
∵∠ABC=45°，
∴∠BAH=∠ABH=45°，
∴AH=BH，
∵AH2+BH2=AB2，
∴2AH2=AB2=16，
∴AH=（负值已舍），即AD的最小值为，
∴OE的最小值为，
∴EF的最小值为.
故答案为：.
【分析】连接OE、OF，过点O作OM⊥EF于点M，由垂径定理得EM=FM，由三角形的内角和定理得∠BAC=60°，由同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍得∠EOF=120°，由等腰三角形的性质及三角形的内角和可得∠OEF=∠OFE=30°，进而根据含30°角直角三角形的性质得OM=OE，再利用勾股定理表示出，当OE最小时，EF的值就最小，又点D是BC上的动点，AD为直径，当AD⊥BC时，AD最小，即OE的值最小，过点A作AH⊥BC于点H，由等腰直角三角形的性质得AH=BH，根据勾股定理建立方程可求出AH=（负值已舍），即AD的最小值为，从而此题就不难得出答案了.
16．（2023九上·乐清期中）如图，点P是线段AB上一动点(不包括端点)，过点P作PQ⊥AB交以AB为直径的半圆O于点Q，连结AQ，过点P作PC∥AQ交该半圆于点C，连结CB．当△PCB是以PC为腰的等腰三角形时，为
【答案】或
【知识点】等腰三角形的判定与性质；圆周角定理；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：如图1，当时，作，连接、，
，，
，，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，，
，
，
，
；
如图2，当时，连接，
是直径，
，
，
，
，
，
，
，
.
故答案为：或.
【分析】利用等腰三角形的性质进行分类讨论：当CP=BC时，作，利用平行线和等腰三角形的性质证得，进而得到，接着通过AAS判定得到PQ=CD，再通过AAS判定，证得，故可得；当PC=PB时，连接AC，利用圆周角定理得到，进而可证得，再通过等腰三角形的性质与判定证得AP=PC=PB，故.
三、解答题
17．如图，在正六边形ABCDEF中，AB=2，P是ED的中点，连结AP．求AP的长．
【答案】解：连结AE，过点F作FH⊥AE于点H，
∵正六边形ABCDEF，点P为ED的中点，
∴EP=ED=1，AE=EF=ED=2，∠AFE=∠AED=120°，
∴∠FAE=∠FEA=（180°-120°）=30°，AE=2HE，
∴FH=EF=1，
∴，
∴，
∵∠AEP=∠FED-∠FAE=120°-30°=90°，
∴.
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；勾股定理；正多边形的性质
【解析】【分析】连结AE，过点F作FH⊥AE于点H，利用正六边形的性质可求出EP的长，同时可证得AE=EF=ED=2，∠AFE=∠AED=120°，利用等腰三角形的性质和三角形的内角和定理求出∠FAE=∠FEA=30°，AE=2HE，同时可求出FH的长；利用勾股定理求出HE的长，可得到AE的长；然后证明∠AEP=90°，利用勾股定理求出AP的长.
18．如图，在半径为5的扇形OAB中，∠AOB=90°，C是上的一个动点(不与点A，B重合)，OD⊥BC，OE⊥AC，垂足分别为点D，E．
（1）当BC=6时，求线段OD的长．
（2）求DE的长．
（3）在△ODE中，是否存在度数不变的角？若存在，请直接指出是哪个角，并求出它的度数．
【答案】（1）解：∵OD⊥BC，
∴BD=BC= ×6=3，
∵∠BDO= 90°，OB=5，BD=3，
OD= =4，
即线段OD的长为4；
（2）解：如图，连结AB，DE，
∵∠AOB=90° ，OA=OB=5，
∴AB= ．
∵OD⊥BC，OE⊥AC，
∴D，E分别是线段BC，AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE=AB= ；
（3）解：∠DOE的度数不变，为45°，理由如下：
设OD交弧BC于点M，OE交弧AC于点N，
∵
∴
∴
∵
∴
即
【知识点】勾股定理；垂径定理；圆心角、弧、弦的关系；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）根据垂径定理得到BD=BC，在Rt△BDO中利用勾股定理即可求出OD的长；
（2）连结AB，在Rt△AOB中，利用勾股定理求出AB的长，由垂径定理得D，E分别是线段BC，AC的中点，最后根据三角形中位线定理即可求出DE的长；
（3）∠DOE的度数不变，为45°，理由如下：根据垂径定理即可求得，进而根据圆心角、弧、弦的关系可求出∠DOE的度数.
19． 如图，已知为的直径，是弦，且于点，连接、、．
（1）求证：；
（2）若，，求的半径．
【答案】（1）证明：为的直径，
，与互余，又与互余，
．
，
．
；
（2）解：设的半径为，则，
，
在中，由勾股定理可得：
，
即，
解得．
答：的半径为．
【知识点】勾股定理；垂径定理；圆周角定理
【解析】【分析】（1）根据圆周角定理和等角的余角相等定理，可找到 ，再根据等边对等角，把 进行等量代换即可证得；也可以根据垂径定理可得，然后根据圆周角定理得到相等的圆周角，再进行等量代换；
（2）设出半径，根据已知条件推出两条直角边的表达式，用勾股定理列出等式，求解即可。
四、综合题
20．（2023八下·丰城期末）如图①，在平面直角坐标系中，圆心为的动圆经过点且与x轴相切于点B．
（1）当时，求的半径；
（2）求y关于x的函数解析式，请判断此函数图象的形状，并在图②中画出此函数的图象；
（3）当的半径为1时，若与以上（2）中所得函数图象相交于点C、D，其中交点在点C的右侧，连接交与E，请利用图②，求的值．
【答案】（1）解：由，得到，连接，，如图：
圆P与x轴相切，
轴，即， 由，得到，
解得：，则圆P的半径为；
（2）解：同 (1)，由，得到
整理得：，
故图象为开口向上的抛物线，
画出函数图象，如图所示；
（3）解：如图：连接，并延长，交x轴于点F，
设，则有，，
坐标为，
代入抛物线解析式得：，
解得：或(舍去)，
即，
在中，，，
则．
【知识点】圆的综合题；二次函数y=ax^2+bx+c的图象
【解析】【分析】 (1)由题意得到AP=PB，求出y的值，即为圆P的半径；
（2）利用两点间的距离公式，根据AP=PB，确定出y关于x的函数解析式，画出函数图象即可；类比圆的定义描述此函数定义即可.（3）给（2）中所得函数图象进行定义：此函数图象可以看成是到点A的距离等于到x轴的距离的所有点的集合，即可求出答案。
21．（2023八下·丰城期末）如图，已知直线交于A、B两点，是的直径，点C为上一点，且平分，过C作，垂足为D．
（1）求证：为的切线；
（2）求和的数量关系；
（3）若，的直径为20，求的长度．
【答案】（1）证明：如图所示，连接，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵为的半径，
∴为的切线；
（2）解：如图所示，连接，
∵是的直径，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴
（3）解：如图所示，过O作，垂足为F，
∴，
∴四边形为矩形，
∴．
∵，
∴可设，则，
∵O的直径为20，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得．
∴，
解得或（舍去），
∴．
∵，
∴由垂径定理知，．
【知识点】勾股定理；矩形的性质；矩形的判定；圆的综合题
【解析】【分析】（1）经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线的圆的切线。
（2）利用角平分线定理进行角之间的转换即可求出答案。
（3）做辅助线，利用矩形性质，勾股定理，垂径定理即可求出答案。
1 / 12023年九年级上册数学人教版单元分层测试 第二十四章 圆 B卷
一、选择题
1．（2020九上·乌兰察布期中）⊙O的半径为2，则它的内接正六边形的边长为（ ）
A．2 B．2 C． D．2
2．如图，小华从一个圆形场地的A点出发，沿着与半径OA夹角为α的方向行走，走到场地边缘B后，再沿着与半径OB夹角为α的方向折向行走．按照这种方式，小华第五次走到场地边缘时位于弧AB上，此时∠AOE=56°，则α的度数是（ ）．
A．52° B．60° C．72° D．76°
3．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，则它的外心与直角顶点的距离是（ ）．
A．2 B．2.5 C．3 D．4
4．数学课上，老师让学生用尺规作图作Rt△ABC，使其斜边AB=c，一条直角边BC=a．小明的作法如图所示，你认为这种作法能判断∠ACB是直角的依据是（ ）．
A．勾股定理 B．直径所对的圆周角是直角
C．勾股定理的逆定理 D．90°的圆周角所对的弦是直径
5．如图，在网格(每个小正方形的边长均为1)中选取9个格点(格线的交点称为格点)．以A为圆心，r为半径作图．选取的格点中，若除A外恰好有3个在圆内，则r的取值范围为（ ）．
A．6．如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB，交⊙O于点C，连结OA，OB，BC．若∠ABC= 20°，则∠AOB的度数是（ ）．
A．40° B．50° C．70° D．80°
7．如图，BC是⊙O的直径，A是⊙O上的一点．若∠OAC=32°，则∠B的度数是（ ）．
A．58° B．60° C．64° D．68°
8．（2023九上·乐清期中）已知点A，B，C在⊙O上，∠ABC=30°，把劣弧沿着直线CB折叠交弦AB于点D．若BD=9，AD=6，则的长为（ ）
A．π B．3π C．π D．π
9．（2023九上·期末）如图，四边形ABCD是⊙O的内接正方形，正方形PQRS的顶点S，R在⊙O上，则S正方形PQRS：S正方形ABCD等于( )．
A．1 ：2 B．1：3 C．2：3 D．2：5
10．（2022九上·宁波期中）如图，AB＝4，以O为圆心，AB为直径作半圆，点C是半圆一动点，若BC＝2BD，∠CBD＝60°，则线段AD的最大值为（ ）
A．2+2 B．+1 C．3 D．2+1
二、填空题
11．如图，正五边形ABCDE和正三角形AMN都是⊙O的内接多边形，则∠BOM的度数是
12．如图，四边形ABDC是⊙O的内接四边形，∠BOC=110°，则∠BDC的大小为
13．如图，EF是⊙O的直径，把∠A为45°的直角三角尺ABC的一条直角边BC放在直线EF上，斜边AB所在直线与⊙O交于点P，点B，O重合，且AC大于OE．将三角尺ABC沿OE方向平移，使得点B与点E重合为止．设∠POF=x°，则x的取值范围是
14．（2023九上·期末）已知正六边形的边长为4cm，分别以它的三个不相邻的顶点为圆心，边长为半径作弧(如图)，则所得到的三条弧的长度之和为 cm．(结果保留π)
15．如图所示，在中，是线段BC上的一个动点，以AD为直径画分别交AB，AC于E，F，连结EF，则EF的最小值为 .
16．（2023九上·乐清期中）如图，点P是线段AB上一动点(不包括端点)，过点P作PQ⊥AB交以AB为直径的半圆O于点Q，连结AQ，过点P作PC∥AQ交该半圆于点C，连结CB．当△PCB是以PC为腰的等腰三角形时，为
三、解答题
17．如图，在正六边形ABCDEF中，AB=2，P是ED的中点，连结AP．求AP的长．
18．如图，在半径为5的扇形OAB中，∠AOB=90°，C是上的一个动点(不与点A，B重合)，OD⊥BC，OE⊥AC，垂足分别为点D，E．
（1）当BC=6时，求线段OD的长．
（2）求DE的长．
（3）在△ODE中，是否存在度数不变的角？若存在，请直接指出是哪个角，并求出它的度数．
19． 如图，已知为的直径，是弦，且于点，连接、、．
（1）求证：；
（2）若，，求的半径．
四、综合题
20．（2023八下·丰城期末）如图①，在平面直角坐标系中，圆心为的动圆经过点且与x轴相切于点B．
（1）当时，求的半径；
（2）求y关于x的函数解析式，请判断此函数图象的形状，并在图②中画出此函数的图象；
（3）当的半径为1时，若与以上（2）中所得函数图象相交于点C、D，其中交点在点C的右侧，连接交与E，请利用图②，求的值．
21．（2023八下·丰城期末）如图，已知直线交于A、B两点，是的直径，点C为上一点，且平分，过C作，垂足为D．
（1）求证：为的切线；
（2）求和的数量关系；
（3）若，的直径为20，求的长度．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】如图，AB为⊙O的内接正六边形的边长；∵∠AOB==60°，OA=OB，∴△OAB为等边三角形，∴AB=OA=2，故选A．
【分析】如图，首先求出∠AOB=60°，结合OA=OB，得到△OAB为等边三角形，即可解决问题．
2．【答案】A
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：连接OD，
∵∠BAO=∠CBO=α，
∴∠AOB=∠COB=∠COD=∠DOE，
∵ ∠AOE=56° ，
∴∠AOB=（360°-56°）÷4=76°，
∴α=∠BAO=（180°-∠AOB）=52°，
故答案为：A.
【分析】可通过求出∠AOB的度数进而求出α，由已知条件，可知∠AOB=∠COB=∠COD=∠DOE，进而可求解.
3．【答案】B
【知识点】三角形的外接圆与外心；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解： 在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4 ，
∴AB==5，
∵直角三角形的外心是斜边的中点，
∴ 它的外心与直角顶点的距离为AB=2.5，
故答案为：B.
【分析】由勾股定理求出AB的长， 直角三角形它的外心与直角顶点的距离为斜边的一半.
4．【答案】B
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：由作图知，点O为AB的中点，以点O为圆心，AB为直径作圆O，再以点B为圆心，BC的长为半径画弧交圆O于一点，即为点C，连接BC、AC，则∠ACB=90°，理论依据： 直径所对的圆周角是直角 .
故答案为： 直径所对的圆周角是直角 ；
【分析】由作图痕迹可知：AB是直径，利用直径所对的圆周角是直角即可判断.
5．【答案】B
【知识点】勾股定理；点与圆的位置关系
【解析】【解答】解：如图，
由勾股定理可得AB=，AC=AD=，AE=，AF=，AG=AM= AN=．
∴当【分析】利用勾股定理分别求AB、AC、AD、AF、AE、AG、AM、AN的长，再根据点与圆的位置关系判断即可.
6．【答案】D
【知识点】垂径定理；圆周角定理
【解析】【解答】解：∵ ∠ABC= 20°，
∴∠AOB=2∠ABC= 40°，
∵ OC⊥AB ，
∴，
∴∠BOC=∠AOC= 40°，
∴∠AOB= 80°
故答案为：D.
【分析】根据圆周角定理可得∠AOB=2∠ABC= 40°， 由垂径定理可得∠BOC=∠AOC= 40°，从而得解.
7．【答案】A
【知识点】等腰三角形的性质；圆周角定理
【解析】【解答】解：∵BC是⊙O的直径，
∴
∴
∵
∴
故答案为：A.
【分析】根据直径所对的圆周角为直角得：进而求出，结合圆半径相等和等腰三角形的性质，即可求出度数.
8．【答案】C
【知识点】等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；圆周角定理；弧长的计算
【解析】【解答】解：如图，作，连接、、、，
，
，，
，，
，，
，
，
，
，
，，
，
.
故答案为：C.
【分析】由圆周角定理可得AC=CD，，证得是等边三角形，作，通过等腰三角形的性质求得AE、DE的长度，再利用直角三角形的性质计算出CE的长度，进而通过勾股定理求得AC长，得到半径长度，然后利用弧长计算公式求得的长.
9．【答案】D
【知识点】勾股定理；圆内接正多边形
【解析】【解答】解：如图，过点O作OF⊥SR，连接OD，OR.
∵四边形ABCD是⊙O的内接正方形，正方形PQRS的顶点S，R在⊙O上，
∴OD = OR，DE =OE =CD，OF= RS = 2FR.
在Rt△ODE中，OD2=DE2 +OE2=2DE2 =CD2，即CD2=2OD2；
在Rt△OFR中，OR2=FR2 +OF2=OF2 +OF2=OF2，即OF2=OR2.
∴S正方形PQRS：S正方形ABCD =OF2：CD2=OR2：2OD2=2：5.
故答案为：D.
【分析】以圆的半径为突破点，并利用勾股定理，将S正方形PQRS和S正方形ABCD表示为关于圆的半径的关系式即可得到答案.
10．【答案】B
【知识点】三角形三边关系；等边三角形的判定与性质；勾股定理；圆周角定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：取BC的中点为E，连接DE，连接CD交圆O于点F，连接AF、BF，取BF的中点G，连接AG、DG，则，如下图：
∵
∴
∵ ，
∴是等边三角形，
∴
∴，
∴，
又∵
∴ ，
∴
∵G为BF的中点，
∴
∵AB为圆O的直径，
∴，
∵，
∴，
∴
∴
∴
∴
∵AG+DG≥AD (当且仅当点G在线段AD上时等号成立)，
∴，
∴AD的最大值为：.
故答案为：B.
【分析】取BC的中点为E，连接DE，连接CD交圆O于点F，连接AF、BF，取BF的中点G，连接AG、DG，则，根据等边三角形的性质得到，进而证明再根据勾股定理求出AF和AG的长，最后根据AG+DG≥AD (当且仅当点G在线段AD上时等号成立)，求出AD的最大值.
11．【答案】48°
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】解：连接OA，如图，
∵五边形ABCDE为正五边形，
∴
∵三角形AMN为正三角形，
∴
∴
故答案为：48°.
【分析】连接OA，根据正多边形中心角定义分别求出∠AOB和∠AOM的度数，最后根据角之间的数量关系即可求解.
12．【答案】125°
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：∵ ∠BOC=110° ，
∴∠A=∠BOC=55° ，
∵ 四边形ABDC是⊙O的内接四边形，
∴∠BDC=180°-∠A=125° ，
故答案为：125° .
【分析】由圆周角定理求出∠A的度数，再利用圆内接四边形的对角互补即可求解.
13．【答案】45≤x≤90
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：当点B和点O重合时，此时x最小，
∴
当点B和点E重合，此时x最大，
∴
∴
∴
综上所述，则x的取值范围是：
故答案为：.
【分析】根据题意可知：x取最小值时，点B和点O重合，x取最大值时，点B和点E重合，根据圆周角定理即可求出其值.
14．【答案】8π
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】解：正六边形的每一个外角为360°÷6=60°，则正六边形的每一个内角为180° -60°=120° .
∴三条弧所对的圆心角为120° .
∴三条弧的长度之和为（cm).
故答案为： 8π
【分析】先求出正六边形的每一个内角，然后根据弧长公式，即可得到三条弧的长度之和.
15．【答案】
【知识点】垂线段最短；含30°角的直角三角形；勾股定理；垂径定理；圆周角定理
【解析】【解答】解：如图，连接OE、OF，过点O作OM⊥EF于点M，则EM=FM，
∵∠ACB=75°，∠ABC=45°，
∴∠BAC=60°，
∴∠EOF=120°，
∵OE=OF，
∴∠OEF=∠OFE=30°，
∴OM=OE，
∴，
当OE最小时，EF的值就最小，
∵点D是BC上的动点，AD为直径，
∴当AD⊥BC时，AD最小，即OE的值最小，
过点A作AH⊥BC于点H，
∴∠AHB=90°，
∵∠ABC=45°，
∴∠BAH=∠ABH=45°，
∴AH=BH，
∵AH2+BH2=AB2，
∴2AH2=AB2=16，
∴AH=（负值已舍），即AD的最小值为，
∴OE的最小值为，
∴EF的最小值为.
故答案为：.
【分析】连接OE、OF，过点O作OM⊥EF于点M，由垂径定理得EM=FM，由三角形的内角和定理得∠BAC=60°，由同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍得∠EOF=120°，由等腰三角形的性质及三角形的内角和可得∠OEF=∠OFE=30°，进而根据含30°角直角三角形的性质得OM=OE，再利用勾股定理表示出，当OE最小时，EF的值就最小，又点D是BC上的动点，AD为直径，当AD⊥BC时，AD最小，即OE的值最小，过点A作AH⊥BC于点H，由等腰直角三角形的性质得AH=BH，根据勾股定理建立方程可求出AH=（负值已舍），即AD的最小值为，从而此题就不难得出答案了.
16．【答案】或
【知识点】等腰三角形的判定与性质；圆周角定理；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：如图1，当时，作，连接、，
，，
，，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，，
，
，
，
；
如图2，当时，连接，
是直径，
，
，
，
，
，
，
，
.
故答案为：或.
【分析】利用等腰三角形的性质进行分类讨论：当CP=BC时，作，利用平行线和等腰三角形的性质证得，进而得到，接着通过AAS判定得到PQ=CD，再通过AAS判定，证得，故可得；当PC=PB时，连接AC，利用圆周角定理得到，进而可证得，再通过等腰三角形的性质与判定证得AP=PC=PB，故.
17．【答案】解：连结AE，过点F作FH⊥AE于点H，
∵正六边形ABCDEF，点P为ED的中点，
∴EP=ED=1，AE=EF=ED=2，∠AFE=∠AED=120°，
∴∠FAE=∠FEA=（180°-120°）=30°，AE=2HE，
∴FH=EF=1，
∴，
∴，
∵∠AEP=∠FED-∠FAE=120°-30°=90°，
∴.
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；勾股定理；正多边形的性质
【解析】【分析】连结AE，过点F作FH⊥AE于点H，利用正六边形的性质可求出EP的长，同时可证得AE=EF=ED=2，∠AFE=∠AED=120°，利用等腰三角形的性质和三角形的内角和定理求出∠FAE=∠FEA=30°，AE=2HE，同时可求出FH的长；利用勾股定理求出HE的长，可得到AE的长；然后证明∠AEP=90°，利用勾股定理求出AP的长.
18．【答案】（1）解：∵OD⊥BC，
∴BD=BC= ×6=3，
∵∠BDO= 90°，OB=5，BD=3，
OD= =4，
即线段OD的长为4；
（2）解：如图，连结AB，DE，
∵∠AOB=90° ，OA=OB=5，
∴AB= ．
∵OD⊥BC，OE⊥AC，
∴D，E分别是线段BC，AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE=AB= ；
（3）解：∠DOE的度数不变，为45°，理由如下：
设OD交弧BC于点M，OE交弧AC于点N，
∵
∴
∴
∵
∴
即
【知识点】勾股定理；垂径定理；圆心角、弧、弦的关系；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）根据垂径定理得到BD=BC，在Rt△BDO中利用勾股定理即可求出OD的长；
（2）连结AB，在Rt△AOB中，利用勾股定理求出AB的长，由垂径定理得D，E分别是线段BC，AC的中点，最后根据三角形中位线定理即可求出DE的长；
（3）∠DOE的度数不变，为45°，理由如下：根据垂径定理即可求得，进而根据圆心角、弧、弦的关系可求出∠DOE的度数.
19．【答案】（1）证明：为的直径，
，与互余，又与互余，
．
，
．
；
（2）解：设的半径为，则，
，
在中，由勾股定理可得：
，
即，
解得．
答：的半径为．
【知识点】勾股定理；垂径定理；圆周角定理
【解析】【分析】（1）根据圆周角定理和等角的余角相等定理，可找到 ，再根据等边对等角，把 进行等量代换即可证得；也可以根据垂径定理可得，然后根据圆周角定理得到相等的圆周角，再进行等量代换；
（2）设出半径，根据已知条件推出两条直角边的表达式，用勾股定理列出等式，求解即可。
20．【答案】（1）解：由，得到，连接，，如图：
圆P与x轴相切，
轴，即， 由，得到，
解得：，则圆P的半径为；
（2）解：同 (1)，由，得到
整理得：，
故图象为开口向上的抛物线，
画出函数图象，如图所示；
（3）解：如图：连接，并延长，交x轴于点F，
设，则有，，
坐标为，
代入抛物线解析式得：，
解得：或(舍去)，
即，
在中，，，
则．
【知识点】圆的综合题；二次函数y=ax^2+bx+c的图象
【解析】【分析】 (1)由题意得到AP=PB，求出y的值，即为圆P的半径；
（2）利用两点间的距离公式，根据AP=PB，确定出y关于x的函数解析式，画出函数图象即可；类比圆的定义描述此函数定义即可.（3）给（2）中所得函数图象进行定义：此函数图象可以看成是到点A的距离等于到x轴的距离的所有点的集合，即可求出答案。
21．【答案】（1）证明：如图所示，连接，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵为的半径，
∴为的切线；
（2）解：如图所示，连接，
∵是的直径，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴
（3）解：如图所示，过O作，垂足为F，
∴，
∴四边形为矩形，
∴．
∵，
∴可设，则，
∵O的直径为20，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得．
∴，
解得或（舍去），
∴．
∵，
∴由垂径定理知，．
【知识点】勾股定理；矩形的性质；矩形的判定；圆的综合题
【解析】【分析】（1）经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线的圆的切线。
（2）利用角平分线定理进行角之间的转换即可求出答案。
（3）做辅助线，利用矩形性质，勾股定理，垂径定理即可求出答案。
1 / 1
