2023年九年级上册数学人教版单元分层测试 第二十五章 概率初步 B卷
一、选择题
1．（2023九上·期中） 在-4，- 2，1，2四个数中随机取两个数，分别作为函数y=ax2+bx+1中a，b的值，则该二次函数的图象恰好经过第一、二、四象限的概率为（ ） ．
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】概率公式；二次函数y=ax^2+bx+c的图象
【解析】【解答】解：画树状图：
由树状图可知：共有12种等可能结果，满足a＞0，b＜0的情况为4种，
当a=1，b=-2时，△=0；当a=2，b=-2时，△＜0，抛物线不过第四象限，
∴满足该二次函数的图象恰好经过第一、二、四象限的情况有2种，
∴该二次函数的图象恰好经过第一、二、四象限的概率=.
故答案为：D.
【分析】由题意画出树状图，根据树状图的信息可知共有12种等可能结果，符合题意的有2种，然后根据概率公式计算即可求解.
2．（2023九上·萧山月考）从1，2，3，4，5五个数中任意取出2个数做加法，其和为奇数的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】列表法与树状图法；概率公式
【解析】【解答】解：画树状图如下.
共有20种等可能的结果数，其中其和为奇数的结果数有12种，∴其和为奇数的概率是
故答案为：B.
【分析】列表法或画树状图法列举出所有可能的结果数，以及其和为奇数的结果数，然后根据概率公式即可求解.
3．有一质地均匀的正四面体，其四个面上分别画着圆、等边三角形、菱形、正五边形．投掷该正四面体一次，则向下一面的图形是轴对称图形，但不是中心对称图形的概率是（ ）．
A． B． C． D．1
【答案】B
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形；概率公式
【解析】【解答】 圆、等边三角形、菱形、正五边形都是轴对称图形，等边三角形与正五边形都不是中心对称图形， 向下一面的图形是轴对称图形，但不是中心对称图形的概率是．
故答案为：B.
【分析】在四个图中找出向下一面的图形是轴对称图形，找出四个图中不是中心对称图形，再计算向下一面的图形是轴对称图形，但不是中心对称图形的概率.
4．如图有四个转盘，其中C，D转盘分成8等分．让转盘自由转动一次，停止后，指针落在阴影区域内的概率最大的转盘是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】几何概率
【解析】【解答】 A、指针落在阴影区域内的概率为：；
B、如图所示：指针落在阴影区域内的概率为：；
C、如图所示：指针落在阴影区域内的概率为：；
D、如图所示：指针落在阴影区域内的概率为：
∵
∴指针落在阴影区域内的概率最大的转盘是：
故答案为：A．
【分析】 利用指针落在阴影区域内的概率是：分别求出概率比较即可．
5．甲、乙两人掷两个普通的立方体骰子，若掷出的点数之和为7，则甲赢；若掷出的点数之和为8，则乙赢．这个游戏规则（ ）．
A．公平 B．对甲有利 C．对乙有利 D．无法判断
【答案】B
【知识点】游戏公平性
【解析】【解答】设所有情况数为n，两骰子上的数字之和是7的有3+4=7；4+3=7，2+5=7；5+2=7，1+6=7；6+1=7共6种情况，和为8的有2+6=8；6+2=8，3+5=8；5+3=8；4+4=8共5种情况，
所以甲赢的概率为，乙赢的概率为，所以甲赢的概率大，所以游戏规则对甲有利.
故答案为：B．
【分析】 游戏是否公平，关键要看是否游戏双方各有50%赢的机会，本题中即两个骰子上的数字之和为7或8时的概率是否相等，求出概率比较，即可得出结论．
6．一个均匀的立方体六个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6．如图是这个立方体的表面展开图．抛掷这个立方体，则朝上一面上的数恰好等于朝下一面上的数的的概率是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】几何体的展开图；概率公式
【解析】【解答】解：抛掷这个立方体，朝上面的数共有1、2、3、4、5、6六中可能；由展开图可知，1和4，2和5，3和6是对面，其中只有3和6满足“朝上一面上的数恰好等于朝下一面上的数的”这个条件，所以上一面上的数恰好等于朝下一面上的数的的概率是.
故答案为：A.
【分析】 此题解题关键是还原展开图，找出立方体相对面的数字分别是什么.
7．如图显示了用计算机模拟随机投掷-枚图钉的某次试验的结果．
下面有三个推断：
①当投掷次数是500时，计算机记录“钉尖向上”的次数是308， 所以“钉尖向上”的概率是0.616；
②随着试验次数的增加，“钉尖向上”的频率总在0.618附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“钉尖向上”的概率是0.618；
③若再次用计算机模拟试验，则当投掷次数为1 000时，“钉尖向上”的概率一定是0.620．
其中合理的是（ ）．
A．① B．② C．①② D．①③
【答案】B
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：①当投掷次数是500时，计算机记录“钉尖向上”的次数是308，所以此时“钉尖向上”的频率是：308÷500=0.616，但“钉尖向上”的概率不一定是0.616，故①错误，不符合题意；
②随着试验次数的增加，“钉尖向上”的频率总在0.6 18附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“钉尖向上”的概率是0.618，故②正确，符合题意；
③若再次用计算机模拟试验，则当投掷次数为1000 时，“钉尖向上”的概率可能是0.620，但不一定是0.620，故错误，不符合题意；
综上符合题意的只有②.
故答案为：B.
【分析】大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率，据此逐项判断得出答案.
8．下列说法正确的是（ ）
A．小明在10次抛图钉的试验中发现3次钉尖朝上，由此他认为钉尖朝上的概率为0.3
B．“抛一枚硬币， 正面朝上的概率为0.5”表示每抛硬币2次就有1次出现正面朝上
C．“彩票中奖的概率是0.01”表示买100张彩票肯定能中奖
D．“抛一枚立方体骰子，朝上面的数为偶数的概率是0.5”，表示如果这枚骰子抛很多次， 那么平均每2次就有1次出现朝上面的数为偶数
【答案】D
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：A、10次抛图钉的试验次数太少，不能用频率估计概率，故A错误；
B、“抛一枚硬币， 正面朝上的概率为0.5”表示大量实验平均每抛一枚硬币2次，可能有1次正面朝上，故B错误；
C、“彩票中奖的概率是0.01”表示买100张彩票可能会有1张中奖，不一定能中奖，故C错误；
D、"抛一枚立方体骰子，朝上面的数为偶数的概率是0.5"表示如果这枚骰子抛很多次，那么偶数朝上的概率为3÷6=0.5，即平均2次就有1次是偶数，故D正确．
故答案为：D．
【分析】A、根据分析可知，试验次数太少，不能用频率估计概率，即可判断结论；
BCD、根据用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确逐项判断.
9．对一批衬衣进行抽检，统计合格衬衣的件数，得到合格补衣的频数表如下.根据表中的数据，下列说法中，错误的是（ ）.
抽取件数 100 150 200 500 800 1000
合格频数 85 141 176 445 724 900
A．抽取100件的合格频数是85
B．任抽取一件衬衣是合格品的概率是0.8
C．抽取200件的合格频率是0.88
D．估计出售1200件衬衣，次品大约有120件
【答案】B
【知识点】频数与频率；概率的意义
【解析】【解答】解：A、由表中的数据可知，抽取100件的合格频数是85，A正确；
BD、，出售1200件衬衣，次品大约有 1200×（1-0.9）=120（件），B错误，D正确；
C、抽取200件的合格频率=，C正确；
故答案为：D.
【分析】根据表中数据、结合概率的意义、频数与频率的概念逐项判断即可.
10．一项“过关游戏”规定：在过第n关时要将一颗质地均匀的骰子(六个面上分别刻有1到6个点)抛掷n次，若n次抛掷所出现的向上一面的点数之和大于n2，则算过关；否则，不算过关．能过第二关的概率是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】列表法与树状图法；概率公式
【解析】【解答】解： ∵在过第n关时要将一颗质地均匀的骰子（六个面上分别刻有1到6的点数）抛掷n次，n次抛掷所出现的点数之和大于则算过关；
∴能过第二关的抛掷所出现的点数之和需要大于5，
列表得：
1 2 3 4 5 6
1 2 3 4 5 6 7
2 3 4 5 6 7 8
3 4 5 6 7 8 9
4 5 6 7 8 9 10
5 6 7 8 9 10 11
6 7 8 9 10 11 12
∵共有36种等可能的结果，能过第二关的有26种情况，
∴能过第二关的概率是：
故选：A．
【分析】将n用2代入，求出能过第二关所出现的点数之和需要大于的值，再列出表格，得出所有可能的结果数和能过第二关的结果数，利用概率公式求解.
二、填空题
11．（2023七上·丰宁开学考）一个盒子中有5个红球，4个黄球，3个白球，任意摸出一个球，摸出 球的可能性最大，摸出 球的可能性最小．
【答案】红；白
【知识点】可能性的大小
【解析】【解答】解：由题意可得：摸出红球的可能性为：，
摸出黄球的可能性为：，
摸出白球的可能性为：，
∵，
∴摸出红球的可能性最大，摸出白球的可能性最小，
故答案为：红；白.
【分析】根据题意求出摸出红球、黄球和白球的可能性，再比较大小求解即可。
12．在一个不透明的布袋中装有标着数字2，3，4，5的四个小球，这四个小球的材质、大小和形状完全相同．现从中随机摸出两个小球，这两个小球上的数之积大于9的概率为
【答案】
【知识点】列表法与树状图法；概率公式
【解析】【解答】 根据题意列表得：
2 3 4 5
2 —— （3，2） （4，2） （5，2）
3 （2，3） —— （4，3） （5，3）
4 （2，4） （3，4） —— （5，4）
5 （2，5） （3，5） （4，5） ——
由表可知所有可能结果共有12种，且每种结果发生的可能性相同，其中摸出的两个小球上的数字之积大于9的有8种，
所以两个小球上的数字之积大于9的概率为
故答案为：．
【分析】先根据题意列出表格，分别求出所有可能情况数与符合条件的结果数，利用概率公式求解.
13．如图，在5×5的正方形网格图的格点上，有A，B，C，D四点，从中任取三点，所构成的三角形恰好是直角三角形的概率为
【答案】
【知识点】勾股定理；几何概率
【解析】【解答】 ∵从点A，B，C，D中任取三点能组成三角形的一共有4种可能，其中△ABD，△ADC，△ABC是直角三角形，
∴所构成的三角形恰好是直角三角形的概率为 .
故答案为： .
【分析】先分析出从点A，B，C，D中任取三点能组成三角形的所有可能结果数、能构成直角三角形的结果数，利用概率公式求解.
14．如图，将某二维码用黑白打印机打印于边长为2 cm的正方形区域内，为了估计图中黑色部分的总面积，在正方形区域内随机掷点，经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.6左右，据此可以估计黑色部分的总面积约为 .
【答案】2.4cm2
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：∵经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.6左右，
∴点落入黑色部分的概率为0.6，
∵正方形的面积为2×2=4cm2，
∴黑色部分的面积为4×0.6=2.4cm2，
故答案为：2.4cm2．
【分析】根据经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.6左右，可得点落入黑色部分的概率为0.6，求出正方形的面积为4cm2，再根据黑色部分的面积=正方形的面积×概率，计算即可得出答案．
15．（2023七下·盐湖期末）七巧板起源于我国宋代，后流传于世界各国．在“综合与实践”课堂上，兴趣小组同学用一张正方形纸板依据图1，经过折叠、剪切，制作了如图2所示的七巧板，再拼成如图3所示的作品，最后在作品上随机钉一枚图钉，将其固定在桌面上，则图钉的钉尖恰好落在①区域的概率是 ．
【答案】
【知识点】几何概率
【解析】【解答】解：∵①是平行四边形BEGH，
∴①的面积=S△BIC=S正方形ABCD=S正方形ABCD，
∴P（图钉的钉尖恰好落在①区域）=，
故答案为：.
【分析】先求出①的面积=S△BIC=S正方形ABCD=S正方形ABCD，再利用几何概率公式求解即可.
16．（2021九上·嘉祥期中）有四张正面分别标有数字﹣4，﹣3，﹣2，1，的不透明卡片，它们除数字不同外其他全部相同，现将它们背面朝上，洗匀后从中抽取一张，将该卡片上的数字记为a，放回后洗匀，再从中抽取一张，将该卡片上的数字记为b，则a，b使得二次函数y＝x2﹣（a+5）x+3当x≤1时y随x的增大而减小，且一元二次方程（a+2）x2+bx+1＝0有解的概率为 ．
【答案】
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；概率公式；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵二次函数y＝x2﹣（a+5）x+3，二次项系数为1，大于0，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线，
∵要使得当x≤1时，y随x的增大而减小，
∴应满足，
解得：；
∵一元二次方程（a+2）x2+bx+1＝0有解，
∴且，
∴且，
∴由题意可知，a仅能取-3或1，
当时，，
∴b取﹣4，﹣3，﹣2，1时，均满足；
当时，，
∴仅有b取﹣4时，满足；
综上分析，当时，b取﹣4，﹣3，﹣2，1，满足题意；当时，b取﹣4满足题意；共有5种情况满足题意；
∵由题意可得，两次抽取共有16种情况发生，
∴两次抽取后满足题意的概率为，
故答案为：．
【分析】根据二次函数满足的条件求出a的范围，然后由一元二次方程有解，确定a、b的范围，再根据概率公式求解即可.
三、解答题
17．（2023九上·榆树月考）某社区组织，，，四个小区的居民进行核酸检测，有很多志愿者参与此项检测工作，志愿者王明和李丽分别被随机安排到这四个小区中的一个小区组织居民排队等候．
（1）王明被安排到小区进行服务的概率是 ．
（2）请用列表法或画树状图法求出王明和李丽被安排到同一个小区工作的概率．
【答案】（1）
（2）解：列表如下：
由表知，共有种等可能结果，其中王明和李丽被安排到同一个小区工作的有种结果，
所以王明和李丽被安排到同一个小区工作的概率为．
【知识点】概率的意义；列表法与树状图法
【解析】【解答】解：（1）总共有4种可能，王明被安排到A区有1种可能，故P=
故答案为：
【分析】（1）王明到A区有1种可能，但总共结果有4种，p=。
（2）利用列表法可知总共有16种结果，他们被安排到同一所工厂有4种情况，故P=。
18．某校调查学生的课余爱好情况，采取抽样调查的方法，从阅读、运动、娱乐、上网等四个方面调查了若干名学生的兴趣爱好，并将调查结果绘制成下面两幅统计图(不完整)，请你根据图中提供的信息解答下列问题：
（1）在这次调查中，一共调查了 名学生．
（2）若该校共有学生1500人，估计爱好运动的学生有 人
（3）在全校学生中随机选取一名参加演讲比赛，用频率估计概率，则选出的恰好是爱好阅读的学生的概率是
【答案】（1）100
（2）600
（3）
【知识点】用样本估计总体；利用频率估计概率
【解析】【解答】解：（1）20÷20%=100（名），
故答案为：100；
（2）爱好运动的学生有1500×40%=600（名），
故答案为：600；
（3）爱好“阅读”的学生占：1-20%-10%-40%=30%=．
【分析】（1）根据总人数=“娱乐”的人数÷所占百分比，即可求出答案；
（2）根据爱好运动的人数=总人数×所占百分比，即可求出答案；
（3）根据扇形统计图可求出爱好“阅读”的学生所占百分比，因为用频率估计概率， 即可得出爱好“阅读”的学生的概率．
19．某水果公司以每千克2元的成本价新进了10000千克柑橘，销售人员通过抽样进行了“柑橘损坏率”统计，并把获得的数据记录如下：
柑橘总质量(千克) 损坏柑橘质量(千克) 柑橘损坏的频率
50 5.50 0.110
100 10.50 0.105
150 15.15
200 19.42
250 24.25
300 30.93
350 35.32
400 39.24
450 44.57
500 51.54
（1）完成以上表格(结果精确到0.001)
（2）估计这批柑橘完好的概率．
（3）如果公司希望这批柑橘能够获得5000元的利润，那么在出售柑橘(已去掉损坏的柑橘)时，每千克大约定价为多少元比较合适(精确到0.1元)？
【答案】（1）解：15.15÷150=0.101，
19.42 ÷ 200 =0.097，
24.25÷250=0.097，
30.93÷300=0.103，
35.32÷350=0.101，
39.24÷400=0.981，
44.57÷450=0.099，
51.54÷500=0.103，
故完成表格如下，
柑橘总质量(千克) 损坏柑橘质量(千克) 柑橘损坏的频率
50 5.50 0.110
100 10.50 0.105
150 15.15 0.101
200 19.42 0.097
250 24.25 0.097
300 30.93 0.103
350 35.32 0.101
400 39.24 0.098
450 44.57 0.099
500 51.54 0.103
（2）解：估计“柑橘损坏率”为0.1，
∴ 柑橘完好的概率为1-0.1=0.9．
（3）解：设每千克柑橘定价为x元，
∵ 柑橘完好有10000×0.9=9000（千克），
∴9000x-10000×2=5000
解得：x≈2.8
答：每千克大约定价为2.8元比较合适.
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【分析】（1）根据柑橘损坏的频率=损坏的质量÷柑橘总质量，计算即可得出答案；
（2）根据表格估计“柑橘损坏率”为0.1，所以柑橘完好的概率为1-0.1=0.9，即可可得出结论；
（3）设每千克柑橘定价为x元，根据利润=售价-进价，列出方程，最后解出方程即可得出答案．
四、综合题
20．大家看过中央电视台“购物街”节目吗 其中有一个游戏环节是大转轮比赛，游戏工具是一个可绕轴心自由转动的圆形转轮，转轮按圆心角均匀划分为20等份，并在其边缘标记5、10、15、...、100共20个5的整数倍的数.选手依次转动转轮,每个人最多有两次机会，选手转动的数字之和最大且不超过100者为胜出；若超过100则成绩无效,称为“爆掉”.
（1）某选手第一次转到了数字5,再转第二次,则他两次数字之和为100的可能性有多大
（2）现在某选手第一次转到了数字65,若再转第二次了则有可能“爆掉”，请你分析“爆掉”的可能性有多大
【答案】（1）解： 由题意分析可知，要使他两次数字之和为100，则第二次必须转到95（共1个），因为总共有20个5的整数倍的数，所以他两次数字之和为100的可能性为.
（2）解：由题意可知，转轮上的数均是5的整数倍的数（共20个），因此第二次转到40及40以上的数字就会“爆掉”，共有13种情况，所以“爆掉”的可能性为.
【知识点】可能性的大小
【解析】【分析】此题考查可能性的大小，用到的知识点为：可能性等于所求情况数与总情况数之比.
21．（2018九上·大洼月考）在阳光大课间活动中，某校开展了立定跳远、实心球、长跑等体育活动，为了了解九年一班学生的立定跳远成绩的情况，对全班学生的立定跳远测试成绩进行统计，并绘制了以下不完整的频数分布直方图和扇形图，根据图中信息解答下列问题.
（1）求九年一班学生总人数，并补全频数分布直方图（标注频数）；
（2）求2.05≤a＜2.25成绩段在扇形统计图中对应的圆心角度数；
（3）直接写出九年一班学生立定跳远成绩的中位数所在的成绩段；
（4）九年一班在2.25≤a＜2.45成绩段中有男生3人，女生2人，现要从这5人中随机抽取2人参加学校运动会，请用列表法或树状图法求出恰好抽到一男一女的概率.
【答案】（1）解：结合直方图和扇形统计图，全班总人数为：15÷30％=50（人），
2.05≤a＜2.25成绩段中的人数：50-(2+10+15+5)=50-22=18（人）.
补全频数分布直方图，如下图所示：
（2）解：2.05≤a＜2.25成绩段在扇形统计图中对应的圆心角度数：360°× =129.6°
（3）解：全班50人，按从小到大排列第25-26名在1.85≤a＜2.05组，所以中位数所在的成绩段在1.85≤a＜2.05
（4）解：用A1、A2、A3分别表示3个男生，B1、B2分别表示两个女生，可列表如下：
A1 A2 A3 B1 B2
A1 （A1，A2） （A1，A3） （A1，B1） （A1，B2）
A2 （A2，A1） （A2，A3） （A2，B1） （A2，B2）
A3 （A3，A1） （A3，A2） （A3，B1） （A3，B2）
B1 （B1，A1） （B1，A2） （B1，A3） （B1，B2）
B2 （B2，A1） （B2，A2） （B2，A3） （B2，B1）
由表格可知，所有可能出现的情况一共有20种，恰好抽到一男一女的情况有12种，
所以恰好抽到一男一女的概率为 =0.6
【知识点】总体、个体、样本、样本容量；频数（率）分布直方图；扇形统计图；列表法与树状图法；中位数
【解析】【分析】（1）由直方图和扇形图可知，第三小组的频数和百分数，根据样本容量=频数÷百分数可求得九年级一班学生总数；再根据样本容量等于各小组频数之和可求得第四小组的频数，然后可补全直方图；
（2）根据百分数=频数÷样本容量可求得第四小组的百分数，再根据圆心角=相对应组的百分数×360°可求解；
（3）由（1）的结论可知中位数是第25和26这两个对应的数的平均数；
（4）由题意列出表格，由表格中的信息可知， 所有可能出现的情况一共有20种，恰好抽到一男一女的情况有12种，然后根据概率公式计算即可求解。
22．（2020九上·越城月考）如图，放在直角坐标系中的正方形ABCD边长为4，现做如下实验：抛掷一枚均匀的正四面体骰子（它有四个顶点，各顶点的点数分别是1至4这四个数字中一个），每个顶点朝上的机会是相同的，连续抛掷两次，将骰子朝上的顶点数作为直角坐标中P点的坐标）第一次的点数作横坐标，第二次的点数作纵坐标）．
（1）求P点落在正方形ABCD面上（含正方形内部和边界）的概率．
（2）将正方形ABCD平移整数个单位，则是否存在一种平移，使点P落在正方形ABCD面上的概率为 ，若存在，指出其中的一种平移方式；若不存在，请说明理？
【答案】（1）解：依题可得，
由表格可知构成点P的坐标共有16种等可能性的结果，其中（1，1），（1，2），（2，1），（2，2），这4种情况落在正方形ABCD面上，
∴ P点落在正方形ABCD面上（含正方形内部和边界）的概率P=.
答： P点落在正方形ABCD面上（含正方形内部和边界）的概率为.
（2）解：∵使点P落在正方形ABCD面上的概率为=＞，
∴只能将正方形ABCD向上或向右整数个单位平移，且使点P落在正方形面上的数目为12，
∴存在这样的平移：先将正方形ABCD向上平移2个单位，再向右平移1个单位.
【知识点】几何概率
【解析】【分析】（1）根据题意列出表格，由表格可知构成点P的坐标的所有等可能性的结果和满足条件的等可能性结果，再由古典概型公式求得答案.
（2）由题意可知使点P落在正方形ABCD面上的概率为=＞，可得使点P落在正方形面上的数目为12，从而可得存在这样的平移.
1 / 12023年九年级上册数学人教版单元分层测试 第二十五章 概率初步 B卷
一、选择题
1．（2023九上·期中） 在-4，- 2，1，2四个数中随机取两个数，分别作为函数y=ax2+bx+1中a，b的值，则该二次函数的图象恰好经过第一、二、四象限的概率为（ ） ．
A． B． C． D．
2．（2023九上·萧山月考）从1，2，3，4，5五个数中任意取出2个数做加法，其和为奇数的概率是（ ）
A． B． C． D．
3．有一质地均匀的正四面体，其四个面上分别画着圆、等边三角形、菱形、正五边形．投掷该正四面体一次，则向下一面的图形是轴对称图形，但不是中心对称图形的概率是（ ）．
A． B． C． D．1
4．如图有四个转盘，其中C，D转盘分成8等分．让转盘自由转动一次，停止后，指针落在阴影区域内的概率最大的转盘是（ ）．
A． B． C． D．
5．甲、乙两人掷两个普通的立方体骰子，若掷出的点数之和为7，则甲赢；若掷出的点数之和为8，则乙赢．这个游戏规则（ ）．
A．公平 B．对甲有利 C．对乙有利 D．无法判断
6．一个均匀的立方体六个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6．如图是这个立方体的表面展开图．抛掷这个立方体，则朝上一面上的数恰好等于朝下一面上的数的的概率是（ ）．
A． B． C． D．
7．如图显示了用计算机模拟随机投掷-枚图钉的某次试验的结果．
下面有三个推断：
①当投掷次数是500时，计算机记录“钉尖向上”的次数是308， 所以“钉尖向上”的概率是0.616；
②随着试验次数的增加，“钉尖向上”的频率总在0.618附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“钉尖向上”的概率是0.618；
③若再次用计算机模拟试验，则当投掷次数为1 000时，“钉尖向上”的概率一定是0.620．
其中合理的是（ ）．
A．① B．② C．①② D．①③
8．下列说法正确的是（ ）
A．小明在10次抛图钉的试验中发现3次钉尖朝上，由此他认为钉尖朝上的概率为0.3
B．“抛一枚硬币， 正面朝上的概率为0.5”表示每抛硬币2次就有1次出现正面朝上
C．“彩票中奖的概率是0.01”表示买100张彩票肯定能中奖
D．“抛一枚立方体骰子，朝上面的数为偶数的概率是0.5”，表示如果这枚骰子抛很多次， 那么平均每2次就有1次出现朝上面的数为偶数
9．对一批衬衣进行抽检，统计合格衬衣的件数，得到合格补衣的频数表如下.根据表中的数据，下列说法中，错误的是（ ）.
抽取件数 100 150 200 500 800 1000
合格频数 85 141 176 445 724 900
A．抽取100件的合格频数是85
B．任抽取一件衬衣是合格品的概率是0.8
C．抽取200件的合格频率是0.88
D．估计出售1200件衬衣，次品大约有120件
10．一项“过关游戏”规定：在过第n关时要将一颗质地均匀的骰子(六个面上分别刻有1到6个点)抛掷n次，若n次抛掷所出现的向上一面的点数之和大于n2，则算过关；否则，不算过关．能过第二关的概率是（ ）．
A． B． C． D．
二、填空题
11．（2023七上·丰宁开学考）一个盒子中有5个红球，4个黄球，3个白球，任意摸出一个球，摸出 球的可能性最大，摸出 球的可能性最小．
12．在一个不透明的布袋中装有标着数字2，3，4，5的四个小球，这四个小球的材质、大小和形状完全相同．现从中随机摸出两个小球，这两个小球上的数之积大于9的概率为
13．如图，在5×5的正方形网格图的格点上，有A，B，C，D四点，从中任取三点，所构成的三角形恰好是直角三角形的概率为
14．如图，将某二维码用黑白打印机打印于边长为2 cm的正方形区域内，为了估计图中黑色部分的总面积，在正方形区域内随机掷点，经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.6左右，据此可以估计黑色部分的总面积约为 .
15．（2023七下·盐湖期末）七巧板起源于我国宋代，后流传于世界各国．在“综合与实践”课堂上，兴趣小组同学用一张正方形纸板依据图1，经过折叠、剪切，制作了如图2所示的七巧板，再拼成如图3所示的作品，最后在作品上随机钉一枚图钉，将其固定在桌面上，则图钉的钉尖恰好落在①区域的概率是 ．
16．（2021九上·嘉祥期中）有四张正面分别标有数字﹣4，﹣3，﹣2，1，的不透明卡片，它们除数字不同外其他全部相同，现将它们背面朝上，洗匀后从中抽取一张，将该卡片上的数字记为a，放回后洗匀，再从中抽取一张，将该卡片上的数字记为b，则a，b使得二次函数y＝x2﹣（a+5）x+3当x≤1时y随x的增大而减小，且一元二次方程（a+2）x2+bx+1＝0有解的概率为 ．
三、解答题
17．（2023九上·榆树月考）某社区组织，，，四个小区的居民进行核酸检测，有很多志愿者参与此项检测工作，志愿者王明和李丽分别被随机安排到这四个小区中的一个小区组织居民排队等候．
（1）王明被安排到小区进行服务的概率是 ．
（2）请用列表法或画树状图法求出王明和李丽被安排到同一个小区工作的概率．
18．某校调查学生的课余爱好情况，采取抽样调查的方法，从阅读、运动、娱乐、上网等四个方面调查了若干名学生的兴趣爱好，并将调查结果绘制成下面两幅统计图(不完整)，请你根据图中提供的信息解答下列问题：
（1）在这次调查中，一共调查了 名学生．
（2）若该校共有学生1500人，估计爱好运动的学生有 人
（3）在全校学生中随机选取一名参加演讲比赛，用频率估计概率，则选出的恰好是爱好阅读的学生的概率是
19．某水果公司以每千克2元的成本价新进了10000千克柑橘，销售人员通过抽样进行了“柑橘损坏率”统计，并把获得的数据记录如下：
柑橘总质量(千克) 损坏柑橘质量(千克) 柑橘损坏的频率
50 5.50 0.110
100 10.50 0.105
150 15.15
200 19.42
250 24.25
300 30.93
350 35.32
400 39.24
450 44.57
500 51.54
（1）完成以上表格(结果精确到0.001)
（2）估计这批柑橘完好的概率．
（3）如果公司希望这批柑橘能够获得5000元的利润，那么在出售柑橘(已去掉损坏的柑橘)时，每千克大约定价为多少元比较合适(精确到0.1元)？
四、综合题
20．大家看过中央电视台“购物街”节目吗 其中有一个游戏环节是大转轮比赛，游戏工具是一个可绕轴心自由转动的圆形转轮，转轮按圆心角均匀划分为20等份，并在其边缘标记5、10、15、...、100共20个5的整数倍的数.选手依次转动转轮,每个人最多有两次机会，选手转动的数字之和最大且不超过100者为胜出；若超过100则成绩无效,称为“爆掉”.
（1）某选手第一次转到了数字5,再转第二次,则他两次数字之和为100的可能性有多大
（2）现在某选手第一次转到了数字65,若再转第二次了则有可能“爆掉”，请你分析“爆掉”的可能性有多大
21．（2018九上·大洼月考）在阳光大课间活动中，某校开展了立定跳远、实心球、长跑等体育活动，为了了解九年一班学生的立定跳远成绩的情况，对全班学生的立定跳远测试成绩进行统计，并绘制了以下不完整的频数分布直方图和扇形图，根据图中信息解答下列问题.
（1）求九年一班学生总人数，并补全频数分布直方图（标注频数）；
（2）求2.05≤a＜2.25成绩段在扇形统计图中对应的圆心角度数；
（3）直接写出九年一班学生立定跳远成绩的中位数所在的成绩段；
（4）九年一班在2.25≤a＜2.45成绩段中有男生3人，女生2人，现要从这5人中随机抽取2人参加学校运动会，请用列表法或树状图法求出恰好抽到一男一女的概率.
22．（2020九上·越城月考）如图，放在直角坐标系中的正方形ABCD边长为4，现做如下实验：抛掷一枚均匀的正四面体骰子（它有四个顶点，各顶点的点数分别是1至4这四个数字中一个），每个顶点朝上的机会是相同的，连续抛掷两次，将骰子朝上的顶点数作为直角坐标中P点的坐标）第一次的点数作横坐标，第二次的点数作纵坐标）．
（1）求P点落在正方形ABCD面上（含正方形内部和边界）的概率．
（2）将正方形ABCD平移整数个单位，则是否存在一种平移，使点P落在正方形ABCD面上的概率为 ，若存在，指出其中的一种平移方式；若不存在，请说明理？
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】概率公式；二次函数y=ax^2+bx+c的图象
【解析】【解答】解：画树状图：
由树状图可知：共有12种等可能结果，满足a＞0，b＜0的情况为4种，
当a=1，b=-2时，△=0；当a=2，b=-2时，△＜0，抛物线不过第四象限，
∴满足该二次函数的图象恰好经过第一、二、四象限的情况有2种，
∴该二次函数的图象恰好经过第一、二、四象限的概率=.
故答案为：D.
【分析】由题意画出树状图，根据树状图的信息可知共有12种等可能结果，符合题意的有2种，然后根据概率公式计算即可求解.
2．【答案】B
【知识点】列表法与树状图法；概率公式
【解析】【解答】解：画树状图如下.
共有20种等可能的结果数，其中其和为奇数的结果数有12种，∴其和为奇数的概率是
故答案为：B.
【分析】列表法或画树状图法列举出所有可能的结果数，以及其和为奇数的结果数，然后根据概率公式即可求解.
3．【答案】B
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形；概率公式
【解析】【解答】 圆、等边三角形、菱形、正五边形都是轴对称图形，等边三角形与正五边形都不是中心对称图形， 向下一面的图形是轴对称图形，但不是中心对称图形的概率是．
故答案为：B.
【分析】在四个图中找出向下一面的图形是轴对称图形，找出四个图中不是中心对称图形，再计算向下一面的图形是轴对称图形，但不是中心对称图形的概率.
4．【答案】A
【知识点】几何概率
【解析】【解答】 A、指针落在阴影区域内的概率为：；
B、如图所示：指针落在阴影区域内的概率为：；
C、如图所示：指针落在阴影区域内的概率为：；
D、如图所示：指针落在阴影区域内的概率为：
∵
∴指针落在阴影区域内的概率最大的转盘是：
故答案为：A．
【分析】 利用指针落在阴影区域内的概率是：分别求出概率比较即可．
5．【答案】B
【知识点】游戏公平性
【解析】【解答】设所有情况数为n，两骰子上的数字之和是7的有3+4=7；4+3=7，2+5=7；5+2=7，1+6=7；6+1=7共6种情况，和为8的有2+6=8；6+2=8，3+5=8；5+3=8；4+4=8共5种情况，
所以甲赢的概率为，乙赢的概率为，所以甲赢的概率大，所以游戏规则对甲有利.
故答案为：B．
【分析】 游戏是否公平，关键要看是否游戏双方各有50%赢的机会，本题中即两个骰子上的数字之和为7或8时的概率是否相等，求出概率比较，即可得出结论．
6．【答案】A
【知识点】几何体的展开图；概率公式
【解析】【解答】解：抛掷这个立方体，朝上面的数共有1、2、3、4、5、6六中可能；由展开图可知，1和4，2和5，3和6是对面，其中只有3和6满足“朝上一面上的数恰好等于朝下一面上的数的”这个条件，所以上一面上的数恰好等于朝下一面上的数的的概率是.
故答案为：A.
【分析】 此题解题关键是还原展开图，找出立方体相对面的数字分别是什么.
7．【答案】B
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：①当投掷次数是500时，计算机记录“钉尖向上”的次数是308，所以此时“钉尖向上”的频率是：308÷500=0.616，但“钉尖向上”的概率不一定是0.616，故①错误，不符合题意；
②随着试验次数的增加，“钉尖向上”的频率总在0.6 18附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“钉尖向上”的概率是0.618，故②正确，符合题意；
③若再次用计算机模拟试验，则当投掷次数为1000 时，“钉尖向上”的概率可能是0.620，但不一定是0.620，故错误，不符合题意；
综上符合题意的只有②.
故答案为：B.
【分析】大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率，据此逐项判断得出答案.
8．【答案】D
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：A、10次抛图钉的试验次数太少，不能用频率估计概率，故A错误；
B、“抛一枚硬币， 正面朝上的概率为0.5”表示大量实验平均每抛一枚硬币2次，可能有1次正面朝上，故B错误；
C、“彩票中奖的概率是0.01”表示买100张彩票可能会有1张中奖，不一定能中奖，故C错误；
D、"抛一枚立方体骰子，朝上面的数为偶数的概率是0.5"表示如果这枚骰子抛很多次，那么偶数朝上的概率为3÷6=0.5，即平均2次就有1次是偶数，故D正确．
故答案为：D．
【分析】A、根据分析可知，试验次数太少，不能用频率估计概率，即可判断结论；
BCD、根据用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确逐项判断.
9．【答案】B
【知识点】频数与频率；概率的意义
【解析】【解答】解：A、由表中的数据可知，抽取100件的合格频数是85，A正确；
BD、，出售1200件衬衣，次品大约有 1200×（1-0.9）=120（件），B错误，D正确；
C、抽取200件的合格频率=，C正确；
故答案为：D.
【分析】根据表中数据、结合概率的意义、频数与频率的概念逐项判断即可.
10．【答案】A
【知识点】列表法与树状图法；概率公式
【解析】【解答】解： ∵在过第n关时要将一颗质地均匀的骰子（六个面上分别刻有1到6的点数）抛掷n次，n次抛掷所出现的点数之和大于则算过关；
∴能过第二关的抛掷所出现的点数之和需要大于5，
列表得：
1 2 3 4 5 6
1 2 3 4 5 6 7
2 3 4 5 6 7 8
3 4 5 6 7 8 9
4 5 6 7 8 9 10
5 6 7 8 9 10 11
6 7 8 9 10 11 12
∵共有36种等可能的结果，能过第二关的有26种情况，
∴能过第二关的概率是：
故选：A．
【分析】将n用2代入，求出能过第二关所出现的点数之和需要大于的值，再列出表格，得出所有可能的结果数和能过第二关的结果数，利用概率公式求解.
11．【答案】红；白
【知识点】可能性的大小
【解析】【解答】解：由题意可得：摸出红球的可能性为：，
摸出黄球的可能性为：，
摸出白球的可能性为：，
∵，
∴摸出红球的可能性最大，摸出白球的可能性最小，
故答案为：红；白.
【分析】根据题意求出摸出红球、黄球和白球的可能性，再比较大小求解即可。
12．【答案】
【知识点】列表法与树状图法；概率公式
【解析】【解答】 根据题意列表得：
2 3 4 5
2 —— （3，2） （4，2） （5，2）
3 （2，3） —— （4，3） （5，3）
4 （2，4） （3，4） —— （5，4）
5 （2，5） （3，5） （4，5） ——
由表可知所有可能结果共有12种，且每种结果发生的可能性相同，其中摸出的两个小球上的数字之积大于9的有8种，
所以两个小球上的数字之积大于9的概率为
故答案为：．
【分析】先根据题意列出表格，分别求出所有可能情况数与符合条件的结果数，利用概率公式求解.
13．【答案】
【知识点】勾股定理；几何概率
【解析】【解答】 ∵从点A，B，C，D中任取三点能组成三角形的一共有4种可能，其中△ABD，△ADC，△ABC是直角三角形，
∴所构成的三角形恰好是直角三角形的概率为 .
故答案为： .
【分析】先分析出从点A，B，C，D中任取三点能组成三角形的所有可能结果数、能构成直角三角形的结果数，利用概率公式求解.
14．【答案】2.4cm2
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：∵经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.6左右，
∴点落入黑色部分的概率为0.6，
∵正方形的面积为2×2=4cm2，
∴黑色部分的面积为4×0.6=2.4cm2，
故答案为：2.4cm2．
【分析】根据经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.6左右，可得点落入黑色部分的概率为0.6，求出正方形的面积为4cm2，再根据黑色部分的面积=正方形的面积×概率，计算即可得出答案．
15．【答案】
【知识点】几何概率
【解析】【解答】解：∵①是平行四边形BEGH，
∴①的面积=S△BIC=S正方形ABCD=S正方形ABCD，
∴P（图钉的钉尖恰好落在①区域）=，
故答案为：.
【分析】先求出①的面积=S△BIC=S正方形ABCD=S正方形ABCD，再利用几何概率公式求解即可.
16．【答案】
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；概率公式；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵二次函数y＝x2﹣（a+5）x+3，二次项系数为1，大于0，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线，
∵要使得当x≤1时，y随x的增大而减小，
∴应满足，
解得：；
∵一元二次方程（a+2）x2+bx+1＝0有解，
∴且，
∴且，
∴由题意可知，a仅能取-3或1，
当时，，
∴b取﹣4，﹣3，﹣2，1时，均满足；
当时，，
∴仅有b取﹣4时，满足；
综上分析，当时，b取﹣4，﹣3，﹣2，1，满足题意；当时，b取﹣4满足题意；共有5种情况满足题意；
∵由题意可得，两次抽取共有16种情况发生，
∴两次抽取后满足题意的概率为，
故答案为：．
【分析】根据二次函数满足的条件求出a的范围，然后由一元二次方程有解，确定a、b的范围，再根据概率公式求解即可.
17．【答案】（1）
（2）解：列表如下：
由表知，共有种等可能结果，其中王明和李丽被安排到同一个小区工作的有种结果，
所以王明和李丽被安排到同一个小区工作的概率为．
【知识点】概率的意义；列表法与树状图法
【解析】【解答】解：（1）总共有4种可能，王明被安排到A区有1种可能，故P=
故答案为：
【分析】（1）王明到A区有1种可能，但总共结果有4种，p=。
（2）利用列表法可知总共有16种结果，他们被安排到同一所工厂有4种情况，故P=。
18．【答案】（1）100
（2）600
（3）
【知识点】用样本估计总体；利用频率估计概率
【解析】【解答】解：（1）20÷20%=100（名），
故答案为：100；
（2）爱好运动的学生有1500×40%=600（名），
故答案为：600；
（3）爱好“阅读”的学生占：1-20%-10%-40%=30%=．
【分析】（1）根据总人数=“娱乐”的人数÷所占百分比，即可求出答案；
（2）根据爱好运动的人数=总人数×所占百分比，即可求出答案；
（3）根据扇形统计图可求出爱好“阅读”的学生所占百分比，因为用频率估计概率， 即可得出爱好“阅读”的学生的概率．
19．【答案】（1）解：15.15÷150=0.101，
19.42 ÷ 200 =0.097，
24.25÷250=0.097，
30.93÷300=0.103，
35.32÷350=0.101，
39.24÷400=0.981，
44.57÷450=0.099，
51.54÷500=0.103，
故完成表格如下，
柑橘总质量(千克) 损坏柑橘质量(千克) 柑橘损坏的频率
50 5.50 0.110
100 10.50 0.105
150 15.15 0.101
200 19.42 0.097
250 24.25 0.097
300 30.93 0.103
350 35.32 0.101
400 39.24 0.098
450 44.57 0.099
500 51.54 0.103
（2）解：估计“柑橘损坏率”为0.1，
∴ 柑橘完好的概率为1-0.1=0.9．
（3）解：设每千克柑橘定价为x元，
∵ 柑橘完好有10000×0.9=9000（千克），
∴9000x-10000×2=5000
解得：x≈2.8
答：每千克大约定价为2.8元比较合适.
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【分析】（1）根据柑橘损坏的频率=损坏的质量÷柑橘总质量，计算即可得出答案；
（2）根据表格估计“柑橘损坏率”为0.1，所以柑橘完好的概率为1-0.1=0.9，即可可得出结论；
（3）设每千克柑橘定价为x元，根据利润=售价-进价，列出方程，最后解出方程即可得出答案．
20．【答案】（1）解： 由题意分析可知，要使他两次数字之和为100，则第二次必须转到95（共1个），因为总共有20个5的整数倍的数，所以他两次数字之和为100的可能性为.
（2）解：由题意可知，转轮上的数均是5的整数倍的数（共20个），因此第二次转到40及40以上的数字就会“爆掉”，共有13种情况，所以“爆掉”的可能性为.
【知识点】可能性的大小
【解析】【分析】此题考查可能性的大小，用到的知识点为：可能性等于所求情况数与总情况数之比.
21．【答案】（1）解：结合直方图和扇形统计图，全班总人数为：15÷30％=50（人），
2.05≤a＜2.25成绩段中的人数：50-(2+10+15+5)=50-22=18（人）.
补全频数分布直方图，如下图所示：
（2）解：2.05≤a＜2.25成绩段在扇形统计图中对应的圆心角度数：360°× =129.6°
（3）解：全班50人，按从小到大排列第25-26名在1.85≤a＜2.05组，所以中位数所在的成绩段在1.85≤a＜2.05
（4）解：用A1、A2、A3分别表示3个男生，B1、B2分别表示两个女生，可列表如下：
A1 A2 A3 B1 B2
A1 （A1，A2） （A1，A3） （A1，B1） （A1，B2）
A2 （A2，A1） （A2，A3） （A2，B1） （A2，B2）
A3 （A3，A1） （A3，A2） （A3，B1） （A3，B2）
B1 （B1，A1） （B1，A2） （B1，A3） （B1，B2）
B2 （B2，A1） （B2，A2） （B2，A3） （B2，B1）
由表格可知，所有可能出现的情况一共有20种，恰好抽到一男一女的情况有12种，
所以恰好抽到一男一女的概率为 =0.6
【知识点】总体、个体、样本、样本容量；频数（率）分布直方图；扇形统计图；列表法与树状图法；中位数
【解析】【分析】（1）由直方图和扇形图可知，第三小组的频数和百分数，根据样本容量=频数÷百分数可求得九年级一班学生总数；再根据样本容量等于各小组频数之和可求得第四小组的频数，然后可补全直方图；
（2）根据百分数=频数÷样本容量可求得第四小组的百分数，再根据圆心角=相对应组的百分数×360°可求解；
（3）由（1）的结论可知中位数是第25和26这两个对应的数的平均数；
（4）由题意列出表格，由表格中的信息可知， 所有可能出现的情况一共有20种，恰好抽到一男一女的情况有12种，然后根据概率公式计算即可求解。
22．【答案】（1）解：依题可得，
由表格可知构成点P的坐标共有16种等可能性的结果，其中（1，1），（1，2），（2，1），（2，2），这4种情况落在正方形ABCD面上，
∴ P点落在正方形ABCD面上（含正方形内部和边界）的概率P=.
答： P点落在正方形ABCD面上（含正方形内部和边界）的概率为.
（2）解：∵使点P落在正方形ABCD面上的概率为=＞，
∴只能将正方形ABCD向上或向右整数个单位平移，且使点P落在正方形面上的数目为12，
∴存在这样的平移：先将正方形ABCD向上平移2个单位，再向右平移1个单位.
【知识点】几何概率
【解析】【分析】（1）根据题意列出表格，由表格可知构成点P的坐标的所有等可能性的结果和满足条件的等可能性结果，再由古典概型公式求得答案.
（2）由题意可知使点P落在正方形ABCD面上的概率为=＞，可得使点P落在正方形面上的数目为12，从而可得存在这样的平移.
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