2023-2024学年度第一学期期中调研试题
高二数学答案
一 单选题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B B D A D B B B
二 多选题
题号 9 10 11 12
答案 ABC ABD BC ACD
三 填空题
13. , 1 1, ； 14. 2； 15.32 16 ； 16. 8,12
四 解答题
17.解：（1）（1）由题知 AC 的中点D 2,0 ，
1 0 1
所以直线BD的斜率 kBD ， .………2分
2 2 4
1
则边 AC 上的中线BD所在直线的方程为 y x 2 ，化简得 x 4y 2 0 .………5分
4
2 2
（2）由题意得直线 AC 的斜率 kAC 2，且 kBE kAC 1，
3 1
1
所以 kBE ..………7分
2
1
则边 AC 上的高BE所在直线的方程为 y 1 x 2 ，
2
化简得 x 2y 0 .…………10分
x2 y2
18.解：（1） 1 .…………4分
5 4
y2（2） 8x …………8分
y2 x2
（3） 1 …………12分
16 9
19．解：（1）由题意，可得F (1,0)， p 2，
x 1 x 1
当 l 斜率不存在时，l为 x 1，由 2 得 ，故 AB 4 8，与题意不符．………2分
y 4x y 2
当直线 l 斜率存在时，设 l : y k(x 1) ，
{#{QQABKQKEggAgAAIAARhCAwUyCAEQkAGAAIoGBFAEIAAAwANABCA=}#}
y
2 4x
2 2 2 2
∴ k x 2k 4 x k 0，
y k x 1
(2k 2 4) 2k 2 4
设 A(x1, y1), B(x2 , y2 ),则 x1 x2 ，
k 2 k 2
p p
根据抛物线的定义可得 AB x1 x2 x1 x2 p x x x1 x2 2 8， 1 2 6，
2 2
2k 2 4
则 6，解得 k 1．
k 2
∴直线 l 的方程为 x y 1 0或 x y 1 0． ………6分
（2）几何法：取 AB 的中点 M，则 M为以 AB 为直径的圆的圆心，设 AB 2r ，
过 M作 MN⊥准线 a 于 N，过 A 作 AA1⊥准线 a 于 A1，过 B 作BB1⊥准线 a 于B1，
AA1 + BB1 AF BF AB根据梯形的性质和抛物线的定义可得 MN = = ,
2 2 2
即d r ，得证………12 分
法 2（代数法）：设 A(x1, y1), B(x2, y2) ，弦 AB 的中点为 M，则 M 为以 AB 为直径的圆的圆心，其横
x1 x坐标为 2 ，
2
∵直线 l 与抛物线相交于 A，B，∴l斜率存在时，斜率不为 0，故可设 l : x my 1，
y2 4x
则 y
2 4my 4 0，
x my 1
x x my 1 my 1 m
则 y1 y2 4m, y1y2 4,
1 2 1 2 4m 1 2m2 1，
2 2 2
x x
则 M到准线的距离为d 1 2
p
2 m2 1 ．………8分
2 2
又 AB 1 m2 y1 y2 1 m
2 (y1 y
2
2 ) 4y1y2 4 m2 1 ，………10分
AB
故 d ，即以 AB 为直径的圆与抛物线 C 的准线相切．…………………12分
2
2 2 2 2 2
20. 解：（1）已知圆C1 : x y 2mx 4my 5m 9 0，圆C2:x y 1，
圆C1的圆心为C1 m,2m ，半径 r1=3，
圆C2的圆心C2 0,0 ，半径为 r =1，圆心距 C C m
2 (2m)22 ， 1 2
4 5
当两圆外切时，有 C1C2 r r ，即 m
2
1 2 (2m)
2 4 ，解得m ，………………3 分
5
{#{QQABKQKEggAgAAIAARhCAwUyCAEQkAGAAIoGBFAEIAAAwANABCA=}#}
2 2 2 5当两圆内切时，有 C1C2 r1 r2 ，即 m (2m) 2 ，解得m ，………………5 分
5
2 5 4 5
故 m 的取值为 或 .………………6 分
5 5
（2）因为圆C1与直线 l : x 2y 4 0相交于M 、N 两点，且 MN 4，
5m 4
而圆心C m,2m 到直线 l : x 2y 4 01 的距离d ， .………………8 分
5
2 2
MN (5m 4) 9 1
有 d 2 2 r ，即 4 9，解得：m 或m .…………………1 12分
2 5 5 5
x2 y2 b
21.解： (1)双曲线C : 1(a 0,b 0)的渐近线是 y x ，即
a2 b2 a
bx ay 0，根据对称性，不妨设F (c,0)
bc bc
焦点到渐近线的距离为： b
b2 a2 c
b 1， ………………3分
x2
双曲线C 的方程为: y2 1
a2
4 x2
将点 A 代入双曲线方程得 1 1，得： a2 2 ，故双曲线方程为 y
2 1…………6 分
a2 2
（2）由题显然直线 l的斜率存在，设 l : y kx m，
设 P(x1, y1) ，Q(x2 , y2 ) ，则联立直线与双曲线得：
(2k 2 1)x2 4kmx 2m2 2 0 ，
1 2k 2 0且 =（8 m2+1-2k2) 0，
4km 2m2 2
x1 x2 ， x x ， ……………8 分 1 2
2k 2 1 2k 2 1
y1 1 y2 1 kx1 m 1 kx2 m 1kAP kAQ 0 ，
x1 2 x2 2 x1 2 x2 2
化简得： 2kx1x2 (m 1 2k)(x1 x2 ) 4(m 1) 0 ， ……………10 分
2k(2m2 2) 4km
故 (m 1 2k)( ) 4(m 1) 0 ，
2k 2 1 2k 2 1
即 (k 1)(m 2k 1) 0 ，
k 1或m 2k 1 0
若m 2k 1 0，即m 1 2k 时， l : y kx 1 2k ，即 y k x 2 1过A 点
而直线 l 不过 A 点，故 l的斜率 k 1. ……………12 分
法 2：设直线 PA方程： : y 1 k(x 2) ，即 y kx 1 2k 代入双曲线，化简得：
(1 2k 2 )x2 4k(1 2k)x 8k 2 8k 4 0，
1 2k 2 0且 16 2k 2 2k 1 0，
{#{QQABKQKEggAgAAIAARhCAwUyCAEQkAGAAIoGBFAEIAAAwANABCA=}#}
8k 2 8k 4 4k 2 4k 2
xAxP 2x ， P x2 P 1 2k 1 2k 2
4k 2 4k 2 2k 2 4k 1
P( , )……………8 分
1 2k 2 1 2k 2
以 k代k ，
4k 2 4k 2 2k 2 4k 1
Q( , )……………10 分
1 2k 2 1 2k 2
2k 2 4k 1 2k 2 4k 1
k 1 2k
2 1 2k 2 8k
PQ 1……………12 分
4k 2 4k 2 4k 2 4k 2 8k
1 2k 2 1 2k 2
x2
22. 解：（1） y2 1……………4 分
4
（2）解：由题，直线 AB 的斜率存在
设直线 AB 的方程为： y kx 2，
y kx 2
2
联立 x2 消去 y 得 1 4k x2 16kx 12 0，设 A x1, y1 , B x2 , y2 2
y 1
4
2 3
当 16k 4 12(1 4k 2 ) 64k 2 48 0,解得k 2 ， .……………6 分
4
16k 12
x1 x2 , x1x2
1 4k 2 1 4k 2
2
2 16k 4 12 4 4k
2 3
x1 x2 x 1 x2 4x1x2
1 4k 2 1 4k 2 1 4k
2
2 2
所以 AB 1 k 2
4 1 k 4k 3
x x .……………8 分 1 2
1 4k 2
2
点O到直线 l的距离d
k 2 1
1 4 4k 2 3
所以 S AB d ， ……………10 分 OAB
2 1 4k 2
设 4k 2 3 t 0，则4k
2 t2 3，
4t 4 4
S OAB 1
4 t2 4
t 4 ， 2 t
t t
{#{QQABKQKEggAgAAIAARhCAwUyCAEQkAGAAIoGBFAEIAAAwANABCA=}#}
4 7
当且仅当 t ，即 t2 4 时等号成立，即 k
2 ，
t 4
7 2 3
解得 k 时取等号，满足 k
2 4
所以 OAB 的面积最大为 1.……………12 分
1 1 4 4k 2 3 4 4k 2 3
法 2 S OAB OP x x 2 其余同！（参照给分） 1 2
2 2 1 4k 2 1 4k 2
{#{QQABKQKEggAgAAIAARhCAwUyCAEQkAGAAIoGBFAEIAAAwANABCA=}#}邗江区 2023—2024 学年度第一学期期中调研试题
高 二 数 学 2023．11
全卷满分 150 分，考试时间 120 分钟
一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分．在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的．
1．经过点P( 1,0)且倾斜角为60 的直线的方程是（ ）
A． 3x y 1 0 B． 3x y 3 0
C． 3x y 3 0 D． x 3y 1 0
2．已知点P x ,y 在直线3x 4y 10 0上，则 x 2 y 20 0 的最小值为（ ） 0 0
A．1 B．2 C．3 D．4
x2 y2
3．如果方程 1表示焦点在 y 轴上的椭圆，则实数a 的取值范围是（ ）
a2 a 6
A．a 3 B．a 2 C．a 3或a 2 D． 2 a 3且a 0
4．已知F 是抛物线C ： y
2 2px的焦点，点P 2, t 在C 上且 PF 4，则F 的坐标
为（ ）
A． 2,0 B． 2,0 C． 4,0 D． 4,0
2 2
5．过直线 y x 1上的点 P作圆C : x 1 y 6 2的两条切线 l1， l2，当直线 l1，
l 关于直线 y x 12 对称时，两切点间的距离为（ ）
A．1 B．2 C． 3 D． 6
6．为落实“二十大”不断实现人民对美好生活的向往，某小区在园区中心建立一座
景观喷泉．如图所示，喷头装在管柱 OA的顶端 A处，喷出的水流在各个方向上呈抛
物线状．现要求水流最高点 B离地面 4m，点 B到管柱 OA所
在直线的距离为 2m，且水流落在地面上以 O为圆心，6m为
半径的圆内，则管柱 OA的高度为（ ）
A．2m B．3m
C．2.5m D．1.5m
7．瑞士数学家欧拉提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上．这条直
线被称为欧拉线．已知 ABC的顶点 A 3,0 ，B 3,0 ，C 3,3 ，若直线 l：
ax a2 3 y 9 0与 ABC 的欧拉线平行，则实数 a的值为（ ）
A．－2 B．－1 C．－1或 3 D．3
x2 y2
8．已知椭圆C : 1(a b 0)的左、右焦点分别是F1, F2 ，点 P 是椭圆C 上位于
a2 b2
第一象限的一点，且PF y2 与 轴平行，直线PF1与C 的另一个交点为Q，若2PF1 5F1Q ，
高二数学试卷 第 1页
{#{QQABKQKEggAgAAIAARhCAwUyCAEQkAGAAIoGBFAEIAAAwANABCA=}#}
则C 的离心率为（ ）
21 33 7 21
A． B． C． D．
7 11 7 11
二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．在每小题给出的选项中，有多
项符合题目要求．全部选对的得 5 分，部分选对的得 2分，有选错的得 0分．
9．过定点（2，3）且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线为（ ）
A．3x 2y 0 B． x y 5 0 C． x y 1 0 D． x y 5 0
10．已知m ， n为两个不相等非零实数，则方程mx y n 0，与nx2 my2 mn所
表示的曲线不可能是（ ）
A． B． C． D．
11．已知经过点P 2,4 的圆 C的圆心坐标为 0, t (t为整数)，且与直线 l：
3x y 0相切，直线 m：ax y 2a 0与圆 C相交于 A、B两点，下列说法正确的
是（ ）
2
A．圆 C的标准方程为 x2 y 4 9 B．若PA PB，则实数 a的值为 2
C．若 AB 2 2 ，则直线 m 的方程为 x y 2 0 或7x y 14 0
2 2
D．弦 AB的中点 M的轨迹方程为 x 1 y 2 5
12.已知 O为坐标原点，过抛物线C : y2 2px(p 0)的焦点 F的直线与 C交于 A，B
两点，点 A在第一象限，点M ( p,0)，若 | AF | | AM |，则（ ）
A. 直线 AB的斜率为2 6 B. | OB | | OF |
C. | AB | 4 | OF | D. OAM OBM 180
三、填空题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20分．
π 3π
13．若直线 l的斜率为 k ，倾斜角为 且 [ , ]，则 k 的取值范围是 .
4 4
x2 y2
14．已知双曲线 1的渐近线为 y 3x ，则该双曲线的离心率为 .
a2 b2
2
15．由曲线 x y
2 4 x 4 y 围成的图形的面积为 .
16
16．动点M 分别与两定点 A( 5,0) ， B(5,0)连线的斜率的乘积为 ，设点M 的轨
25
迹为曲线C ，已知 N(2, 3) ，F( 3,0)，则 | MF | | MN |的取值范围为 .
高二数学试卷 第 2页
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四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分 10 分）
已知 ABC的三个顶点是 A 1,2 ，B 2, 1 ，C 3, 2 .求：
(1)边 AC 上的中线BD所在直线方程；
(2)边 AC 上的高 BE 所在直线方程.
18．（本小题满分 12 分）
求适合下列条件的圆锥曲线的标准方程：
2 5
(1)求椭圆的标准方程：以点F1 1,0 ，F2 1,0 为焦点，经过点P 2, .
5
(2)已知抛物线C : y
2 2px p 0 的焦点为F ，点P x ,y0 0 在抛物线C 上，且
PF x0 2，求抛物线C 的标准方程.
9
(3)求双曲线的标准方程：经过点 3, 4 2 ， ,5 .
4
19．（本小题满分 12 分）
已知抛物线 C： y2 4x的焦点为 F，过 F 的直线 l与抛物线相交于 A，B 两点，
(1)当 AB 8时，求直线 l的方程；
(2)求证：以 AB 为直径的圆与抛物线 C 的准线相切．
高二数学试卷 第 3页
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20.（本小题满分 12 分）
2
已知圆C1 : x y
2 2mx 4my 5m2 9 0，圆C2:x
2 y2 1
(1)若圆C1、C2相切，求实数m 的值；
(2)若圆C 与直线 l : x 2y 4 01 相交于M 、N 两点，且 MN 4，求m 的值.
21.（本小题满分 12 分）
x2 y2
已知双曲线C : 1(a 0,b 0)的焦点到渐近线的距离为 1. 且点 A(2,1)在
a2 b2
该双曲线上.直线 l 交 C于 P，Q 两点，直线 AP, AQ的斜率之和为0.
(1)求该双曲线方程； (2)求 l 的斜率；
22. （本小题满分 12 分）
x2 y2 3
已知椭圆 1 a b 0 的长轴长为 4 ，离心率为 .
a2 b2 2
(1)求椭圆的方程；
(2)若过点 P（0,2）的直线 l与椭圆 C 相交于 A, B两点，O为原点.求 OAB面积的最大
值.
高二数学试卷 第 4页
{#{QQABKQKEggAgAAIAARhCAwUyCAEQkAGAAIoGBFAEIAAAwANABCA=}#}
