数学人教A版（2019）选择性必修第一册3.3.2抛物线的简单几何性质 课件（共19张ppt）

(共19张PPT)
3.3.2 抛物线的简单几何性质
抛物线的四种标准方程
图形
标准方程
焦点坐标
准线方程
l
F
y
x
O
复习回顾
思考 类比椭圆、双曲线的几何性质，你认为应该研究抛物线
的哪些几何性质？如何研究这些性质？
1.范围：
2.对称性：
3.顶点：
4.离心率：
研究方法：直观猜想
方程验证
新知探究
问题1 观察抛物线y2=2px (p>0)的图像，它的范围是什么？
由抛物线
有
所以抛物线的范围为
1.范围
问题2 观察抛物线y2=2px (p>0)的图像，它的对称性如何？
以代，方程 不变，所以抛物线关于轴对称．
把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴.
2.对称性
问题3 观察抛物线y2=2px (p>0)的图像，它的顶点是什么？
在方程 ()中，
当时，
因此抛物线的顶点就是原点.
抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的顶点．
3.顶点
问题4 观察抛物线y2=2px (p>0)的图像，它的离心率是什么？
抛物线上的点与焦点的距离和点到准线的距离的比 ，叫做抛物线的离心率，用e表示．
由抛物线的定义可知，.
4.离心率
抛物线的焦半径：
连接抛物线任意一点与焦点的线段.
焦半径公式：
5.焦半径
思考: 如图是抛物线上任意一点，焦点为，如何求焦半径？
过抛物线的焦点的线段，叫做抛物线的焦点弦.
焦点弦公式：
6.焦点弦
思考: 如图直线过焦点，点A 是两个交点，如何求焦点弦？
A
B
y2=2px
x
l
F
y
O
7.通径
追问:如图若焦点弦垂直于对称轴时，弦长是多少？
|AB|=2p
2p
越大，抛物线张口越大
利用抛物线的顶点、通径的两个端点可较准确的画出抛物线的草图.
通过焦点且垂直对称轴的弦.
抛物线的通径：
长度为2p
方程
图形
范围
对称性 顶点 焦半径
焦点弦
通径 y2 = 2px
y2 = -2px
x2 = 2py
x2 = -2py
l
F
y
x
O
l
F
y
x
O
l
F
y
x
O
x≥0, y∈R
x≤0, y∈R
x∈R, y≥0
x∈R, y≤0
l
F
y
x
O
关于x轴对称
关于y轴对称
(0,0)
例题精讲
【课本】例3 已知抛物线关于轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点，求它的标准方程．
解：由已知可设抛物线的标准方程为
所求方程为：
将点代入得
得
变式训练 顶点在坐标原点,对称轴是坐标轴,并且过点M(2, 2 )的抛物线有几条,求它的标准方程.
y2=4x或 x2=y
【课本】例4 斜率为1的直线经过抛物线的焦点，且与抛物线相交于两点，求线段的长.
法2:设而不求,运用弦长公式求弦长
法1:直接求两点坐标,用两点间的距离公式求弦长
法3:设而不求,运用焦点弦公式求弦长
思路分析：
【课本】例4 斜率为1的直线经过抛物线的焦点，且与抛物线相交于两点，求线段的长.
【课本】例4 斜率为1的直线经过抛物线的焦点，且与抛物线相交于两点，求线段的长.
解：(法2)设
直线的为抛物线方程，化简得
∴ +=6, =1
=8.
解: (法3)由题可知，焦点的坐标为，准线方程为.
【课本】例4 斜率为1的直线经过抛物线的焦点，且与抛物线相交于两点，求线段的长.
如图，设
由抛物线的焦点弦公式得
.
直线的方程为 ①
将①代入方程，化简得
所以=6，.
所以，线段AB的长是8.
如果直线不经过焦点，还等于吗？
分析：如图，设 ， ．
思考 如果直线不经过焦点，还等于吗？
由三角形性质
由抛物线的定义可知
解:∵抛物线y2=4x ， ∴p=2,焦点为(1,0)
∵直线l的斜率为1且过点M(2,0)
∴直线l的方程为y=x-2 ①
将①代入y2=4x得x2-8x+4=0
设A(x1,y1)，B(x2,y2)，则x1+x2=8，x1x2=4
所以
【课本】 练习3.过点作斜率为1的直线，交抛物线于两点，求.
课堂练习
方程
图形
范围
对称性 顶点 焦半径
焦点弦
通径 y2 = 2px
y2 = -2px
x2 = 2py
x2 = -2py
l
F
y
x
O
l
F
y
x
O
l
F
y
x
O
x≥0, y∈R
x≤0, y∈R
x∈R, y≥0
x∈R, y≤0
l
F
y
x
O
关于x轴对称
关于y轴对称
(0,0)
课堂小结