数学试卷答案
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
D B D D B B C A ABD AB BC BCD
1 5 1
13、3√2 14、 ,0,1 15、 ( , +∞) 16、
6 6 4
2√ 2
17．解：(1) 由三角函数的定义可知 = 3 = 2√ 2; ........................21 分
3
√ 2 + √ 2 +1 3
原式 = = = √ 2． ........................5 分
3√ 2 + 3√ 2+ 2
1 2lg3 lg2
（2）原式 = lg5 + lg2 2 log232 + = 1 √3 + 2 = 3 √3 ．........................10 分
lg2 lg3
18．解：（1）若选①：
2x 2 2x 2 x +1 x 3
A ={x | 1}={x | 0}={x | 0}={x | 1 x 3}，...........................2 分
x +1 x +1 x +1 x +1
B ={x | x2 + x + a a2 0}={x | (x + a) x + (1 a) 0}={x | (x + 2)(x 1) 0}， 所以B ={x | 2 x<1}，.......................4 分
CU A ={x | x 1或x 3}，CU B ={x | x 2或x 1}，
故 (CU A) (CU B) = {x | x 1或x 1} .........................6 分
若选②：
A ={x | x 1 2}={x | 2 x 1 2}={x | 1 x 3} ...........................2 分
B ={x | x2 + x + a a2 0}={x | (x + a) x + (1 a) 0}={x | (x + 2)(x 1) 0}，所以B ={x | 2 x<1}，..........................4
分
CU A ={x | x 1或x 3}，CU B ={x | x 2或x 1}，
故 (CU A) (CU B) = {x | x 1或x 1} .........................6 分
（2）由（1）知 A = {x | 1 x 3}，B ={x | x
2 + x + a a2 0}={x | (x + a) x + (1 a) 0}，
因为“ x A ”是“ x B ”的充分不必要条件，
1 1 a
（1） 若 a (1 a) ，即a ，此时B ={x | a x (1 a)}，所以 ,等号不同时取得，
2 3 (1 a)
解得a 4 .故a 4 ..........................8 分
（2）若 a = (1 a) ，则B = ，不合题意舍去；........................10 分
1 1 (1 a)
（3）若 a (1 a) ，即a ，此时B ={x | (1 a) x a}， ,等号不同时取得，解得a 3 .
2 3 a
综上所述，a的取值范围是 ( , 3 4,+ ) ...................................................12 分
{#{QQABLQCAoggAAABAARgCAwmACAMQkAAACKoGBFAIMAIAAQFABCA=}#}
19．解：(1)第五组数据频率为1 (0.010 + 0.026 + 0.020 + 0.030 + 0.006) × 10 = 0.08，
∴对应纵轴数值为0.008，补全这个频率分布直方图如下：
............................................2 分
平均数45 × 0.1 + 55 × 0.26 + 65 × 0.20 + 75 × 0.30 + 85 × 0.08 + 95 × 0.06 = 66.8；.........................4 分
0.65 0.56
(2)第65百分位数是70 + × 10 = 73；........................7 分
0.3
(3)第五组与第六组学生总人数为0.14 × 50 = 7，
其中第五组有4人记为 、 、 、 ，第六组有3人记为 、 、 ，
从中随机抽取2人的情况有： 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、
、 、 共有21种，
其中至少1人成绩优秀的情况有15种，
15 5
∴所抽取的2人中至少1人成绩优秀的概率 = ． ..................................................12 分
21 7
2 2
20．（1）因为a = (sin x,cos x)，b = (cos x, 3 cos x)，则 a = sin x + cos x =1，
1 3 3 π 3
a b = (sin x,cos x) (cos x, 3 cos x) = sin xcos x+ 3 cos2 x = sin 2 x + cos 2 x + = sin 2 x + + ，
2 2 2 3 2
3 3 2 3
故 f (x) = a b a = a b a = a b = sin 2 x + ，
2 2 2 3
2π
因为 f (x)最小正周期为 π，所以T = = π，所以 =1，故 f (x) = sin 2x + ，.....................................4 分
2 3
π π π 5π π
由 + 2kπ 2x + + 2kπ， k Z，解得 + kπ x + kπ，k Z，
2 3 2 12 12
5π π
所以 f (x)的单调递增区间为 kπ ,kπ + ， k Z ......................................6 分
12 12
A 3 A π π 3 π π 2π π
（2）由（1）及 f = ，即sin 2 + = sin A+ = ，又 A 0, ，所以 A+ = ，解得 A = ，
2 2 2 3 3 2 2 3 3 3
π π
0 B 0 B
2 2 π π
又 ABC为锐角三角形，即 ，即 ，解 B ；............................................8 分
π π 6 20 C 0 π B A
2 2
4
+ = ( + ) = 4 sin ( + )..........................................10 分
6
π π
又 B ∴ + ∈ (2√3, 4]
6 2
∴周长的取值范围为(2 + 2√3, 6] .....................................................12 分
{#{QQABLQCAoggAAABAARgCAwmACAMQkAAACKoGBFAIMAIAAQFABCA=}#}
kx 1
21．（1）因为函数 f (x) = ln 为奇函数，所以 f (x)+ f ( x) = 0，
x +1
kx 1 kx 1 (kx 1)( kx 1) 1 k 2x2
即 ln + ln = ln = ln = 0对定义域内任意 x 恒成立，所以 k 2 =1，即 k = 1，
x +1 x +1 (x +1)( x +1) 1 x2
x 1
显然 k 1，又当 k =1时， f (x) = ln 的定义域关于原点对称．
x +1
所以 k =1为满足题意的值．.........................................................................3 分
单调性： f (x)在( ∞, 1)， (1,+ )上均为增函数．...................................................................4 分
x 1
证明：由（1）知 f (x) = ln ，其定义域为 ( , 1) (1,+ )，
x +1
x 1 x 1 (x1 1)(x2 +1)
任取 x1, x2 (1,+ )
1 2
，不妨设 x1 x2，则 f (x1 ) f (x2 ) = ln ln = ln ，
x1 +1 x2 +1 (x1 +1)(x2 1)
因为 (x1 1)(x2 +1) (x1 +1)(x2 1) = 2(x1 x2 ) 0，又 (x1 +1)(x2 1) 0，
( x1 1)( x2 +1) (x1 1)(x2 +1)
所以0 1，所以 f (x ) f (x 1,+
( )( ) 1 2
) = ln 0，即 f (x1 ) f (x2 )，所以 f (x)在 ( )上为增函数．
x1 +1 x2 1 (x1 +1)(x2 1)
同理， f (x)在 ( ,1)上为增函数． .............................................................................................6 分
1 1
（2）由（1）知 f (x)在 (1,+ )上为增函数，又因为函数 f (x)在 , 上的值域为 ln m , ln m ，
2 2
1 m 1 m
ln = ln m , = m ,
+1 2 +1 2
所以m 0，且 ，所以 ，
1 m 1 m ln = ln
m = m
+1 2 +1 2
x 1 m
即 , 是方程 = mx 的两实根， .........................................................................................8 分
x +1 2
2 m m
问题等价于方程mx 1 x +1 = 0在 (1,+ )上有两个不等实根，
2 2
2 m m 1 1
令 h (x) = mx 1 x +1 ，对称轴 x =
2 2 2m 4
> 0
1 1
> 12 4 2
则 2 ， 解得0 m ．.......................................................................12 分
= (1 ) 4 (1 ) > 0 9
2 2
{ (1) = > 0
{#{QQABLQCAoggAAABAARgCAwmACAMQkAAACKoGBFAIMAIAAQFABCA=}#}
22．解：(1)sin cos = cos2 = 2 2
所以(cos sin )(sin + cos + 1) = 0．所以cos sin = 0或sin + cos = 1
当sin cos = 0时，显然cos ≠ 0，则tan = 1，
5
又 ∈ [0,2 ]，所以 = 或 ，........................................................................3 分
4 4
sin + cos = 1 √ 2
9
当 ，则sin ( + ) = ，又 ∈ [0,2 ], + ∈ [ , ]．
4 2 4 4 4
5 7 3
所以 + = 或 ，所以 = 或 ，
4 4 4 2
5 3
所以方程 ( ) = cos2 在[0,2 ]上的解集为{ , , , } ....................................6分
4 4 2
3 3
(2)证：设 ( ) = sin cos + ln = √ 2sin ( ) + ln , ∈ (0,+∞)，
2 4 2
3 3
当 ∈ (0, ]，则 ∈ ( , ]，此时 = √ 2sin ( )在(0, ]单调递增，
4 4 4 2 4 4
3 3 3
= ln 在(0, ]也单调递增，所以 ( )在(0, ]单调递增，
2 4 4
3 3 3 3
( ) = ln < 0， ( ) = √ 2sin ( ) + ln = 1 + ln > 0，所以 ( )在 ∈ (0, ]时有唯一零点，
4 2 4 2 2 4 2 2 2 2 4
3 5 3 3 5
当 ∈ ( , ) , √ 2sin ( ) > 0, ln > 0，所以 ( ) > 0，所以 ( )在 ∈ ( , )没有零点，
4 4 4 2 4 4
5 5 5 3 3 5
当 ∈ [ ,+∞)时， > × 3 > ，所以 ln > > √ 2，所以 ( ) > 0，所以 ( )在 ∈ [ , +∞)没有零点，
4 4 4 2 2 4
3
综上， ( ) = sin cos + ln 在(0,+∞)有唯一零点 0，...................................................................8 分 2
3
所以sin 0 cos 0 + ln 0 = 0，且 0 ∈ ( , )， 2 4 2
2
所以ln 0 = (cos 0 sin 0)， 3
1 2 1
所以ln 0 + sin 2 0 = (cos sin ) + sin 2 3 3 0 0 3 0
2 2
(cos 0 sin 0) + sin 0cos 0， 3 3
令 = cos 0 sin 0 = √ 2cos ( 0 + )，因为 0 ∈ ( , )，所以 ∈ ( 1,0)， 4 4 2
2
又 2 = 1 2sin 0cos 0，则
1
sin 0cos 0 = ， 2
所以 1 2 2 1
2 1 2 2 1
ln 0 + sin2 0 = + = ( 1)
2 + ∈ ( , )．
3 3 3 2 3 3 3 3
3
故函数 = ( ) + ln 有且只有一个零点 0， 2
2 1 1
且 < ln 0 + sin2 0 < ....................................................12 分 3 3 3
{#{QQABLQCAoggAAABAARgCAwmACAMQkAAACKoGBFAIMAIAAQFABCA=}#}江西省丰城九中、高安二中、万载中学、 A． , B． , C． , D． ,
6 2 2 3 3 2 2 6
宜丰中学、樟树中学 二、多选题
11
9．下列选项中，与sin 的值相等的是（ ）
高一年级上学期第一次联考数学试题 6
A．2sin15 sin75 B．cos18 cos42 sin18 sin 42
考试范围：必修一、必修二(1～4章) 考试时间：2023.11.16
tan 22.5
C．2cos2 15 1 D．
一、单选题 1 tan
2 22.5
2 10． 的内角A ， B ，C 的对边分别为a，b ，c ，则下列命题为真命题的是（ ）
1．已知集合 A = x | y = log2 (3 2x) , B = x | x 4 ，则 A RB =（ ）
A．若A B，则sin A sin B
3 3
A． x | 2 x B．{x | x 2} C． x | 2 x D．{x | x 2}
2 2 B．若sin2 A+ sin2 B sin2 C，则 是钝角三角形
2．“函数 f (x) = xa在 (0,+ )上单调递减”是“函数 g (x) = x4 (a +1) x 是偶函数”的（ ） C．若acos A = bcos B，则 为等腰三角形
a = 8,c =10, A = 60
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 D．若 ，则符合条件的 有两个
11．下列说法正确的是（ ）
3．定义在R 上的偶函数 f (x)在区间 0,+ )上单调递增，若 f (1) f (ln x)，则 x 的取值范围是（ ）
1 1 2 9
1 A．函数 y = sin x + 的最小值为 2 B．若正实数 a，b满足a+b =1，则 + 的最小值为
A． (e,+ ) B． (
1,+ ) C． ( , e) (e,+ ) D． 0, (e,+ ) sin x 2a b 2
e
3 C．关于 x的不等式ax
2 +bx +1 0的解集是 (1,2)，则a + b = 1
4．函数 f (x) = lnx 的零点所在的大致区间为（ ）
x
D．函数 f (x) = loga (x2 +mx +1)（a 0且a 1）的定义域为 R，则实数 m的取值范围是 ( , 2) (2,+ )
A． (0,1) B． (1,2) C． (2,e) D． (e,3)
1 4x x
x , x 0,1)
5．函数 f (x) = 2x 2cos 1 在 2,2 上的图象大致为（ ）
2 2 12．已知函数 f (x) = 1 ，则以下结论正确的是（ ）．
f (x 1) , x 1,+ )
2
A． B． A．函数 f (x)为增函数 B． x1， x2 0,+ )， f (x1 ) f (x2 ) 1
3
C．若 f (x) 在 x n,+ )上恒成立，则自然数 n的最小值为 2
8
2
D．若关于 x 的方程2m f (x) + (m+ 2) f (x)+1= 0(m R)有三个不同的实根，则 8 m 4
C． D．
二、填空题（20分）
13．a = (1, 1) ,b = (t, 3)，且a∥(a +b )，则 b = .
π
6．已知边长为 2 的菱形 ABCD中， DAB = ，点 E是 BC上一点，满足 BE = 3EC，则 AE BD =（ ）
3 214．已知集合 A = x x 5x 6 = 0 ，B = x mx +1= 0 ，若B A，则实数 m组成的集合为 .
1 1 4
A． B． C． D． 3
2 2 3 2x 1, x 1, 1 1
15．已知 f (x) = 若对任意 0, ，不等式 f (cos
2 + sin )+ 0
π 1 5π π 恒成立， 的取值范围
7．已知sin x + = ，则sin( x)+ 2cos
2 (x ) 的值是（ ） 3x 2, x 1, 2 3 2
6 3 6 3
5 1 5 1+ 4 2 为 ．
A． B． C． D．
9 9 9 3 x + y
f (a)+ f( ) ( ) (
b) 16．已知 x，y均为正数，则 2 2 的最大值是 .
f x 2x + y + 68．已知 是定义在 1,1 上的奇函数，且 f 1 = 1，当a,b 1,1 且a +b 0时 0 .已知
a +b
2 , ，若 f (x) 4 + 3sin 2cos 对 x 1,1 恒成立，则 的取值范围是（ ）
2 2
宜春五校高一上学期第一次联考 数学试卷 第 1 页，共 2 页
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三、解答题 3
20．（12分）已知a = (sin x,cos x)，b = (cos x, 3 cos x)， 0，函数 f (x) = a b a 的最小正周期为 π .
17．（10分） 2
1 2√ 2 √ 2sin( )+sin( + )(1) 已知角 的终边经过点 ( , )．求 2 的值． (1)求函数 f (x)的单调递增区间；
3 3 3√ 2cos( ) sin( + )
1 A 3
(2) 求值： lg25 + lg2 2log43 + log
2 2
9 log32． (2)在锐角 中，角 A，B，C所对的边分别是 a，b，c，且满足 f = ，a=2,求 周长的取值范围.
2 2
2x 2
18．（12分）在① A ={x | 1}，② A ={x || x 1| 2}，这两个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并回答下
x +1
列问题.设全集U =R，______，B ={x | x2 + x+a a2 0}.
(1)若a = 2，求 (CU A) (CU B)；
(2)若“ x A”是“ x B ”的充分不必要条件，求实数 a的取值范围.
kx 121．（12分）已知函数 f (x) = ln 为奇函数．
x +1
（1）求实数 k 的值，判断函数 f (x)的单调性，给出证明；
m m （2）若存在 , (1,+ )，使 f (x)在区间 , 上的值域为 ln m , ln m ，求实数m 的取值范围．
2
2
19．（12 分）我校近几年加大了对学生奥赛的培训，为了选择培训的对象，今年5月我校进行一次化学竞赛，从参加竞
赛的同学中，选取50名同学将其成绩(百分制，均为整数)分成六组：第1组[40,50)，第2组[50,60)，第3组[60,70)，第4
组[70,80)，第5组[80,90)，第6组[90,100]，得到部分频率分布直方图(如图)，观察图形中的信息，回答下列问题：
22．（12分）已知函数 ( ) = sin cos ．
(1)求方程 ( ) = cos2 在[0,2 ]上的解集；
3 2 1 1
(2)求证：函数 = ( ) + ln 有且只有一个零点 0，且 < ln 0 + sin2 < 2 3 3 0 3
(1)求补全这个频率分布直方图，并利用组中值估计本次考试成绩的平均数；
(2)从频率分布直方图中，估计第65百分位数是多少；
(3)已知学生成绩评定等级有优秀、良好、一般三个等级，其中成绩不小于90分时为优秀等级，若从第5组和第6组两
组学生中，随机抽取2人，求所抽取的2人中至少1人成绩优秀的概率．
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