2023-2024学年山东省青岛市李沧区八年级（上）期中数学试卷（PDF版，含解析）

2023-2024 学年山东省青岛市李沧区八年级（上）期中数学试卷
一、选择题（本大题共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分）
1．（3分） 的倒数是（ ）
A．﹣ B． C．﹣ D．
2．（3分）如图是由边长为 1m的方砖铺设的地板示意图，如果小球在地板上从点 A滚动到
点 B，则小球滚动的最短路程是（ ）
A．2m B．4m C． D．5m
3．（3 分）在平面直角坐标系内有一点 P（x，y），若点 P位于第二象限，并且点 P到 x轴
和 y轴的距离分别为 5，2，则点 P的坐标是（ ）
A．（5，2） B．（2，5） C．（2，﹣5） D．（﹣2，5）
4．（3分）若一次函数 y＝2x﹣b的图象经过点（0，﹣3），则下列各点在该一次函数图象上
的是（ ）
A．（2，1） B．（2，3） C．（﹣1，1） D．（1，5）
5．（3分）下列说法正确的是（ ）
A．0.2是 0.4的算术平方根
B．﹣5是 25的平方根
C． 的算术平方根是 9
D．16的平方根是 4
6．（3分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△A'B'C'关于 x轴对称，其中点 A，B，C
的对应点分别为点 A'，B'，C'，若点 P（2，3）在△ABC的边上，则点 P在△A'B'C'上的
对应点 P'的坐标是（ ）
A．（3，2） B．（﹣2，3） C．（2，﹣3） D．（﹣2，﹣3）
7．（3分）《九章算术》是古代东方数学代表作，书中记载：今有开门去阃（读 kǔn，门槛的
意思）一尺，不合二寸，问门广几何？题目大意是：如图 1、2（图 2为图 1的平面示意
图），推开双门，双门间隙 CD的距离为 2寸，点 C和点 D距离门槛 AB都为 1尺（1尺
＝10寸），则 AB的长是（ ）
A．50.5寸 B．52寸 C．101寸 D．104寸
8．（3分）对于一次函数 y＝kx+b（k≠0），根据两位同学的对话信息，下列结论一定正确的
是（ ）
A．y随 x的增大而增大
B．函数图象与 y轴的交点位于 x轴下方
C．k﹣b＜0
D．k+b＞0
二、填空题（本大题共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分）
9．（3分） 的相反数是 ．
10．（3分）已知一次函数 y＝kx+3（k≠0），其函数值 y随 x值的增大而增大．当 x＝﹣2时，
函数值 y可以是 （请写出一个你认为正确的即可）．
11．（3分）如图，正方形的面积为 12，则与该正方形的边长最接近的整数是 ．
12．（3 分）已知一次函数 y＝ax﹣5 的图象经过点 A（﹣4，3），则关于 x的一元一次方程
ax﹣5＝3的解为 ．
13．（3分）如图，在四边形 ABCD中，∠ABC＝∠CDA＝90°，分别以四边形 ABCD的四
条边为边长，向外作四个正方形，面积分别为 S1，S2，S3，S4．若 S1＝6，S2＝10，S3＝
12，则 S4的值为 ．
14．（3 分）在同一直角坐标系中，直线 y1＝3x+1 与 x轴，y轴分别交于 A，B两点，直线
y2＝kx+b与 x轴，y轴分别交于 C，D两点．若 AB∥CD，点 D在点 B的下方，并且 BD
＝6，则直线 y2的表达式为 ．
15．（3分）如图，在直角坐标系中，长方形 OABC的顶点 A，C分别在 x轴，y轴上，点 A，
C的坐标分别为（﹣7，0），（0，4）．E为边 BC上一点，点 D的坐标为（﹣5，0），若
△ODE是腰长为 5的等腰三角形，则点 E的坐标是 ．
16．（3 分）皮克定理是格点几何学中的一个重要定理，它揭示了以格点为顶点的多边形的
面积 ，其中 N，L分别表示这个多边形内部与边界上的格点个数．在平面直
角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点为格点．已知 A（0，8），B（4，4），则△AOB内
部的格点个数是 ．
三、解答题（本大题共 8 小题，共 72 分）
17．（16分）计算：
（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4） ．
18．（4分）围棋，起源于中国，古代称为“弈”，是棋类鼻祖，距今已有 4000多年的历史．如
图是某围棋棋盘的一部分，若棋盘是由边长均为 1的小正方形组成的，棋盘上 A，B两颗
棋子的坐标分别为 A（﹣2，3），B（0，﹣1）．
（1）根据题意，画出相应的平面直角坐标系；
（2）有一颗黑色棋子 C的坐标为（2，2），请标注出黑色棋子 C的位置．
19．（6分）把下列各数写入相应的集合中：
，2.5， ， ，0， ， ，0.5757575…（相邻两个 5 之间 7 的
个数逐次加 1）
（1）有理数集合{ …}；
（2）无理数集合{ …}．
20．（8 分）党的十八大以来，各地积极推动城市绿化工作，大力拓展城市生态空间，让许
多城市再现绿水青山、某小区物业在小区拐角清理出了一块空地进行绿化改造，如图，
∠ABC＝90°，AB＝12m，BC＝9m，AD＝17m，CD＝8m．
（1）为了方便居民的生活，在绿化时将修一条从点 A直通点 C的小路，求小路 AC的长
度；
（2）若该空地的改造费用为每平方米 150元，试计算改造这片空地共需花费多少元？
21．（8分）我们知道 是无理数，因此 的小数部分我们不可能全部写出来，于是小明
用 来表示 的小数部分，你同意小明的表示方法吗？事实上，小明的表示方法是
有道理的，因为 的整数部分是 1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．又例
如： ，即 ，所以 的整数部分为 2，小数部分为 ．请
根据以上信息，回答下列问题：
（1） 整数部分是 ，小数部分是 ；
（2）如果 的整数部分为 a， 的整数部分为 b，求 12a+7b的立方根；
（3）已知 ，其中 x是整数，且 0＜y＜1，求 x+y的值．
22．（8分）在平面直角坐标系中，A，B两点的坐标分别是 A（0，a），B（0，b），且 +|12
﹣b|＝0．
（1）求 b﹣a的平方根；
（2）若在 x轴的正半轴上有一点 C，且△ABC的面积是 27，求点 C的坐标；
（3）过（2）中的点 C作直线 MN∥y轴，在直线 MN上是否存在点 D，使得△ACD的
面积是△ABC面积的 ？若存在，请求出点 D的坐标；若不存在，请说明理由．
23．（10 分）如图，一次函数 y1＝ax+b的图象与 y轴负半轴相交于点 A，与正比例函数 y2
＝kx的图象交于点 B（﹣8，6），且 ．
（1）求正比例函数与一次函数的表达式；
（2）请直接写出当 y1＞y2时，x的取值范围．
24．（12分）通过小学的学习我们知道，在水平面上推或拉一个物体时，在物体和水平面之
间会产生阻碍物体运动的力、像这样的力是摩擦力．小明利用如图 1所示的装置测量在
不同重量下某木块与木板之间的摩擦力．在木块上放置砝码，缓慢向左拉动水平放置的
木板，当木块和砝码相对桌面静止且木板仍在继续滑动时，弹簧秤的示数即为木块受到
的摩擦力的大小．小明进行了六次实验，并将实验所得数据制成如表：
砝码的质量 0 50 100 150 200 250
m/g
滑动摩擦力 f/N 1.8 2.0 2.2 2.4 2.6 2.8
（1）请在图 2的平面直角坐标系内，描出六次测量的有序数对（m，f）所对应的六个点；
（2）这些点是否在一条直线上？如果是，请确定 f与 m的关系式；如果不是，请说明理
由；
（3）在某次实验中，测得木块受到的摩擦力为 4.2N，则此时砝码的质量是多少？
（4）在实验过程中，当砝码的质量为 100g～800g时，请直接写出木块受到的摩擦力的
最大值和最小值分别为多少？
2023-2024 学年山东省青岛市李沧区八年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分）
1．（3分） 的倒数是（ ）
A．﹣ B． C．﹣ D．
【分析】根据倒数的定义求解即可．
【解答】解： 的倒数是 ，
故选：D．
【点评】本题考查了实数的性质，分子分母交换位置是求一个数的倒数的关键．
2．（3分）如图是由边长为 1m的方砖铺设的地板示意图，如果小球在地板上从点 A滚动到
点 B，则小球滚动的最短路程是（ ）
A．2m B．4m C． D．5m
【分析】根据勾股定理结合网格求出 AB的长即可．
【解答】解：由题意得，小球滚动的最短路程为 AB＝ ＝2 （m），
故选：C．
【点评】本题考查了勾股定理，熟记勾股定理是解题的关键．
3．（3 分）在平面直角坐标系内有一点 P（x，y），若点 P位于第二象限，并且点 P到 x轴
和 y轴的距离分别为 5，2，则点 P的坐标是（ ）
A．（5，2） B．（2，5） C．（2，﹣5） D．（﹣2，5）
【分析】根据第二象限内点的横坐标是负数，纵坐标是正数以及点到 x轴的距离等于纵
坐标的绝对值，到 y轴的距离等于横坐标的绝对值解答．
【解答】解：∵点 P在第二象限内，
∴点 P的横坐标为负数，纵坐标为正数，
∵点 P到 x轴的距离为 5，到 y轴的距离为 2，
∴点 P的坐标为（﹣2，5），故 D正确．
故选：D．
【点评】本题主要考查了点到坐标轴的距离，熟练掌握点到 x轴的距离等于纵坐标的绝
对值，到 y轴的距离等于横坐标的绝对值是解题的关键．
4．（3分）若一次函数 y＝2x﹣b的图象经过点（0，﹣3），则下列各点在该一次函数图象上
的是（ ）
A．（2，1） B．（2，3） C．（﹣1，1） D．（1，5）
【分析】由一次函数 y＝2x﹣b的图象经过点（0，﹣3），利用一次函数图象上点的坐标
特征，可求出 b值，进而可得出一次函数解析式，逐一代入各选项中点的横坐标，求出 y
值，再与点的纵坐标比较后，即可得出结论．
【解答】解：∵一次函数 y＝2x﹣b的图象经过点（0，﹣3），
∴﹣3＝2×0﹣b，
解得：b＝3，
∴一次函数解析式为 y＝2x﹣3．
A．当 x＝2时，y＝2×2﹣3＝1，
∴点（2，1）在该一次函数图象上，选项 A符合题意；
B．当 x＝2时，y＝2×2﹣3＝1，1≠3，
∴点（2，3）不在该一次函数图象上，选项 B不符合题意；
C．当 x＝﹣1时，y＝2×（﹣1）﹣3＝﹣5，﹣5≠1，
∴点（﹣1，1）不在该一次函数图象上，选项 C不符合题意；
D．当 x＝1时，y＝2×1﹣3＝﹣1，﹣1≠5，
∴点（1，5）不在该一次函数图象上，选项 D不符合题意．
故选：A．
【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，利用一次函数图象上点的坐标特征，
求出 b值是解题的关键．
5．（3分）下列说法正确的是（ ）
A．0.2是 0.4的算术平方根
B．﹣5是 25的平方根
C． 的算术平方根是 9
D．16的平方根是 4
【分析】根据算术平方根及平方根的定义逐项判断即可．
【解答】解：0.2是 0.04的算术平方根，则 A不符合题意；
﹣5是 25的平方根，则 B符合题意；
＝9，其算术平方根是 3，则 C不符合题意；
16的平方根是±4，则 D不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查平方根及算术平方根，熟练掌握相关定义是解题的关键．
6．（3分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△A'B'C'关于 x轴对称，其中点 A，B，C
的对应点分别为点 A'，B'，C'，若点 P（2，3）在△ABC的边上，则点 P在△A'B'C'上的
对应点 P'的坐标是（ ）
A．（3，2） B．（﹣2，3） C．（2，﹣3） D．（﹣2，﹣3）
【分析】利用关于 x轴的对称点的坐标特点可得答案．
【解答】解：∵△ABC与△A'B'C'关于 x轴对称，点 P（2，3）在△ABC的边上，
∴点 P在△A'B'C'上的对应点 P'的坐标是（2，﹣3）．
故选：C．
【点评】此题主要考查了关于 x轴的对称点的坐标，关键是掌握关于 x轴的对称点的坐
标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数．
7．（3分）《九章算术》是古代东方数学代表作，书中记载：今有开门去阃（读 kǔn，门槛的
意思）一尺，不合二寸，问门广几何？题目大意是：如图 1、2（图 2为图 1的平面示意
图），推开双门，双门间隙 CD的距离为 2寸，点 C和点 D距离门槛 AB都为 1尺（1尺
＝10寸），则 AB的长是（ ）
A．50.5寸 B．52寸 C．101寸 D．104寸
【分析】取 AB的中点 O，过 D作 DE⊥AB于 E，根据勾股定理解答即可得到结论．
【解答】解：取 AB的中点 O，过 D作 DE⊥AB于 E，如图 2所示：
由题意得：OA＝OB＝AD＝BC，
设 OA＝OB＝AD＝BC＝r寸，
则 AB＝2r（寸），DE＝10（寸），OE＝ CD＝1（寸），AE＝（r﹣1）寸，
在 Rt△ADE中，AE2+DE2＝AD2，
即（r﹣1）2+102＝r2，
解得：r＝50.5，
∴2r＝101（寸），
∴AB＝101寸，
故选：C．
【点评】本题考查了勾股定理的应用，弄懂题意，构建直角三角形是解题的关键．
8．（3分）对于一次函数 y＝kx+b（k≠0），根据两位同学的对话信息，下列结论一定正确的
是（ ）
A．y随 x的增大而增大
B．函数图象与 y轴的交点位于 x轴下方
C．k﹣b＜0
D．k+b＞0
【分析】根据一次函数的性质以及一次函数图象上点的坐标特征判断即可．
【解答】解：∵一次函数 y＝kx+b（k≠0）的图象不经过第三象限，
∴一次函数 y＝kx+b（k≠0）的图象经过经过第二、四象限或第一、二、四象限，
∴k＜0，
∴y随 x的增大而减小，故 A错误，不合题意；
又∵函数图象经过点（0，3），
∴函数图象与 y轴的交点位于 x轴上方，故 B错误，不合题意；
∵k＜0，b＝3＞0，
∴k﹣b＜0，故选项 C正确，符合题意；
k+b不一定大于 0，故选项 D错误，不合题意．
故选：C．
【点评】本题考查一次函数的图象及性质；熟练掌握一次函数解析式 y＝kx+b中，k与 b
对函数图象的影响是解题的关键．
二、填空题（本大题共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分）
9．（3分） 的相反数是 4 ．
【分析】先求出 的值，再求出相反数即可．
【解答】解：由立方根的计算方法可知 ＝﹣4，
因为﹣4的相反数为 4，
所以 的相反数为 4．
故答案为：4．
【点评】本题主要考查了相反数和立方根的有关知识．
10．（3分）已知一次函数 y＝kx+3（k≠0），其函数值 y随 x值的增大而增大．当 x＝﹣2时，
函数值 y可以是 1（答案不唯一） （请写出一个你认为正确的即可）．
【分析】由函数值 y随 x值的增大而增大，可得出 k＞0，取 k＝1，再代入 x＝﹣2，求出
y值即可．
【解答】解：∵一次函数 y＝kx+3（k≠0），其函数值 y随 x值的增大而增大，
∴k＞0，
取 k＝1，则一次函数解析式为 y＝x+3．
当 x＝﹣2时，y＝﹣2+3＝1．
故答案为：1（答案不唯一）．
【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及一次函数的性质，利用一次函数
的性质，找出 k的取值范围是解题的关键．
11．（3分）如图，正方形的面积为 12，则与该正方形的边长最接近的整数是 3 ．
【分析】由于正方形的面积为 12，利用算术平方根的定义可得到正方形的边长为 ，
根据 9＜12＜16可得到与 最接近的整数为 3．
【解答】解：∵正方形的面积为 12，
∴正方形的边长为 ，
∵9＜12＜16，
∴3＜ ＜4，
∵9＜12＜12.25，
∴3＜ ＜3.5，
∴ 最接近的整数为 3．
故答案为：3．
【点评】本题考查了估算无理数的大小，算术平方根．能够正确估算无理数的大小：利
用完全平方数和算术平方根对无理数的大小进行估算是解题的关键．
12．（3 分）已知一次函数 y＝ax﹣5 的图象经过点 A（﹣4，3），则关于 x的一元一次方程
ax﹣5＝3的解为 x＝﹣4 ．
【分析】由一次函数 y＝ax﹣5的图象经过点 A（﹣4，3）可知，x＝﹣4时，函数 y＝3，
即 ax﹣5＝3，从而得到关于 x的一元一次方程 ax﹣5＝3的解为 x＝﹣4．
【解答】解：∵一次函数 y＝ax﹣5的图象经过点 A（﹣4，3），
∴于 x的一元一次方程 ax﹣5＝3的解为 x＝﹣4．
故答案为：x＝﹣4．
【点评】本题考查了一次函数与一元一次方程，属于基础题，关键是掌握用数形结合的
方法解题．
13．（3分）如图，在四边形 ABCD中，∠ABC＝∠CDA＝90°，分别以四边形 ABCD的四
条边为边长，向外作四个正方形，面积分别为 S1，S2，S3，S4．若 S1＝6，S2＝10，S3＝
12，则 S4的值为 16 ．
【分析】连接 AC，根据 S4＝S2+S3﹣S1即可得出结果．
【解答】解：如图，连接 AC，
∵S1＝6，S2＝10，S3＝12，
∴AD2＝6，AB2＝10，BC2＝12，
在 Rt△ABC与 Rt△ADC中，由勾股定理得，
AC2＝AB2+BC2＝22，
CD2＝AC2﹣AD2，
∴CD2＝22﹣6＝16，
∴S4＝16，
故答案为：16．
【点评】本题考查了勾股定理，正确得出 S4＝S2+S3﹣S1是解题的关键．
14．（3 分）在同一直角坐标系中，直线 y1＝3x+1 与 x轴，y轴分别交于 A，B两点，直线
y2＝kx+b与 x轴，y轴分别交于 C，D两点．若 AB∥CD，点 D在点 B的下方，并且 BD
＝6，则直线 y2的表达式为 y2＝3x﹣5 ．
【分析】由题意可知，将直线 y1＝3x+1向下平移 6个单位得到直线 y2．
【解答】解：由题意可知将直线 y1＝3x+1向下平移 6个单位得到直线 y2，
故直线 y2的表达式为 y2＝3x+1﹣6＝3x﹣5．
故答案为：y2＝3x﹣5．
【点评】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特征，能够明确题意，利用“上加下减”
的平移原则是解答此题的关键．
15．（3分）如图，在直角坐标系中，长方形 OABC的顶点 A，C分别在 x轴，y轴上，点 A，
C的坐标分别为（﹣7，0），（0，4）．E为边 BC上一点，点 D的坐标为（﹣5，0），若
△ODE是腰长为 5的等腰三角形，则点 E的坐标是 （﹣2，4）或（﹣3，4） ．
【分析】分两种情况讨论，一是 DE＝OD＝5，作 DF⊥x轴交 BC于点 F，则 F（﹣5，4），
∠DFE＝90°，由勾股定理得 EF＝ ＝3，则 CE＝CF﹣EF＝2，所以 E（﹣2，
4）；二是 OE＝OD＝5，则 CE＝ ＝3，所以 E（﹣3，4），于是得到问题的答
案．
【解答】解：∵四边形 OABC是矩形，A（﹣7，0），C（0，4），
∴OC＝4，BC＝OA＝7，BC∥x轴，∠OCB＝90°，
∵E为边 BC上一点，
∴点 E的纵坐标为 4，
∵D（﹣5，0），△ODE是腰长为 5的等腰三角形，
∴DE＝OD＝5或 OE＝OD＝5，
如图 1，DE＝OD＝5，
作 DF⊥x轴交 BC于点 F，则 F（﹣5，4），∠DFE＝90°，
∴CF＝5，DF＝4，
∴EF＝ ＝ ＝3，
∴CE＝CF﹣EF＝5﹣3＝2，
∴E（﹣2，4）；
如图 2，OE＝OD＝5，则 CE＝ ＝ ＝3，
∴E（﹣3，4），
综上所述，点 E的坐标是（﹣2，4）或（﹣3，4），
故答案为：（﹣2，4）或（﹣3，4）．
【点评】此题重点考查图形与坐标、矩形的性质、等腰三角形的判定、勾股定理、数形
结合与分类讨论数学思想的运用等知识与方法，正确地作出辅助线构造直角三角形是解
题的关键．
16．（3 分）皮克定理是格点几何学中的一个重要定理，它揭示了以格点为顶点的多边形的
面积 ，其中 N，L分别表示这个多边形内部与边界上的格点个数．在平面直
角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点为格点．已知 A（0，8），B（4，4），则△AOB内
部的格点个数是 9 ．
【分析】根据皮克定理及三角形边界上的格点的个数，可列出关于 N，L的二元一次方程
组，解之即可得出结论．
【解答】解：∵点 A的坐标为（0，8），点 B的坐标为（4，4），
∴△AOB的面积为 ×8×4＝16，
即 N+ L﹣1＝16①；
∵边 OA上的格点数是 9，边 OB上的格点数是 5，边 AB上的格点数是 5，
∴L＝9+5+5﹣3②．
联立①②组成方程组得： ，
解得： ，
∴△AOB内部的格点个数是 9．
故答案为：9．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及坐标与图形性质，找准等量关系，正确
列出二元一次方程组是解题的关键．
三、解答题（本大题共 8 小题，共 72 分）
17．（16分）计算：
（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4） ．
【分析】（1）根据二次根式的性质化简，再合并同类二次根式即可；
（2）先计算乘法，再计算除法即可；
（3）先计算二次根式的除法，再计算加法即可；
（4）先计算二次根式的除法，再计算减法即可．
【解答】解：（1）
＝6 ﹣4
＝2 ；
（2）
＝
＝
＝2；
（3）
＝ +
＝2 +
＝ ；
（4）
＝ ﹣ ﹣1
＝3﹣2﹣1
＝0．
【点评】本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
18．（4分）围棋，起源于中国，古代称为“弈”，是棋类鼻祖，距今已有 4000多年的历史．如
图是某围棋棋盘的一部分，若棋盘是由边长均为 1的小正方形组成的，棋盘上 A，B两颗
棋子的坐标分别为 A（﹣2，3），B（0，﹣1）．
（1）根据题意，画出相应的平面直角坐标系；
（2）有一颗黑色棋子 C的坐标为（2，2），请标注出黑色棋子 C的位置．
【分析】（1）利用 A、B点坐标画出对应的直角坐标系；
（2）根据点的坐标作出点 C的位置即可．
【解答】解：（1）建立如图所示的直角坐标系；
（2）如图，点 C即为所求．
【点评】本题考查坐标确定位置，解题关键是正确作出图形，属于中考常考题型．
19．（6分）把下列各数写入相应的集合中：
，2.5， ， ，0， ， ，0.5757575…（相邻两个 5 之间 7 的
个数逐次加 1）
（1）有理数集合{ ﹣ ，2.5，（ ）2，0，﹣ …}；
（2）无理数集合{ ， ，0.5757575…（相邻两个 5之间 7的个数逐次加 1） …}．
【分析】根据实数的分类及二次根式的性质解答即可．
【解答】解：（ ）2＝ ，，﹣ ＝﹣3，
（1）有理数集合{﹣ ，2.5，（ ）2，0，﹣ ，...}．
故答案为：﹣ ，2.5，（ ）2，0，﹣ ；
（2）无理数集合{ ， ，0.5757575…（相邻两个 5之间 7的个数逐次加 1），..}
故答案为： ， ，0.5757575…（相邻两个 5之间 7的个数逐次加 1）．
【点评】本题考查的是实数的分类及二次根式的性质与化简，熟知实数的分类是解题的
关键．
20．（8 分）党的十八大以来，各地积极推动城市绿化工作，大力拓展城市生态空间，让许
多城市再现绿水青山、某小区物业在小区拐角清理出了一块空地进行绿化改造，如图，
∠ABC＝90°，AB＝12m，BC＝9m，AD＝17m，CD＝8m．
（1）为了方便居民的生活，在绿化时将修一条从点 A直通点 C的小路，求小路 AC的长
度；
（2）若该空地的改造费用为每平方米 150元，试计算改造这片空地共需花费多少元？
【分析】（1）根据勾股定理求出 AC即可；
（2）由勾股定理的逆定理得出三角形 ACD是直角三角，再根据三角形的面积公式求解
即可．
【解答】解：（1）在 Rt△ABC中，由勾股定理得，
AC＝ ＝ ＝15（m），
答：小路 AC的长度为 15m；
（2）∵AC2+CD2＝152+82＝172＝AD2，
∴△ACD是直角三角形，
∴S 2四边形 ABCD＝ ＝ ＝114（m ），
114×150＝17100（元）．
答：改造这片空地共需花费 17100元．
【点评】本题考查了勾股定理的应用，熟记勾股定理是解题的关键．
21．（8分）我们知道 是无理数，因此 的小数部分我们不可能全部写出来，于是小明
用 来表示 的小数部分，你同意小明的表示方法吗？事实上，小明的表示方法是
有道理的，因为 的整数部分是 1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．又例
如： ，即 ，所以 的整数部分为 2，小数部分为 ．请
根据以上信息，回答下列问题：
（1） 整数部分是 5 ，小数部分是 ﹣5 ；
（2）如果 的整数部分为 a， 的整数部分为 b，求 12a+7b的立方根；
（3）已知 ，其中 x是整数，且 0＜y＜1，求 x+y的值．
【分析】（1）估算出 在哪两个连续整数之间即可；
（2）分别估算出 及 在哪两个连续整数之间后即可求得 a，b的值，然后将其代
入 12a+7b中计算，最后根据立方根的定义即可求得答案；
（3）估算出 9﹣ 的范围后即可确定 x，y的值，然后将其代入 x+y中计算即可．
【解答】解：（1）∵5＜ ＜6，
∴ 的整数部分是 5，小数部分是 ﹣5．
故答案为：5， ﹣5；
（2）∵ 的整数部分为 a，且 3＜ ＜4，
∴a＝3，
∵ 的整数部分为 b，4＜ ＜5，
∴b＝4，
∴12a+7b＝12×3+7×4＝64，
∴12a+7b的立方根是 4．
（3）∵2＜ ＜3，
∴6＜9﹣ ＜7，
∵ ，其中 x是整数，且 0＜y＜1，
∴x＝7，y＝ ﹣2，
∴x+y＝7+（ ﹣2）＝5+ ．
则 x+y的值为 5+ ．
【点评】本题考查的是无理数的计算，估算无理数的整数部分是解题关键．
22．（8分）在平面直角坐标系中，A，B两点的坐标分别是 A（0，a），B（0，b），且 +|12
﹣b|＝0．
（1）求 b﹣a的平方根；
（2）若在 x轴的正半轴上有一点 C，且△ABC的面积是 27，求点 C的坐标；
（3）过（2）中的点 C作直线 MN∥y轴，在直线 MN上是否存在点 D，使得△ACD的
面积是△ABC面积的 ？若存在，请求出点 D的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）根据平方根和绝对值具有非负性即可求出 a，b的值；
（2）假设有一点 C，使得△ABC的面积是 27，AB＝18，即可求出三角形的高，从而求
出点 C的坐标；
（3）由（2）知△ABC的面积是 27，则△ACD的面积是 3，由 MN∥y轴得出△ACD的
高是 3，求出底即可求出 C的坐标．
【解答】解：（1）∵ +|12﹣b|＝0．
∴a+6＝0，12﹣b＝0，
∴a＝﹣6，b＝12，
∴b﹣a＝12﹣（﹣6）＝18，
∴b﹣a的平方根为±3 ；
（2）由（1）知 A（0，﹣6），B（0，12），
∴AB＝18，
∴S△ABC＝ AB OC＝ ×18 OC＝27，
解得 OC＝3，
∵C在 x轴的正半轴上，
∴C的坐标为（3，0）；
（3）存在，由（2）知△ABC的面积是 27，
∴△ACD的面积是 3，
∵MN∥y轴，
∴△ACD的高是 3，
∴S△ACD＝ CD 3＝3，
解得 CD＝2，
∵C在直线 MN上，
∴C的坐标为（3，2）或（3，﹣2）．
【点评】本题考查三角形的面积，平面直角坐标系，平方根和绝对值的性质，熟练掌握
以上知识是解题关键．
23．（10 分）如图，一次函数 y1＝ax+b的图象与 y轴负半轴相交于点 A，与正比例函数 y2
＝kx的图象交于点 B（﹣8，6），且 ．
（1）求正比例函数与一次函数的表达式；
（2）请直接写出当 y1＞y2时，x的取值范围．
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）观察图象即可求解．
【解答】解：（1）∵正比例函数 y2＝kx的图象过点 B（﹣8，6），
∴6＝﹣8k，
∴k＝﹣ ，
∴正比例函数的表达式为 y2＝﹣ x；
由 B（﹣8，6）可知 OB＝ ＝10，
∵ ，
∴OA＝5，
∴A（0，﹣5），
把 A、B的坐标代入 y1＝ax+b得 ，
解得 ，
∴一次函数的表达式为 y1＝﹣ x﹣5；
（2）由图象可知，当 y1＞y2时，x的取值范围是 x＜﹣8．
【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式以及
一次函数与不等式，数形结合是解题的关键．
24．（12分）通过小学的学习我们知道，在水平面上推或拉一个物体时，在物体和水平面之
间会产生阻碍物体运动的力、像这样的力是摩擦力．小明利用如图 1所示的装置测量在
不同重量下某木块与木板之间的摩擦力．在木块上放置砝码，缓慢向左拉动水平放置的
木板，当木块和砝码相对桌面静止且木板仍在继续滑动时，弹簧秤的示数即为木块受到
的摩擦力的大小．小明进行了六次实验，并将实验所得数据制成如表：
砝码的质量 0 50 100 150 200 250
m/g
滑动摩擦力 f/N 1.8 2.0 2.2 2.4 2.6 2.8
（1）请在图 2的平面直角坐标系内，描出六次测量的有序数对（m，f）所对应的六个点；
（2）这些点是否在一条直线上？如果是，请确定 f与 m的关系式；如果不是，请说明理
由；
（3）在某次实验中，测得木块受到的摩擦力为 4.2N，则此时砝码的质量是多少？
（4）在实验过程中，当砝码的质量为 100g～800g时，请直接写出木块受到的摩擦力的
最大值和最小值分别为多少？
【分析】（1）在平面直角坐标系中描点即可；
（2）将（1）中的 6个点连接起来，判断是否为直线．如果是直线，则利用待定系数法
求出 f与 m的关系式即可；
（3）当 f＝4.2时，求出对应 m的值即可；
（4）由 f与 m的关系式，确定 f随 m的增减性，根据 m的取值范围，分别求出 f的最大
值和最小值即可．
【解答】解：（1）在平面直角坐标系中六次测量的有序数对（m，f）所对应的六个点如
图所示：
（2）如上图所示，这些点在一条直线上．
设 f与 m的关系式为 f＝km+b，将（0，1.8）和（50，2.0）代入，
得 ，解得 ，
∴f与 m的关系式为 f＝0.004m+1.8．
（3）当 f＝4.2时，0.004m+1.8＝4.2，解得 m＝600，
∴此时砝码的质量是 600g．
（4）∵f随 m的增大而增大，
∴当 m＝800时，f值最大，此时 f＝0.004×800+1.8＝5.0；
当 m＝100时，f值最小，此时 f＝0.004×100+1.8＝2.2．
∴当砝码的质量为 100g～800g时，木块受到的摩擦力的最大值和最小值分别为 5.0N，
2.2N．
【点评】本题考查函数的表示方法等，利用待定系数法求出函数的解析式是解题的关键．