数学人教A版（2019）选择性必修第二册4.2.1等差数列的概念及通项公式（共18张ppt）

(共18张PPT)
第四章 数列
4.2.1 等差数列的概念及通项公式
一、课题导入
1.数列的概念是什么？
一般地，我们把按照确定的顺序排列的一列数称为数列. 数列中的每一个数都叫做数列的项.
2.什么是数列的通项公式？
3.什么是数列的递推公式？
二、引导探究1——等差数列及等差中项的概念
思考 下列3个数列的取值规律是什么？有何共同点？
9，18，27，36，45，54，63，72，81 ①
34，36，38，40，42，44，46，48 ②
25，24.4，23.8，23.2，22.6 ③
从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数
我们把具有这种取值规律的数列称为等差数列.
1.等差数列的概念　
定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列. 这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示.
等差数列的符号语言：
an－an-1 = d (d是常数, n≥2且n∈N*)或an+1－an = d (d是常数, n∈N*)
注意n的取值！
从第二项开始!
注意：1.“从第2项起”说明等差数列至少含有三项.
2.“每一项与它的前一项的差”不可理解为“每相邻两项的差”
3. 判断一个数列是不是等差数列，主要是由定义进行判断，即判定an+1-an 是不是同一个常数.
4. 公差d是每一项(从第2项起)与它的前一项的差，而且公差可以是正数，负数，也可以为0.
由三个数a，A，b组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列，这时A叫做a与b的等差中项.
由等差数列的定义，可知
2.等差中项的概念　
两个数的等差中项只有一个
三、典型例题1 等差数列的判断
三、典型例题2 等差中项的应用
二、引导探究2——等差数列的通项公式
探究 若已知等差数列{an}的首项和公差，你能否根据等差数列的定义推导出等差数列的通项公式？
所以 a2=a1+d
a3=a2+d=(a1+d )+d=a1+2d
a4=a3+d=(a1+2d )+d=a1+3d
…
an=an-1+d=a1+ (n-1)d (n ≥ 2)
又∵当n=1时，上式也成立
∴an=a1+(n-1)d
方法1： 由等差数列的定义可得
an+1-an=d
等差数列的递推公式
不完全归纳法
它就是等差数列的通项公式！
∴ a2-a1=d
a3-a2=d
a4-a3=d
…
an-an-1=d (n ≥ 2)
累加以上n-1个式子, 得
an-a1=(n-1)d
累加法
又∵当n=1时，上式也成立
∴an=a1+(n-1)d
方法2：∵由等差数列的定义可得
an+1-an=d
∴ an=a1+(n-1)d
思考 还有什么方法推导等差数列的通项公式呢？
首项为a1，公差为d的等差数列{an}的通项公式为
a1,an,n,d 知三求一
3.等差数列的通项公式　
三、典型例题3 等差数列通项公式的应用
若数列 是等差数列，首项为 ，公差为 ，则
（1）点 落在直线 上，这条直线的斜率为 ，在 轴上的截距为 ；（2）这些点的横坐标每增加1，函数值增加 .
问题 我们知道数列是自变量为n的函数，你认为等差数列与我们熟悉的哪一类函数有关？
an＝f(n)=a1＋(n－1)d=dn＋(a1－d)
结论：等差数列{an}的单调性与公差d有关.
①当d＞0时，等差数列{an} 单调递增;
②当d＜0时，等差数列{an}单调递减；
③当d＝0时，等差数列{an}为常数列.
拓展探究
二、引导探究3——等差数列的判定与证明
等差数列的判定方法有以下三种：
（1）定义法： 为等差数列.
（2）等差中项法： 为等差数列.
（3）通项公式法： （ ， 是常数， ） 为等差数列.
三、典型例题4 等差数列的证明
四、课堂小结
2. 通项公式：
1.等差数列的定义：
an-an-1=d （n≥2）或 an+1-an=d (n∈N*)
an =a1+(n-1)d
由三个数a,A,b组成等差数列,则称A叫做a与b的等差中项.
3.等差中项：
这三个数满足关系式：
A=
d=